Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач динамики упругопластических сред и вариационно-разностный метод решения 13
1.1 Обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела 13
1.2 Постановка задачи нестационарной динамики упругопластических сред 26
1.2.1 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в метрике начального состояния 26
1.2.2 Вывод уравнений в геометрически и физически линейном варианте 29
1.2.3 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в текущей конфигурации 30
1.3 Методика численного решения 32
Глава 2. Ажурная вариационно-разностная схема 39
2.1 Ажурная сетка 40
2.2 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем дополнительного разбиения ячеек 43
2.3 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем построения двудольного графа 47
2.4 Особенности реализации ажурной схемы 53
2.5 Алгоритм и программная реализация расчетного модуля ажурной схемы 55
2.5.1 Алгоритм реализации ажурной схемы на подвижной сетке 58
2.5.2 Алгоритм решения задачи на неподвижной сетке 62
2.5.3 Описание программы 63
2.6 Краткие выводы по главе 2 67
Глава 3. Аппроксимация и устойчивость вариационно-разностных схем 68
3.1 Аппроксимация вариационного уравнения 68
3.1.1 Аппроксимация ажурной схемы 76
3.1.2 Аппроксимация суперажурной схемы. 78
3.1.3 Аппроксимация схемы на 5 тетраэдрах. 78
3.1.4 Аппроксимация схемы Уилкинса 80
3.1.5 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: поворотно-симметричное разбиение 82
3.1.6 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: центрально-симметричное разбиение 84
3.1.7 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: несимметричное разбиение 86
3.2 Устойчивость трехмерных ажурных схем. 88
3.3 Краткие выводы по главе 3 94
Глава 4. Решение нестационарных задач упругого и упругопластического деформирования твердых тел . 95
4.1 Численное решение упругих задач в линейной постановке 95
4.2 Численное решение упругих задач в геометрически нелинейной постановке 108
4.3 Численное решение упругопластических задач 116
4.3.1 Расчет упругопластической деформации ударника 116
4.3.2 Динамический изгиб бруса с отверстием 119
4.3.3 Динамический изгиб упругопластической балки под действием взрыва 121
4.3.4 Динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки 124
4.4 Краткие выводы по главе 4 127
Заключение 128
Список литературы 131
- Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в метрике начального состояния
- Особенности реализации ажурной схемы
- Аппроксимация схемы Уилкинса
- Численное решение упругих задач в геометрически нелинейной постановке
Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в метрике начального состояния
В настоящее время одной из наиболее актуальных является задача повышения эффективности методов, т. е. разработки численных схем, оптимальных по программной реализации и быстродействию. Причина этого лежит во все возрастающей сложности задач, решаемых численными методами. И хотя рост быстродействия ЭВМ решает многие из проблем, сопоставимый эффект дает совершенствование и разработка новых численных схем и методов [19, 39, 73].
При численном решении задач механики сплошных сред используются следующие основные подходы, которые получили широкое распространение: конечноразностные методы, вариационно-разностные методы, метод конечного элемента, метод конечных объемов (схема С.К.Годунова [3, 28] и ее развитие), метод граничных интегральных уравнений и граничного элемента [6, 21, 95]. Применяемые численные методы непосредственно связаны с формой записи исходной математической задачи. При конечно-разностном подходе задача формулируется как система дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. Для метода конечных элементов и вариационно-разностного метода используется вариационная формулировка, в методе конечных объемов система уравнений записывается в виде законов сохранения.
Выбор численного метода тесно связан с постановкой решаемой задачи. Дифференциальная формулировка задачи может быть записана в разных формах. В методе конечных разностей наиболее распространена запись в виде уравнений движения замыкаемых соотношениями Коши и определяющими соотношениями, устанавливающими связь между напряжениями и деформациями.
Вариационная форма записи задач динамики допускает варианты в виде экстремального (стационарного) вариационного принципа для некоторого функционала или в виде вариационного уравнения (принципа виртуальных перемещений, скоростей, ускорений и т.п.). Для задач динамики в подавляющем числе случаев используется форма записи в виде где qt - варьируемые параметры (в зависимости от выбранного вариационного принципа это могут быть перемещения, скорости, ускорения, напряжения и т.п. [16, 17, 25, 75]). Данная форма записи служит основой для построения широкого класса вариационно-разностных схем и схем метода конечного элемента [40, 41, 93, 94]. Учет геометрически нелинейных эффектов [26,34,76,82,109,112] производится с использованием нелинейных лагранжевых, эйлеровых или совместных лагранжево-эйлеровых постановок [77]. Учет нелинейного поведения материала при деформировании осуществляется на базе деформационных и инкрементальных теорий пластичности [12, 22,27,36,42-48,62,64].
Большой вклад в развитие конечно-разностных методов внесли К.И.Бабенко, А.А.Самарский, Г.И.Марчук, Ю.И.Шокин, В.С.Рябенький, Р.Рихтмайер, М.Уилкинс, В.Н. Кукуджанов, Н.Г. Бураго и другие ученые. Эти методы являются наиболее универсальными и гибкими и имеют наиболее широкое применение при решении любых задач математической физики. [3, 19, 32,68,69,85, 87-89,96,97,108]. Важнейшей задачей при построении конечноразностных схем является сужение их класса путем наложения на них различных дополнительных ограничений. Классических критериев качества численных схем (порядок аппроксимации и устойчивость) недостаточно. Можно отметить многолетнюю тенденцию дополнения количественных характеристик (порядок аппроксимации) качественными (консервативность, монотонность и т. д.) [12,20,79,80,108].
При численном решении нестационарных задач теории упругости и пластичности наибольшее распространение получила явная разностная схема М.Уилкинса [96, 97]. В ней реализована конструкция задания величин в узлах и "ячейках". По сути имеет место схема с разнесенными сетками по пространству и по времени. По пространству - узлы основной сетки, в которых вычисляются неизвестные перемещения, усилия, скорости и ускорения; "центры ячеек" основной сетки (по сути это узлы дополнительной сетки, смещенной относительно основной на некоторую долю ее шага), в которых вычисляются все величины, являющиеся первыми производными от перемещений (деформации) или связанными с первыми производными функциональными зависимостями (напряжения и т.п.). По времени: целые шаги, в которых аппроксимируются перемещения, силы и ускорения; полуцелые шаги, в которых аппроксимируются скорости. В итоге получим основную и две смещенные сетки (по пространству и по времени), при этом на основной сетке определены неизвестные и их производные четного порядка, а на смещенных - производные нечетного порядка. Данная конструкция является очень гибкой и удобной по следующим причинам: свойства материала задаются в ячейке совершенно независимо от основной сетки, заменяя "физический блок", легко получить материал с любой реологией; она ориентирована в общем случае на неортогональные и даже на нерегулярные сетки, что позволяет применять ее в областях сложной формы; схема получается двухслойной по времени.
Особенности реализации ажурной схемы
Второй способ построения ажурных сеток состоит в определении долей двудольного графа в исходной гексаэдральной сетке. Его применимость менее универсальна, так как не допускается, например, наличие вырожденных ячеек. Покажем, что, тем не менее, в абсолютном большинстве практически важных случаев данный подход может быть реализован.
Введем необходимые определения и формулировки теорем из теории графов [98]. Определение Графом называется пара G = (V,E), где V - непустое множество, V = {y1,V2,...,vn}, Е - некоторое множество неупорядоченных пар элементов V , E = \yh vj )}, і, j = 1,ji. Определение Элементы множества V называются вершинами, элементы Е ребрами графа. Определение Если х = (w,v)e Е, то вершины и и v называются смежными вершинами в графе G. В этом случае вершина и и ребро х - инцидентны, так же и как вершина v и ребро х. Определение Если два различных ребра х,у є Е инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. Определение Граф называется планарным, если можно построить такое его изображение на плоскости, у которого никакие два ребра не пересекаются. Определение Граф называется двудольным, если множество его вершин V может быть представлено как объединение двух непересекающихся множеств: V = V1vV2;V1 V2= 0, а множество его ребер E V1xV2, то есть каждая вершина из множества V1 может быть смежной только с вершиной из множества V2 и наоборот. Пусть V0,V1,...,V - вершины некоторого графа. При этом вершины v,,v/+1
Сформулируем и докажем две теоремы о двудольности сеток, покрывающих двумерные и трехмерные области.
Теорема 1 Если односвязная область в R2 покрыта сеткой из четырехугольных ячеек, то эта сетка представляет из себя двудольный граф. Доказательст во Пусть дана односвязная область, покрытая сеткой из четырехугольных ячеек. Данная сетка представляет из себя планарный граф. Рассмотрим произвольный простой цикл, принадлежащий данному графу. Пусть цикл охватывает область из n ячеек сетки, число граничных ребер области равно k, число внутренних ребер области равно m. Тогда 4n=2m+k. Действительно, n ячеек содержат всего 4n ребер, из них каждое внутреннее ребро принадлежит двум ячейкам, граничное – одной. Таким образом, получаем, что длина цикла k=4n-2m – четное число. Из этого по теореме Кенига следует утверждение теоремы.
Перейдем к рассмотрению трехмерного случая. Рассмотрим односвязную (гомеоморфную шару) трехмерную область, покрытую сеткой из шестигранных ячеек. Будем считать, что область является объединением непересекающихся ячеек, каждая ячейка является областью, диффеоморфной кубу. Вершины и ребра ячеек являются, соответственно, вершинами и ребрами графа. Будем считать, что область с построенной на ней сеткой обладает следующим свойством: Свойство 1: Данную область (а также любую ее подобласть, гомеоморфную шару, являющуюся объединением некоторого множества из не менее двух ячеек) можно разбить на две подобласти, гомеоморфных шару, таким образом, что граница раздела проходит по граням ячеек. Теорема 2 Если односвязная область в R3 покрыта сеткой из гексаэдральных ячеек и удовлетворяет свойству 1, то данная сетка представляет из себя двудольный граф. Доказательст во проводится методом математической индукции по числу ячеек n. База индукции. При n=2 сетка является планарным графом (рис. 2.14) и по теореме 1 сетка представляет из себя двудольный граф.
Индукционный переход. Допустим, что утверждение справедливо для любой сетки из n ячеек. Рассмотрим односвязную область, покрытую сеткой из п+1 ячеек. Предположим, что граф не двудольный, следовательно, по теореме Кенига существует простой цикл нечетной длины. Согласно свойству 1 разобьем область на 2 части v1 и V2, каждая из которых содержит п ячеек (рис. 2.15). Граница раздела S представляет собой односвязную двумерную поверхность, или планарный граф, покрытый четырехугольными ячейками. Рассмотрим проекцию простого цикла нечетной длины G на S (рис. 2.15). Это несвязный граф, в противном случае граф G принадлежит либо области V1, либо области V2, а следовательно не может иметь нечетную длину по предположению индукции. Соединим 2 вершины из разных компонент связности проекции графа G на S простым путем, принадлежащим S. Тогда граф G представится как на рис. 2.16, где G1 и Н1 простые циклы, причем один из них имеет нечетную длину. Пусть это будет цикл G1. Проекция простого цикла нечетной длины G1 на S имеет меньшее число компонент связности, чем проекция графа G на S. Повторим операцию соединения вершин с графом G1 и получим цикл нечетной длины G2, затем G3, и так далее, при этом число компонент связности пересечения графа G[ с границей раздела S будет каждый раз уменьшаться, пока не станет равным 1. Тогда получим цикл нечетной длины, полностью принадлежащий одной из частей области V. Получаем противоречие предположению индукции, а значит циклов нечетной длины нет и исходная сетка является двудольным графом. Теорема доказана.
Аппроксимация схемы Уилкинса
Подводя итог, отметим, что второй порядок точности имеют схемы, обладающие центральной симметрией при взаимном расположении элементов. Это базовый вариант ажурной схемы, схемы Уилкинса, полилинейного КЭ и линейного элемента при центрально-симметричном разбиении параллелепипедов на тетраэдры. Остальные схемы на тетраэдрах имеют первый порядок точности.
Для анализа устойчивости вариационно-разностных и КЭ схем их удобнее сначала привести к операторному виду, принятому в теории разностных схем. Это возможно в случае использования равномерных или регулярных КЭ сеток.
Вариационно-разностная схема «крест» трехмерной динамической задачи теории упругости на равномерной сетке может быть записана в виде (3.11), аналогичном исходной системе дифференциальных уравнений Ламе (3.12). Разностные операторы DV аппроксимируют операторы частных
Аналогичные преобразования проводятся с дискретным аналогом (3.11) системы уравнений Ламе (разностной схемой, построенной вариационно-разностным методом). При выполнении свойств индексной коммутативности
Определения и описание методов исследования устойчивости численных схем можно найти, например, в [89]. В дальнейшем ограничимся исследованием равномерной устойчивости по начальным данным. Рассмотренные выше схемы "крест" могут быть представлены в виде операторного уравнения Ahuk + Dttuk=f, (3.21) где uk - неизвестная сеточная функция, k -номер временного слоя, Ah -неотрицательный сеточный линейный оператор, действующий в пределах одного временного слоя. Исследование устойчивости схемы (3.21) сводится к нахождению границ спектра оператора A. Схема будет устойчивой, если шаг интегрирования по времени t удовлетворяет условию Неймана где р - верхняя граница спектра оператора A. В методе гармоник задача исследования устойчивости сводится к нахождению верхней границы собственных значений дискретных рядов Фурье. Представляется более удобным рассматривать эквивалентную задачу нахождения собственной частоты колебаний полудискретной системы уравнений
Очевидно, что максимальная собственная частота системы (3.20) достигается для первого уравнения, поскольку они отличаются только коэффициентом при сеточном операторе Лапласа и собственные числа оператора первого уравнения больше. Поэтому анализ устойчивости сводится к нахождению максимальной собственной частоты полудискретного уравнения (A + 2G)DAp = p Таким способом в [14] были получены оценки устойчивости ряда численных схем решения задач теории пластин Тимошенко, двумерной теории упругости и трехмерной схемы Уилкинса. В частности, для схемы Уилкинса была получена оценка
Рассматривается устойчивость двух вариантов ажурной схемы линейного КЭ решения трехмерной задачи теории упругости. Первый (базовый) вариант схемы получается путем выделения в каждой шестигранной ячейке регулярной сетки по одному центральному тетраэдральному элементу. Во втором «суперажрном» варианте схемы дополнительно удаляются элементы в каждом втором тетраэдре в шахматном порядке. Суперажурная разностная схема (3.11) удовлетворяет свойствам индексной коммутативности, и анализ ее устойчивости сводится к анализу устойчивости скалярного сеточного волнового уравнения (3.24).
Численное решение упругих задач в геометрически нелинейной постановке
В диссертационной работе получили развитие методы численного решения геометрически и физически нелинейных нестационарных задач теории упругости и пластичности. В процессе исследований получен ряд новых результатов.
Впервые разработана и реализована методика численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности на основе ажурной вариационно-разностной схемы. Особенностью данной методики являются: - применение сеток, в которых ячейки (конечные элементы) заполняют расчетную область с регулярными промежутками, что позволяет существенно уменьшить их число и тем самым в разы снизить вычислительные затраты при решении задач, а также избежать неэффективного использования узловой информации при расчетах; - отсутствие следующих недостатков, присущих традиционным схемам МКЭ: завышенной сдвиговой жесткости, присущей схемам на 4-узловых тетраэдральных элементах и неустойчивости типа «песочные часы», присущей схеме Уилкинса (8-узлового КЭ с одной точкой интегрирования).
Разработаны алгоритмы построения ажурных сеток из заданных нерегулярных гексаэдральных сеток и дано математическое обоснование их применимости, в том числе: - доказана теорема о том, что сетка из гексаэдральных ячеек, покрывающая односвязную область, представляет из себя двудольный граф и, следовательно, на ее основе может быть построена ажурная сетка из тетраэдров. Это позволяет применять алгоритм построения ажурной сетки в большинстве практически важных случаев; - разработан универсальный алгоритм построения ажурных сеток путем дополнительного разбиения ячеек, пригодный для любых гексаэдральных сеток, в том числе содержащих вырожденные ячейки. 3. Проведен анализ аппроксимации и устойчивости ажурной схемы: - впервые аналитически для случая равномерных ортогональных сеток исследован вопрос о влиянии взаимного расположения элементов на порядок аппроксимации схем МКЭ. Показано, что рассмотренные варианты схемы МКЭ на базе 4-узлового элемента с разным расположением элементов, а также два варианта ажурной схемы и схема Уилкинса имеют разные порядки аппроксимации в зависимости от симметрии расположения элементов; - получена единая оценка устойчивости для ажурной и суперажурной схем, совпадающая с условием Куранта-Фридрихса-Леви. Решены трехмерные нестационарные задачи деформирования упругих и упругопластических тел с использованием разработанной методики численного решения, проведен сравнительный анализ точности и эффективности ажурной схемы и традиционных методов. - на упругих задачах о колебаниях цилиндрических и сферических оболочек в линейной постановке проведено сравнение с аналитическими решениями и получено практически полное совпадение численных и аналитических решений; - на упругой задаче о колебаниях бруса квадратного сечения проведено сравнение со схемами Уилкинса и линейного 4-узлового конечного элемента по скорости сходимости и экономичности схем. Показана лучшая сходимость и выигрыш по экономичности ажурной схемы (от 1.5 раза для схемы Уилкинса до 7 раз для линейного элемента); - на геометрически нелинейных упругих задачах показано хорошее совпадение с решениями ANSYS, при этом для задач о деформировании диска и задач 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4 не удалось получить решение по схеме
Уилкинса в метрике текущего состояния; на геометрически нелинейных упругопластических задачах показано хорошее совпадение с решениями ANSYS и данными экспериментов, при этом для некоторых задач не удалось получить решение по схеме Уилкинса.
Результаты решенных задач показывают возможности и высокую эффективность методики на базе ажурной схемы.
Результаты диссертационных исследований могут найти применение при выполнении расчетов на прочность и технологических расчетов в промышленности. Дальнейшее развитие исследований связано с применением полученных результатов к решению нестационарных задач для деформируемых сред с более сложными физико-механическими свойствами, а также к решению статических и квазистатических задач.