Введение к работе
Актуальность теин. Самолет представляет собой совокупность сложных агрегатов: крыло, фюзеляж, оперение, которые состоят из типовых элементов конструкций /I/ - пластин, оболочек. Салок, стержневых систем. Самым распространенным типовым элементом авиационных конструкций являются анизотропные пластины. Например, панель обшивки есть пластина, усиленная стрингерами, поп самолета, оперение являются трехслойными пластинами с легким наполнителем и рассматриваются как ортотропные пластины.
В конструкциях скоростных самолетов и ракет анизотропные тонкие пластины применяются в качестве несущих поверхностей. Такие пластины работают на изгиб как пластины Кирхгофа (монолитные крылья) либо испытывают изгиб при действии продольных сил сжатия и растяжения (панель обшивки) /2/.
Отдельные части и детали самолета соединяются между собой узлами. Узловые соединения могут быть неразъемными и разъемными.
В разъемных соединениях широко применяются проушины, основным конструктивным элементом которых являются толстые (трехмар-мерные) пластины с круговыми отверстиями и расчет которых сводится к решению трехмерной задачи теории упругости. Точное определение поля напряжений узловых соединений необходимо потому, что они воспршшмают и передают от одной части конструкции к другой большие сосредоточенные силы, и в элементах соединений возникают значительные концентрации напряжений /2/.
В настоящий момент анализ напряжений в конструкциях самолетов проводится с помощью МКЭ (метода конечных элементов) /3/. Повышенные требования к расчету на прочность самолета предъявляют высокие требования к точности математических моделей и вычислительных алгоритмов. С точки зрения МКЭ это означает существенное повышение размерности дискретных моделей.
Реализация МКЭ для таких моделей вызывает ряд трудностей /4,5/, связанных с быстродействием и памятью ЭВМ и которые остро проявляются при решении трехмерных задач теории упругости. Отметим некоторые из них.
Для решения систем уравнений МКЭ активно применяется метод сопряженных градиентов /4/, для которого не требуется оп-имвльная нумерация неизвестных и который использует меньше памяти ЭВМ, чем методы Гаусса или Холесского. Однако, его реализация связана с внполнениом большого объема вычислений. На практике обычно прово-
дится 3//+5^ итераций, гдэ ^-порядок системы уравнений МКЭ, и при достаточно большом N резко возникает проблема быстродействия ЭВМ.
Построение матриц жесткости конечных элементов сводится к вычислении интегралов от функций, предстввленных в естественной системе координат или в 1-координатах /4,5/. Для трехмерных элементов высокого порядка эти интегралы определяются численно о помощью квадратурных формул и в втом случав требуется выполнить большой объем вычислений /4/.
Поскольку современные ЭВМ на обладают ресурсами достаточными для расчета дискретных моделей, имеющих высокую размерность, то разработка экономичных конечноалементных моделей (обеспечивающих высокую точность решения при использовании минимальных -ресурсов ЭВМ) является актуальной задачей.
В настоящий момент вопрос о сходимости существующих методов /6,7/ (метода Ритца, Бубнова-Галерюша и др.) для задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа не исследован, за исключением частного случая - изгиба изотропных пластин. Поскольку проблема сходимости метода тесно связана с вопросом о выборе (полноте) системы координатных функций, то разработка для таких задач метода построения последовательности приближенных решений, сходящейся к точному решению, имеет практическое значение.
Как известно, использование систем координатных гладких функциий (полных по энергии) в методе Ритца более эффективно, чем использование конечноалементных аппроксимаїщй. Однако, построение таких систем функций затруднительно для пластин сложной формы, например, для прямоугольных пластин с произвольными вырезами, широко применимых в технике. Поэтому проблема построения систем координатных гладких функций для таких пластин актуальна.
В настоящее время наметились два направления преодоления трудностей реализации ЫКЭ на ЭВМ.
Первое - создание экономичных алгоритмов построения и
решения систем уравнений МКЭ высокого порядка. В последние года
бурно развиваются алгоритмы, основанные на методе ФоДоренко /а/.
Последние результаты и обширный список работ, развивающих вто
направление, представлены в монографии /9/.
Вт .юе направление - построение экономичных дискретных моделей путем исключения в исходном разбиении узловых параметров МКЭ. Эти модйли состоят из суперэлементов. В данной ра-
боте оба направления получают дальнейшее развитие.
Цель работы. Диссертация посвящена разработке нових эконокич-.ннх дискретных моделей для решения задач упругости (плоская и трехмерная задачи, изгиб пластин, задача о кручении стеркней) путем исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов, представлякщих исходное разбиение; разработке аналитического (экономичного) метода построения матриц жесткости анизотропных трехмерных элементов высокого порядка; разработке метода решения задач изгиба анизотропных неоднородных пластин Кирхгофа и построению систем координатных гладких функций для ряда пластин сложной формы, широко применяемых в самолетостроении.
Научная новизна работы. Разработан итерационный метод исключения узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов, представляющих исходное тело. На его основе разработана процедура построения экономичных суперэлементов с законтурными узлами для решения задач изгиба пластин, кручения цилиндрических стержней, плоской и трехмерной задач теории упругости.
Разработан аналитический метод построения матриц жесткости анизотропных однородных трехмерных элементов высокого порядка, имеющих форлу прямоугольного параллепипеда. Предложена экономичная процедура вычисления матриц жесткости анизотропных трехмерных элементов высокого порядка. Построена процедура понижения порядка системы уравнений МКЭ (полученных по методу Ритца).
Разработан и обоснован ;„втод виртуальных работ для решения задач изгиба анизотропных неоднордных пластин Кирхгофа, реализация которого сводится к построению ортонормированного базиса гильбертового пространства. Построен модифицированный процесс ортонормирования, определен критерий численной устойчивости этого процесса. Указан и обоснован способ построения систем координатных гладких функций для ряда пластин сложной формы, широко применяемых в авиационной технике.
Практическая ценность работы. Исключение узловых параметров МКЭ на границах суперэлементов, представляющих данное тело, существенно уменьшает общее число неизвестных МКЭ исходного ансамбля (в приведенных примерах: в 6+14 раз), в несколько раз сокращает ширину ленты системы уравнений МКЭ, определяемую для методов Гаусса и сопряженных градиентов (в примерах: в 2+14 раз), порождает экономичную модель, состоящую из суперэлементов с законтурными узлами. Важно отметить, что применение метода сопряженных градиентов или Гаусса для решения системы уравнений МКЭ новой
модели требует значительно меньше памяти ЭВМ (в примерах: в 12+196 раз и при атом сокращается время решения системи уравнений (в примерах: в 12*196 раз), чем для заданного разбиения.
Как показывают расчеты, время построения матриц жесткости трехмерных элементов высокого порядка произвольной формы с помощью метода, разработанного в данной работе, в 5 раз меньше, чем по известной процедуре МКЭ /4/ при прочих равных условиях их реализации на ЭВМ. Следовательно, для нерегулярного разбиения, состоящего из високоточних элементов, время построения глобальной матрицы жесткости по формулам нового метода сокращается примерно в Б раз. 5ля элемента высокого порядка формы прямоугольного параллелепипеда, интегралы, определяющие коэффициенты матрицы жесткости по предлагаемой процедуре, вычисляются аналитически. Разработана процедура существенного понижения порядка системы уравнений МКЭ, которая реализуется на ЭВМ средней мощности (имеющих внешние носители памяти) и реализация которой возможна и в том случае, когда глобальная матрица жесткости является плохо обусловленной.
Для ряда пластин сложной формы, широко применяемых в технике, построены системы координатных гладких функций (полных по энергии), например, для прямоугольных пластин с произвольными вырезами.
Апробвция работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на:
-IX,X Всесоюзных конфзрэнциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Свратов, 1985 г.; Красноярск, 1987 г.
-I Всесоюзной школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды, Шушенское, 1987 г.
-семинарах отдела вычислительной механики Вычислительного центра СО РАН, Красноярск, 1991, 1992 г.г.
-семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики СО РАН, г. Новосибирск, 1993 г.
-семинаре кафедры прочности летательных аппаратов Новосибирского государственного технического университета, 1993 в.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.
Ctpj гура и объем работы. Диссертационная работа состоит . из введения, трех глав, заключения и списка литературы; содержит 180 страниц текста, 41 рисунок, 29 таблиц. Список использованной
литературы включает 133 наименования.