Введение к работе
Актуальность теми. Диссертация посвящена исследованию асимптотического поводеіпія больших выборок из многомерного распределения при условии, что размерность пространства неограниченно возрастает. Традиционно многомерный статистический анализ в значительной степени посвящен определению среднего значения и корреляционного оператора многомерного нормального распределения ( изложение этих результатов можно найти в книге Т.Андерсона "Введение в многомерный статистический анализ"). Дальнейшим обобщением этой задачи можно считать и задачу определения параметров гауссовского случайного процесса. Следует отметить, что принципиальным отличием статистики случайных процессов является содержательность задачи о точном определении параметров распределения по единственному наблюдению. Правда, в этом случае наблюдением является вся траектория процесса ( см. .напр., книгу И.Ш.Ибрагд-халилова, А.В.Скорохода "Состоятельные оценки параметров случайных процессов").
Один из возможных подходов к решению задач статистики случайных процессов - это рассмотрение не целой траектории случайного процесса, а ее значений в нескольких точках. Для получения достоверных значений в этом случае нужно снимать наблюдения с нескольких траекторий. Естественно возникает задача об изучении статистик от таких наблюдений, когда число траекторий и число точек, в которых снимаются наблюдения, одновременно стремятся к бесконечности. Таким образом, мы приходам к задаче статистического исследования многомерных распределений при условии, что размерность пространства, в котором сосредоточено исследуемое распределение, неограниченно возрастает.
Четко задача статистического исследования в пространстве бесконечно возрастающей размерности сформулирована в книге Е.Я.Гир-ко "Многомерный статистический анализ". Там же для совокупности таких задач предложено название - общий статистический анализ. Основное внимание в это;! книге посвящено исследовании асимптотического поведения случайных матриц неограниченно возрастающей размерности. Следует отметить, что изучение таких матриц вызвано не только задачами статистики, но и некоторыми лэ;пескимл задачами (см. обзор Л.А.Пастура "Спектры случайных салосопрядашшх оп"рзторов". Успехи мат.наук. - IS73. - Т.28, ,'* I).
Еьшесказанноо позволяет сделать вывод, что задача асимптотического исследования больших выборок в пространстве неограниченно растущей размерности является одной из актуальных задач современной теории вероятностей.
Данная диссертационная работа посвящена изучению асимптотики поведения выборки из многомерного распределения, если размерность пространства п. и объем выборки m одновременно стремятся к бесконечности. Рассматриваемые здесь задачи разбиваются на два класса. К первому классу относятся задачи о расположении выборки из т. независимых векторов в пространстве Л"". Эти задачи собраны в гл.1. Рассматриваются векторы с независимыми координатами, имеющими или нормальное распределение, или распределения, для которых выполнены некоторые грубые теоремы о больших уклонениях.
Рассматриваются также векторы с независимыми компонентами, имеющими либо устойчивое распределение, либо притягивающееся к устойчивому распределению. При этом. существенным образом попользуются как свойства самих устойчивых распределений ( наиболее полно эти свойства освещены в книге Е.Н.Золотарева "Одномерные устойчивые распределения"), так и предельные теоремы для функционалов от сумм независимых случайных величин, развитые Л.Е.Скороходом ( см. "Предельные теоремы для случайных процессов с независимыми приращениями" // Теория вероятностей и ее прнменеіше. -1957. - Еып.2. - С. 145-177; "Случайные процессы с независимыми приращениями". - М. :Наука, I9G4. - 278 с). Оказывается, что геометрия расположения векторов с устойчивыми компонентами существенно отличается от таковой для нормально распределенных компонент. Наконец, рассматриваются векторы, для которых компоненты имеют медленно меняющиеся функции распределения ' точнее хвосты распределений). В этом случае геометрия выборки отличается и от устойчивого, к от нормального случая. Заметим также, что рассматриваемые здесь задачи имеют тесную связь с изучением предельных распределений для членов вариационного ряда ( см. II.Е.Смирнов "Предельные законы распределения для членов вариационного ряда"// Труды мат., ии-та нм.Г.Л.Стекдова. - 1349 . - Т.25. - C.I-G0;
Е.Ь.ГпедеНКО "tiur la ciotribution limite du tenne maximum d ' nno r.crle nlentoire " // ;.nn. iviath.-1943.-.44.,-P .42.3-453 ).
Етороіі класс задач связан с построением обобщенны;-: по;;ї.}\і >::.nv,
Эрмита от совокупности независимых гауссовских векторов, а затем -с применением таких полиномов, с исследованием асимптотических свойств эмпирических корреляционных операторов.
Основанный на использовании векторнозначных полиномов Эрмита в пространстве СіР") .метод исследования эмпирического корреляционного оператора позволил наделить "главную часть" этого оператора, и для этой главной части эффективно описать собственные функции и собственные значения и, таким образом, построить асимптотически точное разложение единицы для этого оператора.
Научная новизна работа. В работе построена теория геометрического расположения больших выборок в пространствах неограниченно возрастающей размерности. В сеязи с этюд найден новый широкий класс распределений, для которых выполняются грубые предельные теоремы для больших уклонений. Введен новый класс полиномов Эрмита от системы nt независимых гауссовских векторов в Л со значениями в пространстве полилинейных форм. Доказаны центральная предельная георема и некоторые ее обобщения для указанных полиномов при п. и т. —*«>.
Развит новый метод исследования спектра эмпирического корреляционного оператора гауссовского многомерного распределения.
Методика исследования. Основной метод исследования - использование теорем о больших уклонениях для величин, асимптотически притягивающихся к нормальному распределению, устойчивым распределениям, а также распределениям с медленно меняющимися хвостами (см. II.А.Ибрагимов, Ю.Е.Лииник "Независимые и стационарно связанные величины"; Е.М.Золотарев "Одномерные устойчивые распределения"). Использованы гак;ке ыартингалыше метода в предельных теоремах для случайных величин (см..напр., Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев "Теория мартингалов"; И.И.Гихман, А.В.Скороход "Стохастические дифференциальные уравнения"), а также аналитические методы теории ортогональных многочленов.
Практическая и теоретическая ценность. ' Полученные результаты имеют практическое значение в общем статистическом анализе, в теории суммирования независимых и зависимых случайных величин, в спектральной теорші случайных 'матриц. Они могут бить использованы в задачах математической л теоретической физики, приводящих к изучению случайных матриц.
Апробація работы. Результаты диссертации докладывались: на ІУ Гсесоюзкой научно-технической конТ.ерлнгоп "Пт,:-
менение многомерного статистического анализа в экономической оценке качества продукции" (Тарту, 1989 г.);
на семинаре "Бесконечномерные распределения в гильбертовом пространстве" при отделе теории случайных процессов Института математики АН Украины (1990 г.);
на семинаре "Случайные операторы и стохастические уравне-( ния" при отделе теории случайных процессов Института математики
АН Украины (1990 г.); '<""'" Ч на семинаре "Многомерный статистический анализ" при ка-федре'Чірикладной статистики факультета кибернетики Киевского го-суниверойтета (1990 г.);
на П Донецкой конференции по вероятностным моделям процессов в управлении и надежности ( Мелекино, 1990 г.);
- 'на Республиканской школе-семинаре "Стохастический анализ и его приложения", организованной отделом теории случайных процессов и отделом теории вероятностей и математической статистики (Косов , 1990 г.);
на Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении" (г.Пермь, 1990 г.);
на УІ Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Киев, 1991 г.);
на секции теории вероятностей и математической статистики при Ученом совете Института математики АН Украины (1990 г., 1991 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1 - 15 3 .
Структура и объем работы. Диссертация, содержащая 255 страниц машинописного текста,„состоит из введения и двух глав, которые разбиты на 12 параграфов, а каадиіі параграф на пункты. Список литературы содержит 209 наименований.
