Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Квазиинвариантность пуассоновских мер относительно трансформаций пространства 10
1.1. Постановка задачи 10
1.2. Теорема об абсолютной непрерывности пуассоновских мер . 12
1.3. Критерий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно "линейных" трансформаций прострнства 23
ГЛАВА 2. Малые уклонения пуассоновского процесса 32
2.1. Метод Комлоша-Майора-Тушнади 35
2.2. Новый метод 41
2.2.1. Случай функций ограниченной вариации производной . 42
2.2.2. Обобщение на случай функций с правильно меняющейся производной 56
2.3. Сравнение методов 72
ГЛАВА 3. Аналог закона Штрассеиа для пуассоновского процесса и для хвостовых эмпирических процессов 77
3.1. Случай функций ограниченной вариации производной 79
3.2, Случай степенных функций бесконечной вариации производной 95
ГЛАВА 4. Малые уклонения процессов с независимыми приращениями общего вида 98
4.1. Вероятности малых шаров для скачкообразных процессов с независимыми стационарными приращениями 98
Приложение 106
- Теорема об абсолютной непрерывности пуассоновских мер
- Случай функций ограниченной вариации производной
- Случай степенных функций бесконечной вариации производной
- Вероятности малых шаров для скачкообразных процессов с независимыми стационарными приращениями
Введение к работе
Процессы с независимыми приращениями (ПСНП) являются одними из основных объектов теории вероятностей. Изучая трансформации луас-соновских мер, которые, как хорошо известно, характеризуют структуру скачков ПСНП, мы имеем эффективное средство для исследования свойств этих процессов.
Возможность преобразовывать ПСНП дает формула Скорохода для взаимной плотности их распределений. Существует также аналог формулы Скорохода для взаимной плотности распределений пуассоновских мер. Этот полезный инструмент используется нами в двух классах задач. Во-первых, мы исследуем квазииивариантность пуассоновских мер относительно одной группы "линейных" трансформаций пространства, возникающей в теории представлений (см. работы А.М.Вершика, М.Йора, Н.В.Цилевич [31], [32]). Во-вторых, изучаем поведение вероятностей малых уклонений пуассоновского процесса высокой интенсивности.
Малые уклонения — новая и активно развивающаяся область современной теории вероятностей. Она берет свое начало в классических работах А.А. Могульского [44], К.Л.Чжуна [8], Г.Н. Сытой. Однако, как отдельное и важное направление теория малых уклонений сформировалось за последние 10 лет. В настоящее время обнаруживаются интересные взаимосвязи с другими областями науки такими как функциональный анализ и математическая физика, за счет чего возникают новые методы исследований. С другой стороны, развитие этого направления стимулируется все более многочисленными приложениями, например, в теории кодирования и теории аппроксимации функций. Известно также, что малые уклонения используются для доказательства функциональных законов повторного логарифма (Штрассена, Чжуна, Вичуры); они напрямую связаны с энтропией ком-
пактных операторов на банаховых пространствах; благодаря тауберовой теореме, с их помощью оценивают преобразование Лапласа норм стохастических процессов.
Современная теория малых уклонений в основном содержит результаты о гауссовских процессах (см. [24]). Причем методы, которые работают в гауссовском случае, неприменимы для других интересных разновидностей процессов, таких, например, как пуассоновский процесс, эмпирические процессы, процессы с независимыми приращениями общего вида.
Основная часть диссертационной работы посвящена исследованию вероятностей нецентральных малых уклонений для пуассоновского процесса высокой интенсивности, сложного процесса Пуассона и для эмпирических процессов. С этой тематикой тесно связана задача о функциональном законе Штрассена, поскольку оценки для вероятностей смещенных малых шаров играют ключевую роль при нахождении скоростей сходимости в этом законе. В данной работе сформулированы аналоги функционального закона Штрассена для пуассоновского процесса высокой интенсивности и для хвостового эмпирического процесса и найдены соответствующие скорости сходимости.
Отдельное внимание в диссертации уделено изучению условий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно "линейных" растяжений пространства. Решение этой вполне конкретной задачи находит свое применение в теории представлений.
Как уже отмечалось, все методы, использованные в работе, так или иначе основаны на формуле Скорохода или ее аналоге для пуассоновских мер. В частности, критерий квазиинвариантности получается непосредственным применением теоремы о необходимых и достаточных условиях абсолютной непрерывности распределений пуассоновских мер [19]. Возникающее при этом интегральное условие на спектральные меры (конеч-
иоетъ расстояния Хеллингера-Какутани между спектральными плотностями) удается свести к удобному для проверки виду (простое интегральное условие на преобразование Фурье спектральной плотности).
К задаче оценивания вероятностей попадания пуассоновского процесса в смещенные малые шары существует несколько подходов.
Первый из них стандартен: воспользоваться сильным принципом инвариантности Комлоша-Майора,-Тушнади, а именно тем, что изучаемый нами центрированный нормированный пуассоновский процесс высокой интенсивности близок к викеровскому процессу, вероятности малых уклонений которого хорошо изучены. Однако, получаемые таким образом результаты не полностью описывают картину происходящего, поскольку при медленно растущей интенсивности сильный принцип инвариантности не выполнен.
Второй способ основан непосредственно на свойства.х пуассоновского процесса, и позволяет полностью проанализировать ситуацию. Он основан на простой идее: свести задачу для смещенных шаров к задаче для центральных шаров, после этого воспользоваться результатом А.А.Могульского [44] о вероятностях центральных малых уклонений для пуассоновского процесса. Чтобы это стало возможным, нужно перейти к процессам, центрированным таким образом, чтобы искомая вероятность оказалась вероятностью попадания в несмещенный шар. В винеровском случае для этой цели использовалась формула Камерон а-Мартина для взаимной плотности смещенной и обычной винеровских мер. В нашем случае для перехода к центрированным шарам применяется формула Скорохода для взаимной плотности распределений пуассоновских процессов с различной интенсивностью.
Идея этого метода возникла из исследования доказательства формулы Грилла [17] для смещенных малых шаров ви перовского процесса, а также из анализа работы П.Деовельса и М.А.Лифшица [39], где для пуассонов-
ского процесса были получены оценки вероятности смещенных малых шаров при наиболее простом соотношении между радиусом шара и скоростью удаления центра.
Диссертационная работа построена следующим образом.
В первой главе сформулирована и решена задача о квази инвариантности пуассоновских мер относительно трансформаций пространства.
В этой задаче пуассоновские меры определены на продакт-пространстве положительной вещественной полуоси и произвольного абстрактного пространства. На этом же пространстве рассматривается группа "линейных" растяжений по вещественной компоненте. Задача заключается в том, чтобы найти необходимые и достаточные условия квазиинвариантности пуассоновских мер относительно элементов этой группы. Решение найдено в терминах спектральных плотностей пуассоновских мер. Условие на спектральные плотности квазиинвариантных пуассоновских мер имеет вид простого интегрального условия на их преобразование Фурье (см, теорему 4). В разделе 1.3 приведены простые и наглядные примеры квазиинвариантньтх мер, сингулярных относительно гамма-меры, квазиинвариантность которой известна из работ [31], [32].
Как уже отмечалось, доказательство критерия квазиинвариантности основано на теореме о необходимых и достаточных условиях абсолютной непрерывности распределений двух пуассоновских мер. Эта теорема в виду ее важности для поставленной задачи приводится и доказывается в разделе 1.2. Результаты, представленные в первой главе, опубликованы в [41], [42].
Начиная со второй главы, в работе исследуются меры малых шаров относительно распределений ПСНП.
Во второй главе изучается поведение вероятностей попадания центрированного нормировалкого пуассоновского процесса высокой интенсивности в нецентральные малые шары относителы-ю равномерной нормы в про~
стракстве ограниченных функций. Это сделано двумя способами: стандартным методом Комлоша-Майера-Тушнади (КМТ) и новым методом, основанным на трансформациях пуассоновских процессов.
В разделе 2.1 вероятности смещенных малых шаров для пуассоновского процесса высокой интенсивности получены методом КМТ. Найденная при этом оценка совпадает с оценкой вероятности смещенных малых шаров для винеровского процесса, полученной К.Гриллом.
В разделе 2.2 вероятности малых шаров пуассоновского процесса исследуются с помощью формулы Скорохода. В отличии от КМТ этот метод изучает непосредственно пуассоновский процесс и дает более тонкие результаты. Получаемые при этом оценки отличаются от асимптотики Грилла. Они зависят от смещения шара, попадание в который траектории процесса мы исследуем.
В подразделе 2.2.1 оценки найдены при функциях смещения, имеющих ограниченную вариацию производной- Асимптотика, полученная в этом подразделе, применима в гораздо более широкой области параметров, нежели область действия КМТ. Результаты этого раздела опубликованы в [49].
В подразделе 2.2.2 оценки вероятностей малых шаров пуассоновского процесса получены для монотонных функций смещения правильно меняющихся в нуле, имеющих неограниченную вариацию производной.
Результаты методов КМТ и метода,, использующего формулу Скорохода, сравниваются в разделе 2.4. В этом разделе показано, что второй метод дает асимптотику при более слабых условиях на параметры и что, благодаря этому, обнаруживается зона параметров, при которых асимптотика вероятностей малых шаров пуассоновского процесса отлична от винеров-ской. Соотношение результатов для винеровского и пуассоновского процессов становится ясным из рисунка 1.
-1 1/3 1 Z
Рис. 1. Обозначения: z - параметр малости радиуса шара, р - параметр роста, интенсивности.
На рисунке горизонтальная ось соответствует радиусу шара: чем правее мы находимся, тем меньший радиус рассматривается в вьсражении для вероятности малых уклонений. Вертикальная ось соответствует интенсивности пуассоновского процесса. Зона высокой интенсивности находится сверху, и там пуассоновский процесс особенно похож на винеровский, настолько, мто работает метод КМТ, и аппроксимация вероятностей малых шаров любого радиуса совпадает с винеровской. Однако ниже некоторой границы дают о себе знать особенности пуассоновского процесса. Зона особой, типично пуассоновской, аппроксимации выделена на рисунке "штрихом". Еще ниже скачки пуассоновского процесса становятся больше радиуса, шара, и вопрос о какой-либо асимптотике отпад а,ет сам собой, поскольку искомая вероятность обращается в нуль.
В главе 3 исследуются скорости сходимости в аналоге закона Штрассена для пуассоновского процесса, и для хвостовых эмпирических процессов.
В разделе 3.1 рассмотрен случай функций с ограниченной вариацией производной. При этом используются результаты раздела 2.2.1.
В разделе 3.2 рассмотрен случай степенных функций бесконечной вариацией производной, используются результаты раздела 2.2.2.
В главе 4 результаты о смещенных малых шарах обобщаются на случай достаточно произвольных ПСНП- Доказательство таюке проводится с использованием формулы Скорохода.
В приложениях приведены необходимые сведения о законе Штрассена для вииеровского процесса и принципах инвариантности (слабом и сильном).
Теорема об абсолютной непрерывности пуассоновских мер
Результат, приводимый в этом разделе, не является новым. Вопрос об абсолютной непрерывности процессов с независимыми приращениями впервые исследовался Скороходом [46]. Впоследствии более удобные условия абсолютной непрерывности для различных классов процессов были найдены в [26], [27], [28] и [40]. Для пуассоиовских мер аналогичный результат есть в книге [19]. В виду важности этого результата для дальнейшего изложения мы приводим его здесь полностью вместе с доказательством. Теорема 3 Пусть по. произвольном измеримом пространстве (X, &) заданы две пуассоновские меры, pi и /І2 СО спектральными мерами ті и т.і соответственно. Будем, считать, что меры, т и тщ. неатом,ические, и чт,о т — м,еро,, доминирующая ті и ті. т.е. dn%\{x) = /і(х)dm(х) и drri2(x) = j 2{x)dm(x). Обозпа,чим, законы распределения мер р,\ и р2 в пространстве целочисленных мер на X через V\ и 7 соответственно. Для того, чтобы "Р2 была абсолютно непрерывна относительно V\, необходимо и достаточно одновременное выполнение двух условий: При этом, формула для взаимной плотности имеет, вид Лемма 1 Пусть на произвольном измеримом, пространстве ( ,) заданы две пуассоновские меры (М\ и \i i с конечными неатомическими спектральными м-рами гп\ и ГП2 соответственно и законами распределений V\ uVi. В этом случае и имеет, место следующая формула для плот.пости з ?е ть ... ТА точки пространства X, где располоо/сены нагрузки меры г\. Доказательство леммы 1 Нужно доказать лишь достаточность условия гп2 mi, т.к. необходимость очевидна.
Пусть Л4 — множество всех целочисленных мер на X. Обозначим через Aik множество мер из Л4 с к единичными нагрузками, а через Xk множество {т = (ті, Т2,... Tfc) Є Хк : ТІ Tj при і ф соответственно, где тп\ — сужения на Xk мер гщ х т,;, і — 1,2. Следовательно, для к любого измеримого А С Л4ь можем вычислить где А — прообраз множества А при отображении тт . Тогда для любого измеримого А с М. получается Учитывая абсолютную непрерывность меры vni относительно mi, можем продолжить Из формул (4), (1.5) видно, что если V\{A) = О,3 то 7 ( 4) = 0, что и означает абсолютную непрерывность меры Vi относительно меры V\. Теперь будем вычислять плотность меры Vi относительно V\ - Из формулы (1.5) следует, что для любого А с Лік Рассмотрим отображение ф : Л4 — R, которое каждой мере ц є Л4 сопоставляет ф(т}) — exp / log/() drj(u). Пусть ( — его сужение на Лік Тогда фк о ттк(х) = f(xi) f{xk) для любого х = {хи... хк) є Хк, Далее, пользуясь формулой замены переменной и вспоминая, что Ті\мк есть образ е г ч т\ /к\, получаем Введем обозначение X = {х Є X ; f(x) Є [1 - 6,1 + є]}, где є 0, а д (0,1). Рассмотрим семейство подмножеств {Хі} 11 Хг С A +1. . . С Л" , Xі / X : mi (Л ) +оо, т2(Л 7 ) +оо. Из леммы 1 следует, что мера Т 2 на М\хг будет абсолютно непрерывна относительно меры V\ иа том же пространстве. А из формулы (1.3) получаем плотность меры Т г относительно V\ mo последователъпостъ (1-9) равномерно интегрируема. Доказательство леммы 2 Будем проверять достаточное условие равномерной интегрируемости Для того, чтобы оценить это выражение, нужно оценить математическое ожидание и дисперсию членов последователы-юсти и воспользовался формулой ЕІ2 = (ЕС)2 + DC Найдем математическое ожидание членов последовательности, пользу ясь свойствами интегралов по мерам с независимыми приращениями, є], можем утверждать, что справедливо следующее неравенство Теперь разберемся с дисперсиями членов последовательности Так же как и раньше воспользуемся тем, что при / Є [1 — 5, l+є] справедливо log / х (/ — 1) х (\/J — l), В итоге получим, что дисперсии равномерно ограничены при том же условии, что и ожидания. Из всего этого следует, что со и в то же время равномерная интегрируемость последовательности (1.9). Применяя теорему о сходимости субмартингалов (см. [48], стр. 498). можем утверждать, что с вероятностью 1 и что предел в правой части является плотностью V i наЛі Ід- относительно V\ на той же части пространства Лт, а значит j}. Определим сюръективное отображение 7Tk : Xk — Л4 } которое каждому вектору (ть. .. т ) Є Х сопоставляет меру с единичными нагрузками в точках ті,... Tfc. Известно, что сужения мер V\ и Т 2 на Лік совпадают с образами при отображении тік мер e m m[ /к\ и е іщ jk\ соответственно, где тп\ — сужения на Xk мер гщ х х т,;, і — 1,2. Следовательно, для к любого измеримого А С Л4ь можем вычислить где А — прообраз множества А при отображении тт . Тогда для любого измеримого А с М. получается Учитывая абсолютную непрерывность меры vni относительно mi, можем продолжить Из формул (4), (1.5) видно, что если V\{A) = О,3 то 7 ( 4) = 0, что и означает абсолютную непрерывность меры Vi относительно меры V\. Теперь будем вычислять плотность меры Vi относительно V\ - Из формулы (1.5) следует, что для любого А с Лік Рассмотрим отображение ф : Л4 — R, которое каждой мере ц є Л4 сопоставляет ф(т}) — exp / log/() drj(u). Пусть ( — его сужение на Лік Тогда фк о ттк(х) = f(xi) f{xk) для любого х = {хи... хк) є Хк, Далее, пользуясь формулой замены переменной и вспоминая, что Ті\мк есть образ е г ч т\ /к\, получаем Введем обозначение X = {х Є X ; f(x) Є [1 - 6,1 + є]}, где є 0, а д (0,1). Рассмотрим семейство подмножеств {Хі} 11 Хг С A +1. . . С Л" , Xі / X : mi (Л ) +оо, т2(Л 7 ) +оо. Из леммы 1 следует, что мера Т 2 на М\хг будет абсолютно непрерывна относительно меры V\ иа том же пространстве. А из формулы (1.3) получаем плотность меры Т г относительно V\ mo последователъпостъ (1-9) равномерно интегрируема. Доказательство леммы 2 Будем проверять достаточное условие равномерной интегрируемости Для того, чтобы оценить это выражение, нужно оценить математическое ожидание и дисперсию членов последователы-юсти и воспользовался формулой ЕІ2 = (ЕС)2 + DC Найдем математическое ожидание членов последовательности, пользу ясь свойствами интегралов по мерам с независимыми приращениями, є], можем утверждать, что справедливо следующее неравенство Теперь разберемся с дисперсиями членов последовательности Так же как и раньше воспользуемся тем, что при / Є [1 — 5, l+є] справедливо log / х (/ — 1) х (\/J — l), В итоге получим, что дисперсии равномерно ограничены при том же условии, что и ожидания. Из всего этого следует, что со и в то же время равномерная интегрируемость последовательности (1.9). Применяя теорему о сходимости субмартингалов (см. [48], стр. 498). можем утверждать, что с вероятностью 1 и что предел в правой части является плотностью V i наЛі Ід- относительно V\ на той же части пространства Лт, а значит и "Рг і там же
Случай функций ограниченной вариации производной
Получим сначала оценку вероятности P{Yp — А/ є т\]} с функцией смещения /, имеющей ограниченную вариацию производной. В этом нам поможет то. что свойства функций, минимизирующих энергию в соответствующем шаре, либо уже изучены, либо несложно доказываются. Для функций смещения, имеющих бесконечную вариацию производной, задача гораздо сложнее. Для достаточно широкого класса таких функций она решена в 2.2.2. A f мооїсліо оцепить следующим образом: Здесь 8 произвольное число из интервала, [0,1), а 0/ = fQ f (t) dt. Доказательство теоремы 9 Зафиксируем 6 из интервала [0,1). Обозначим через р = р(/, г,А,) функцию, энергия которой в шаре радиуса 5 г А-1 минимальна, т.е. Лемма 5 Пусть f Є ([0,1]) такая, -что существует версия производной f с ограниченной вариацией Var/ оо. Тогда в таре Bq — {ф Є о M QO) 1]) : Ф Є ?U + /}, q О существует функция ip(1 такая, что Доказательство леммы 5 см. в конце раздела. Продолжая доказательство теоремы, рассмотрим два шара { D[0,1] : г) \ р+(1+8)гЩ и {і) є D[0} і] : г\ Є A +(l- 5)rU}. Заметим, что первый содержит в себе интересующий нас шар {г? Є D[0y 1] : т? Є A /+rU}, а второй содержится в нем. Поэтому можем записать В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с вероятностями вида Р{Ур — \ р Є (1 — 8)rU}. Как уже отмечалось, этот переход позволит получить более точную оценку для вероятности малых шаров. Далее рассмотрим два пуассоновских процесса: Пй1 с постоянной интенсивностью ді и П,.і2 с переменной интенсивиостью fJa(t). Интенсивности здесь определяются выражениями Заметим, что для корректного определения процесса П№ необходимо, чтобы fj,2{t) 0 п.в. Это выполнено за счет неравенства справедливого при достаточно больших значениях дроби р/Х2. Здесь мы использовали условие 3) теоремы и утверждение (а) леммы 5. Введем обозначение где Id — тождественное преобразование отрезка [0,1]. Учитывая тождество П (-) = ply/2Y р(-) + pld, можем записать Теперь применим формулу Скорохода. В нашем случае она имеет вид После подстановки получаем Здесь П„; означает центрированный пуассоновский процесс, т.е. Формулой (2.15) мы добились того, что з выражении для вероятности малых шаров остаются лишь несмещенные шары. После оценки детерминированный сомножитель expfD } и стохастический сомножитель Е,р нам останется лишь применить формулу Могульского (2.7) для вероятности несмещенных шаров пуассоновского процесса. Чтобы оценить детерминированный сомножитель, запишем его в виде где Ф(-и) = (1 + u)log(l + и) — и. При и — 0 функция Ф может быть представлена в виде Это разложение справедливо и в нашем случае, поскольку Xp l 2tp (t) — 0 для п.в. t Є [0,1]- Здесь мы использовали утверждение (а) леммы 5. В результате имеем Перейдем к оценке стохастического множителя Еу.
Сначала оценим интеграл по центрированному пуассоновскому процессу. С помощью формулы интегрирования по частям получаем (вопрос существования р (1) обсуждается в пункте (с) леммы 5) Это неравенство позволяет нам оценить весь стохастический сомножитель следующим образом установить, что для любого q О Это выполнено за счет тождества по распределению Учитывая (2.19) и используя формулу Могульского (2.7). можем продолжить Заметим, что условие г2р - оов формуле Могульского является условием 2) нашей теоремы. Поскольку В итоге, объединив оценки (2.16), (2.17) и (2.20), получаем верхнюю оценку Теперь перейдем от р к изначальной функции /. Это можно сделать, используя пункты (6), (с) и (d) леммы 5, а также формулу где экономия энергии Д/ находится по формуле (2.14). Остается заметить, что верхняя оценка для P{YP-А/ є гЩ оптимальна при Интересно сравнить полученный результат с результатом Грилла для ви-неровского процесса (2.5). Приведем утверждение теоремы 9 к более удобному для сравнения виду. Будем использовать то, что экономия энергии имеет вид (2.14) а для R = R (r, A, p) выполнено 6 здесь, как и прежде, принадлежит интервалу [0,1). Видно, что в сравнении с винеровским случаем (2.5) диапазон значений остаточного члена R + R несколько изменился, кроме того, в асимптотике появилось дополнительное слагаемое \zp 1 2 fQ f 3(t) dt. Это дополнительное слагаемое весьма значимо. Оно делает поведение вероятностей малых шаров отличным от вииеровского в той зоне параметров, где оно больше других второстепенных членов асимптотики, а именно, в зоне параметров \3р 1/2 1/г2, Х3р 1 2 ;э Лг. Если какое-то из этих условий не выполнено, то дополнительное слагаемое попадет в остаток, и
Случай степенных функций бесконечной вариации производной
Рассмотрим функции / : /() = ±л/2се — 1 a-1 ta, а Є (1/2,1) из о пространства H CtO, 1]), принадлежащие границе шара Штрассена, т.е. /Е = 1- Вариация производной каждой из таких функций бескоиечна. Последовательность {kn,p}n oo и процесс Yn определяются также как в предыдущем разделе, т.е. Для изложения результата удобно ввести следующие обозначения Доказательство теорем Доказательство повторяет доказательство теоремы 16, за исключением этапа 2 и этапа 4, когда вместо оценок вероятностей малых уклонений, полученных в теореме 9, нужно применять оценки из теорем 12, 13 и 14. Комментарии к теореме 18 1. Аналогичный результат справедлив для хвостового эмпирического процесса. Чтобы его получить, нужно повторить ход рассуждений доказательства теоремы 17. 2. Важно отметить, что при а 1 скорости сходимости в законе Штрассе-на для функций / : f(t) = ±у/2а - 1 a-1 ta приближаются к скоростям сходимости из теоремы 16 для / : Var/ оо, /я = 1, что вполне естественно. При а — 1/2 скорость сходимости становится похожей на скорости сходимости к внутренним функциям шара Штрассена \/\Е 1 (см. формулу (3.3)). Обобщим результаты второй главы, точнее, раздела 2.2. В настоящей главе мы получим оценки вероятностей малых шаров для более широкого класса скачкообразных процессов с независимыми приращениями (ПСНП). Рассмотрим пуассоновскую меру V на пространстве R+ х R \ {0} со спектральной мерой dt х A(di). О мере k(d) будем предполагать, что она конечна и сосредоточена на ограниченном множестве С С R \ {0}. Определим скачкообразный ПСНП с мерой скачков V. Напомним, что значения скачкообразного процесса выражаются через соответствующую ему меру скачков следующим образом Математическое ожидание и дисперсия процесса выражаются через его спектральную меру Введем центрированный, нормированный процесс высокой интенсивности Для таких процессов имеет место слабая сходимость к винеровскому процессу Обобщение формулы Могульского дает оценку вероятностей центрированных малых шаров для процесса Х (см. [44]) Доказательство теореми 20
Доказательство проведем по той же схеме, что и доказательство теоремы 9, используя в некоторых местах более сложные аргументы. о Пусть (р — функция, минимизирующая энергию в шаре В$ = {ф W\ : ф Є \6\ rX"1 U + /}. Оценим вероятности Р{Хр-Хр є (1 — 5)rU}. Параметр 5 может пока принимать любые значения из интервала (—1,1). Рассмотрим два скачкообразных ПСНП i и со спектральными плотностями относительно меры dt х A(d) Среднее процесса & имеет вид Процесс i связан с исследуемым процессом Хр соотношением Введем обозначения V\, 7 для пуассоновских мер, соответствующих процессам ь &- Обозначим через Pi, Р2 распределения соответствующих пуассоновских мер на М, пространстве целочисленных мер на [0,1] х С. Формула ы 18 Доказательство повторяет доказательство теоремы 16, за исключением этапа 2 и этапа 4, когда вместо оценок вероятностей малых уклонений, полученных в теореме 9, нужно применять оценки из теорем 12, 13 и 14. Комментарии к теореме 18 1. Аналогичный результат справедлив для хвостового эмпирического процесса. Чтобы его получить, нужно повторить ход рассуждений доказательства теоремы 17. 2. Важно отметить, что при а 1 скорости сходимости в законе Штрассе-на для функций / : f(t) = ±у/2а - 1 a-1 ta приближаются к скоростям сходимости из теоремы 16 для / : Var/ оо, /я = 1, что вполне естественно. При а — 1/2 скорость сходимости становится похожей на скорости сходимости к внутренним функциям шара Штрассена \/\Е 1 (см. формулу (3.3)). Обобщим результаты второй главы, точнее, раздела 2.2. В настоящей главе мы получим оценки вероятностей малых шаров для более широкого класса скачкообразных процессов с независимыми приращениями (ПСНП). Рассмотрим пуассоновскую меру V на пространстве R+ х R \ {0} со спектральной мерой dt х A(di). О мере k(d) будем предполагать, что она конечна и сосредоточена на ограниченном множестве С С R \ {0}. Определим скачкообразный ПСНП с мерой скачков V. Напомним, что значения скачкообразного процесса выражаются через соответствующую ему меру скачков следующим образом Математическое ожидание и дисперсия процесса выражаются через его спектральную меру Введем центрированный, нормированный процесс высокой интенсивности Для таких процессов имеет место слабая сходимость к винеровскому процессу Обобщение формулы Могульского дает оценку вероятностей центрированных малых шаров для процесса Х (см. [44]) Доказательство теореми 20 Доказательство проведем по той же схеме, что и доказательство теоремы 9, используя в некоторых местах более сложные аргументы. о Пусть (р — функция, минимизирующая энергию в шаре В$ = {ф W\ : ф Є \6\ rX"1 U + /}. Оценим вероятности Р{Хр-Хр є (1 — 5)rU}. Параметр 5 может пока принимать любые значения из интервала (—1,1). Рассмотрим два скачкообразных ПСНП i и со спектральными плотностями относительно меры dt х A(d) Среднее процесса & имеет вид Процесс i связан с исследуемым процессом Хр соотношением Введем обозначения V\, 7 для пуассоновских мер, соответствующих процессам ь &- Обозначим через Pi, Р2 распределения соответствующих пуассоновских мер на М, пространстве целочисленных мер на [0,1] х С. Формула Скорохода для взаимной плотности Pi и Pi (см, главу 1, теорему 3) имеет вид:
Вероятности малых шаров для скачкообразных процессов с независимыми стационарными приращениями
В диссертации получены следующие основные результаты. 1. Найден критерий квазиинвариантности случайных луассоновских мер относительно "линейных" трансформаций пространства. Приведены простые и наглядные примеры квазиинвариантньтх мер. Предложен универсальный способ решения задач поиска таких мер. 2. Получены асимптотические оценки вероятностей малых уклонений для пуассоновского процесса высокой интенсивности. Установлены границы применимости метода Ком лоша-Майера-Тушнади (КМТ) в этой задаче. Разработан новый метод, основанный на трансформациях процессов с независимыми приращениями, охватывающий более широкую чем метод КМТ область параметров. Показано, что при медленно возрастающей интенсивности процесса асимптотика вероятностей малых уклонений отличается от винеровской. 3. Получены оценки вероятностей малых уклонений для широкого класса скачкообразных процессов с независимыми приращениями. 4. Изучены скорости сходимости в аналоге закона Штрассеиа для пуассоновского процесса высокой интенсивности и хвостовых эмпирических процессов. Обнаружено, что если интенсивность пуассоновсого процесса растет медленно (иными словами, "ширина окна" хвостового эмпирического процесса убывает медленно) скорость сходимости может отличаться от аналогичной скорости для винеровского процесса. К тому же при медленно растущей интенсивности нарушается симметрия результата: сходимость к отрицательным функциям из множества Штрассеиа медленнее, нежели к положительным. В диссертационной работе обнаружен ряд новых явлений. Ее результаты описывают устройство вероятностей малых уклонений нега.уссовски$ про цессов, что представляется наиболее ценным, т.к. результаты в этом направлении редки из-за неразработанности методологической базы. Автор благодарит профессора М.А. Лифшица за полученные знания и поддержку при написании работы, сотрудников НТЦ Альфа за полезные советы в области ТеХ а, Е.Беляева за помощь в графическом оформлении работы. 1. Alvarez-Andra.de S. Small deviations for the Poisson process // Statistics and Probability Letters. — 1998. — Vol. 37.— Pp. 195-201. 2. Bdrtfai P. Die Bestimmung der zu emem wiederkehrenden Prozess gehorenden Verteilungfunction aus den mit Fehlern behafteten Daten einer einzigen Realisation // Studia Sci. Math. Hungar.— 1966.— no. 1.— Pp. 161-168. 3. Berthet P., Lifshits M. Some exact rates in the functional law of the iterated logarithm // Ann. Inst. Henri Poincare. — 2002. — Vol. 38, no. 6. - Pp. 811-824. 4. Berthet P. Vitesses de recouvrement dans les lois fonctionnelles du logarithme itere pour les increments du processus empirique uniforme avec applications statistiques: Ph.D. thesis / These du doctorat de l Universite Paris VI. - 1996.-396 pp. 5. Berthet P. On the rate of clustering to the Strassen set for increments of the uniform empirical process // J. Theor. Prob.— 1997. — Vol. 10. — Pp. 557-579. 6. Bmgham N. H., Goldie G, Teugels J. Regular Variation.— Cambridge University Press: Encyclopedia of Mathematic and its Applications. Vol. 27, 1987. — 490 pp. 7. Cameron R., Martin W. T. Transformation of Wiener integrals under translation // Ann. Math. — 1944. — no. 45. - Pp. 386-396. 8. Chung K. L. On the maximum partial sums of sequences of independent random variables // Trans. Amer. Ma.th. Soc. — 1948. — no. 64. — Pp. 205-233.9. Csorgo M.. Mason D. M. On the asymptotic distribution of weighted uniform empirical and quantile processes in the middle and in the tails // Stock. Processes Appl. — 1985. — Vol 21. - Pp. 119-132. 10. Csorgo M., Revesz P. Strong Approximations in Probability and Statistics.— New York San Francisco London: Academic
Press, 1981.— 282 pp. 11. Deheuvels P., Lif shits M. Small ball probability for centered Poisson processes and applications // Preprint. 12. Deheuvels P., Mason D. M. Nonstandard functional laws of the iterated logarithm for tail empirical and quantile processes // Ann. Prohab. — 1990. - Vol. 18. - Pp. 1693-1722. 13. Deheuvels P. Chungype functional laws of the iterated logaiithm for tail empirical processes // Ann. Inst. Henri Poinco-re. — 2000. — Vol. 36, no. 5. - Pp. 583-616. 14. de Acosta A. Small deviations in the functional central limit theorem with applications to functional laws of the iterated logarithm // Ann. Prohab. — 1983.-Vol. 11.- Pp. 78-101. 15. Gel fand I. M., Gmev M. 1., Vershik. A. M. Models of representations of current groups // in Representations of Lie Groups and Lie Agebms (A.A Kirillov ed.), АкоМтіаг Kiado, Budapest. — 1985. - Pp. 121-179. 16. Gom N., Lif shits M. Chung s law and the Csaki Function // J. of Theoret Prohab. - 1999. - Vol. 12, no. 2. — Pp. 399-419. 17. Grill K. A lim inf result in Strassen s law of the iterated logarithm // Prohab. Theor. Pel. Fields.- 1991. - Vol. 89. - Pp. 149-157. 18. Grill К. Exact rate of convergence in Strassen s law of the iterated logarithm // J. Theoret Prob.- 1992.- Vol. 5.- Pp. 197-204. 19. Kerstan .7., Matthes K., Mecke J. Unbegrenzt Teilbare PunktProzesse. — Berlin: Akademie-Verlag, 1974.— 416 pp. 20. Kingman J. F. C, Poisson Processes,— Oxford: Clarendon Press, 1993.— 101 pp. 21. KomMs ,1., Major P., Tusnady G. An approximation of partial sums of independent r.v. s and the sample DF.I // Z. Wahrsch. Verw. Geb.— 1975. - Vol. 32. - Pp. 111-131. 22. Komlos J., Major P., Tusnady G. An approximation of partial sums of independent r.v. s and the sample DF.II j j Z. Wahrsch. Vervj. Geb. — 1975. - Vol. 34. - Pp. 34-58. 23. Lifshits M. Lecture notes on approximation j ( Pub. I.R.M.A. Lille. - 2000. - Vol. 53, no. XIII.- Pp. 1-25. 24. Li W. V., Sho,o Q. M. Gaussian process: Inequalities, Small Ball Probabilities and Applications.— Stochastic processes: Theory and methods, Handbook of Statistics (C.R. R,ao and D. Shanbhag,eds): North-Holland /Elsevier Amsterdam, 2001.— Vol. 19.— 533 pp. 25. Mason D. M. A invariance theorem for the tail empirical process // Ann. Inst. Henri Poincare. — 1988.— no. 24.— Pp. 491-506. 26. Memin ,1., Shiryayev A. N. Distance de Hellinger-Kakutani des lois correspondant a deux processus a accroissements in dependants // Z. Wahrsch. Verw. Geb.- 1985. - Vol. 70. - Pp. 67-90.
