Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Применение механики деформируемого твердого тела при оценке модуля юнга асбестовых нанотрубок
1.1 Введение 15
1.2 Описание эксперимента 16
1.3 Теоретический анализ. Модель балки 23
1.4 Применение неклассический теорий оболочек 34
1.5 Численные расчеты 46
1.6 Заключение 47
ГЛАВА 2. Влияние поверхностных эффектов на устойчивость пластины с круговым отверстием
2.1 Введение 48
2.2 Постановка задачи 49
2.3 Решение 51
2.4 Численные расчеты 55
2.5 Заключение 57
ГЛАВА 3. Устойчивость пластины с круговой вставкой из другого материала
3.1 Вывод напряжений в задаче о пластине со вставкой 58
3.2 Численные результаты 64
3.3 Постановка задачи об устойчивости пластины со вставкой 73
3.4 Численные результаты 78
3.5 Заключение 81
Литература
- Теоретический анализ. Модель балки
- Численные расчеты
- Постановка задачи
- Постановка задачи об устойчивости пластины со вставкой
Введение к работе
Актуальность темы обусловлена современным развитием
наномеханики и необходимостью качественного описания и аналитического предсказывания результатов, получаемых экспериментально.
Сложность развития нанотехнологий, играющих большую роль в области медицины, биомеханики, электрофизики и других областях, в том, что нет общих и единых принципов построения аналитических моделей, а полученные экспериментальные данные требует серьезного анализа, т.к. любое вмешательство приборов, проводящих измерения, вносит свой вклад в получаемые результаты. К некоторым задачам можно применить методы классической континуальной теории упругости. Этому вопросу и посвящена диссертационная работа. Также для оценки аналитических решений использовался пакет прикладных программ ANSYS, основанный на методе конечных элементов.
В рамках теории упругости разработаны модели механики деформируемого твердого тела для определения модуля упругости асбестовых нанотрубок по данным экспериментов, построены модели, оценивающие влияние поверхностных эффектов на критическую нагрузку тонкой пластины с круговым отверстием, растягиваемую в одном направлении, а также решена задача о локальной устойчивости пластины с круговой вставкой из другого материала, находящаяся при одноосном растяжении.
Целью диссертационной работы является анализ применения методов классической континуальной механики к объектам наноразмерной толщины, получение аналитических решений, сравнение с численными методами и экспериментальными данными в случаях, где эксперименты проводились.
Основные методы исследований. Для построения моделей пластин и оболочек использовалась классическая механика деформируемого твердого тела. В пакете Maple созданы программы для построения численных
решений задач, при помощи конечно-элементного анализа в пакете ANSYS также получен ряд результатов.
Результаты, выносимые на защиту:
Построена теоретическая модель для нахождения модуля Юнга асбестовых нанотрубок, полученного экспериментальным путем, а именно рассмотрена балка по теории Тимошенко-Рейсснера.
Построена модель, использующая неклассические теории многослойных оболочек (теории Палия-Спиро и Родионовой-Титаева-Черныха), проведен сравнительный анализ с данными, полученными при решении в пакете ANSYS.
Решена задача об устойчивости плоской формы равновесия при одноосном растяжении бесконечной тонкой пластины с круговым отверстием, с учетом поверхностных эффектов на границе отверстия, и с учетом поверхностных эффектов, усредненных вдоль всей поверхности пластины. Проведен сравнительный анализ.
Решена задача о локальной устойчивости при одноосном растяжении бесконечной пластины с круговой вставкой, проведен анализ влияния модулей упругости вставки на величину критической нагрузки. Проведено сравнение с результатами решения задачи в пакете ANSYS.
Достоверность полученных результатов основывается на сравнении с экспериментальными данными, представленными в научной литературе, и с результатами, полученными при конечно-элементном моделировании в пакете ANSYS, а также корректной постановкой задач и использованием строгих математических методов.
Научная и практическая ценность. Теоретический анализ и качественные оценки помогают экспериментаторам, работающим с АСМ (атомным силовым микроскопом), проверить достоверность своих измерений. Решение задачи об устойчивости растягиваемой бесконечной пластины наноразмерной толщины с отверстием показало, что учет влияния
поверхностных эффектов вдоль всей поверхности играет несколько бОльшую роль, чем учет эффектов на границе отверстия. Решение задачи об устойчивости пластины со вставкой позволяет оценить влияние модуля упругости вставки на величину критической нагрузки.
Апробация работы. Постановка задачи, методы решений и результаты обсуждались на следующих конференциях и семинарах: II Всероссийская конференция, ММПСН-2009; XVIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь 2009 г.; семинар «Компьютерные методы в механике сплошной среды», ПГУПС, Санкт-Петербург, 10 ноября 2009; Международная конференция по механики «VI Поляховские чтения», Санкт-Петербург 2012 г.; 8th European Solid Mechanics Conference, Graz, Austria, 2012; 19th European Conference on Fracture, Kazan 2012; 28th Nordic Seminar on Computational Mechanics, Tallinn, Estonia 2015; на семинарах кафедры Теории упругости СПбГУ; семинар «Компьютерные методы в механике сплошной среды», ПГУПС, Санкт-Петербург, 20 декабря 2016.
Список публикаций. По теме диссертации опубликованы 7 статей и 9
тезисов в сборниках тезисов конференций, в том числе четыре работы [1]-[4]
в журналах, рекомендуемых ВАК, и изданиях, входящих в базу данных
Scopus. Большинство работ выполнены с соавторами, где Морозову Н.Ф. и
Бауэр С.М. принадлежит постановка задач, консультации, а также анализ
результатов, Ермакову А.М. и Семенову Б.Н. построение моделей методом
конечных элементов в пакете ANSYS, Анкудинову А.В. и Няпшаеву И.А.
постановка эксперимента, описанного в I главе, Грекову М.А. решение
задачи о влиянии поверхностных эффектов на границе отверстия на
устойчивость растягиваемой пластины. Обработка экспериментов,
построение моделей, аналитические выкладки, построение графиков, реализация программ в пакете Maple, сравнение полученных результатов сделано Каштановой С.В.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, приложения и списка литературы, насчитывающего 60 наименований. Число иллюстраций равно 31. Общий объем равен 92 стр.
Теоретический анализ. Модель балки
Силы, действующие на зонд, можно измерять разными способами, соответственно, выделяют разные режимы работы микроскопа. В статическом, контактном, режиме [47] сила пропорциональна статическому отклонению зонда от нейтрального положения. АСМ в этом режиме получает изображение рельефа, перемещая зонд вдоль поверхности так, чтобы суммарная нормальная сила, действующая на зонд, была постоянной. При увеличении силы зонд поднимается над поверхностью за счет обратной связи, при уменьшении – опускается. В динамическом, полуконтактном, режиме [20] зонд вынужденно колеблется на частоте, близкой к свободному резонансу. При приближении к поверхности зонд начинает стучать по ней. Чем больше будет падать амплитуда, тем сильнее зонд стучит по поверхности образца.
Статический режим является количественным, однако при сканировании возникают неконтролируемые силы трения, разрушающие образец. Связь изгиба зонда с расстоянием до поверхности отражает локальную жесткость образца, что позволяет исследовать локальные механические свойства. На этом принципе основана трехточечная АСМ-методика [4]. Суть ее заключается в анализе механического отклика системы, сформированной из нанообъекта. Такими системами, хорошо изученными в рамках теории упругости, являются балки, закрепленные в двух точках. Практическим аналогом модели оказываются наномостики из нанотрубок на пористой подложке. Результаты анализа сильно зависят от условий закрепления наномостика на подложке. Обычно без всяких экспериментальных доказательств наномостик считают защемленной с обоих концов балкой.
Игнорируется при этом другой крайний случай – наномостика с опертыми концами, в результате значение модуля Юнга может оказаться заниженным в четыре раза. Анализ условий закрепления наномостика в большинстве работ не проводится, что негативно влияет на уровень достоверности результатов трехточечной АСМ-методики [60].
Другой АСМ-режим, полуконтактный, принято относить к неразрушающим режимам, но он не является количественным. Для него до сих пор не создана полноценная аналитическая теория, позволяющая контролировать силу удара зонда о поверхность образца.
Существует ряд проблем, которые снижают количественный уровень АСМ-исследований нанообъектов, такие как: паразитный эффект плуга; неизвестные условия закрепления наномостика на подложке; временные затраты на поиск наномостиков на образце; неточность позиционирования сканера; отсутствие полноценной теории полуконтактного режима, необходимой для количественных АСМ-измерений; ошибки в калибровке жесткости.
Одним из узких мест трехточечной методики является эффект плуга, возникающий из-за конструктивных особенностей микроскопа. Чтобы обеспечить безопасный подвод острия к образцу, зонд обычно располагается под углом 20 к поверхности образца. В результате при изгибе во время контакта с поверхностью балка испытывает дополнительное смещение кончика острия в горизонтальной плоскости образца относительно начального положения. При исследовании наномостика это может приводить к срыву острия зонда с объекта и искажению данных силовых кривых. Для исключения этого паразитного эффекта необходимо выбирать наномостики, расположенные параллельно проекции балки АСМ-зонда.
В результате специфических требований к расположению наномостика относительно зонда поиск таких объектов на подложке занимает слишком много времени. Для сокращения времени поиска «правильных» наномостиков в [60] предложено использовать «карту образца», полученную при помощи сканирующего электронного микроскопа. Как уже отмечалось, для получения достоверных значений модуля Юнга важно знать условия закрепления наномостика на подложке, а также поперечные размеры наномостика, длину пролета мостика Lbridge и минимальную жесткость kMIN. Для определения нижней оценки длины пролета мостика LMIN предложено использовать его профиль жесткости.
В работе [60] было установлено, что наномостики, образованные протяженными нанотрубками, длина которых на несколько порядков превышает диаметр поры, могут описываться случаем как опертой, так и зажатой балки. А практически все короткие нанотрубки, длина которых всего в два-три раза превышает диаметр поры, были отнесены к случаю опертой балки. Также проведено сравнение LMIN с длинами пролета Lbridge для случая опертой или зажатой балки. Оказалось, что почти для всех протяженных нанотрубок LMIN лежала между значениями расчетных длин пролета для опертой и зажатой балки. А для всех коротких трубок LMIN была меньше расчетной длины опертой балки. Учет условий закрепления корректирует значения модуля Юнга E и в некоторых случаях обосновывает его четырехкратное увеличение.
Экспериментальные данные для всех типов нанотрубок показывают практически 100 %-ый статистический разброс модуля Юнга, что существенно выше инструментальной погрешности каждого измерения, 25 %. Подобный разброс наблюдался и в других работах, посвященных нанотрубкам, его можно объяснить вкладом неидеальностей структуры отдельных нанотрубок, наличием в них дефектов.
При экспериментальном значении силы отбрасывались точки, для которых деформация (прогиб) мостика была меньше среднеквадратичного отклонения совмещения сечений топографий вне поры. Правильность совмещения топографии и точек измерения жесткости определялась минимумом разброса расчетных значений силы вдоль наносвитка.
Численные расчеты
показано в [51] эти гипотезы приводят в исходных уравнениях к погрешности порядка O(h/R) по сравнению с единицей. Такая погрешность вполне приемлема при расчете многих конструкций, встречающихся в различных областях техники, особенно металлических конструкций. Классическая теория пластин и оболочек, разработанная сначала для изотропных однородных структур, получила широкое применение и в механике анизотропных конструкций. В этом случае при решении задачи о деформации анизотропных пластин и оболочек используются только другие соотношения упругости [46].
При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [26, 32]. Для ряда ортотропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [32,22,23,46]. Однако существует достаточное количество оболочек, в первую очередь изготовленных из неметаллических материалов, где точность классической теории становится недостаточной. Это может быть связано с достаточно большим отношением толщины к характерному размеру оболочки или пластины, или со свойствами материала. Многие синтетические материалы обладают повышенной податливостью на межслоевой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие по величине касательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметно влияют на общую деформацию оболочки. Теория изгиба таких оболочек требует введения, меньших ограничений, чем накладывают гипотезы Кирхгоффа-Лява. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории -гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П. Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [56,53]. В монографии [53] последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом фактически учтена трансверсальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [37,38] теорию, изложенную в [53], называют теорией трансверсально-изотропных оболочек.
В работе Палия О. М., Спиро В. Е. [52] для оболочек средней толщины были предложены следующие уточняющие гипотезы: прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и косинус угла наклона таких волокон к срединной поверхности деформированной оболочки равен осредненному углу поперечного сдвига. Так же при построении теории оболочек средней толщины учитываются напряжения, возникающие по толщине, путем введения сложной функции изменения длины нормали к поверхности.
Новая уточненная итерационная теория деформаций анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных решений краевых задач, представлена в монографии В.А.Родионовой, Б.Ф.Титаева, К.Ф.Черныха [54]. Методом гипотез построена линейная теория неоднородных анизотропных оболочек постоянной толщины с учетом малой податливости поперечным сдвигам и деформированию в направлении нормали к срединной поверхности, поперечных нормальных напряжений и нелинейного распределения компонент вектора перемещения по толщине оболочки. Предложенную теорию можно трактовать как первое приближение при приведении краевой задачи трехмерной теории упругости к двухмерной методом взвешенных невязок. Вводятся статические гипотезы о распределении по толщине оболочки поперечных касательных и нормального напряжений по закону соответственно квадратной и кубической параболы. А также кинематические гипотезы о распределении по толщине оболочки тангенциальных и нормальной составляющих вектора перемещения по закону полинома соответственно третьей и второй степени от z (нормальной координаты). Функции, описывающие деформацию слоя оболочки по теории Родионовой - Черныха, предлагается искать в виде рядов, по полиномам Лежандра от координаты z.
Пусть a, ft - цилиндрические координаты на поверхности оболочки, а -полярный угол, р - координата вдоль образующей трубки, ti - толщины, R1 -радиусы срединных поверхностей слоев оболочки, а L - длина трубки.
Постановка задачи
Известно, что области сжимающих напряжений наблюдаются не только при одноосном растяжении пластины с отверстием. Сжимающие напряжения наблюдаются также в пластинах с включением, а значит и в этом случае возможна потеря устойчивости. В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о потере устойчивости плоской формы равновесия при одноосном растяжении напряжениями пластинки со вставленной круговой шайбой из другого материала.
Рассматривается задача о бесконечной пластине с круговой вставкой из другого материала с приложенной на бесконечности вдоль оси у нагрузкой. Наличие материала с другими упругими характеристиками в области твердого тела при нагрузке вызывает неоднородное поле напряжений. В случае, если в пластине имеется отверстие, то мы получаем известную задачу Кирша. Решение этой задачи в полярной системе получено в 1898 году и вошло во все учебники и справочные пособия. Решение этой задачи для произвольной вставки в полярной системе координат (с центром во вставке) получено Мусхелишвилли [49]. В работе [6] представлено решение этой задачи в декартовой системе координат. Для решения используется метод суперпозиции линейной теории упругости [16,19,45].
Предположим, что Е± , v± - соответствующие модуль Юнга и коэффициент Пуассона пластины, а Е2, v2 - модуль упругости и коэффициент Пуассона вставки. Схема приложенной нагрузки представлена на рис. 1(a). Растягивающее напряжение направлено вдоль оси у. Согласно теореме Эшелби в случае эллиптической вставки, поле напряжений внутри вставки является однородным и симметричным по отношению к оси растяжения, т.о. при задании растягивающего однородного напряжения о , напрвленного вдоль оси Y, внутри вставки образуется однородное поле напряжений пропорциональное этому напряжению [7,8]
Обозначим поле напряжений внутри вставки как оу = куа,ах = кхаи оху = О, где куикх- коэффициенты, которые будут определены ниже.
Согласно принципу суперпозиций, полное решение краевой задачи может быть представлено в виде суперпозиции более простых решений при условии, что результирующие граничные условия остаются такими же. На рис. 1 показан случай, который не нарушает это условие и ведет к выделению однородного решения (рис. 1(b)), которое имеет следующие характеристики: оу = куа, ох = кха, оху = О (3.1)
Можно использовать принцип суперпозиции и для решения при двуосной внешней нагрузки (рис. 1(c)) при условии, что напряжения равны нулю только внутри вставки. Вдоль оси у действуют растягивающие напряжения вдоль оси х - напряжение —кхо.
Схематичное представление граничных условий для поля напряжений пластины с отверстием (а) в виде суперпозиции однородного поля напряжений (b), вызванного двуосным внешним нагружением и поля напряжений пластины под действием двуосного внешнего нагружения (с), где напряжения внутри круглой вставки равны нулю [6]. Таким образом, из полных деформаций вставки (рис. 3.1(а)) вычитается часть (рис. 3.1(b)), находящаяся под действием однородного поля напряжений. Согласно закону Гука, и напряжениям (3.1), эта часть однородна и характеризуется следующими компонентами: (ку - kxV1)a (кх - V1 у = р ,х = ъ , ху = 0. (3.2)
Упругие модули пластины и вставки разные. Деформации, согласно рис. 3.1(с), определяют изменения формы локальной зоны, в которой напряжения равны нулю, в то время как вдоль оси у действуют растягивающие напряжения (1 - ку)а, вдоль оси х - напряжение -кха. Поле перемещений точек внутри круговой вставки можно представить как вызванное деформациями вставки с модулями упругости, стремящимися к нулю. Упругие перемещения точек внутри вставки характеризуются постоянными Е2 и v2 , т.е. граничные условия на контуре вставки не изменятся, если перемещения однородного поля (3.1) добавить к перемещениям точек фиктивной вставки при E20,v2 0 в данной плоскости при действии сил (1 - /су)бти - кхо вдоль соответствующих осей. В таком случае, отсутствие напряжений в круговой зоне не означает отсутствия деформации материала.
Деформацию круговой зоны (рис. 3.1(с)) не сложно найти, зная перемещения, вызванные действиями известных граничных условий. На рис. 3.2 (а)-(с) показана суперпозиция двух отдельных решений для задач при одноосном нагружении, с граничными условиями на границе круга, являющимися эквивалентными для задачи о пластине с круговым отверстием под действием одноосной нагрузки. Таким образом, мы можем использовать решение известной задачи Кирша [15].
Постановка задачи об устойчивости пластины со вставкой
При вставках с модулями упругости отличными от модулей упругости пластины возникают отрицательные напряжения (рис. 4(a)-(k), 8(a)-(c)), а значит, может возникнуть потеря устойчивости системы.
Эту задачу, как и ранее в главе II, предлагается решать энергетическим методом в полярной системе координат, однако здесь добавляется еще энергия самой вставки. Так как решенная в главе II задача показала, что первая форма устойчивости происходит при четных косинусах; аналогичные выводы есть в статье [30], то для оптимизации расчетов (уменьшение количества уравнений в два раза) в данной задаче берем в выражении для прогиба пластины только члены ряда с четными косинусами в следующем виде:
В полярных координатах безразмерные напряжения на пластине задаются формулами arr Задача об устойчивости плоской формы деформирования пластины решается энергетическим методом. В данной задаче потенциальная энергия системы есть результат суммы энергий на пластине и вставке. То же самое касается работы усилий срединной плоскости, поэтому полная энергия представляется как AV = U2 + U± + A(W2 + W±) Здесь U± и W± определяются теми же выражениями, что и в (2.7-2.8), а пределы интегрирования U2 и W2 меняются от 0 до 1 (единица в безразмерном виде представляет собой границу раздела вставки и пластины, т.е. отношение о = - = 1). Таким образом, энергии, содержащие прогибы на вставке w2(p, p), определяются как
Выражения U2иW2, содержащие коэффициенты BK2l_2, каждый раз меняются в зависимости от количества членов ряда прогиба w± (р, ср) , поэтому эти выражения не приводятся в аналитическом виде и каждый раз считаются численно. Выражения для иг и Wt только с четными косинусами ряда имеют вид:
А частные производные приращения потенциальной энергии по обобщенным координатам, которые приравниваются нулю для нахождения минимума потенциальной энергии по принципу виртуальных перемещений выражаются так: JlL = nDyAk0.2km(- —+(l-
Собирая коэффициенты при АК21_2 в ддди и ЭЖ соответственно в матрицы U и W и решая задачу U + A.W = 0 на собственные числа, находим искомую первую критическую нагрузку а , соответствующую выходу пластины из плоской формы равновесия и равную минимальному положительному значению собственного числа Я. Численные результаты для числа Я в формуле а = ХЕА-) , представленные в таблице 3.1, качественно очень хорошо согласуются с результатами, полученными методом конечных элементов в пакете ANSYS 13.1 [27]: чем вставка «мягче» (модуль Юнга вставки Е2 - 0), тем Я ближе к минимальному собственному числу, соответствующему потере устойчивости пластины с отверстием. При равных модулях упругости вставки и пластины, т.е. в случае однородной изотропной пластины, потери устойчивости не происходит, о чем говорят отрицательные собственные числа. Чем вставка «жестче», тем быстрее наступает потеря устойчивости (правая ветвь графика рис.3.9). Стоит отметить, что ввиду сходимости при большом количестве членов программа в пакете Maple (см. Приложение 1) считает очень долго, для чего требуются специальные ресурсы. K,L 0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 3,2 729,2880 отриц отриц отриц отриц - 5,3 2,9673 отриц отриц отриц отриц - 7,4 1,9879 отриц отриц отриц отриц - 9,5 1,8627 19,8423 отриц отриц отриц - 11,6 1,8319 13,1289 67,6737 отриц отриц - 13,7 1,8195 11,8354 39,0415 708,0745 отриц - 17,9 1,8194 11,0629 32,1056
Построены формы потери устойчивости и определены соответствующие им критические нагрузки. Получено хорошее совпадение первых критических нагрузок, построенных методом конечных элементов и описанным выше аналитическим методом. На рис.3.10 и 3.11 приведены формы потери устойчивости растягиваемой вдоль оси Y пластины со вставкой. Рис. 3.10. Потеря устойчивости при материале вставки в 10 раз мягче материала пластины
Потеря устойчивости при материале вставки в 10 раз жестче материала пластины На рис. 3.10 вставка в 10 раз мягче, чем пластина (Е2 = Е±/10). Чем вставка "мягче" (модуль Юнга вставки Е2 0), тем Я ближе к минимальному собственному числу, соответствующему задаче о потери устойчивости пластины с отверстием [39]. При равных модулях упругости вставки и пластины, т.е. в случае однородной изотропной пластины, потери устойчивости не происходит.
На рис. 3.11 вставка в 10 раз жестче, чем пластина. В этом случае области зоны сжимающих напряжений, как уже отмечалось, расположены вдоль оси X (на 90 градусов смещены по сравнению со случаем, когда вставка мягче пластины).