Содержание к диссертации
Введение
1. Вопросы исследования механического поведения вязкоупругих наполненных полимерных композитов и их применения 14
1.1 Применение вязкоупругих наполненных полимерных композитови условия их работы 14
1.2 Методы описания механического поведения вязкоупругих материалов 18
1.3 Свойства вязкоупругих наполненных полимерных композитов 22
1.4 Постановка задач исследования 25
2. Математические модели и методические вопросы экспериментальных исследований механического поведения вязкоупругих наполненных полимерных композитов при двухчастотных воздействиях . 27
2.1 Математические модели для описания механического поведения вязкоупругих материалов при стационарных гармонических воздействиях 27
2.2 Методика проведения двухчастотных экспериментальных исследований 35
2.3 Методика определения вязкоупругих параметров высоконаполненных полимеров 45 Выводы по главе 2 56
3. Экспериментальные исследования поведения высоконаполненного вязкоупругого полимерногокомпозита при гармонических воздействиях 58
3.1 Закономерности механического поведения наполненного вязкоупругого композита на полимерной основе при двухчастотных воздействиях. 58
3.2 Закономерности механического поведения наполненного вязкоупругого композита на полимерной основе при одночастотных воздействиях 71
3.3 Анализ точности описания экспериментальных данных математическими моделями, построенных с учетом одного, двух и трех членов интегрального ряда Вольтерра – Фреше 77 Выводы по главе 3 88
4. Процедура идентификации математических моделей вязкоупругого поведения материала в условиях действия двухчастотных нагрузок 90
4.1 Формирование программы экспериментальных исследований 90
4.2 Определение коэффициентов разработанных математических моделей для описания вязкоупругого поведения материала 97
4.3 Анализ адекватности математических моделей описания вязкоупругого поведения материала 102
Выводы по главе 4. 115
Заключение 117
Список литературы
- Методы описания механического поведения вязкоупругих материалов
- Свойства вязкоупругих наполненных полимерных композитов
- Методика проведения двухчастотных экспериментальных исследований
- Закономерности механического поведения наполненного вязкоупругого композита на полимерной основе при одночастотных воздействиях
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время высоконаполненные полимерные
композиты широко используются в ответственных конструкциях аэрокосмической
техники и других отраслях. Смесевые твердые топлива являются типичными
представителями высоконаполненных полимеров и представляют собой смесь из
горючего-связующего, твердых неорганических частиц окислителя, металлических и
других добавок. На данный момент существует множество различных групп смесевых
твердых ракетных топлив, которые отличаются по виду окислителя,
высокоэнергетического горючего, связующего и других компонентов.
Поведение подобных вязкоупругих материалов, чаще всего, лишь приближённо
описывается линейной теорией. В связи с этим был разработан аппарат нелинейной
вязкоупругости, представленный в работах таких авторов, как Ильюшин А.А.,
Огибалов П.М., Победря Б.Е., Москвитин В.В., Работнов Ю.Н., Кристенсен Р.,
Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н., Brinson H.F., Lakes R. и многих других.
Твердотопливные конструкции в процессе эксплуатации испытывают
всевозможные механические и тепловые воздействия. Тепловые нагрузки обусловлены суточными и сезонными перепадами температур, изменением температуры в процессе изготовления заряда, нагревом (охлаждением) ракеты при эксплуатации и т.д. Механическое нагружение может быть, как статическим, так и динамическим. Статическим нагружением является, например, хранение изделия в течение длительного времени, которое может исчисляться годами. Примером динамических нагрузок является транспортировка заряда, пульсации давления в камере сгорания двигателя, артиллерийский выстрел и т.д. Известны работы авторов Thorin A., Azoug A., Constantinescu A., Neviere R., Pradeilles-Duval R.M., Jalocha D., Торми Дж.Е., Бритон С.К., Бульбович Р.В., Словиков С.В., Павлоградский В.В. и др., которые посвящены изучению поведения вязкоупругих материалов и реальных конструкций при одночастотных воздействиях. В действительности, как показывают данные огневых стендовых испытаний, конструкции испытывают значительные (сложные по форме) многочастотные нагрузки в широком диапазоне изменения частот и температур. На первом этапе методически целесообразным является изучение и получение описания поведения материала при двухчастотных нагрузках, которые являются первым приближением к более сложным нагрузкам.
Таким образом, актуальным является развитие методов экспериментального исследования и определения деформационных свойств высоконаполненных полимерных композитов при статических и динамических нагрузках, совершенствование моделей их описания, а также методов расчета конструкций, работающих в экстремальных условиях эксплуатации.
Целью диссертационной работы является совершенствование методик
проведения экспериментальных исследований и определения вязкоупругих параметров
высоконаполненных полимеров при стационарных двухчастотных нагрузках, а также
разработка процедуры идентификации многофакторной математической модели для
оценки напряженно-деформированного состояния вязкоупругих конструкций
аэрокосмической техники.
Задачи работы:
-
Совершенствование модели описания нелинейного механического поведения вязкоупругих материалов в условиях действия стационарных двухчастотных нагрузок.
-
Разработка методик проведения динамического опыта и определения вязкоупругих параметров высоконаполненных полимерных композитов при двухчастотных воздействиях.
-
Проведение экспериментальных исследований с целью выявления многопараметрических зависимостей вязкоупругих параметров от различных условий нагружения.
-
Создание методики идентификации параметров математической модели механического поведения материала, анализ ее предсказательной способности при одно-и двухчастотных нагрузках.
Научная новизна:
-
Предложены новые феноменологические полиномиальные модели в комплексном виде на основе интегрального ряда Вольтерра – Фреше для описания нелинейного вязкоупругого поведения материала при стационарных двухчастотных воздействиях.
-
Разработана методика проведения эксперимента применительно к используемому испытательному оборудованию, а также процедура определения вязкоупругих параметров высоконаполненных полимеров при двухчастотных воздействиях с использованием преобразования Фурье.
-
Получены новые экспериментальные данные о зависимостях вязкоупругих параметров материала от различных условий (частот и температуры) двухчастотного нагружения.
-
Предложена процедура идентификации разработанных математических моделей, включающая методики проведения двухчастотного опыта и определения вязкоупругих параметров материала, разработку экспериментального плана, определение коэффициентов моделей и оценку их адекватности.
Практическая ценность работы обусловлена возможностью использования полученных результатов (разработанных методик и математических моделей) в проектных организациях, научно-исследовательских институтах и конструкторских бюро для анализа напряженно-деформированного состояния конструкций, в которых применяются высоконаполненные полимеры, а также в высших учебных заведениях при подготовке инженеров по специальности «Проектирование авиационных и ракетных двигателей». Получен акт об использовании результатов диссертационной работы в учебном процессе в Пермском национальном исследовательском политехническом университете.
Результаты диссертационной работы использованы при выполнении научно-исследовательской работы в рамках проектов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 13-01-96003, 16-31-00230 (руководитель)).
Достоверность результатов обеспечивается корректным использованием
испытательного и измерительного оборудования, имеющего свидетельства о поверке и
аттестации. Исследования проводились в Центре экспериментальной механики ПНИПУ,
который имеет сертификат аккредитации на проведение механических испытаний и
надлежащую систему менеджмента качества. Достоверность подтверждалась
соответствием данных, полученных с использованием разработанных моделей и независимых экспериментальных данных, не входящих в план идентификации параметров модели.
На защиту выносятся многофакторные полиномиальные математические модели для описания нелинейного вязкоупругого поведения материала в условиях действия различных двухчастотных нагрузок, методики проведения двухчастотного эксперимента, определения вязкоупругих параметров высоконаполненных полимеров и идентификации коэффициентов разработанных моделей.
Апробация работы. Основные результаты исследований, приведенные в диссертационной работе, были представлены на Региональной конференции «Отчетная конференция по итогам завершенных (конкурс 2013-2015) и продолжающихся (конкурс 2014-2016) инициативных проектов» (Пермь, 2016), Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации»
(Пермь, 2016), Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2013-2016), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики и её прикладные аспекты» (Пермь, 2013), Всероссийской научной конференции «Проблемы деформирования и разрушения материалов и конструкций» (Пермь, 2015), Всероссийской научно-технической конференции молодых специалистов ПАО «НПО Искра» (Пермь, 2015), Международной научной конференции «Актуальные проблемы прочности» (Пермь, 2017), Международных научных конференциях «Science of the Future» (Санкт-Петербург, 2014; Казань, 2016), Европейской конференции «European Conference on Composite Materials (ECCM17)» (Мюнхен, 2016), Международной конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций» (Екатеринбург, 2016), Международной конференции по механике композиционных материалов «Mechanics of composite Materials (MCM-2014)» (Рига, 2014).
В полном объеме диссертация обсуждалась на научных семинарах кафедры «Ракетно-космическая техника и энергетические системы» ПНИПУ, Центра экспериментальной механики ПНИПУ, Института проблем машиноведения РАН.
Публикации. Результаты исследований по теме диссертационной работы отражены в 17 публикациях, в том числе 7 статей [1-7] опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданиях, включая 8 публикаций в изданиях, индексируемых в Scopus [1-7, 16] и 2 публикации - в Web of Science [3, 6].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 136 страницах, содержит 52 рисунка, 14 таблиц и 1 приложение. Список литературы включает 141 источник.
Личный вклад автора. Автором были разработаны математические модели для описания нелинейного поведения вязкоупругого материала, основные этапы методики проведения двухчастотного опыта, программа определения вязкоупругих параметров высоконаполненных полимеров, проведены экспериментальные исследования. Автор участвовал в разработке и реализации процедуры идентификации моделей.
Методы описания механического поведения вязкоупругих материалов
Механические характеристики материалов чаще всего определяются экспериментально и при дальнейшем их использовании в расчетах, должны быть обработаны математически. Математические модели могут быть построены на основании структурного и феноменологического подходов [53, 79].
Первый подход нацелен на выявление причин наблюдаемого поведения материала, характеризуемого, например, его структурными особенностями. Данный подход опирается на действительную природу явлений, но достаточно сложен, требует значительных разносторонних экспериментальных и теоретических исследований, не всегда приводит к быстрым практическим результатам. Такой подход разрабатывается Институтом механики сплошных сред Российской академии наук (г. Пермь) и другими организациями [47, 48, 50, 125, 134].
Второй подход – феноменологический [15, 19, 32, 60, 106, 127]. Он связан с получением довольно простых математических моделей, описывающих поведение вязкоупругих материалов, а также с процедурой параметрической идентификации [83, 117] и позволяет получить инженерный аппарат для исследования вязкоупругих конструкций. Второй подход не противоречит первому и создает информационную базу для последующего этапа построения и совершенствования физических моделей. К недостаткам феноменологических моделей можно отнести то, что они не учитывают физическую структуру материала.
Для оценки напряженно-деформированного состояния вязкоупругих полимерных конструкций используют аппараты линейной и нелинейной теорий термовязкоупругости. Необходимым условием линейности вязкоупругих свойств является независимость функции ползучести от приложенного напряжения или функции релаксации от деформации [29, 49, 52, 67]. Большинство материалов обладают линейными вязкоупругими свойствами до определенных значений нагрузок, после которых становятся более податливыми, причем границы линейного поведения не являются ярко выраженными. Важным вопросом является определение границ линейности свойств материалов. Предельные значения нагрузок, когда материал проявляет линейность, может зависеть от температуры, времени нагружения, режима испытания, допустимой величины отклонения от линейного вязкоупругого поведения, а также от структуры материала [2, 51, 67, 134]. Диапазон линейности может быть еще шире в тех случаях, когда выходящие за максимальные пределы напряжения и деформации действуют на протяжении сравнительно малого времени (дают не значительный вклад в процесс) [29].
В настоящее время в промышленности существует множество материалов со сложным поведением при нагрузках. Для них явления ползучести и релаксации плохо описываются линейной теорией. Кроме того, как отмечалось выше, даже для линейных вязкоупругих материалов при увеличении нагрузок соотношение между напряжениями и деформациями становиться нелинейным. Для моделирования подобных процессов был разработан аппарат нелинейной вязкоупругости, представленный в работах таких авторов, как Ильюшин А.А., Огибалов П.М., Победря Б.Е. [29, 30, 52], Москвитин В.В. [49], Работнов Ю.Н. [61], Кристенсен Р.М. [40], Колтунов М.А. [32], Арутюнян Н.Х. [5], Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. [2], Зезин Ю.П, Ломакин Е.В. [140], Brinson H.F., Brinson L.C. [103], Lakes R. [120] и других [6, 20, 109, 110, 136]. В пределах, при которых для материала наблюдается линейность его вязкоупругих свойств, к нему может быть применен принцип суперпозиции Л. Больцмана [24, 77], при котором поведение материала определяется с помощью простых кривых ползучести и релаксации. Соотношения между напряжениями и деформациями можно записать в интегральной, дифференциальной, а также комплексной форме [21, 60, 77, 103, 120]. Интегральные уравнения Больцмана – Вольтерра являются одними из наиболее универсальных для описания вязкоупругих свойств. Интегральные уравнения содержат ядра ползучести и релаксации (функции скорости ползучести и релаксации). Такими исследователями, как Абель Н. [80], Работнов Ю.Н. [60, 61], Бронский А.П. [11], Слонимский Г.Л. [69], Ржаницын А.Р. [62], Вульфсон С.З. [18], Колтунов М.А. [34, 35], Москвитин В.В. [49], Малмейстер А.К. [45], Больцман Л. [102] и другими в работах использовались различные зависимости для описания ядер ползучести и релаксации. Также нужно отметить, что при необходимости возможны комбинации нескольких ядер.
В случае дифференциальной связи между напряжениями и деформациями используются дифференциальные операторы [40, 49, 60, 103, 120]. Идентификация дифференциальных операторов не нашла столь широкого описания в литературе, как идентификация параметров интегральных операторов.
В условиях стационарных гармонических колебаний для описания деформационных свойств вязкоупругих материалов удобно использовать комплексные модули [10, 21, 39, 73, 119, 123]. В случае гармонического нагружения образца деформации оказываются сдвинутыми от напряжений на некоторый угол сдвига фаз (угол потерь). Поведение материала в таком случае определяется динамическим модулем и углом потерь.
Для феноменологических описаний линейных вязкоупругих тел существуют переходы от одного способа описания свойств полимера к другому [112]. Огибалов П.М. с соавторами [51] дает дополнительные переходы. Такое дополнение обусловлено использованием, так называемых «скоростных» испытаний, реализуемых либо при постоянной скорости роста деформации, либо при постоянной скорости роста напряжения. Многие из указанных Gross B. и Огибаловым П.М. методов перехода от одного способа описания вязкоупругих свойств к другому сопряжены с большими зачастую непреодолимыми математическими трудностями и имеют чисто теоретическую значимость. В то же время, как отмечает Кристенсен Р. [40], встречаются случаи, в которых оптимальный образ действий состоит в экспериментальном определении механической характеристики одного типа и в переходе от нее с помощью приближенных методов к характеристике другого типа.
Перечисленные выше методы описания поведения вязкоупругих материалов удобны для решения определенного круга задач. Правильный выбор метода, который в первую очередь зависит от вида нагрузок, действующих на конструкцию, существенно облегчает работу исследователю. При ступенчатом нагружении целесообразно использовать интегральные операторы, при скоростном нагружении конструкции – скоростной модуль, при гармоническом нагружении – комплексный модуль. Также выбор метода зависит от особенностей проведения эксперимента. В опытах на релаксацию и ползучесть при получении данных для малых интервалов времени возникает трудность, связанная с динамическими эффектами. Обычно [40] данные о релаксации и ползучести ограничиваются интервалами времени не менее 0,1 секунды. Для меньших интервалов времени данные о механических характеристиках следует получать из динамических испытаний.
Свойства вязкоупругих наполненных полимерных композитов
В данном разделе приведены результаты экспериментальных исследований закономерностей поведения вязкоупругого низкомодульного высоконаполненного композита на полимерной основе в условиях действия одно- и двухчастотных нагрузок. Предметом изучения являются механическое поведение материала при различных условиях нагружения. Для этого проводился комплекс экспериментов. Проведено сопоставление результатов при одно- и двухчастотных испытаниях. Построены графические зависимости вязкоупругих параметров от частот нагружений при различных температурах опыта. Проведено сопоставление точности описания экспериментальных данных линейной и нелинейными математическими моделями при гармонических условиях нагружения. Проанализирована возможность использования предложенных моделей.
Анализ уравнений (2.25 - 2.52) показывает, что Ёх/1(сох;Т) и Ёх/2(со2;Т), Е 1/1(а 1;Т) и Е 1/2(а)2;Т), фЕ1/1(а\;Т) и рЕ1/2(со2;Т), Ё21х(сох;Т) и Ё2/2{со2;Т), Е 2/1(со1;Т) и Е 2/2(со2;Т), (рЕ2/1(со1;Т) и (рЕ2/2(со2;Т), Ё3/1(сох;Т) и Ё3/2(со2;Т), Е /1(со1;Т) и Е /2(со2;Т), (рЕ3/1(со1 ;Т) и PE3/2( 2;T) имеют однотипные зависимости соответственно. При изучении влияния различных условий двухчастотного нагружения на поведение вязкоупругого материала было предложено ввести относительный частотный фактор К=со1 / со2. Тогда фактор К имеет два предельных значения: При K = 1 двухчастотная нагрузка преобразуется в одночастотную нагрузку, частоты первой и второй гармоник равны со1 = а 2 = со, Ёт(со;Т) = ЁУ2 (со;Т), E 1/ 1(co;T) = Е1 /2(ю;Т) , ФЕ1/1(в);Т) = (рЕ1/2(со;), Ё2П(со;Т) = Ё2/2(со;Т) = 12Ё2/3(со;Т), Е 2/1(со;Т) = Е2 /2(со;Т) = 12Е2 /3(со;Т), VE2/1W) = VE2/2W) = VE2/3W) , 4i to T) = Ёш {со; T) = 13 Ё3/3 {со; T) = 13 Ёш {со; T), E3 /1(co;T) = Е3 /2(СО;Т) = 13Е 3/3(со;Т) = 13Е 3/4(со;Т), (РЕ3МЛ = (РЕ3/2(;Л = ФЕ3/3Ф;Т) = ФЕ3/МЛ . При K = 0 двухчастотная нагрузка преобразуется в одночастотную нагрузку, амплитуда деформации первой гармоники преобразуется в предварительную статическую деформацию sst = sa1, со1 = 0, со2 = со. В действительности мы не можем бесконечно уменьшать частоту со1 до нуля, но мы можем определить некоторые пороговые значения частоты (или отношение частот), при которых значения вязкоупругих параметров будут стремиться к нулю (или достигать некоторых постоянных значений). Так, например, чем ближе K к нулю, тем менее существенны зависимости Е 2/3(со2;Т), фЕ2/3(а 2;Т),
Е3/3(й)2;Т), рЕ3/3(со2;Т), Е3/4(си2;Т), рЕ3/4(со2;Т) и при определенном соотношении частот ими можно пренебречь.
Следует отметить, что в реальности соотношения частот К1, …, К6, при которых можно пренебречь зависимостями Е 2/3(со2;Т), фЕ2/3(со2;Т), Е3/3(со2;Т), (рЕ3/3(о)2;Т), Е 3/4(о)2;Т), (рЕ3/4((о2;Т) соответственно (смотри (3.9) - (3.18)), могут
быть достаточно малы. Их определение может существенно увеличить временные и финансовые затраты. С другой стороны, определение К1, …, К6 может и не являться задачей исследователя. В таких случаях экспериментатор может ограничиться некоторым (требуемым) значением K7, которое выбирается в зависимости от реального соотношения гармоник, наблюдаемого при исследовании поведения конструкции. Тогда поведение вязкоупругого материала будет определяться в диапазоне К є [К7 ;1].
Если Кє[0;1], то Ё2/3(а\;Т) и Ё213{со2,Т), Е?2/3(а\ ;Т) и Е 2/3(со2;Т), 2/зЦ;г) и feK;r), 3/зИ;71) и Е3/3(со2;Т), F?3l3(a\\T) и Е;З( 2;Г), з/зИ; ) и рЕЗ/3(ео2;Т), Ёш(а\\Т) и Ё3/4(со2;Г), Е?ш(а\\Т) и З /4(Й?2;Г), (pE3IA{cQx\T} и (рЕЗ/4(й)2;Т) имеют однотипные зависимости соответственно, которые сдвинуты относительно друг друга в полулогарифмических координатах на величину IgK и на величину 0,5\gK относительно Ё211{а\;Т) и Ё2/2(со2;Т), Е?ш(а\;Т) и Е 2/2(со2;Т), рЕ2П(а\;Т) и рЕ2/2(а)2;Т), Ёзп(а\;Т) и 3/2 ( 2 ) , К/1 Ц і Л и 3/2 ( 2 ) , РЕЗ/1 ( 1 ) и 3/2 ( 2 ) , 3/1 ( 1 ) и Ё3/2(о)2,Т), Е3/1(щ;Т) и Е3/2(о)2;Т), (рЕЗП(щ ;Т) и рЕЗ/2(со2;Т) соответственно. Резюмируя вышеизложенное, были предложены следующие зависимости вязкоупругих параметров от температуры и частоты
Для определения влияния частот двухчастотного нагружения на механическое поведение материала были проведены экспериментальные исследования при различных значениях частот (таблица 3.1). Для выявления влияния температуры на вязкоупругие свойства материала эксперименты проводились при различных температурах, постоянство которых поддерживалось в температурной камере Instron 3119 (таблица 3.1). Всего было проведено 5 экспериментов. После обработки результатов экспериментов были построены графические зависимости вязкоупругих параметров от частот нагружения и температуры (рисунки 3.1 – 3.13).
Методика проведения двухчастотных экспериментальных исследований
Коэффициент Кге показывает процентное содержание амплитуд деформации гармоник, содержащихся в выходном сигнале, но не присутствующих во входном. Он характеризует степень нелинейных искажений испытательной системы, отличие реализуемого сигнала от задаваемого. Чем меньше значение Кге, тем выше точность реализации сигнала, а также точность определения вязкоупругих параметров. При этом Крв зависит от значений коэффициента обратной связи кос, в связи с чем кос выбирался таким, чтобы КГе был минимальным. Во всех испытаниях коэффициент гармонических искажений не превышал 0,4 % (КГе 0,4 %).
На рисунке 3.23 можно увидеть насколько малые амплитуды деформации может реализовать экспериментальное оборудование без существенных искажений задаваемого сигнала. При еа 0,5 % экспериментальная установка с достаточной точностью повторяет задаваемые деформации (Кге не превышает 0,4 %). С уменьшением амплитуды деформации значения коэффициента КГе увеличиваются, например, при еа = 0,3 % Крв = 1,2 %. Для других значений частоты и температуры наблюдаются подобные зависимости.
Коэффициент Кга показывает процентное содержание амплитуд напряжения гармоник, содержащихся в выходном сигнале, но не присутствующих во входном, характеризует степень нелинейных искажений в материале. Другими словами, коэффициент Кра показывает неточность описания экспериментальных данных линейной моделью №1. При увеличении амплитуды деформации еа коэффициент Кга растет. На начальном участке (при еа 0,5 %) значения Кга не были приведены на графиках (рисунок 3.24) в связи с неудовлетворительной реализацией задаваемого сигнала испытательной системой ElectroPuls Е10000 по деформации (рисунок 3.23).
В случае одночастотных нагрузок Кга показывает отличие петли гистерезиса от эллиптической формы (рисунок 3.25). На рисунке 3.25 показаны петли гистерезиса для 2-ого и 6-ого циклов нагружения с частотой 1 Гц, амплитудой деформации 4 %, при температуре 30 оС.
Для определения неточности описания экспериментальных данных предложенными нелинейными моделями №2 и №3 рассчитывались следующие коэффициенты K 2 Г)) -(1)) -(2)) -( (1/ K)) -(2/K))2 -(3/K))2 -(1/K+1))2 -( a_1))2 показывающие процентное содержание амплитуд напряжения тех гармоник, которые не были учтены в нелинейных математических моделях №2 и №3 соответственно.
Форма петель гистерезиса исследуемого материала для 2-ого и 6-ого циклов нагружения На рисунке 3.26 в качестве характерного примера для одночастотного нагружения №1 из таблицы 3.3 приведены зависимости напряжения от времени, полученные экспериментально и по нелинейной модели №3. На рисунке 3.27 приведены значения амплитуд напряжения тригонометрического полинома (3.28), описывающего экспериментальные данные (одночастотное нагружение №1 из таблицы 3.3).
Значения амплитуд напряжения тригонометрического полинома – (t) (одночастотное нагружение №1 из таблицы 3.3) Таблица 3.3. Параметры одно- и двухчастотного нагружений
Также были использованы показатели кїтах, 2max, k3max, max, К h, К К Для оценки максимальных и средних отклонений экспериментальных значений напряжения от значений, полученных с использованием моделей №1, №2, №3 и тригонометрического полинома an{f) (3.28) в процентах соответственно экспериментально, Доі, Аа2, Аа3, А , Aaimax, Aow, Aa3max, A max - средние и максимальные линейные отклонения значений напряжения, определенных экспериментально, от значений напряжения, определенных с использованием линейной №1, нелинейных №2 и №3 моделей, а также тригонометрического полинома an{t) т - количество определяемых значений напряжения егэ, о\, ог, егз, оц. Значения егэ, сі, 02, с"з, ег 7 определялись через промежуток времени, равный 0,001 с.
Если т/2 оо, то разница между экспериментальными значениями напряжения егэ и значениями напряжения, полученными в результате гармонического анализа аф стремится к нулю [16] ( max = 0 и кп = 0). В действительности мы должны ограничиться конечным числом 7/2 . В связи с этим порядок тригонометрического полинома ц2 выбирался таким, чтобы максимальное отклонение экспериментальных данных от значений тригонометрического полинома не превышало 0,2 % (кпmax 0,2 %), среднее отклонение - 0,04 % ( 0,04 %). Аналогичным образом выбирались значения г\1 .
Для нагружения №1 из таблицы 3.3 при т/2 = 50 показатели max = 0,15 %, = 0,04 %. Если увеличить порядок, например, до г\2 = 300, то точность описания экспериментальных данных тригонометрическим полиномом (3.28) увеличивается не существенно ( max = 0,11 %, = 0,03 %). Разница значений Ка3, которые были определены при rj2,= 50 и при rj2,= 300, составляет не более 0,01 %.
На рисунке 3.28 для нагружения №2 из таблицы 3.3 приведены зависимости напряжения от времени, которые были получены экспериментально и по нелинейной модели №3. На рисунке 3.29 приведены значения амплитуд напряжения тригонометрического полинома (3.28), описывающего экспериментальные данные (двухчастотное нагружение №2 из таблицы 3.3).
Таким образом, вязкоупругое поведение материала при использовании нелинейной модели №3 в условиях действия одночастотных нагрузок описывается тригонометрическим полиномом (3.28) при rj, равном 1, 2, 3. Из рисунка 3.27. видно, что наиболее информативными являются эти первые три гармоники с амплитудами напряжения аа(1), оа(2), аа(3). При этом ега(1) соответствует первому члену интегрального ряда Вольтерра - Фреше (2.23) (линейное поведение), о(2) - второму (нелинейное поведение), а(3) - третьему (нелинейное поведение).
Закономерности механического поведения наполненного вязкоупругого композита на полимерной основе при одночастотных воздействиях
После статистической обработки экспериментальных данных и определения коэффициентов моделей проводился анализ их адекватности. В данном случае под термином «адекватность» понимается соответствие неточности предсказания экспериментальных данных с помощью разработанных уравнений той неточности, с которой определяются сами экспериментальные данные [23].
Адекватность разработанных моделей эксперименту проверялась по критерию Фишера [23, 58] сравнением табличного значения FT с отношениями F = $-, при S2 S2, F = -f, при S2 S2, (4.14) „2 ад „2 ад в ад V2 V2 Fv= f, при V2d V2, Fy =-2, при V2d V2. (4.15) в ад Абсолютное значение дисперсии неадекватности определяется по формуле [23, 58] и 2Х- )2 S2ad = -гй , (4.16) п -п относительное значение дисперсии неадекватности определяется уравнением следующего вида и Y -Y л i Z V2=1=lK г J—, (4.17) где YMi - случайная величина (вязкоупругий параметр), определенная по разработанным зависимостям для z-тых условий эксперимента, Y, - случайная величина (вязкоупругий параметр), определенная экспериментально для г-тых условий эксперимента, п - количество вязкоупругих параметров, определяемых экспериментально по плану (таблица 4.3), п" - число коэффициентов разработанного уравнения.
Табличное значение FT определяется при степени свободы дисперсии воспроизводимости п- 1 (для п дублирующих экспериментов) и степени свободы дисперсии неадекватности п -п". В случае если расчетное значение меньше или равно табличному значению (Ґ FT), то модель адекватна. Если Sad2 Se2 (Vad2 Ve2) и F FT, то модель неадекватна (недостаточно точно описывает исследуемое явление). В таком случае необходимо повысить степень аппроксимирующего полинома, а также увеличить количество испытаний в случае необходимости. Если Sad2 Se2 (Vad2 Ve2) и F FT, то модель неадекватна (неоправданно точно описывает данные эксперимента, которые были получены с большой доверительной ошибкой). В этом случае степень полинома целесообразно понизить. Если при этом уравнение становиться слишком грубым, то рекомендуется использовать неоправданно точный полином [23].
Адекватность предложенных моделей проверялась по опытам, входящим в разработанный экспериментальный план (таблица 4.3). Для вязкоупругих параметров срв выполняется условие адекватности в абсолютных единицах (4.14), для вязкоупругих параметров Е - в относительных (4.15).
Помимо экспериментов, необходимых для определения коэффициентов математических моделей (таблица 4.3), в ходе исследования закономерностей механического поведения материала были проведены дополнительные (независимые) эксперименты в диапазонах частот (0,01 1) Гц, амплитуд деформации (0,5 6) %, отношения частот (0,01 1) и температур (50 50) С. Из всего объёма испытаний только 16 использовались для определения констант полиномиальных зависимостей (3.1 - 3.26). Таким образом, оставшиеся эксперименты могут быть использованы для сопоставления моделей №1, №2 и №3 по их данным. При этом необходимо оценить влияние различных вязкоупругих параметров на точность описания механического поведения вязкоупругого материала и дать окончательные рекомендации к их использованию.
Для сравнения моделей №1, №2 и №3 было предложено использовать показатели к32 = 3, к31 = 3, к21=2, (4.18) Ло-3 _Аа3 Аа2 32 "31 — "-21 Аа2 Аа1 Аа1 где о3, ё2, ах - средние линейные отклонения значений напряжения, определенных экспериментально, от значений напряжения, определенных по моделям №3, №2, №1 соответственно (3.35). k32, 31 21 показывают во сколько раз модель №3 точнее модели №2, модель №3 точнее модели №1, модель №2 точнее модели №1 соответственно. При кз2 1 модель №3 более точно описывает результаты эксперимента, при к 1 модель №2 более точна. Аналогично для показателей з1 и fei. Помимо кзі, кзі, кц также были определены максимальные отклонения экспериментальных значений напряжения от значений, полученных с использованием разработанных моделей №1, №2, №3 с помощью показателей ітахД2тахДзтах(3.34). Результаты сопоставления экспериментальных данных некоторых двухчастотных нагружений с моделями №1, №2 и №3 приведены в таблице 4.5. На рисунках 4.3 - 4.5 для некоторых режимов нагружений из таблицы 4.5 представлены зависимости напряжения от времени, полученные экспериментально и по нелинейной модели №3. Для всех проанализированных независимых двухчастотных экспериментов средние значения 3max, k2msK, klmax равны 9,9 %, 9,9 %, 16,9 % соответственно, средние значения к31, к32, к2Х равны 1,64, 1,22, 1,39 соответственно. При этом для экспериментов с суммарной амплитудой деформации (єа1 + еа2) 3,5 % к3тях=9,5%, к2тах=9,8%, 1тах =17,9 %, к31 = 1,81, к32 = 1,29, к21 = 1,43. Для экспериментов с суммарной амплитудой деформации (єа1 + єа2) 3,5 % значения =11,2%, 2тах=Ю,0%, 1тах = 13,7%, к31= 1,13, к32= 0,99, к21= 1,27. Для установочных опытов (режимы нагружения 1, 5, 9, 13 из таблицы 4.3) к3тах = 7,4%, Кша,=9Л %, тах=19,2А к31= 1 78Д2= 1Д6Д21= 1,56.