Введение к работе
Актуальность тепы. Исследование математических моделей различных технических, биологических и социально-экономических процессов приводит к необходимости учета наличия в управляемых системах различного рода помех и неопределенностей. В рамках вероятностного подхода, неполнота информации в таких системах интерпретируется как действие на них случайных возмущенний с известными статистическими характеристикаПри решении задачи синтеза управлений, обеспечивакщях некоторое качество системы, либо оптимальних в смысле заданного критерия возникает вопрос об устойчивости замкнутой системы. Условия, при которых система устойчива, по суцост-ву, определяет условия ее работоспособности. Поэтому, актуальной является задача построения стабилизирующих управлений, яря реализации которых процесс оказывается устойчивым в некотором вероятностной сгислэ.
. Решение этой проблемы известно лишь для некоторых классов стохастических систем. В настоящей работе рассматривается задача сиктзза стабилизируящего управления для управляемых случайных процессов, порожденных стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а также для управляемых марковских цепей. Предполагается, что имеет место случай полных наблюдений состояния системы. Построение стабилизирующих управлений осуществляется в виде управлений с обратной связью.
В данной работе обосновывается метод решения задачи синтеза стабилизирующих управлений, обобщающий на стохастические дифференциальные и дискретные системы принцип стабилизирующих пар для детерминированных систем. Под стабилизирующей парой понимается пара функций - стабилизирующее управление и функция Ляпунова, устанавливающая устойчивость нулевого решения соответствующей замкнутой системы. Основу этого метода составляют стохастические аналоги прямых и обратных теорем Ляпунова об устойчивости.
Как известно, основной трудностью при использовании прямого метода Ляпунова в задачах управления является отсутствие общих способов построения функции Ляпунова. Эти же трудности сохраняются и а стохастическом случае. Вследствие этого, а также в связи с тем, что во многих случаях алгоритмы управления реализуются с,помощью ЭВМ, метод стохастичес-' ких стабилизирующих пар, предлагаемый в настоящей работе ориентирован на применение ЭВМ. Конструктивный аспект этого метода заіслючается в численном построении функции Ляпунова и стабилизирующего управления.
Цель работы - разработка критериев асимптотической ста-билизируемости по вероятности и экспоненциальной стабилизируемое с вероятностью 1 для непрерывных и дискретных марковских процессов;
- обоснование численного метода построения стохастических стабилизирующих пар (функции Ляпунова и стабилизирующего управления), позволяющих конструктивно решать задачи стабилизации.
Методы исследования. Для получения и обоснования пред-' ложенннх в работе критериев стохастической стабилизируемости в диссертации используются: общая теория управляемых случайных процессов, теория стохастических дифференциальных уравнений, теория марковских цепей, прямой метод Ляпунова для непрерывных и дискретных стохастических систем. При разработке конструктивных алгоритмов построения стохастических стабилизирующих пар используются метода математического программирования и сеточный метод решения задач оптимизации.
Научная новизна. В диссертации предложен новый подход к решению проблемы синтеза стабилизирующих управлений в задачах стабилизации управляемых марковских процессов. Для случайных процессов, порожденных конечномерными стохастическими дифференциальными уравнениями Ито, этот подход позволяет сформулировать критерии асимптотической и экспоненциальной стабилизируемости нулевого решения в широком классе допустимых управлений, содержащем полунепрерывные сверху по включению Функции.
В работе получены необходимые и достаточные условия асимптотической .и экспоненциальной устойчивости нулевого решения дискретной системы со случайными параметрами, порождающей марковскую цепь. На основе этих условий разработаны критерии стохастической стабилизируемости управляемых цепей Маркова. Приведенные в работе критерии используют как обычные Функции Ляпунова, так и функции Ляпунова из класса слу~ чайных функций.
В диссертации наряду с задачами синтеза асимптотически
устойчивых по вероятности и экспоненциально устойчивых с вероятностью 1 замкнутых динамических систем рассматриваются также задачи построения диссипативных, в соответствующем вероятностном смысле, замкнутых систем. Сформулированы достаточные условия стохастической диссипативности. Разработаны алгоритмы численного решения задач стабилизации, основанные на сведении задачи построения функции Ляпунова в области с выколотой окрестностью нуля к задаче математического программирования на дискретной сетке.
Практическая ценность. Проблемы построения устойчивых замкнутых динамических систем со случайными параметрами возникают в различных задачах оптимального управления. Полным решением задачи стабилизации управляемых систем следует считать пару функций {v(x,t), u(x,t)}, состоящую из допустимого управления u(x,t) и Функции.Ляпунова, устанавливающей устойчивость замкнутой системы в том или ином вероятностном смысле. Основную роль при построении функции v(x,t), как правило, играют аналитические методы, не позволяющие конструктивно находить стохастическую стабилизирующую пару {v(x,t), u(x,t)}. Поэтому развитие и усложнение задач теории управления и нелинейных задач механики приводит к необходимости алгоритмизации и численного решения проблемы стабилизации стохастических систем.
В связь с этим разработанные в диссертации критерии стабилизируемости стохастических систем и методы конструктивного построения стохастических стабилизирующих пар имеют теоретическую и практическую ценность.
Апробацяя работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах ИПУ, на I международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1992), на I всероссийском совещании "Новые направления в теории систем с обратной связью" (Уфа, 1993), на II международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" НГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, 1994).
Публикация, По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приводится в заключительной части автореферата.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.
