Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости Колодий Наталья Александровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Измеримость по параметру квадратических вариаций сильных мартингалов и стохастических интегралов 14

1.1. Элементы теории двупараметрических сильных мартингалов 14

1.2. Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов 22

1.3. Измеримость по параметру стохастических интегралов по сильным мартингалам 26

Глава 2. Стохастические интегралы по сильным, мартингальным ядрам 36

2.1. Интегрирование по сильным мартингальным ядрам 38

2.2. Неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов 48

2.3. Интегрирование по полям ограниченной вариации 59

Глава 3. Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости 63

3.1. Существование и единственность решений с локально интегрируемыми траекториями 63

3.2. Предельная теорема для уравнений Вольтерра на плоскости 76

3.3. Существование и единственность решений с непрерывными траекториями 82

Заключение 93

Литература 95

Указатель символов 101

• Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов
• Измеримость по параметру стохастических интегралов по сильным мартингалам
• Неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов
• Предельная теорема для уравнений Вольтерра на плоскости

Введение к работе

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов, теорией стохастических дифференциальных уравнений, управляемых однопараметрически-ми и двупараметрическими мартингалами, и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на R+ активно развивается последние 30 лет. Например, в работе [5] М. Л. Клепцы-ной и А. Ю. Веретенникова получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду, Ф. Проттера [47] получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий [41] и [42] приведены теоремы существования и единственности сильных решений и существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семи-мартингалов и криволинейные стохастические интегралы.

Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша [49], И. И. Гихмана [7], М. Доззи [29] даны определения и приведены результаты исследования двупараметрическои винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе [9] А. А. Гущин исследовал различные типы разложений двупараметри-ческих субмартингалов, доказал теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работах [10] и [11] А. А. Гущин и Ю. С. Мишура доказали существование и исследовали свойства квадратической вариации дву-

параметрического сильного мартингала. В работе [3] В. М. Бородихина исследована двупараметрическая проблема мартингалов.

Значительное количество работ посвящено теории стохастических дифференциальных уравнений на плоскости, среди которых, наиболее значительными являются работы Ю. С. Мишуры [26] и [27], работы Ж- Ли [43], Я. Тюро [48] и Н. Ланжризади и Д. Нуаларта [44].

Диссертация посвящена исследованию стохастических интегральных уравнений Вольтерра

(2:)=77(2:)+ / a{z,x,C)l{z,dx)+ I b(z,x,)fi(z,dx), z Є R+, (1)

[0,z] [0,z]

содержащих интегралы по таким случайным интегрирующим ядрам (7(2, х); z,x Є R+) и (fi(z,x); z, х є R+), что для любого фиксированного z Є R\ поле j(z, ) является полем локально ограниченной вариации, а поле /j,(z, ) является сильным квадратично интегрируемым мартингалом.

В настоящее время развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости представляется актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью приложений теории многопараметрических мартингалов и многопараметрических стохастических интегральных уравнений к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях естествознания. Например, в работе [45] М. Санз-Соле и К. Ровира доказали принцип больших уклонений для семейств решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости. Авторы исследуют стохастическое уравнение Вольтерра на плоскости управляемое ^-мерным двупараметрическим винеровским полем W:

X{z) = H(z) + J [f{z, x, X(x))W(dx) + h(z, x, X(x))dx], zeT=[0, l]², (2) где функция f : T² x R^d н-> R^d x R^k удовлетворяет требованию существования

ПРОИЗВОДНЫХ ММііУ)₎ 0/(Ш),х,у) _и d²f((s,t\x,y)^ ^ _{сверх того? эти П}рОИЗВОДНЬІЄ

и функции Я : Т ^ R^rf и ft : Т² х R"¹ Н4 R'¹ удовлетворяют условию Липшица. Отметим, что при таких условиях, стохастическое интегральное уравнение (2) может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение для которого существование единственного решения с непрерывными траекториями легко может быть доказано применением стандартных методов исследования стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех утверждениях диссертации среди условий, налагаемых на коэффициенты a(z, х, д) и b(z, х, д) уравнения (1), нет предположений дифференцируемое или условия Липшица по первому аргументу. В тех теоремах, где доказывается существование и единственность решений с непрерывными справа траекториями или непрерывных решений уравнения (1), условия на a(z,x,g) и h(z,x,g) по первому аргументу ограничиваются предположениями равномерной непрерывности функции a(z,x,g) и предположением гельдеровости b(z,x,g). Условия на a{z_:x,g) и b(z,x,g) по функциональному аргументу д в теоремах существования и единственности решений уравнения (1) включают условие линейной ограниченности и локальное условие Липшица. В диссертации доказаны теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости (1) при таких условиях на коэффициенты, которые потребовали применения как известных общих методов исследования стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, так и создания и использования новых результатов о свойствах стохастических интегралов, в которых подынтегральные функции и интеграторы зависят от пределов интегрирования.

Основными целями диссертации являются: 1) доказательство измеримости по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупараметрическому

мартингалу; 2) построение стохастических интегралов, управляемых мартин-гальными ядрами; 3) доказательство неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов и полей, управляемых мартингальными ядрами; 4) поиск условий существования, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических уравнений Вольтерра вида (1) с локально интегрируемыми траекториями; доказательство непрерывности справа траекторий решения уравнения (1) при дополнительных предположениях равномерной непрерывности функции a(z, х, д) и гельдеровости b(z, х, д) по первому аргументу; 5) поиск условий существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметриче-ским винеровским процессом.

Методы доказательств утверждений, представленных в данной работе, опираются на применение: общих методов стохастического анализа; аппарата теории многопараметрических мартингалов и, в частности, результатов А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры [9], [ 10], [ 11 ] о существовании и свойствах квад-ратической вариации сильного мартингала; неулучшаемых достаточных условий И. А. Ибрагимова [12] существования непрерывных модификаций случайных процессов; общих идей построения измеримых по параметру модификаций однопараметрических семимартингалов и стохастических интегралов, содержащихся в работах К. Долеан [28] и К. Стрикера и М. Иора [46]; общих методов доказательств существования и единственности решений однопараметрических стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегральных уравнений Вольтерра, содержащихся в работах [4], [6], [5] и [41].

Методы исследования стохастических уравнений Вольтерра на плоскости в диссертации основаны на применении неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых несколь-

кими типами стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам. Эти неравенства получены автором и опубликованы в работе [21]. Их доказательства приведены в 2.2 главы 2.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. измеримость по параметру квадратической вариации сильного двупара-метрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупара-метрическому мартингалу;

2. построение стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых стохастическими интегралами по сильным мартингальным ядрам;

3. теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями и с непрерывными справа траекториями, теорема о непрерывной зависимости от параметра решения стохастического уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями;

4. теоремы существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Работа имеет теоретический характер. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, за исключением формулировок нескольких утверждений, цитируемых с приведением источников. Ее результаты могут быть применены для дальнейшего развития теории стохастических интегро-дифференциальных уравнений и для построения математических моделей в некоторых областях приложений теории стохастических интегральных уравнений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения, списка литературы, насчитывающего 49 библиографических источников, и указателя символов. Анонсируем содержание диссертации по главам.

Содержание главы 1. 1.1 содержит определения используемых в дальнейшем объектов и вспомогательные результаты, среди которых — лемма 1.2 и теорема 1.1 о свойствах сильных квадратично интегрируемых мартингалов и их взаимных квадратических вариаций.

1.2 и 1.3 посвящены проблемам существования измеримых по параметру модификаций взаимных квадратических вариаций сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по двупарамет-рическим сильным мартингалам. Измеримость по параметру однопараметри-ческих случайных процессов исследовалась многими авторами. Например, в работах [28] и [46] содержится ряд результатов о существовании измеримых по параметру модификаций случайных процессов, квадратических вариаций семимартингалов и управляемых ими стохастических интегралов. В двупа-раметрическом случае решение вопроса об измеримости по параметру имеет свои существенные особенности, не позволяющие воспользоваться известными результатами для однопараметрического случая.

Результатами 1.2 являются теоремы 1.2 и 1.3. Теорема 1.2 содержит утверждение о существовании измеримой по параметру модификации предела последовательности случайных полей, зависящих от параметра и с траекториями в Ш^е. В теореме 1.3 доказано существование измеримой по параметру модификации взаимной квадратической вариации сильных квадратично интегрируемых мартингалов.

В 1.3 основными результатами являются: теорема 1.5, содержащая доказательство плотности пространства измеримых по параметру ступенчатых

случайных полей в пространстве измеримо зависящих от параметра предсказуемых случайных полей, и теорема 1.6 об измеримости по параметру стохастического интеграла, управляемого двупараметрическим сильным мартингалом. Теоремы 1.3 и 1.6 применяются для построения стохастических интегралов по мартингальным ядрам и исследования стохастических интегральных уравнений в главах 2 и 3. В 1.3 также входят леммы 1.4, 1.5 и 1.6, содержащие утверждения об измеримости по параметру некоторых типов случайных полей, применяемые в доказательстве теоремы 1.5.

Содержание главы 2. Пусть (1, ^",F = (^-, z Є R+), Р) — вероятностное пространство с фильтрацией, удовлетворяющее «обычным» условиям; 3? — ег-алгебра F-предсказуемых подмножеств пространства R+ х Q; -^Sd — пространство ^-мерных двупараметрических сильных квадратично интегрируемых мартингалов.

Определив класс подмножеств R+ х R\ х О, следующим образом: _к=- {СІСС R^x R²₊xQ, Cn(R+ х [0,z] х fi) є ^(R+) ^_г «^ V-Л, исследуем свойства стохастического интеграла

rj(z) = / P{z,x) n{z,dx), z Є R+, (3)

где /і є W₂\Se{R^d), fi(z, ) є Jl_d, p — m{R\) ^|^^^х<*)-измеримая функция, E J \fi{z, u)\²Jl(z, du) < oo, Jl(z, u) = tr(/i(z, ))„ — след матричной квад-

ратической вариации мартингала /i(z, ).

В 2.1 даны определения несколько типов стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и их квадратическим вариациям, опирающиеся на теоремы 2.1 и 2.2. Эти теоремы содержат построения некоторых преобразований сильных мартингальных интегрирующих ядер и их квадратических вариаций. В теореме 2.2 доказано, что результаты таких преобразований являются сильными мартингальными интегрирующими ядрами.

В 2.2 стохастический интеграл (3) представлен в виде суммы случайных полей

0(z)= J 0(x,x)ii(x,dx), (4)

]0,z]

(^z) ⁼ / P{z,x)[i(z,dx) + / (3{x, х)/л(х, dx) —

]0,z] }0,z]

- / P((z_l,x₂),x)jn((z₁,x₂),dx) - / p((xi,z₂),x)fi({x₁,z₂),dx), (5)

]0,z] ]0,z]

Ci{z) = / P((zi,x₂),x)fj,({zi,x₂),dx)- / p(x,x)/j,(x,dx), (6)

}0,z] }0,z]

Ci{z) = / /^((^1,^2),2:)^((^1,^2),^)- I j3(x,x)iJ.(x,dx), (7)

]0,2] ]0,2]

с использованием стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам, определенных в 2.1. Теорема 2.4 содержит утверждения о существовании непрерывных модификаций и модификаций с траекториями вВ'и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности интеграла (3) и полей (4) — (7). 2.3 содержит теорему 2.5 о свойствах траекторий интеграла по интегрирующему ядру ограниченной вариации. Теоремы 2.4 и 2.5 применяются в главе 3 для доказательства теорем о существовании и единственности решений стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости.

Содержание главы 3. Результатами главы 3 являются теоремы существования и единственности решений уравнения Вольтерра на плоскости.

В 3.1 рассматривается стохастическое интегральное уравнение

(*) = ф) + / a(z, х, Є)Ф, dx) + I b(z, x, ^x)fi(z, dx), z є R²₊, (8)

[0,z] [0,z]

коэффициенты которого удовлетворяют определенным условиям измеримости и являются функционалами от решения, и где для д є Jf(R+)\3(R^f) и

seR| функция g^x определяется равенством д^х(у) = д(у)Цо_х\-

В теоремах 3.1 и 3.2 доказано существование и единственность в смысле модификации решения уравнения (8) с локально интегрируемыми траекториями. В теореме 3.3 приведены условия существования и единственности в смысле неотличимости решения уравнения (8) с траекториями в Ш^е.

3.2 посвящен доказательству предельной теоремы 3.4 для уравнений Вольтерра на плоскости вида (8).

В 3.3 рассматривается стохастическое интегральное уравнение Вольтерра управляемое m-мерным двупараметрическим винеровским полем, вида

(*) = ф) + J a{z, х, )dx + J h{z, x_: OdW{x), z Є 1. (9)

[0,z] [0,z]

для которого в теоремах 3.7 и 3.8 доказано существование и единственность решения с непрерывными траекториями.

Автор выступала с докладами на следующих конференциях, где излагались результаты, относящиеся к диссертации:

5. International Conference on Stochastic and Global Analysis. Конференция проводилась в январе 1997 г. в Воронеже, в Воронежском госу-дарственном университете. Название доклада: Some properties of stochastic integrals on the plane [31 ].

6. VII Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Методам. Конференция проводилась в октябре 2000 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: Стохастические интегральные уравнения на плоскости [13].

7. XXIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Конференция проводилась в апреле 2001 г. в Москве, в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Название доклада: Непрерывные модификации и неравен-

ства для стохастических интегралов типа Вольтерра на плоскости [15].

4. VIII Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Методам. Конференция проводилась в декабре 2001 г. в Йошкар-Оле, в Марийском государственном университете. Название доклада: Теоремы существования решений и предельные теоремы для двупараметрических стохастических уравнений Вольтерра [14].

5. Международная конференция: Колмогоров и современная математика. Конференция проводилась в июне 2003 г. в Москве, в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Название доклада: Existence theorems and limit theorems for stochastic Volterra equations on the plane [35].

6. X Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Методам. Конференция проводилась в октябре 2003 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: О сходимости дискретных аппроксимаций стохастических уравнений Вольтерра на плоскости [17].

7. Functional Methods In Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II. Конференция проводилась в октябре 2004 г. в Киеве, в Киевском национальном университете имени Тараса Шевченко. Название доклада: Inequalities for moments of right continuous modifications of integrals with respect to strong martingale kernels [38].

8. XI Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Методам. Конференция проводилась в октябре 2004 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: Об условиях существования непрерывных справа модификаций стохастических интегралов на плоскости [19].

9. XII Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Memo-

дам. Конференция проводилась в октябре 2005 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: Уравнения Вольтерра на плоскости со стохастическими интегралами по сильным мартингалам [22].

10) Twelfth General Meeting "European Women in Mathematics". Кон
ференция проводилась в сентябре 2005 г. в Волгограде, в Волгоградском госу
дарственном университете. Название доклада: Volterra equations on the plane
driven by strong martingale kernels [39].

11) International Conference Modern Stochastic: Theory and
Application. Конференция проводилась в июне 2006 г. в Киеве в Ки
евском национальном университете имени Тараса Шевченко. Название
доклада: Volterra equations driven by strong martingale kernels [40].

12) XV Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Ме
тодам. Конференция проводилась в октябре 2008 г. в Волгограде, в Волго
градском государственном университете. Название доклада: Измеримость по
параметру двупараметрического стохастического интеграла по сильному мар
тингалу [24].

Непосредственно к теме диссертации относятся статьи с [ 13] по [24] и с [31 ] по [40].

Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов, теорией стохастических дифференциальных уравнений, управляемых однопараметрически-ми и двупараметрическими мартингалами, и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на R+ активно развивается последние 30 лет. Например, в работе [5] М. Л. Клепцы-ной и А. Ю. Веретенникова получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду, Ф. Проттера [47] получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий [41] и [42] приведены теоремы существования и единственности сильных решений и существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семи-мартингалов и криволинейные стохастические интегралы.

Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша [49], И. И. Гихмана [7], М. Доззи [29] даны определения и приведены результаты исследования двупараметрическои винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе [9] А. А. Гущин исследовал различные типы разложений двупараметри-ческих субмартингалов, доказал теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работах [10] и [11] А. А. Гущин и Ю. С. Мишура доказали существование и исследовали свойства квадратической вариации дву 4 параметрического сильного мартингала. В работе [3] В. М. Бородихина исследована двупараметрическая проблема мартингалов. Значительное количество работ посвящено теории стохастических дифференциальных уравнений на плоскости, среди которых, наиболее значительными являются работы Ю. С. Мишуры [26] и [27], работы Ж- Ли [43], Я. Тюро [48] и Н. Ланжризади и Д. Нуаларта [44].

В настоящее время развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости представляется актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью приложений теории многопараметрических мартингалов и многопараметрических стохастических интегральных уравнений к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях естествознания. Например, в работе [45] М. Санз-Соле и К. Ровира доказали принцип больших уклонений для семейств решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости. Авторы исследуют стохастическое уравнение

Во всех утверждениях диссертации среди условий, налагаемых на коэффициенты a(z, х, д) и b(z, х, д) уравнения (1), нет предположений дифференцируемое или условия Липшица по первому аргументу. В тех теоремах, где доказывается существование и единственность решений с непрерывными справа траекториями или непрерывных решений уравнения (1), условия на a(z,x,g) и h(z,x,g) по первому аргументу ограничиваются предположениями равномерной непрерывности функции a(z,x,g) и предположением гельдеровости b(z,x,g). Условия на a{z:x,g) и b(z,x,g) по функциональному аргументу д в теоремах существования и единственности решений уравнения (1) включают условие линейной ограниченности и локальное условие Липшица. В диссертации доказаны теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости (1) при таких условиях на коэффициенты, которые потребовали применения как известных общих методов исследования стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, так и создания и использования новых результатов о свойствах стохастических интегралов, в которых подынтегральные функции и интеграторы зависят от пределов интегрирования.

Основными целями диссертации являются: 1) доказательство измеримости по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупараметрическому мартингалу; 2) построение стохастических интегралов, управляемых мартин-гальными ядрами; 3) доказательство неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов и полей, управляемых мартингальными ядрами; 4) поиск условий существования, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических уравнений Вольтерра вида (1) с локально интегрируемыми траекториями; доказательство непрерывности справа траекторий решения уравнения (1) при дополнительных предположениях равномерной непрерывности функции a(z, х, д) и гельдеровости b(z, х, д) по первому аргументу; 5) поиск условий существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметриче-ским винеровским процессом.

Методы доказательств утверждений, представленных в данной работе, опираются на применение: общих методов стохастического анализа; аппарата теории многопараметрических мартингалов и, в частности, результатов А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры [9], [ 10], [ 11 ] о существовании и свойствах квад-ратической вариации сильного мартингала; неулучшаемых достаточных условий И. А. Ибрагимова [12] существования непрерывных модификаций случайных процессов; общих идей построения измеримых по параметру модификаций однопараметрических семимартингалов и стохастических интегралов, содержащихся в работах К. Долеан [28] и К. Стрикера и М. Иора [46]; общих методов доказательств существования и единственности решений однопараметрических стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегральных уравнений Вольтерра, содержащихся в работах [4], [6], [5] и [41].

Измеримость по параметру стохастических интегралов по сильным мартингалам

Методы исследования стохастических уравнений Вольтерра на плоскости в диссертации основаны на применении неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых несколькими типами стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам. Эти неравенства получены автором и опубликованы в работе [21]. Их доказательства приведены в 2.2 главы 2. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем: 1) измеримость по параметру квадратической вариации сильного двупара-метрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупара-метрическому мартингалу; 2) построение стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых стохастическими интегралами по сильным мартингальным ядрам; 3) теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями и с непрерывными справа траекториями, теорема о непрерывной зависимости от параметра решения стохастического уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями; 4) теоремы существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Работа имеет теоретический характер. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, за исключением формулировок нескольких утверждений, цитируемых с приведением источников. Ее результаты могут быть применены для дальнейшего развития теории стохастических интегро-дифференциальных уравнений и для построения математических моделей в некоторых областях приложений теории стохастических интегральных уравнений. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения, списка литературы, насчитывающего 49 библиографических источников, и указателя символов. Анонсируем содержание диссертации по главам. Содержание главы 1. 1.1 содержит определения используемых в дальнейшем объектов и вспомогательные результаты, среди которых — лемма 1.2 и теорема 1.1 о свойствах сильных квадратично интегрируемых мартингалов и их взаимных квадратических вариаций. 1.2 и 1.3 посвящены проблемам существования измеримых по параметру модификаций взаимных квадратических вариаций сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по двупарамет-рическим сильным мартингалам. Измеримость по параметру однопараметри-ческих случайных процессов исследовалась многими авторами. Например, в работах [28] и [46] содержится ряд результатов о существовании измеримых по параметру модификаций случайных процессов, квадратических вариаций семимартингалов и управляемых ими стохастических интегралов. В двупа-раметрическом случае решение вопроса об измеримости по параметру имеет свои существенные особенности, не позволяющие воспользоваться известными результатами для однопараметрического случая. Результатами 1.2 являются теоремы 1.2 и 1.3. Теорема 1.2 содержит утверждение о существовании измеримой по параметру модификации предела последовательности случайных полей, зависящих от параметра и с траекториями в Ше. В теореме 1.3 доказано существование измеримой по параметру модификации взаимной квадратической вариации сильных квадратично интегрируемых мартингалов. В 1.3 основными результатами являются: теорема 1.5, содержащая доказательство плотности пространства измеримых по параметру ступенчатых случайных полей в пространстве измеримо зависящих от параметра предсказуемых случайных полей, и теорема 1.6 об измеримости по параметру стохастического интеграла, управляемого двупараметрическим сильным мартингалом. Теоремы 1.3 и 1.6 применяются для построения стохастических интегралов по мартингальным ядрам и исследования стохастических интегральных уравнений в главах 2 и 3. В 1.3 также входят леммы 1.4, 1.5 и 1.6, содержащие утверждения об измеримости по параметру некоторых типов случайных полей, применяемые в доказательстве теоремы 1.5.

Неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов

Содержание главы 2. Пусть (1, ",F = ( -, z Є R+), Р) — вероятностное пространство с фильтрацией, удовлетворяющее «обычным» условиям; 3? — ег-алгебра F-предсказуемых подмножеств пространства R+ х Q; - Sd — пространство -мерных двупараметрических сильных квадратично интегрируемых мартингалов. Эти теоремы содержат построения некоторых преобразований сильных мартингальных интегрирующих ядер и их квадратических вариаций. В теореме 2.2 доказано, что результаты таких преобразований являются сильными мартингальными интегрирующими ядрами. В 2.2 стохастический интеграл (3) представлен в виде суммы случайных полей 0(z)= J 0(x,x)ii(x,dx), (4) ]0,z] (z) = / P{z,x)[i(z,dx) + / (3{x, х)/л(х, dx) — ]0,z] }0,z] - / P((zl,x2),x)jn((z1,x2),dx) - / p((xi,z2),x)fi({x1,z2),dx), (5) ]0,z] ]0,z] Ci{z) = / P((zi,x2),x)fj,({zi,x2),dx)- / p(x,x)/j,(x,dx), (6) }0,z] }0,z] Ci{z) = / / (( 1, 2),2:) (( 1, 2), )- I j3(x,x)iJ.(x,dx), (7) ]0,2] ]0,2] с использованием стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам, определенных в 2.1. Теорема 2.4 содержит утверждения о существовании непрерывных модификаций и модификаций с траекториями вВ и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности интеграла (3) и полей (4) — (7). 2.3 содержит теорему 2.5 о свойствах траекторий интеграла по интегрирующему ядру ограниченной вариации. Теоремы 2.4 и 2.5 применяются в главе 3 для доказательства теорем о существовании и единственности решений стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости.

Содержание главы 3. Результатами главы 3 являются теоремы существования и единственности решений уравнения Вольтерра на плоскости. В 3.1 рассматривается стохастическое интегральное уравнение ( ) = ф) + / a(z, х, Є)Ф, dx) + I b(z, x, x)fi(z, dx), z є R2+, (8) [0,z] [0,z] коэффициенты которого удовлетворяют определенным условиям измеримости и являются функционалами от решения, и где для д є Jf(R+)\3(Rf) и seR функция gx определяется равенством дх(у) = д(у)Цох\ В теоремах 3.1 и 3.2 доказано существование и единственность в смысле модификации решения уравнения (8) с локально интегрируемыми траекториями. В теореме 3.3 приведены условия существования и единственности в смысле неотличимости решения уравнения (8) с траекториями в Ше.

Автор выступала с докладами на следующих конференциях, где излагались результаты, относящиеся к диссертации: 1) International Conference on Stochastic and Global Analysis. Конференция проводилась в январе 1997 г. в Воронеже, в Воронежском госу-дарственном университете. Название доклада: Some properties of stochastic integrals on the plane [31 ]. 2) VII Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Методам. Конференция проводилась в октябре 2000 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: Стохастические интегральные уравнения на плоскости [13]. 3) XXIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Конференция проводилась в апреле 2001 г. в Москве, в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Название доклада: Непрерывные модификации и неравен ства для стохастических интегралов типа Вольтерра на плоскости [15]. 4) VIII Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Методам. Конференция проводилась в декабре 2001 г. в Йошкар-Оле, в Марийском государственном университете. Название доклада: Теоремы существования решений и предельные теоремы для двупараметрических стохастических уравнений Вольтерра [14]. 5) Международная конференция: Колмогоров и современная математика. Конференция проводилась в июне 2003 г. в Москве, в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. Название доклада: Existence theorems and limit theorems for stochastic Volterra equations on the plane [35]. 6) X Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Методам. Конференция проводилась в октябре 2003 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: О сходимости дискретных аппроксимаций стохастических уравнений Вольтерра на плоскости [17]. 7) Functional Methods In Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II. Конференция проводилась в октябре 2004 г. в Киеве, в Киевском национальном университете имени Тараса Шевченко. Название доклада: Inequalities for moments of right continuous modifications of integrals with respect to martingale kernels [38]. 8) XI Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Методам. Конференция проводилась в октябре 2004 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: Об условиях существования непрерывных справа модификаций стохастических интегралов на плоскости [19]. 9) XII Всероссийская Школа-Коллоквиум по Стохастическим Memo 13 дам. Конференция проводилась в октябре 2005 г. в Сочи, в Институте информационных технологий и математики СГУТиКД. Название доклада: Уравнения Вольтерра на плоскости со стохастическими интегралами по сильным мартингалам [22]. 10) Twelfth General Meeting "European Women in Mathematics". Кон ференция проводилась в сентябре 2005 г. в Волгограде, в Волгоградском госу дарственном университете. Название доклада: Volterra equations on the plane driven by martingale kernels [39]. 11) International Conference Modern Stochastic: Theory and Application. Конференция проводилась в июне 2006 г. в Киеве в Ки евском национальном университете имени Тараса Шевченко. Название доклада: Volterra equations driven by strong martingale kernels [40]. 12) XV Всероссийская Школа-Коллоквиум no Стохастическим Ме тодам. Конференция проводилась в октябре 2008 г. в Волгограде, в Волго градском государственном университете. Название доклада: Измеримость по параметру двупараметрического стохастического интеграла по сильному мар тингалу [24]. Непосредственно к теме диссертации относятся статьи с [ 13] по [24] и с [31 ] по [40].

Предельная теорема для уравнений Вольтерра на плоскости

Исследование случайных полей rj, її, , и 2, определенных равенствами (2.1) — (2.5), и доказательства неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности этих полей будут основаны, главным образом, на применении вспомогательной леммы 2.2.

Доказательство леммы 2.2 получено путем применения известных результатов о неулучшаемых достаточных условиях существования непрерывных модификаций случайных процессов и полей, содержащихся в работах [1] и [12], и методов их доказательств. Лемма 2.2, по сути, является следствием следующей теоремы 2.3, содержащейся в работе [12], в смысле применяемых построений и рассуждений.

В данной работе исследованы стохастические уравнения Вольтерра на плоскости, содержащие интегралы по случайному интегрирующему ядру локально ограниченной вариации и сильному мартингальному интегрирующему ядру. Доказаны теоремы существования и единственности решений с локально интегрируемыми траекториями, с траекториями в пространстве ЕУ И с непрерывными траекториями. Кроме того, доказана теорема о непрерывной зависимости от параметра решения уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями.

Доказательства теорем существования и единственности решений с траекториями в пространстве Рис непрерывными траекториями опираются на применение доказанных в главе 2 данной работы результатов о существовании непрерывных модификаций и модификаций с траекториями в 3е стохастических интегралов по сильным мартингальным интегрирующим ядрам и неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности таких интегралов. Эти результаты имеют самостоятельное значение и могут быть применены для доказательства теорем о существовании слабых решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости, для доказательств предельных теорем и теорем о сходимости дискретных аппроксимаций для таких уравнений.

Результатам глав 2 и 3 данной работы предшествуют доказанные в главе 1 теоремы об измеримости по параметру взаимных квадратических вариаций двупараметрических сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по таким мартингалам. Эти результаты об измеримости по параметру имеют важное значение для строгого обоснования всех тех построений, которые осуществляются в главах 2 и 3 данной работы.

Результаты данной работы могут быть применены в исследованиях по другим направлениям развития стохастического анализа, среди которых можно выделить, например, такие: построение оптимальных и є -оптимальных управлений стохастическими системами, описываемыми многопараметрическими стохастическими интегральными уравнениями; исследование устойчивости и больших уклонений для стохастических интегральных уравнений на плоскости. Практическая значимость диссертации заключается в возможности применения ее результатов для построения и исследования математических моделей в некоторых областях естествознания.