Введение к работе
Актуальность работи. В последние десятилетия задачи существования оптимальных управлений для нелинейных систем и, в частности, для систем с распределенными параметрами постоянно выдвигаются практикой и привлекают внимание многих исследователей. Это связано с тем обстоятельством, что в большинстве технических приложений приходится иметь дело с системами, имеющими распределенные в пространстве параметры. Такого рода системы возникают при описании производственных процессов термообработки металлов, сушки и обжига сыпучих материалов, дистилляции, процессов функционирования химических и ядерных реакторов, разработки нефтяных и газовых месторождений и многих других. Различным аспектам задачи оптимизации систем с ра"пределенними параметрами посвящены полностью или частично монографии А.Г.Бутковского, А.Г.Бутковского и Л.М.Пустыльникова, А.Г.Бутковского и Ю.И.Самойленко, Ж.-Л.Лионса (Т.L.Lions), К.А.Лурье, А.П.Руднка, Н.У.Ахмеда и К.Тео (N.U.Ahmed, К^Тео), работы А.И.Егорова, Л.Чеэари (L.Cesari), М.Н.Огюсторели (M.N.Oguztoreli), Н.С.Папагеоргну (N.S.Papageoreiou), А.С.Робинсон (A.C.Robinson), П.К.С.Ванга (Р.К.С.Wane) и других.
Предлагаемые в настоящей работе методы исследования нелинейных систем находятся на стыке нескольких энергично развиваемых в настоящее время направлений. Прежде всего отметим, что при изучении подобных систем чрезвычайно эффективным оказался метод их моделирования с помощью дифференциальных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах. Этот метод позволяет решать вопросы существования и единственности решений, исследовать свойства множества решений, находить оптимальные решения различных задач управления и т.д. Он нашел свое отражение в монографиях Н.-Л.Лион-са, А.Балакришнана, Н.У.Ахмеда и К.Тео, работах Л.Чеэари, Ю.В.Егорова и др.
. С'другой стороны, начиная со знаменитой леммы А.Ф.Филиппова, зарекомендовал сеоя как весьма плодотворный подход, связанный с интерпретацией управляемых систем с помощью дифференциальных включений. Развитию этого метода посвящены работы А.Ф.Филиппова, Т.Важевского (T.Wazewski), В.И.Благодатс-их, А.Г.Бутковского, А.А.Толстоногова, Ж.-П.00ена и А.Челлшш (J.-P.Aubin, A.Cellina), Ж.-П.О0ена и Х-Франковской П' Frankowska), М.Кисилевич:! (М.Кічі-
elewicz), Б,Глодде и Г.-Д.Нипажа (B.Glodde, H.-D.Niepage) и других. Трактовка управляемых систем как дифференциальных включений позволяет применить для их' исследования богатый арсенал идей и методов теории многозначных отображений -t интенсивно развиваемого направления, находящего многочисленные приложения В различных областях современной математики (см.[П]-[15],[19]). В настоящей работе изучаются, в основном, управляемые системи, математическое описание которых сводится к полулинейным дифференциальным включениям в банаховом пространстве.
Наконец, предлагаемые в .настоящей работе операторные методы исследования управляемых систем используют в значительной степени понятия неподвижной точки, топологической степени, мери некомпактности и уплотняющего оператора. Топологическое исследование различных классов некомпактных отображений, осуществлявшееся В последние десятилетия в работах Дж.Дарбо (G.Darbo),, Л.С.Гольденштей-на, И.Ц.Гохберга, А.С.Маркуса, Б.Н.Садовского, Ю.Г.Борисовича, Ю. И.Сапронова, М.А.Красносельского, П.П.Забрейко, Г.И.Вайиикко, А.С^Потапова,. М.И.Каменского, В.В.Петришина (W.V.Petryslijm), Р.Д.Нуссбаума (R.D.Nussbaum) и других, нашло многочисленные применения в теории неподвижных точек, теории линейных операторов, теории дифференциальных и интегральных уравнений.
В настоящей диссертации указанные выше методы используются для исследования задач существования оптимальных решений, оптимальних периодических режимов и решения некоторых вопросов управляемости для нелинейных систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Русе, Болгария 1989), на Международной конференции по топологическим методам в нелинейном анализе (Бахо-тек, Польша 1990), на Международных топологических конференциях (Минск 1977, Ленинград 1982, Баку 1987, Киев 1992), на Международном симпозиуме в честь С.Эйленберга (Торунь, Польша 1993), в школе "Понтрягинские чтения"" (Кемерово, 1990), в школах по теории операторов в функциональных пространствах (Рига 1983, Куйбышев Ї988, Новгород 1989, Ульяновск 1990),- на Всесоюзной конференции по качественной теории Дифференциальных уравнений (Рига 1989), на ІУ Уральской региональной конференции по функционяльно-дифференциаль-
ннм уравнениям (Уфа 1989), на Тираспольскях симпозиумах по общей топологии и ее приложениям (1985, 1991), в летник математических школах ИМ АН Украины в Каиивели, на семинаре ке-Ээярн оптимального управления факультета ВМК МГУ, на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. П.0.Александрова, в Институте математики и механики УО РАН (Екатеринбург 1993), на семинарах Института проблем управления РАН (1993), на семинаре кафедры кибернетики Московского.института электроники и математики (1993), на семинарах во Флорентийском университете и Туринском политехническом институте (Италия 1991, 1992, 1993), в Институте математики Гданьского университета и в Гданьском политехническом институте (Польша 1979, 1988), в Пермском политехническом институте (1983), на семинаре по топологическим метолам нелинейного анализа Воронежского университета, в Воронежском лесотехническом институте, в Воронежских зимних математических ииолах, на заседании Воронежского математического общества (1992), в школе "Современные методи в теории краевих задач" (Воронен 1992), в идоле "Теория функций.Дшйреренциальние уравнения в математическом моделировании" (Воронеж 1993), на научных сессиях Воронежского пенияетитута и на ряде других семинаров, конференций, 11КОЛ.
Основанный на результатах диссертации никл лекций "Многозначный анализ и задачи оптимального управления" одержал победу в конкурсе проектов, проводившемся в России Программой "фулбрайт" и будет в 1994 году прочитан в одном иэ университетов СНА.'
Публикации. Главные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [22]. Часть результатов сдана в печать в журналы "Transactions of the American Mathematical Society" и "Journal of Optimization Theory and Applications". ,
u Структура и объем работы. Диссертация изложена на 179 страницах, список литературы содержит 104 наименования. Она состоит из введения и трех глав.
Целью работы является разработка методов анализа нелинейных управляемых систем, основанных на изучении свойств операторов, отвечающих рассматриваемом системам.
М є т 8 к ы и с с л е л о іі а и и я. В работе используются методы обаей теории управления, теории функционально-дифференциальных уравнений, теории дифференциальных включений, теории многозначных отображений, нелинейного функционального-анализа, общей и алгебраической топологии.
Научная' новизна. В диссертации описан и изучен новый класс полулинейных управляемых систем с обратной связью и запаздыванием, линейная часть которых не является, вообще . говоря, ограниченной. Для анализа этих систем развит метод топологической степени выпуклозначных мультиотображений уплотняющего типа. Его применение позволяет „исследовать условия существования оптимальных решений для систем указанного типа, непрерывной зависимости траек-. торий от .начальных данных, решить задачу быстродействия и привести необходимые условия существования ее решения в.форме принципа максимума. В качестве приложения общих результатов рассмотрена задача оптимизации управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями в.частных производных .параболического типа. Указан градиентный метод приближенного решения задач оптимизации для. управляемых систем указанного выше класса.
Предложены новые операторные методы исследования периодических решений для описанных выше управляемых систем. Один из этих методов базируется на изучении интегральных мультиоператоров и позволяет получить новые признаки существования оптимальных периодических режимов. Существенно новым элементом является.перенос на случай управляемых систем известного метода, оператора сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.. Разработка этого метода потребовала развития теории топологической степени для случая не-выпуклозначних уплотняющих мультиотображений специального вида.
о- Изучены также некоторые новые задачи управляемости для нелинейных систем. Получены условия существования оптимальных управлений, позволяющих траекториям систем достигать переменных целевых, множеств. ... ".''-''
. - .. / , - .
Теоретическая и тгр а к т и ч е с к' а я . ц е н- -ноет ь. Работа является теоретической. Методы, разработанные в диссертации, применимы для исследования широкого класса нелинейных управляемых систем с обратной связью, динамика которых описывается,
- і") -
дифференциальными уравнениями с запаздыванием. О помощыи этик методов могут лить научены необходимые й достаточные условия существования оптимальных решений различных,задач управления. Эти условия могут быть эффективно проверены и использованы в конкретных приложениях. Отмечены методы приближенного построения оптимальних управлений.