Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О задачах дифракции звуковых волн на упругих однородных и неоднородных телах
1.1. Обзор литературы по проблеме дифракции звуковых волн на упругих однородных и неоднородных телах Ш
1.2. Уравнения волновых полей в жидкости и твердом теле 24
Глава 2. Дифракция звуковых волн на упругих однородных телах
2.1. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде 34
2.2. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде в вязкой среде
2.2.1. Решение задачи методом возмущений 54
2.2.2. Решение задачи с использованием гипотезы Рэлея 59
2.3. Дифракция звуковых волн на сфероиде со смешанными граничными условиями 81
Глава 3. Дифракция звука на неоднородных телах 93
3.1. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном эллиптическом цилиндре 94 100 109
3.1.1. Решение задачи с использованием цилиндрических функций
3.1.2. Дифракция звука на эллиптическом цилиндре с малым эксцентриситетом сечения
3.2. Дифракция плоских звуковых волн на неоднородном сфероиде 113
3.2.1. Решение задачи с использованием сферических функций III
3.2.2. Дифракция звука на сфероиде с малым эксцентриситетом ІГ? I2S
3.3. Дифракция цилиндрических и сферических волн на неоднородном шаре
3.4. Дифракция звуковых волн на движущемсл неоднородном шаре
3.5. Рассеяние звука вращающимся сфероидом 132
Глава 4. Дифракция звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах 141
4.1. Прохождение звука через неоднородный анизотропный плоский слой 141
4.1.1. Отражение и преломление плоской волны неоднородным анизотропным слоем 14
4.1.2. Приближенное аналитическое решение задачи о прохождении плоской волны через неоднородный анизотропный слой 15С
4.1.3. Прохождение звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный слой Ш
4.2. Рассеяние звуковых волн радиально-слоистым
анизотропным полым цилиндром 18с
4.2.1. Рассеяние плоской наклонно падающей волны слоисто-неоднородным анизотропным цилиндрическим слоем 18с
4.2.2. Рассеяние плоской волны неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой igg
4.2.3. Использование резонансной теории для анализа рассеяния звука трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем
4.2.4. Численное исследование рассеяния плоской волны неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой
4.2.5. Дифракция цилиндрических волн на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре 24(
4.3. Рассеяние звука неоднородным трансверсально изотропным сферическим слоем 24
4.3.1. Рассеяние плоской волны радиально-неоднородным анизотропным сферическим слоем 24
4.3.2. Численное исследование рассеяния плоской волны неоднородным трансверсально-изотропным полым шаром 255
Глава 5. Влияние вязкости окружающей жидкости на рассеяние звука неоднородными анизотропными упругими телами 292
5.1. Отражение и прохождение звука через неоднородный анизотропный плоский слой, граничащий с вязкими жидкостями 292
Отражение и прохождение звуковых волн через неоднтрадный аиизотропный елой с произвольчер кривизной неоерхности 303
- Уравнения волновых полей в жидкости и твердом теле
- Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде в вязкой среде
- Решение задачи с использованием сферических функций
- Приближенное аналитическое решение задачи о прохождении плоской волны через неоднородный анизотропный слой
Введение к работе
Актуальность работы. Проблема дифракции звуковых волн является одной из классических. Однако она постоянно привлекает внимание исследователей. С прикладной точки зрения это объясняется тем, что развитие приложений теории звука поставило перед теорией дифракции ряд новых актуальных проблем. С теоретической точки зрения непрерывный интерес к теории дифракции обусловлен тем, что не существует общего метода решения дифракционных задач для тел произвольной формы с учетом разнообразных свойств материала рассеивателя, окружающей среды при различной геометрии поля падающей волны.
Широкое применение теории дифракции в исследовательской и производственной практике требует разработки все более точных математических моделей, адекватно описывающих реально наблюдаемые дифракционные процессы, заставляет искать новые пути теоретического подхода, разрабатывать новые методы исследования.
Для решения многих технических задач актуальна проблема взаимодействия акустических волн в жидкости с различными телами. В настоящее время известны решения задач дифракции звуковых волн на телах различной геометрической формы. Так, например, в многочисленных работах проведены детальные исследования для тел, имеющих плоские границы, для круговых цилиндров и сфер. При этом указанные тела рассматривались не только как идеальные, но и как упругие. Они стали выполнять роль эталонных тел при исследовании дифракции звука на телах более сложной формы.
Развитие теории дифракции происходит по пути построения решений дифракционных задач для тел более сложной формы с учетом реальных свойств материалов тел и среды, в которой они находятся.
Значительный интерес для теории и практики представляют исследования дифракции звуковых волн на телах, имеющих форму эллиптического цилиндра и эллипсоида вращения (сфероида). Многие объекты достаточно хорошо могут быть аппроксимированы телами указанной формы. Эллиптический цилиндр и сфероид относятся к типам препятствий, представляющих самостоятельный интерес, а также служащих полезными ступенями в последовательном изучении дифракции волн на телах более сложной конфигурации. Геометрией этих тел охватывается большое разнообразие форм. Дифракция звука на упругих эллиптических цилиндрах и сфероидах изучалась в ряде работ (Клещев A.A., Graunard G., Elax L., Hackman R.H., Pillai Т.А.К., Varadan V.K., Varadan V.V., Werby M.F. и др.). Но
при этом полагалось, что тела помещены в идеальную жидкость. Такой подход сужает область практического применения полученных результатов, так как в ряде случаев реальные свойства жидкости нельзя не принимать во внимание. Например, большое влияние вязкость среды оказывает на распространение звуковых волн в микронеоднородных средах (суспензиях, эмульсиях), в волокнистых и пористых материалах. В этих и ряде других случаев необходим учет поглощения звука. Таким образом, актуальным является изучение взаимодействия упругих волн в телах сложной формы с волнами в вязкой жидкости.
Большинство исследований в теории дифракции звуковых волн посвящено изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных средах. Но характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Отвлечение от имеющейся почти всегда неоднородности тел в большинстве решаемых задач оказывается вполне допустимым и оправданным. Однако современные техника и технологий требуют уточненного подхода к рассмотрению дифракции звуковых волн с учетом сложных внутренних процессов, происходящих в неоднородных средах. Вот почему к числу проблем, представляющих большой теоретический и практический интерес, относится проблема дифракции звуковых волн на неоднородных телах. Круг работ по изучению дифракции звука на неоднородных телах, характеризуемых переменными плотностью материала и скоростью звука, достаточно узок. Исследования касались неоднородных тел, имеющих плоско-параллельные границы, а также круговых цилиндров и сфер (Бреховских Л.М., Завадский В.Ю., Молотков Л.А., Селезов И.Т., Яковлев В.В., Bur-man Ft., Epstein P., Forsterling К., Heller G.S. и др.). При этом многие вопросы дифракции звуковых волн на телах с учетом их неоднородности не изучены. Речь идет не только об объектах сложной формы. Например, до сих пор рассматривалась дифракция на неоднородных телах только плоской волны. Но плоская волна является идеализацией реально существующих волн. Поэтому важно оценить как влияет расходимость падающей волны на рассеяние звука неоднородным телом. Особый интерес представляют исследования дифракции звука на движущихся телах.
В современных конструкциях, наряду с упругими материалами, принимаемыми за изотропные и однородные, используются анизотропные неоднородные материалы. Актуальности исследований дифракции звуковых волн на телах со сложной реологией способ-
стпуют сопременные задачи гидроакустики, судовой акустики, дефектоскопии, медицинской диагностики и др. Дифракция звука на анизотропных и неоднородных упругих телах является малоисследованной проблемой. Известно небольшое число работ по изучению дифракции звуковых волн на неоднородных изотропных и на однородных анизотропных телах, находящихся в идеальной жидкости (Коваленко Г.П., Приходько В.Ю., Тютекин В.В., Лонкевич М.П., Соляник Ф.И., Шендеров Е.Л., Schoenberg М. и др.). Поэтому важной проблемой является изучение совместного влияния анизотропии и неоднородности упругих тел, помещенных как в идеальную, так и в вязкую жидкости, на дифракционные процессы.
Целью работы является исследование дифракции гармонических звуковых волн на деформируемых телах с учетом неоднородности и анизотропии материала тел и вязкости среды, в которой эти тела находятся.
Научная новизна работы заключается в следующем:
исследовано влияние вязкости жидкости на рассеяние гармонических звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида; рассмотрено взаимодействие упругих волн в рассеивателях с волнами в вязкой жидкости;
изучена дифракция звука на неоднородных телах с переменной плотностью и переменной скоростью звука, находящихся в однородной жидкости; выявлено существенное влияние неоднородности на рассеяние плоских, цилиндрических и сферических волн на телах различной геометрической формы; рассмотрена дифракция звуковых волн на движущихся объектах;
предложен метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на анизотропных неоднородных упругих телах, с помощью которого исследовано влияние неоднородности и анизотропии на рассеяние звука толстостенными пластинами и оболочками, граничащими как с идеальными, так и с вязкими жидкостями; показано, что характеристики рассеянного поля могут быть использованы для идентификации неоднородности и анизотропии материала тела.
Достоверность полученных результатов вытекает из корректной постановки задач и обоснованности применяемых математических методов; обеспечивается проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением полученных решений с известными результатами для частных и предельных случаев.
Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для получения информации, необходимой в гидроакустике для звуковой эхолокации различных объектов; в судовой акустике при изучении акустических характеристик судовых конструкций; в дефектоскопии для идентификации результатов экспериментальных исследований; в ультразвуковых технологиях; при изучении распространения звука в микронеоднородных средах. Теоретические положения работы могут найти применение при разработке методов ультразвуковой диагностики многофазных систем; при решении обратных задач рассеяния звуковых волн; при решении задач динамической теории упругости и теории дифракции электромагнитных волн, аналогичных рассмотренным в работе.
Диссертационная работа связана с планом основных научно-исследовательских работ Тульского государственного университета. Работа выполнялась в рамках госбюджетных работ "Некоторые вопросы прикладной математики и механики" (Nгос. per. 01860084G79 и N гос. per. 01910046438), хоздоговорных работ "Разработка математических моделей гидродинамических процессов" (N гос. per. 01870031086) и "Разработка математического и программного обеспечения идентификации характеристик динамического взаимодействия элементов сложных динамических систем" (N гос. per. 01890036767).
Некоторые теоретические результаты, полученные в диссертации, использованы для построения математических моделей и разработки соответствующего программного обеспечения, которые внедрены в НПО "Сплав".
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:
результаты исследования влияния вязкости жидкости на рассеяние звуковых волн упругими телами, имеющими форму эллиптического цилиндра и сфероида;
аналитические и численные исследования дифракции звука на неоднородных телах (с переменными плотностью и скоростью звука) различной конфигурации (шар, эллиптический цилиндр, сфероид) с учетом различной геометрии поля падающей волны (плоские, сферические, цилиндрические волны) и с учетом движения тела;
метод решения задач дифракции гармонических звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах и полученные
с его помощью решения дифракционных задач на толстостенных пластинах и оболочках;
— результаты численных исследований влияния анизотропии и неоднородности тел на рассеяние звука упругими телами, позволяющие идентифицировать анизотропию и неоднородность материалов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на семинаре "Проблемы чистой и прикладной математики" (МИАН СССР, ТулПИ. ТУла, 1987); семинаре по теории нелинейных колебаний и волн Института проблем механики АН СССР (Москва, 1987); научной конференции "Проблемы чистой и прикладной математики" (МИАН СССР, ТулПИ. Тула, 1988); Всесоюзных конференциях, посвященных Дню советской науки (Тула, 1989, 1990); IY Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов" (Тула, 1990): совещании головного совета секции "Машиностроение" Министерства общего и профессионального образования РФ (Тула, 1997); Международном симпозиуме " Механика и технология в процессах формоизменения" (Орел, 1997); семинаре по механике деформируемого твердого тела Тульского гос. ун-та под руководством профессора Толокон-никова Л.А. (Тула, 1997); семинара по механике деформируемого твердого тела Института механики МГУ (Москва, 1998); Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998); на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ (1987-1998).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 40 статей. В автореферате приведен список 25 основных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 334 страницы, в том числе 117 рисунков и 11 таблиц. Список литературы включает 229 наименований.
Уравнения волновых полей в жидкости и твердом теле
Исследованию дифракции звуковых волн на упругих однородных изотропных телах посвящено большое количество работ. В большинстве из них в качестве рассеивателей рассматривались такие тела как бесконечный круговой цилиндр, сфера, пластина, совокупность плоских слоев. Значительно меньше работ посвящено изучению дифракции волн на телах более сложной формы, таких как эллипсоид вращения (сфероид), эллиптический цилиндр. Так как в данной работе исследуется дифракция звуковых волн на упругих однородных изотропных объектах, имеющих форму сфероида и эллиптического цилиндра,то дадим обзор работ по проблеме дифракции акустических волн на упругих телах указанной формы.
Рассмотрению дифракции звуковых волн на однородных изотропных упругих телах сфероидальной формы посвящен ряд работ. В работе [38] рассматривается осесимметричная задача рассеяния плоской монохроматической волны на сплюснутой упругой сфероидальной оболочке. Задача решается в сфероидальной системе координат и сведена к решению бесконечной системы линейных уравнений. Приведены результаты расчета амплитудных угловых характеристик рассеянного поля для различных волновых размеров сфероида. Другие результаты численного исследования данной задачи приведены в [39]. В работе [88] рассмотрена коротковолновая асимптотика для решения задачи о дифракции сферической волны на упругой оболочке в виде тела вращения. Из решения интегро-дифференциального уравнения найдено аналитическое выражение, описывающее распределение звукового давления вблизи поверхности оболочки. Предполагается, что толщина оболочки мала в сравнении с радиусом ее кривизны, а источник сферической волны располагается вблизи оболочки. Расчеты проведены применительно к оболочке в виде эллипсоида вращения.
Рассеяние плоской волны упругой вытянутой сфероидальной оболочкой рассмотрено в [41]. При произвольном падении плоской волны, используя потенциалы Дебая, удается разделить переменные в векторном волновом уравнении. При этом потенциалы Дебая представляются в виде рядов по вытянутым волновым сфероидальным функциям. В работе [40] решена задача рассеяния плоской волны упругим вытянутым сфероидом. Рассчитаны диаграммы направленности рассеянного поля и частотные зависимости сечения обратного рассеяния.
В [10] методом сращиваемых асимптотических разложений решена задача дифракции звуковых волн на тонких упругих телах вращения. Рассчитана амплитуда рассеяния плоской волны для упругих сфероидов.
Решению задачи дифракции плоской волны на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом посвящена работа [133]. Методом возмущений получено аналитическое решение задачи для случая наклонного падения плоской волны. Приведены диаграммы направленности рассеянного поля.
В работе [178] методом Т-матриц решена задача рассеяния звука гладким упругим телом. В качестве иллюстрации метода рассмотрено рассеяние звука упругим сфероидом. В работе [188] аналогичное исследование проведено для упругого сфероида с различными соотношениями осей. Рассеяние звуковых волн сфероидами, выполненными из полимерных материалов, погруженных в воду, рассмотрено в работе [209]. При этом учтено поглощение звука в материале.
Характеристики рассеяния сферических волн упругим сфероидом при изменении расстояния от источника до препятствия изучается в [194]. В работе [224] выводится простое выражение, определяющее частотную зависимость резонансов как функцию скорости звуковой волны. Осесимметричное падение плоской волны на упругий вытянутый сфероид исследуется в работе [190]. Приведены частотные характеристики отраженного сигнала для сфероидов различной конфигурации и выполненных из различных материалов. В работе [225] проведен численный анализ рассеянного поля плоской волны, падающей под произвольным углом к оси тонкой вытянутой сфероидальной оболочки. Те же авторы в работе [193] дают физическую интерпретацию трехмерного звукового поля, рассеянного на упругих сфероидальных оболочках. Частотные характеристики сигнала, отраженного от упругих сфероидов, выполненных из различных материалов, приведены в [195]. Причем для объяснения резонансных явлений используется расчет перемещений при колебаниях в материале сфероида.
Задача рассеяния плоской волны сфероидом с импедансными условиями рассмотрена в работе [214].
Что касается публикаций по дифракции звука на упругих телах, имеющих форму эллиптического цилиндра, то автору известны лишь работы [71,210]. Для решения задачи в работе [210] использовался метод Т-матриц, а в работе [71] — метод граничных интетральных уравнений.
Следует отметить, что во всех известных работах среда, в которую помещено упругое тело, имеющее форму сфероида или эллиптического цилиндра, полагалась идеальной. Реальные свойства содержащей жидкости не учитывались.
Изучению распространения и дифракции звуковых волн в непрерывно-неоднородных средах посвящено большое количество работ. При этом большая часть исследований относится к рассмотрению дифракции звука на жидких неоднородных телах. Наиболее изученными являются неоднородные среды, в которых неоднородность проявляется только в одном направлении. Такие среды называют непрерывно-слоистыми или слоисто-неоднородными, когда ясно, что речь идет не о совокупности однородных слоев.
Одной из первых работ, посвященных изучению отражения звуковых волн от неоднородного слоя, является работа [183], в которой решена задача отражения для случая нормального падения волны. Решение аналогичной задачи при наклонном падении волны приведено в [12]. Исследование отражения волн от слоев, являющихся обобщениями слоя Эпштейна, проводится в работе [179].
Фундаментальными трудами, представляющими результаты многих исследований по изучению распространения звука в непрерывно-слоистых средах с плоскопараллельными границами, являются монографии [12,13], в которых наряду с оригинальными решениями дается обзор существующих решений рассматриваемых задач. Для различных законов изменения неоднородных свойств среды точные решения задачи отражения плоских волн от непрерывно-слоистого полупространства получены, например, в работах [12 13 67 68 116, 189, 196]. Особенности распространения звука в слоисто-неоднородной жидкой среде с тонкой упругой пластинкой на границе обсуждаются в [25 .
Исследование волновых полей в жидких средах, неоднородных в направлении, перпендикулярном границам, с применением матричного метода проведено в работах [75,79,81]. Отражение плоской звуковой волны от жидкого неоднородного слоя, лежащего на упругом слоисто-неоднородном полупространстве, изучено в [66].
Влияние движения неоднородной среды на звуковое поле рассмотрено в монографиях [9,13,86], где приведен обзор литературы по данной проблеме.
Поскольку число случаев, когда точные решения существуют, невелико, большое значение имеют приближенные методы исследования звуковых полей в непрерывно-слоистых средах [12,13,49,86,216].
Поле точечного источника в непрерывно-слоистой среде изучено в [12,13]. При этом указаны случаи, допускающие точное аналитическое вычисление поля, а также проведен анализ акустического поля на основе лучевого метода и его обобщений.
Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде в вязкой среде
На основании формул (2.23) и (2.24) заключаем, что в выражениях для правых частей fjn (г = 1,2,3,4) присутствуют лишь слагаемые с индексами т = п — 2, n, п + 2.
Определив коэффициенты Аqn, Б , Cqn, Dqn (д = 0,1) как решения систем (2.22), получим приближенное аналитическое решение задачи, определяемое формулами (2.14), (2.16).
Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу при кг 1 [168] НпМ \1 -ei{kr- - \ (2.25) с помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля [ F{9) I строится диаграмма направленности рассеянного поля. Отметим, что выражения для потенциалов (2.16), а также выражение для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля (2.26) имеют форму бесконечных рядов. При помощи асимптотических относительно индекса п формул для цилиндрических бесселевых функций [168]
При численных расчетах быстрота сходимости рядов существенным образом зависит от величины волнового размера тела ка. Ряды сходятся достаточно быстро, если величина ка сравнительно невелика, а с возрастанием ка сходимость ухудшается и при расчетах приходится учитывать все большее число членов ряда. При этом установлено [151], что число членов ряда, которые нужно учитывать при численном счете, имеет порядок величины 2ка. В данной работе при проведении расчетов учитывалось не менее удвоенного числа членов ряда, упомянутого выше.
Теперь оценим диссипацию звуковой энергии при рассеянии плоской волны на эллиптическом цилиндре.
Следует отметить, что вязкие волны являются быстро затухающими и существенны только вблизи границы раздела жидкость-твердое тело. Действительно, рассматривая выражение для потенциала скоростей вязких волн, нетрудно показать, что уже на расстояниях, равных сравнительно небольшому кратному толщины вязкого пограничного слоя, вязкие волны практически отсутствуют и акустическое поле является потенциальным.
Определим, следуя методу Ламба [53], какая часть энергии падающей на тело звуковой волны поглощается вследствие вязкости и какая часть рассеивается благодаря присутствию препятсвия.
Энергия звуковых волн, поглощенная в единицу времени вследствие вязкого трения Wd и энергия, рассеянная в единицу времени на теле как на препятствии Ws, соответственно равны Wd = f (pi + ps) (v ir + v sr) dS; s (2 27) Ws = - J Psv sr dS, v } где скобки О означают усреднение за промежуток времени, а интегралы берутся по поверхности кругового цилиндра, радиус R которого велик по сравнению с толщиной пограничного слоя.
В формулах (2.27) v ir = —- и v 8r = — — напправенные внутрь радиальные скорости, происходящие соответственно от падающих и рассеянных волн, на расстояниях, значения которых ве лики по сравнению с толщиной пограничного слоя; Pi = -Pl— и Ps = -рх р- — давления падающей и рассеянной волн соответ-ственно. При этом потенциалы скоростей Фг- и Фз должны быть выражены в действительной форме. Запишем интегралы (2.27) в цилиндрической системе координат и найдем их отношения к интенсивности падающей волны, равной -рік2с. Получим на единицу длины цилиндра ws = - V [ A 2 + 2e(Re An Re Л + Im Л Im Aln)]. к L— По формулам (2.30) были проведены вычисления потерь акустической энергии. При расчетах были приняты следующие значения параметров цилиндра: р = 2.7 103 кг/ж3; А = 5.3 1010 н/м2; /1 = 2.6- 1010 н/м2 (алюминий). В качестве содержащей среды рассматривались вода (pi = 103 кг/ж3; с = 1485 м/с; Vі = 0.13-10"5 м2/с) и воздух (pi = 1.29 кг/ж3; с = 332 м/с; г/ = 0.15 10 4 ж2/с).
Результаты численных расчетов представлены на рис. 2.2-2.5, иллюстрирующих зависимости поглощенной и рассеянной энергий W WHO
Из графиков видно, что при малых значениях величины а поглощенная вследствие вязкости энергия мала. Однако она все же велика по сравнению с рассеянной энергией. С увеличением значения а поглощенная и рассеянная энергии возрастают. При определенном значении полуоси а, зависящим от частоты и, кинематической вязкости z/, эксцентриситета сфероида є, рассеянная энергия становится больше поглощенной. Потери акустической энергии быстро растут с увеличением частоты падающей волны. Рассеянная энергия становится преобладающей в случае, когда а значительно больше толщины вязкого пограничного слоя.
С увеличением частоты падающей волны значение величины а, при котором наблюдается равенство энергий Wd и ws, сдвигаеттс я сторону меньших значений.
Следует отметить, что с увеличением а и частоты поглощенная энергия будет расти не беспредельно. Начиная с некоторого значения а, определяемого в основном частотой, следует ожидать уменьшения поглощения, так как с возрастанием ка рассеяние звука цилиндром все более будет становиться похожим на нормальное отражение плоской волны от плоской поверхности и поэтому все меньше будет сопровождаться возникновением вязких волн, играющих основную роль в поглощении звука.
Решению задач дифракции звуковых волн на сфероидах с учетом вязкости содержащей жидкости посвящены работы [97, 123, 125, 131, 152, 153, 154, 155]. При этом сфероидальное тело полагалось абсолютно жестким. Рассмотрим дифракционную задачу в случае, когда сфероид является упругим. Пусть на однородный изотропный упругий сфероид, находящийся в однородной вязкой жидкости, произвольным образом па Рис. 2.6. К задаче дифракции плоской волны на сфэроиде дает плоская звуковая волна с потенциалом скоростей Ф,- = ехр[г(кт)-»о4 (2.31) Введем прямоугольную систему координат с началом в центре сфероида так, чтобы ось вращения сфероида располагалась на оси z. Полуось вращения сфероида обозначим через а, а вторую полуось — через Ъ. Полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны к равны 9Q и о соответственно (рис.2.6).
Задача состоит в нахождении решений волновых уравнений (1.7), (1.8) и (1.34), (1.35), удовлетворяющих граничным условиям, которые заключаются в непрерывности вектора скорости и компонент тензора напряжений на поверхности сфероида. Кроме того, необходимо выполнение дополнительных условий: для рассеянных волн — условий излучения на бесконечности, для упругих волн — условий ограниченности.
Решение задачи с использованием сферических функций
Рассмотрим дифракцию цилиндрических и сферических звуковых волн на неоднородном шаре, характеризуемым переменными плотностью и скоростью звука. Пусть на неоднородный шар радиуса а, находящийся в однородной среде, падает звуковая волна давления Pi (цилиндрическая или сферическая) с временной зависимостью е гші. Определим акустические поля вне и внутри сферы.
Задачу будем решать в сферической системе координат г, 0, р, начало которой совмещено с центром шара. Будем использовать обозначения физических величин, принятые в разделах 3.1 и 3.2.
Во внешней области движение среды описывается уравнением (3.1). Внутри шара уравнение движения среды имеет вид (3.3). При этом полагаем, что плотность материала шара в невозмущенном состоянии и скорость звука в шаре есть функции координаты г. Искомые функции ps и р должны удовлетворять граничным условиям: Сначала рассмотрим случай, когда падающая волна является цилиндрической и излучается бесконечно длинным линейным источником, который в цилиндрической системе координат р, р, г с началом 118 в центре шара имеет координаты (#, щ) и параллелен оси z. Тогда р,- = я0(ад, (3.37) где Щ(к\1) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода нулевого порядка; 1= [p2 + p2i-2ppicos{ip-(Pi)]1/2. Цилиндрическая волна (3.37) может быть представлена следующим разложением: Pi = 1 Y(2-S0m) cosm( p- pi) \ Y lp)H{k Pi\ P Pi (3.38) 4 0 { Jm(kipi)Hm(kip), p Pi. Хотя падающее поле двумерно, давления Ps и р удовлетворяют трехмерным уравнениям (3.1) и (3.3), которые в сферической системе координат имеют вид (3.24) и (3.25).
С учетом условий излучения на бесконечности решение уравнения (3.24) будем искать в виде оо п Ps = Y,J2 Amnhn(hr)P (cos 9) cos т(ср - ), (3.39) n=0 m=0 a решение уравнения (3.25) запишем в виде оо п Р = 2_j 2 ВmnRn(r)P(cos 9) cosm(p? - #), (3.40) где Rn(r) — функция, являющаяся решением обыкновенного дифференциального уравнения (3.29). Для нахождения коэффициентов Атп и Втп подставим разложения (3.38), (3.39) и (3.40) в граничные условия (3.36). Используя условия ортогональности косинусов и присоединенных функций Лежандра, заменяя цилиндрическую координату р ее выражением г sin в сферических координатах, а также применяя интегральные соотношения [82.
Рассмотрим дальнюю зону поля. Используя асимптотические формулы для hn(kir) и ps при кхг » 1, из выражения (3.42) получим для амплитуды рассеяния цилиндрической волны следующее выражение: оо оо F( ) = f-EEH)w+2?+1/m9 +2g(cos )cosm( - ). (3.43) l6t q=0 m=0 Теперь рассмотрим случай, когда падающая волна является сферической и излучается точечным источником, расположенным в точке с координатами (г$,#г = 7г). Тогда
В данном случае задача дифракции является осесимметричной. Функции ps и р , не зависящие от сферической координаты ср, будем искать в виде где Rn{r) — функция, являющаяся решением уравнения (3.29) и удовлетворяющая условию ограниченности. Подставляя выражения (3.45) - (3.47) в граничные условия (3.26), находим коэффициенты Ап и Вп: Ап = i2n+%(2n + l)hn(kiri)an(3-1; Вп = (-ir+\2n+l)p0(a)a-2hn(klri)p-\ гле ап и (Зп определяются по формулам (3.41). Применяя асимптотические формулы при рассмотрении дальней зоны акустического поля, получим, что диаграмма рассеяния сферической волны определяется выражением: F( ) д 1 г (2п + Щп{к\Гі)апрп Pn{cos9). (3.48) n=0 Характер дифракции цилиндрической и сферической волн на шаре качественно отличается от характера дифракции плоской волны. В случае дифракции плоской волны ее амплитуда не изменяется, а амплитуда рассеянной волны убывает по сферическому закону.
Поэтому акустическая тень за препятствием, являющаяся результатом интерференции падающей и рассеянной волн, на некотором расстоянии от препятствия исчезает и, начиная с этого расстояния, акустическое поле является практически неискаженным. Если же падающая волна является цилиндрической или сферической, то она является убывающей как и рассеянная волна. Поэтому звуковая тень при дифракции и цилиндрической, и сферической волны не исчезает.
Отметим, что из полученных решений задач дифракции цилиндрических и сферических волн на неоднородном шаре можно получить решения для случая, когда падающая волна является плоской. Для этого следует заменить в решениях функции Hn(kipi) и К(кіГі) их асимптотическими выражениями, считая, что расстояние между источником и рассеивателем достаточно велико {к\рі » 1 или к\Г{ » 1). В результате получим решение задачи дифракции плоскои волны, амплитуда которой равна \— ехр[г(кір{ - -)] или
На рис. 3.10 - 3.16 представлены результаты численных расчетов диаграммы направленности рассеянного поля в дальней зоне и акустического давления ps на поверхности шара в случае дифракции сферической волны, когда законы изменения плотности и скорости звука в неоднородном теле имеют вид (3.30). При этом полагалось, что А = 1; а = 1; р1 = 1.
Из графиков рис. 3.10 и рис. 3.11 , рассчитанных при а = 2, видно как изменяются амплитуда рассеяния ( )1 и характер распределения давления ps на поверхности тела при различных значениях волнового размера шара к\а и при различном удалении источника от рассеивателя. С увеличением волнового размера к\а полярные диаграммы вытягиваются вперед. Приближение источника к рассеивателю (при фиксированной частоте) не только вызывает увеличение амплитуды рассеяния, но и изменяет форму диаграммы.
Кроме того, с целью оценки влияния неоднородности шара на рассеяние звука на этих рисунках приведены соответствующие зависимости, вычисленные при постоянной усредненной плотности РсР =- Po(r)dr = А——. a J а + 1 о Из сравнения амплитуд рассеяния и распределения акустического давления на поверхности тел с переменной и постоянной плотностями материала следует, что учет градиента плотности, а также различные законы неоднородности существенно влияют на характеристики рассеянного акустического поля.
На рис. 3.14 - 3.16 изображены характеристики рассеяния сферической волны и плоской волны с амплитудой, равной по величине амплитуде сферической волны на расстоянии г,- от источника. Расчеты выполнены для к1а = 3 (рис. 3.14, 3.15) и ha = 5 (рис. 3.16). Гра-фики показывают значительное отличие законов дифракции сферической и плоской волн. Для удобства анализа графиков на рис. 3.14 и рис. 3.16 диаграммы рассеяния сферических волн построены в увеличенном масштабе (в 3 и 6 раз соответственно). Из графиков видно, что диаграммы рассеяния плоских волн как в дальней, так и в ближней зонах имеют более резко выраженные лепестки.
Нарис. 3.17 и рис. 3.18 приведены диаграммы рассеяния \F(6,(p)\ цилиндрической волны. При расчетах полагалось pi = О, а диграммы построены в плоскости ( р = 0; тг). Расчеты проводились для шара с неоднородностью вида (3.30). Диаграммы на рис. 3.17 рассчитаны при а — 2, при различных значениях волнового размера шара (ha = 1 и ha = 3) и при различном удалении источника от препятствия (hpi = 5 и hPi = 10).
Для выявления влияния различных видов неоднородности материала шара на дифракцию цилиндрических волн на рис. 3.18 построены диаграммы рассеяния при ha = 3, hP- = 5 для различных законов изменения неоднородных свойств тела (а = 2иа = 1). На этом же рисунке изображены диаграммы, рассчитанные для однородного шара с усредненной плотностью. Из графиков видно, что неоднородность шара существенно изменяет характер дифракции
Приближенное аналитическое решение задачи о прохождении плоской волны через неоднородный анизотропный слой
На рис. 4.21, 4.25 приведены диаграммы направленности при к\Г\ = 5. Если при меньших волновых размерах анизотропия и неоднородность проявлялись только в величине амплитуды рассеяния, мало сказываясь на форме диаграммы, то в этом случае, наряду с заметным изменением величины амплитуды рассеяния в различных направлениях, наблюдается и значительное искажение формы диаграммы. При этом изменение формы происходит как для материалов с различными типами анизотропии, так и при учете неоднородности. Относительную устойчивость формы диаграммы по отношению к неоднородности материала проявляет только трансверсально-изотропный цилиндр типа 2. Кроме того, при кщ = 5 не так заметно большее влияние на диаграмму направленности неоднородности вида II по сравнению с неоднородностью вида I. Однако при волновом размере цилиндра к\Г\ = 10 (рис. 4.22, 4.26) эта разница снова усиливается. Она проявляется не только в том, что амплитуда рассеяния изменяется при неоднородности вида II на большую величину, чем при неоднородности вида I, но и в том, что при неоднородности вида II сильнее искажается диаграмма направленности.
На рис. 4.27 - 4.30 представлены диаграммы направленности рассеянного поля в дальней зоне для материалов второй группы (см. табл. 4.3). При этом рассматривались однородные упругие цилиндры и цилиндры с неоднородностью вида I. Влияние анизотропии и неоднородности этих материалов на характер диаграмм направленности является сходным с материалами первой группы. Причем при к\Г\ = 1;3 анизотропия и неоднородность здесь действуют на диаграммы примерно с той же интенсивностью и в тех же направлениях с сохранением их характерной формы, которая имеет место в однородном изотропном случае. В частности, при к\Г\ = 1 амплитуда рассеяния в направлении на источник уменьшается на 2-3 % и из-за учета анизотропии, и из-за учета неоднородности. При увеличении частоты неоднородность начинает по-разному сказываться для материалов с различными типами анизотропии. Как и в материалах первой группы это проявляется уже при волновом размере к\Г\ = 3. Но степень влияния на рассеянное поле рассматриваемых типов анизотропии и неоднородности вида I остается одного порядка и при
Таким образом, анализ диаграмм направленности показывает, что на рассеяние звука упругим цилиндром влияет и анизотропия материала и неоднородность его свойств. Причем увеличение волнового размера цилиндра приводит к углублению различий в характеристиках рассеяния звука цилиндрами из материалов различных типов анизотропии и видов неоднородности. При этом, наряду с заметным изменением амплитуды рассеяния в различных направлениях, наблюдается и значительное искажение формы диаграмм направленности рассеянного акустического поля.
При исследовании рассеяния звука упругими телами особый интерес представляют частотные зависимости амплитуды рассеяния для обратно отраженного сигнала F(7г). Ниже приведены результаты расчетов -Р(7г) в диапазоне к\Г\ = 1 -г-14 для материалов всех типов, указанных в табл. 4.3.
Для удобства анализа и выявления особенностей действия анизотропии и неоднородности упругого материала на отраженный сигнал, помимо вычисления F(-7r), проводились расчеты величины Я(тг), представляющей собой разность амплитуд рассеяния общего отражения и жесткого фона. Так как для абсолютно жесткого цилиндра коэффициент в разложении (4.55) потенциала скоростей рассеянной волны равен -Тт Ы/Я Ы, Т0
Анализ частотных характеристик показывает их явно выраженный резонансный характер. Несмотря на значительную толщину стенок рассматриваемых полых цилиндров, появление первых резонансных всплесков наблюдается на значительно более низкой частоте (кігі « 2), чем для сплошного упругого цилиндра (кіг\ « 5) [187].
Положение и тип того или иного резонанса удобно определять по зависимостям Е(тг). Парциальная волна (индивидуальная мода), являющаяся носителем резонанса в данной точке, определяется согласно критерию (4.62). При этом резонансной частотой следует считать частоту, соответствующую локальному максимуму характеристики Е(тт). Это положение и используется для определения резонансных частот. В случаях, когда в районе резонанса не явно выражен максимум характеристики Е(ж) или происходит наложение резонансов, резонансная частота xmi определяется из условия (4.62).
Для удобства исследования влияния рассматриваемых типов анизотропии и видов неоднородности на характер резонансного рассеяния в табл. 4.4 - 4.6 приведены значения резонансных частот xmi, соответствующих трем типам поверхностных упругих волн в цилиндрическом слое. В скобках для каждой величины xmi указано соответствующее значение относительной фазовой скорости cm/ci данной поверхностной волны, где Ст определяется по формуле (4.63).
Как и в разделе 2.2 будем, описывая резонансы, обозначать каждый пик частотной характеристики парой чисел (т,/), где m -номер моды, а /-порядковый номер пика на соответствующей гармонике.
Сравнивая графики для цилиндров, различающихся только типом анизотропии, заключаем, что изменение типа анизотропии материала рассеивателя вносит явные изменения в характер частотной характеристики.