Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка задачи
I. Математическое описание движения упругой среды II
2 Условия на сильных разрывах...
3. Малость деформаций... 15
4. Некоторый специальный вид функции
внутренней энергии. 18
ГЛАВА II. Простые волны волны
I. Уравнения простых волн., 19
2. Квазипродольная волна... 21
3. Квазипоперечные волны 22
4. Интегральные кривые квазипоперечных простых волн ... 24
5. Опрокидывание квазипоперечных простых волн 26
6. Простые волны в средах, где Q = 0 . 26
ГЛАВА III. Ударные волны :'
I. Условия на разрыве для слабых ударных волн... 29
2. Волны бесконечно малой интенсивности 31
3. Квазипродольные ударные волны... 32
4. Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата 35
5. Условие неубывания энтропии... 42
6. Условия эволюционности скачка. 43
7. Некоторые свойства ударной адиабаты в точках 44
8. Скорость квазипоперечных ударных волн... 46
9. Количество и типы эволюционных ударных.волн... 52
10. Положение участков эволюционности на.ударной адиабате .для сред с Ж >0 . 58
11. Положение участков эволюционности на ударной адиабате для сред с дв<0 . 61
12. Ударные переходы в заданное состояние 64
13. Несжимаемые среды 65
14. Частные виды начальной деформации... ,. 68
15. Квазипоперечные ударные волны при предельных значениях параметра Q 75
ГЛАВА ІV. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства
I. Последовательность двух скачков. 86
2. Постановка задачи о действии нагрузки на границу полупространства 95
3. Построение решения задачи для сред с Эв>0 97
4. Построение решения задачи для сред с Эв<0 106
Заключение... Из
Литература
- Условия на сильных разрывах...
- Интегральные кривые квазипоперечных простых волн
- Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата
- Постановка задачи о действии нагрузки на границу полупространства
Введение к работе
Работа посвящена движениям с плоскими нелинейными волнами в изотропной упругой среде при наличии предварительных деформаций.
Уравнения нелинейной теории упругости представляют собой квазилинейную гиперболическую систему. Ее вид показывает, что она обладает классом одномерных нестационарных решений, называемых простыми волнами, или волнами Римана, и что наряду с непрерывными решениями необходимо рассматривать так же решения, содержащие сильные разрывы. В этом обнаруживается родство одномерных нелинейных задач теории упругости с аналогичными уже достаточно хорошо изученными задачами газовой динамики и магнитной гидродинамики [і,2,ЗІ .
Изучению плоских простых и ударных волн в изотропной упругой среде при отсутствии начальных деформаций или начальных деформациях специального вида, не нарушающих изотропии начального состояния, посвящено большое количество работ, например [4-121 .
В монографии [4] в произвольной изотропной сжимаемой среде предполагается слабая нелинейность, что позволяет вести исследование разложением по деформациям. Волны при этом разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. Описаны простые волны и указаны условия их опрокидывания. Одна из квазипоперечных волн в процессе движения не меняет своей формы и обладает круговой поляризацией, другая - плоскополяризованная. Изучено множество состояний за ударной волной, распространяющейся по недеформированному состоянию, и скорости ударных волн. Изменение энтропии в квазипродольной ударной волне имеет третий порядок малости по интенсивности скачка, а в квазипоперечных - четвертый. В зависимости от знака некоторой комбинации Ж упругих констант среды квазипоперечные волны, распространяющиеся по недеформированному состоянию, могут быть либо только неопрокидывающимися простыми волнами ( Ж 0 \ либо только ударными волнами ( 7в. 0 ). Множество состояний за квазипоперечной ударной волной ( Ж 0 ) в силу отсутствия начальной деформации оказывается двумерным.
В работах [9-12] изучаются нелинейные волны произвольной интенсивности в деформированных средах. В этом случае нет деления волн на квазипродольные и квазипоперечные, все волны одинакового смешанного типа. Деформированное состояние среды начальное и текущее, задается двумя величинами - продольным сжатием в направлении нормали к волне и модулем деформаций сдвига в направлениях параллельных фронту. Показано, что одна из волн обладает круговой поляризацией, а две других - плоскополяризованные.
В работах [13-17] , которые выполнялись одновременно с работами, составляющими данную диссертацию, изучались нелинейные волны произвольной интенсивности в упругой среде некоторого специального вида. Ее упругий потенциал предполагается суммой двух членов, зависящих соответственно от первого и второго инвариантов линейного тензора деформаций. При рассмотрении плоских волн даже в случае произвольных начальных деформаций упругий потенциал такой среды не зависит от направления сдвиговьк деформаций. Он является функцией только двух переменных - продольной деформации и модуля сдвиговых деформаций. В такой среде нелинейные волны обладают особенностями, аналогичными тем, которые наблюдаются в [9-І2І . В частности, одна из волн обладает круговой поляризацией.
Наличие круговой поляризации у одной из волн является следствием специального вида функции внутренней энергии. При рассмотрении одномерных волн поведение среды определяется зависимостью ее внутренней энергии от трех переменных, характеризующих ее рас - 6 тяжение-сжатие в направлении нормали к фронту волны и сдвиги в направлениях параллельных фронту. Во всех перечисленных выше случаях внутренняя энергия зависит только от двух переменных - деформации сжатия в направлении нормали к фронту и модуля упомянутых сдвигов и не зависит от направления сдвига.
Этим же ствойством обладает среда с вмороженным в нее магнитным полем в магнитной гидродинамике. Именно в магнитной гидродинамике впервые было обнаружено существование вращательной простой волны [18] и вращательного разрыва [19] . Нелинейные волны произвольной интенсивности в магнитной гидродинамике описаны в книге [з] . Их специфическими особенностями являются: разделение нелинейных волн на вращательные и плоскополяризованные, независимость взаимодействия с плоско поляризованными и поперечно поляризованными возмущениями.
В настоящее время представляет большой научный интерес исследование нелинейных волн в предварительно напряженной упругой среде при произвольных начальных деформациях. Учет этих эффектов необходим при расчете ударных технологических процессов в упругих материалах, а также сейсмических волн в Земной коре, где анизотропия предварительной деформации играет весьма важную роль [20-22"] , а нелинейность выявляет ряд новых особенностей поведения этих волн [23-25 J . Для решения многих динамических задач теории упругости с предварительными напряжениями необходимо исследование плоских простых и ударных волн в случае зависимости упругого потенциала от трех переменных, когда снимается вырождение задачи, вызванное указанным выше строением функции внутренней энергии и некоторой специальной симметрией постановки задачи. Наличие произвольной предварительной деформации приводит к анизотропии начального состояния. Среда по разному реагирует на сдвиги в различных направлениях, параллельных фронту волны, что не улавливается ни одной из описанных выше моделей. Общий случай этой задачи требует новых подходов к исследованию нелинейных волн в упругой среде.
Присутствие произвольной начальной деформации приводит к тому, что уже в линеаризованной постановке обнаруживается различие в скоростях поперечных волн. Это так называемый упруго-акустический эффект. Выражения для характеристических скоростей в зависимости от начальной деформации содержатся, например, в_ работах [20,26] .
Распространение плоских нелинейных волн по предварительно деформированному состоянию в изотропной упругой среде при тех или иных условиях рассматривалось в [27-32] . В работах [27,28] при слабой интенсивности ударных волн начальная деформация считается конечной. Нет деления волн на квазипродольные и квазипоперечные. Указывается возможность найти параметры состояния за скачком, скорость разрыва и изменение энтропии в виде ряда по степеням интенсивности скачка. Показано, что условия эволюционности для изучаемых слабых волн выполняются одновременно с условиями роста энтропии.
В работах [29-32] с использованием разложения внутренней энергии в ряд по степеням деформации, как в [4] , исследовались выражения для скорости скачков при определенных специальных видах начальной деформации. Получены условия существования чисто продольных и чисто поперечных ударных волн. Найдено, что изменение энтропии в квазипродольные волнах имеет третий порядок и выяснен его знак. Показано, что для квазипоперечных волн в третьем приближении изменения . .энтропии не происходит. Эволюционности ударных волн не исследовалась.
- 8 Таким образом, в работах [27-32] множество состояний за разрывами, распространяющимися по заданному состоянию, в целом не исследовалось, а условия неубывания энтропии и эволюционности проверялись только локально, вблизи начального состояния.
В предлагаемой диссертации изучаются нелинейные волны, распространяющиеся по произвольной изотропной упругой среде при наличии произвольной начальной деформации. В рассматриваемом общем случае отсутствует специфическое вырождение свойственное средам с внутренней энергией, использованной в [3-19] . Для того, чтобы исследование можно было вести аналитическими средствами, предполагалось, что начальные деформации и деформации, приобретаемые средой при прохождении волн, малы. При стремлении к нулю начальных деформаций в пределе получается случай, рассмотренный в [4] .
Как уже говорилось, волны с малыми деформациями в изотропной среде можно разделить на квазипродольные и квазипоперечные. Квазипродольные волны обнаруживают обычное поведение характерное для механики сплошной среды без каких-либо интересных особенностей. Они достаточно хорошо исследованы, например, в [29-32 . Поэтому этим волнам уделяется в диссертации мало внимания.
Показано, что свойства среды и предварительная деформация могут быть заданы всего двумя константами, которые существенно влияют на качественную картину поведения нелинейных волн. Одна из них - некоторая упругая константа среды } (та же, что в [4]), в зависимости от знака которой качественно меняется поведение простых и ударных волн, их типы, скорости и количество. И простые и ударные волны существуют во всех средах с любым знаком Ж . Второй параметр G служит мерой анизотропии, вносимой предварительной деформацией. Учет анизотропии начального состояния, опре -9. деляемой величиной G , вносит существенные качественные особенности в поведение простых и ударных волн.
Подробно изучены одномерные нестационарные квазипоперечные простые волны (волны Римана). Исследована связь величин в простых волнах и найдены условия опрокидывания простых волн [33] .
Изучение ударных волн базируется на следующих основных идеях. Соотношения на разрывах задаются законами сохранения. Они позволяют найти множество состояний за скачком, в которые возможен ударный переход из заданного начального состояния с соблюдением законов сохранения. По аналогии с газовой динамикой это множество состояний за скачком можно назвать ударной адиабатой. Изменение энтропии в частице, проходящей через ударную волну, не может быть отрицательным. Условия на ударных волнах должны удовлетворять требованиям эволюционности, которые представляют собой необходимые условия корректности линеаризованной задачи о взаимодействии ударной волны с малыми возмущениями. Для газовой динамики эти условия были предложены в [2] , для произвольной гиперболической системы уравнений, выражающей законы сохранения, вГз4],для магнитной гидродинамики в [35,36] .
В диссертации исследована ударная адиабата квазипоперечных ударных волн. Предположение о малости начальных деформаций позволяет рассмотреть ударную адиабату всю целиком, так как нетривиальное поведение она обнаруживает в области тем меньшей, чем меньше начальная деформация.
Произведен отбор ударных волн, которые могут претендовать на реальность согласно принципам неубывания энтропии и эволюционности [37-40] .
В результате исследования обнаружены некоторые особенности ударных волн в упругих средах. Во-первых, обнаружены ударные волны, интенсивность которых конечна и не может быть сделана меньше
Эти волны удовлетворяют условиям возрастания энтропии, условиям эволюционности, их использование необходимо при решении задач. Поэтому им вполне можно приписать реальное существование. В газовой динамике при сложных уравнениях состояния подобные волны отмечались ранее J4l] .
Во-вторых, целые отрезки ударной адиабаты, соответствующие неэволюционным разрьюам с возрастанием энтропии, состоят из точек, каждая из которых соответствует разрыву, представляющему последовательность двух эволюционных ударных волн, движущихся одна за другой с одинаковыми скоростями [42] .
Далее рассмотрена автомодельная задача о внезапно приложенной к границе полупространства нагрузке. Построено решение этой задачи для всех значений параметров Ж и G . Решение состоит из последовательности простых и ударных волн, следующих друг за другом в порядке убывания скорости. В зависимости от соотношения между начальной и конечной деформациями последовательности волн, представляющие решение, различны. Они могут содержать от одной до четырех различных волн. Возможность решения этой задачи и необходимость использования для ее решения всех ранее отобранных ударных волн показывает, что отбор был произведен правильно [39, 43-45] .
Условия на сильных разрывах...
Пусть среда обладает однородной предварительной деформацией (5-Ли соответствующими напряжениями). а Будем изучать движения в виде плоских волн. Оси координат выберем так, чтобы плоскость CC -Consi была фронтом волны. Что бы эти плоскости не поворачивались, положим 5 гт Оси Х1 и ОС2 выберем так, чтобы OC i - главные оси деформации в плоскости Х/з?2, параллельной фронту. Исключим поворот этих осей в своей плоскости (т.е. поворот тела как твердого). Для этого будем считать В результате специального выбора осей отличными от нуля будут пять компонент тензора градиента перемещений: -—-л , U?2., Хз 3 них в плоской волне зависят от 3 и меняются только дШс/дзСз Для К0Т0РЬ1Х введем обозначения
Они описывают изменение в волне деформаций сдвига в плоскостях, проходящих через нормаль к фронту волны ( Ui} U2 \ и деформации сжатия-растяжения в направлении нормали к фронту ( U$ ). Постоянные величины дШ1/дх1 и 3W2/ 2 задают не меняющиеся в волне компоненты сжатия-растяжения (5у. 522 по главным направлениям в плоскости параллельной фронту.
После принятых условий компоненты тензора деформаций записываются через компоненты градиента перемещений следующим образом
Таким образом, исследование можно проводить в трехмерном пространстве градиентов перемещения U . Начальное деформированное состояние задается величинами U ., 5./у, 22 Уравнения (1.2) для UJ; принимают вид
В механике сплошной среды, и в теории упруоости в частности, перемещение W непрерывно в пространстве и во времени. Сильные разрывы в упругой среде это разрьшы производных (по пространству и времени) от вектора перемещения. Вследствие выполнения законов сохранения массы, количества движения и энергии они сопровождаются разрьюами напряжений, плотности, температуры, энтропии. Если поверхность разрьша, соотношения на которой задаются законами сохранения, перемещается по частицам, то ее называют ударной волной. Условия на ударной волне в упругом теле хорошо известны
Запишем их для плоского скачка с фронтом 0C3-Consi. Обозначим при этом - скорость перемещения разрьша по частицам. Для любой величины Q. скачок ее на разрыве будем обозначать (д] = й+ СС » гДе Q- и 0- - значения величины (X за и перед разрывом.
Деформации, которыми обладает среда, и те, которые возникают в ней при прохождении волн, будем считать малыми. Когда они настолько малы, что их квадратами можно пренебречь, получаем классическую задачу о линейных волнах [i] . Будем изучать те новые качества, которые вносит в распространение плоских волн нелинейность. Наличие уже малой нелинейности позволяет обнаружить основные эффекты. Поэтому будем считать, что и начальная деформация среды и интенсивность распространяющихся по ней волн (как простых, так и ударных) будут малы, порядка Є . Все изучаемые величины можно представлять разложениями по малым деформациям, учитывая в них столько членов, сколько понадобится, чтобы обнаружить первый главный эффект отличия поведения волн от линейного. Из предыдущих исследований известно [4,6] , что разложение потенциала Ср следует вести до четвертой степени по интенсивности волн. Однако, теперь мы учитываем наличие предварительной деформации и разложение будем вести до суммарной четвертой степени. В результате исследования будет подтверждено, что такого количества членов достаточно для выявления первых главных нелинейных эффектов.
В данном разложении мы ограничились лишь первым (линейным) членом по изменению энтропии. Так сделано на основании известного [3ft.J факта, что изменение энтропии в ударных волнах имеет порядок не менее третьего по интенсивности волн. Такой же порядок изменения энтропии был найден в \А] для ударных волн в недеформиро-ванной среде. Наконец, сделанное нами предположение будет подтверждено последующим непосредственным вычислением изменения энтропии в ударной волне. В простых волнах энтропия вообще постоянна.
По той же причине все коэффициенты разложения в формуле (1.7) считаем постоянными, не зависящими от S Эти коэффициенты Jf/U}&p ЇЇ і ?, " отражают упругие свойства конкретного материала. Известно, что для всех сред J[ 0 и /М 0 . Величины модулей третьего порядка ( J3, 0 Р ) определялись для большого числа конкретных материалов по замерам скоростей распространения волн в ультразвуковом диапазоне. Такие данные имеются, например, в [26] . Однако, полученные величины сильно различаются в зависимости от способа их определения. Измерения показывают, что для большинства сред эти коэффициенты на порядок больше, чем модули второго порядка J и /U [ZOj . О модулях четвертого порядка ( 9 2 у 7 І ) в настоящее время сведений очень мало, только для единичных специальных сред. За недостатком сведений об упругих модулях третьего и особенно четвертого порядка желательно вести исследования для наиболее широкого крута их значений, не предполагая каких-либо ограничений относительно их величин и знаков.
Интегральные кривые квазипоперечных простых волн
При выполнении условия Q. [ш] 0 скорость скачка растет с увеличением его интенсивности. Для возможности существования ударной волны на ней должны удовлетворяться условия эволюционное скачка, которые являются необходимьми условиями корректности линеаризованной задачи о взаимодействии ударной волны с малыми возмущениями [2,34] . Они накладывают следующие ограничения на скорость ударной волны
Для квазипродольной волны из (2.4) получим Отсюда видно, что условия эволюционности (3,8) выполнены,если Otfwlz-Q »т.е. это условие совпадает с требованием неубывания энтропии (3.7).
Легко проверить, что для квазипродольной волны, как и в общей теории слабых скачков в третьем порядке [зЩ , существует связь
Выражения для скорости ударной волны и для изменения энтропии, проявление нелинейности в членах третьего порядка, совпадение условий эволюционности и неубывания энтропии - все это делает квазипродольные упругие волны очень похожими по своему поведению на достаточно хорошо изученные газодинамические простые и ударные волны. Кроме того имеется целый ряд работ, где описаны свойства квазипродольных волн, например, [29-32] . Поэтому в дальнейшем квазипродольным волнам здесь внимания уделяться не будет.
Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата
Когда fur] mdx([u] [U ])) получаем квазипоперечные волны. Ранее было показано [4,6,29] , что в третьем приближении по интенсивности скачка они не проявляют нелинейных особенностей. Далее будет видно, что этот факт сохраняется и в присутствии предварительной деформации. Поэтому в разложении (3.2) функции у/ следует сохранить члены до четвертого порядка включительно,но, пользуясь тем, что [UJ] Xv[u]2lV]2) некоторые слагаемые можно опустить. Функция \j/ будет представлена выражением где, как и раньше., обозначено Условия на скачке (3.3) примут вид
Исключая из этих уравнений 0 "W , получим связь между состоянием /, V, Ш перед скачком и возможными состояниями U,V,W за скачком, т.е. ударную адиабату квазипоперечных ударных волн. Очевидно, это будет одномерное множество - кривая в пространстве U Uuy Дальнейшее ее исследование удается свести к изучению проекции ударной адиабаты на плоскость сдвиговых деформаций U V .
Действительно, последнее из уравнений (ЗЛО) позволяет выразить продольную компоненту скачка [Ш] через поперечные компоненты [и] и [V]
Из первых двух уравнений (ЗЛО) можно видеть, что 01\}[г {Ц+0() Более точное выражение для W будет приведено ниже, а для вычисления [UT] достаточно знать лишь главный (конечный) член в выражении для ІД/" . Тогда
Отметим сразу, что изменение продольной компоненты имеет второй порядок малости по сравнению с поперечными составляющими деформации
Точка U3V изображает на плоскости UV начальное состояние перед скачком. Изменение продольной компоненты деформации в. каждой точке линии (3.12) вычисляется по формуле (ЗЛІ), в которую входят в виде аддитивной постоянной. Заметим, что точно такая же связь между изменениями продольной и поперечной компонент имеет место в простых волнах (см.(2.5)). уравнение (3.12) упругие свойства материала входят лишь через коэффициент Q , который всегда может быть сделан неотрицательным соответствующим выбором нумерации осей Х1 и Х2 » При QФО МОЖНО перейти к новым переменным U-U/vG , ІҐ-їт/уб, в результате чего множитель Q в последнем члене уравнения (3.12) обратится в единицу и уравнение ударной адиабаты станет универсальным для всех упругих сред
Вид уравнения (3.12) такой, что кривые с симметричными относительно любой из осей Ut V начальными точками [/, V расположены симметрично одна другой. Поэтому достаточно исследовать свойства ударной адиабаты лишь для случая JJ -0 , V -0 . Эта кривая изображена на рис.2. Она проходит через начальную точку A(U V) и две симметричные к ней относительно осей (/ и У точки M(-U V) и Н(и, У) . В начальной точке кривая имеет самопересечение. Касательные к пересекающимся ветвям кривой в начальной точке А взаим-но перпендикулярны и составляют углы Э0 и 90 + т? с осью U Угол 90 определяется формулой
Квазипоперечные ударные волны. Ударная адиабата
Точки Жуге по состоянию перед скачком, где Ж-С будут точками пересечения графика функции W(9) с прямыми W- С7}2 Ян0 что такими точками пересечения будут две точки А на рис.3, пред- ставляющие начальное состояние. Действительно, скорости бесконечно слабых ударных волн совпадают с двумя характеристическими скоростями с/" и С2 начального состояния.
Другие точки пересечения (точки Жуге) будем находить, решая уравнения l/f-Cj-O , W-C -O. При этом существенно различать среды с Э 0 и Ж-ей Для сред с Ж 0 быструю характеристическую скорость ( (?2 ) Д367 нижний знак "-" в формуле (3.19), медленную - знак "+". Для сред с - наоборот. В материалах с Ж 0 требование W C2 09 кроме начальной точки 6= Во"2 дает еш,е кУбическое уравнение в обозначениях, принятых в (3.22). Оно обязательно имеет один положительный корень - точку /, на хвосте адиабаты (рис.3). Для существования еще двух действительных отрицательных корней у SFOc) необходимо, чтобы был отрицательным дискриминант Ю кубического уравнения (3.23)
Очевидно, U) - полярный угол с центром в начале координат 0 . Когда ) cQ , на графике рис.3(a) у WC&) имеются точки пересечения F и ]С с прямой Ц=(?2 и, следовательно, точки Жуге F и К на петле ударной адиабаты. Если Ю 0 , то на графике Ж(.9) точка максимума С лежит ниже линии С . Этот случай изображен на рис. 3(a) штриховой линией. Обращение Ю в нуль означает наличие кратного корня у многочлена Т }(3.23) и слияние точек F, В\К ,
Уравнение Ю 0 определяет на плоскости начальных деформаций U//G , V/VG замкнутую кривую, обладающую симметрией относительно осей координат. Она изображена на рис.4 сплошной линией, которая построена по точкам, найденным численно. Линия Я) 0 проходит через точки
Пересечение графика скорости W(Q) с горизонталью_j.W-Cj" находится из уравнения Ж-С = 0 . Как было сказано, один из корней этого уравнения есть точка 6= So ( Х=0 ). Другие являются корнями кубического уравнения
При уравнение (3.25) имеет лишь один корень - точку Ю на рис.3(a). При Ю О появятся еще два корня на петле по разные стороны от точки И . Когда Ю 0? график W(9) касается горизонтали V-СГ . Кривая JDj-О изображена на плоскости U/l/S\ Y/VG (рис.4) по точкам, найденным численно. Линия симметрична относительно осей координат и проходит через точки UsO, V- - vG и U--12Q 3 V-Q . Внутри этой кривой Х)І 0 , вне ее
Для сред с 96 О выражения для С," и С2 меняются ролями. Функция Щ(ос) и кривая fyCR, и)) 0 определяют число точек Нуге, где W- С2 . Это точки Ю,Р\ К на рис.3(6), если Юі О . Когда Ю1 0 , многочлен ЩСх) имеет лишь один корень - точку JO на хвосте ударной адиабаты. График скорости W(0) на рис.3(6) изображен в этом случае штриховой линией. Точка максимума Н не достигает линии С 2 . Когда Ю О , точки F3 Н3 К сливаются в одну. Точки, где ТДО= С , для сред с Ж 0 определяются корнями многочлена Т(х) . В частности, это точка L на хвосте ударной адиабаты.
На ударной адиабате нужно выделить участки, удовлетворяющие одновременно условию неубывания энтропии (3.16) и условиям эволю-ционности скачка (3.18). Для того, чтобы сравнить между собой величины С и W в точках ударной адиабаты, удобно изобразить схематически изменение скорости W вдоль ударной адиабаты на плоскости, где характеристические скорости С/ а и Cfy отложены соответственно по горизонтальной и вертикальной осям. Использование подобных диаграмм для иллюстрации выполнения условий эволюционности предложено в [35] . Диаграмма имеет чисто качественный характер. Однако, по горизонтальной оси скорости W; С7, С могут быть отложены в реальных масштабах, что в дальнейшем и будет предполагаться. Начальное состояние А представлено на диаграмме, как и на графике Ж (9) рис.3, двумя точками.
На рис.5 (а,б) условия эволюционности (3.18) выполнены для тех участков кривой, изображающей ]{/" , которые попали в заштрихованные квадраты, расположенные правее биссектрисы координатного угла. Они изображены жирной линией. Сплошная линия на рис.5 отно-. сится к случаю, когда начальное состояние U3 V удовлетворяет условию Ю 0 для сред с Ъ6 0 (а) и Юі 0 для сред с ЭК0 (б). При J0(A) 0на рис.5(a) и Ц(А) 0 на рис.5(6) часть ударной адиабаты изображена штриховой линией. Аналогичным образом жирной линией отмечены эволюционные участки на графиках W(d) на рис.3. Обозначения точек на рис.3 и 5 соответствуют друг другу.
Постановка задачи о действии нагрузки на границу полупространства
Точки, в которых W- С{ (Ж 0) , удовлетворяют равенству COS If/ = 4- р Очевидно, оно имеет смысл, толькоесли \і У" 4,т.е. U 2(5 . В этом случае равенство COSV -1-У- дает две точки Жуге F и D на окружности адиабаты. Они имеют абсциссу U- - (рис.8а). Точка экстремума скорости Н на окружности адиабаты находится из уравнения Ш - - Ж D й cfn і// - Г) Э 2 К U Г U Это точка \р"=Ж ,т.е. точка пересечения адиабаты с осью абсцисс
Итак, условиям эволюционное при 2 0 удовлетворяют следующие области на адиабате: участок положительной оси абсцисс U & U , Vf 0 , начиная от точки А (быстрая ударная волна); если то имеется еще быстрая ударная волна второго типа на отрезке НК (2у +U) U -2U » V-Q ; медленная волна на окружности (3.27) представлена дугой, которая проходит через начальную точку А , симметрична относительно оси абсцисс, а концы ее имеют координату 6/--/=- ,т.е. всегда лежат во второй и третьей четвертях плоскости UV (рис.8а). В пределе при U /G - 0 концы дуги будут расположены на оси V . При U 2G концы дуг смыкаются и вся окружность (3.27) удовлетворяет условиям эволюционности. При U 2G медленной волне кроме всей окружности соответствует еще кусок ЮН оси абсцисс - 2U U
Пусть шеперь U-0 При этом V O » G 0 . Уравнение ударной адиабаты имеет вид Это вся ось ординат и окружность радиуса RasV- с центром в точке U O » U = h » проходящая через начальную точку A(0}V)0 где она касается энтропийной окружности U2+U2= R2,
При определении положения точек Жуге на прямолинейной части адиабаты U-0 надо учесть, что на оси V лежат особые точки 27=±yG , где характеристические скорости Cj и С2 совпадают. При изменении X) вдоль оси ординат в точках V--\lG характерне-тические скорости меняются ролями. Для среды с } Q при Y G -Для 3 0 -наоборот.
Определение положения:точек %ге на прямолинейной части адиабаты и на окружности проводится таким же способом, как для случая V-0 .
При G V для сред с Ж 0 эволюционным будет отрезок оси ординат от начальной точки А до точки У .- (быстрая вол на), рис.9(a). Для сред с Эв 0 в тех же начальных условиях могут существовать три ударные волны: медленная на участке AF оси ординат, где ; медленная волка вто рого типа на отрезке X)L той же оси - (У+чУ +8G) U "2Vi быстрая волна представлена всей окружностью (3.28) и положительной частью оси ординат от точки Н на окружности и далее. По сравнению с общим случаем (рис.6) здесь в точке А сомкнулись две дуги окружности, соответствующие быстрым волнам.
Если G У , то вся окружность (3.28) лежит внутри энтропийной окружности, имея с ней лишь общую начальную точку А . Для материалов с Q условия эволюционности выделяют следующие участки ударной адиабаты: отрезок AF на оси ординат (медленная волна); вся окружность (3.28) и еще кусок оси ординат от окружности до точки U=.- M (быстрая волна).
Если , точка =-о 1/ лежит внутри окружности (3.28) и служит точкой , где W - (рис.96). Если же 4G V G , то точка Г--"2 является точкой $ , где %г С 2 (рис.9в). При V=чи адиабата проходит через точку U--Y =-\[G и в ней С, = с - характеристические скорости С. совпадают. Эта точка - одна из особых точек интегральных кривых простых волн ( 4 главы П). Для сред с Ж 0 при условии G V осуществимыми для ударных волн будут участок положительной оси ординат от начальной точки и далее V- У . (быстрая волна) и отрезок QL оси ор динат, где (медленная ударная волна второ го типа). Очевидно, что при ?.-V точки X) и L сливаются и отрезки DL и AF исчезают, а окружность адиабаты (3.28) стя гивается в точку А
Если U-0 и V 0 одновременно, то адиабата (3.12) вырождается в две прямые, совпадающие с осями координат U3 V , а энтропийная окружность вырождается в точку 0 . Состояние перед скачком соответствует началу координат. Очевидно, для сред с, Ж 0 в этом случае (отсутствия начальной сдвиговой деформации) квазипоперечньш ударных волн вообще не может существовать. Для сред с Ж 0 состояниям за ударной волной соответствует вся ось абсцисс (быстрая волна) и отрезок оси ординат (медленная волна).
