Введение к работе
Актуальность те?ды. Развитие различных областей совремя»ф<">ч техники требует развитиэ и создаю адекватных математически ме -тодов решения граничных задач механики деформируемых твердых те. .
В отличие от плоской задачи рзпюниэ пространственных задач
Д8КЗ О ЛМПОЙНОЙ ПОСТЭНОВКв КЛЗССИЧЄСК0Й ТвОрГО! ."Тфугг СТИ БСГрОТ'.П
и по лзстояшве время серьезные трудности. К настоящему времени вт пз создзез одетая теория и. метод у^тет'и" проптранстяени1>пс задач. Однако сни встречаются повсюду, постольку все запахи, возникающую в инженерной практико язлотся, по сути, пространственными. Поэтому расработка эффективных методов рутения пространственных задач теории упругости и других теории механики деформируемых твердых тел является агггуальной научно-технической проблемой.
Для решения пространственных задач в настоящее время прико-пяэтея различные математически"" метода,'хорошо иэдакеника в Фуида-кэнтальннх научнія работах: метод общих рошни* - в лассичес^оа монографии А.Е.Х.Лява, в книгах А.И.Лурье и Ю.А.Пруткова и в моно-графил П.П.Теодореску; метод комплексных переменных - в монографии А.Я.Алаксзі-Лрова и Ю.И.Соловьева; метод интегральных преобразований - в монографиях Н.Н.Лебедева и Я.С.Уфляндэ; метод собственных моторных функций - в монографиях А.Ф.Улитко И В.Т.ГрИЯЧОНКО; уэтод разделения переменных и метод однородных решения - В ИГ-ПО-графиях А.И.Лурьо» В.ї.Грипчвнко, Ю.Н.Подэлъчука,-.. вариадионныз методы' - в работах и монографиях И.Г.Бубнова,' Б.Г.Галеркина, Л.В.Кантаровича, М.В.Коддыша, Н.М.Крылова, С.Г.Михлина,' Б.Ритда, С.П.Іимошвнко, М.М.Филоввнко-Бородач, 8.Н.Ион/па и П.М.ОгУалова; метод к-функциа - в монографиях.В.Л.Рвачевз; котод упругих потенциалов - в монографиях: В. Д.Купрадзв и учеников его ійкольї, в книгах В.З.Пяртона и П.И.Пэрлина, в pacJotax В.Д.Копегкина, Ю.А.Мельниксвз . и др.; кетоды конечных элементов и коночных разностей - в монография Н.Ф.Огибалова, Л. М. Савельеве, Х.С.Хазанова, в монографии С'.К.Годунова и В.С.Рябенькова и др.
Теория регулярных линейных интогрзльных уравнений была разработана Фродгольиом, Вольтера, Трикоми и др. Теория сингулярных ливэяеке гаггагральных уравнений разработана я изложена в монографиях и работах Н.П.Веяуя, В.Д.Купрадев, С.Г.йихлша, Н.Н.Иусхо-
дошили и др. Численные методы решгтпя интегральних регулярных уравнений представлены в справочнике А.Ф.Верлаяь и В.С.Сизикова, Численные метода сингулярных интегральных уравнения представлены в монографии В.З.Партона и П.И.Перлина и в монографии В.А.Золота-ровспого.
Особое место в м~хаша» деформируемых твердых тел заншэщ контактныв\и смешашше задачи, методы решения которых представлены в монографиях и работах В.А.Александрова, В;А.Бабешко, Н.И.Боро-вича, А.НЛ'узя,' Л.А.Галина, В.И.Мосаковского, .Н.Ф.Морозова, Г.А. Мораря, Г.Я.Попова, В.С.Процвнко, В.Л.Рвачева, И.Я.йгаермана и др.
Разработка и развитие математических моделей и методов, описывающих процессы деформирования различных сплошных сред, отражены в работах Н.Х.Арутюняна, В.В.Болотина, Г.О.Варданяна, А.Н.Гузя, С.С.Григоряна, А.Ю.йплинского, А.А.Илюшина, л.Кристеску, М.Г.Левша, В.Ю.Марина, В.Новацкого, Б.Е.Победри, Г.Я.Попова, Ю.Н.Ра-ботнова, Х.А.Рахматулина, А.И.Седова, П.П.Теодореску, И.Г.Филішпова, Г.Л.Хесина, Ю.Н.Шевченко, Г.Э.Шаблинского и др.
Методы линеаризации уравнений термовязкапластичности разработаны и изложены в монографии и работах А.А.Илюшина, Б.Е.Победри, Ю.Н.Шевченко, И.А.Биргера и др. К этим методам относятся метод упругих решешг, .".этод переменных упругих параметров, метод допол-. витальных деформаций и метод поазедовательшх прнближениа. Как показано в монографии Ю.Н.Шевченко, метод последовательных приблк-хюний в отличив от других методов применим как к теории процессов малой кривизны, так и в теории произвольных процессов деформирования. Наконец, метода решения задач механики деформируемых тверда* т«л могут быть разделены на две группы: прямые и косвенные расчетные методы. Прямые методы решают граничные задачи в их исходной формулировке и представляют собой, как правило, численные методы (например, методы конечных элементов и конечных разностей), В основе косвенных методов решения задач лежит установление некоторых представлений, общих решения, преобразования и др., цель которых состоит в переходе от граничных задач в исходной формулировке к некоторым более простым граничным задачам. Косвенные методы являются, как правило, аналитическими или полуаналитическими методами. Произведенный в данной работе анализ показал, к сожалению, что существующие косвенные методы к настоящему времени основываются на интегральных или дифференциальных представлениях, которые учитывают линь некоторые факторы, влияэдие на решение граничной
задачи (только уравнения равновесия в перемещениях или уравнения неразрывности в напряжениях, или только граничные условия). Эта
ситуация обьясзяет, по-видимому, существование з настоящее время
разных методов^j^различными-возможностями игкромеГтого, отсутс-— твта^едашого метода решения пространственных граничных аадач. Разработка единого эффективного метода в пространственных задачах теории упругости должна базироваться, го нашему мнению, на более общих представлениях, которые учитывали бы все факторы, влияющие на искомое решение (исходные уравнения., геометрия тола гл граничные условия), т.е. на представлениях, ґ^-іїш* удовлетворяют названной нами концепции о тотальном влиянии ,
С точки зрения математического аппарата, в настоящее время хорошо извостпы преимущества формулировки граничных задач в ввд? интегральных уравнений. Однако, построение интегральных уравнений, основанных на интегральных представлениях решений граничных задач, ядра которых удовлетворяют но только ковшпции о тотальном влиянии, но я критерию аналитическое разрешимости представляется до сих пор одної из фундаментальных нетр-лмшьнкж проблем механики деформируемых твердых тел.
Основными полная работ» является:,
- разработка катода построения иягагрэлькых уравнений в меганкке
деформируемых твердых тел на осново интогралыасс представления,
ядра которых являются фундаментальными решениями некоторых аналитически разрэшимых граничных задач, названного нами методом ЭЛОМеНТОВ влияния;
- приложен} првдзкйаадиого метода я построению интегральных урзз-
яениа, матриц Грива, решения в квадратурах и в аналитическом
виде и демонстрация его .эффективности не толко яа уш н-^эстных
задачах, но в на новых классах задач механики деформируемых
твердых тел.
Научную новизну работа составляют:
- введение некоторых новых понятие в механика деформируемых твер-
"даг тел (саимаемые и несжимаемые элементы влияния, исходная и
расчетная системы, функции влияния термоупругих перемещены, вызванных единичными поверхностными температурами или тепловыми потоками), которые удовлетворяют концзпцяи о тотальном влиянии и критерию об аналитическое разрешимости;
- получение на основе понятия о несминаемых елементах влияния в
различных ортогональных системах координат новых общих интегральных представлений в теории упругости, ядра которых являются фундаментальными решениями определенных аналитически разрешимых граничных задач;
построение на основе полученных общих интегральных представлений новых граничных шг-егральных уравнений метода несжимаемых элементов, влияния <МНЭВ) для основных граничных задач теории упругости, которые являются слабо-сингулярными в пространственных задачах и регулярными в плоской задаче. К решению предоженных уравнений применима теория интегральных уравнений второго рода Фредгольма;
- модификация с помощью введенного понятия о функциях влияния
термоупругих перемещений формулы майзеля в виде интеграла по по
верхности;
построение при помощи предложенного МБЭВ новых матриц перемещений Грина различных классов смешанных граничных задач теории упругости для тел декартовой и других ортогональных систем координат, представленных в компактном аналитическом виде, удобном для приложений, которые существенно расширяют спектр известных до сих пор матриц Грина;
распространение и обобщение решений в интегралах для различных конкретных тел из теории гармонических потенциалов в теории упругости и термоупругости; ..,..
~ разработка на базе полученных матриц Грина и введенных понятий об исходной и расчетной системе нового метода построения интегральных уравнений в механике деформируемых твердых тел, названного нами методом сжимаемых элементов влияния (МСЭВ). В отличие от существующих методов, предложенный метод позволяет "единым образом построить новые интегральные представления и приводит к существенно меньшему количеству интегральных уравнений как для уже известных, так и для новых граничных задач. Предложенный метод применим не только для канонических, но и для сложных тел, не только в теории упругости, но и в других теориях механики деформируемых твердых тел;
- построение и применение яе только новых интегральных уравнений и
решений в квадратурах, но и решений в аналитическом виде упругих
граничных задач для различных конкретных по форме тел, представ
ленных в элементарных функциях. Получение некоторых новых инте
гральных уравнений, удобных для исследования геометрических
сингулярностей решений.
Достоверность результатов была_обеспечена__строгостыо и кор
—ректностью ^постановок "й^ірвшений поставленных для исследования задач, детальным теоретическим и расчетным анализом результатов, подробной мотивацией всех введенных новых понятия, а также различными сравнениями, сопоставлениями и подтверждениями результатов, полученных предложенным методом с результатами, полученными другими существующими методами, включая известные точные решения.
Теоретическое и практическое значение работы состоит в:
значительном вкладе в теорию упругости новых аналитических выражений, удобных для приложений, которые существенно расширяют спектр известных до сих пор матриц Грина;
получении новых решений в квадратурах различных новых классов смешанных трехмерных граничных задач теории упругости, которые представляют собой распространение и обобщение соответствующих интегральных формул для различных конкретных тел из теории гармонических потенциалов в теории упругости и термоупругости;
- разработке нового перспективного метода - меті ,а элементов
влияния, который позволяет едияым подходом построить матрицы
Грина, интегральные уравнения и представления решений, а также
решений в квадратурах не только для известных до сих пор задач,
но и для новых классов сложных задач теории упругости и других
теорий механики деформируемых твердых тел, в том числе неканони
ческой формы;
- основные идеи и понятия предложенного метода могут быть исполь
зованы для разработки новых расчетных методов в' других областях
математической физики.
Основные результаты работы внедрены:
- в учебном процессе и в научных исследованиях в курсах по теории
упругости, в курсах по высшей математике, в том числе го уравне
ниям математической физики. Внедрение реализовано опубликованием
справочника: В.Шеремет - Функции и матрицы Грина. Эласто-,
термо-, электростатика твердых тел. Граничные задачи для областей декартовой систвты координат. - Кишинев: Штиинца, 1994 - ~20 с. <на румынском языке). Справочник предназначен для студентов старших курсов университетов и технических вузов, а тага» для специалистов, которые занимаются изучением, исследованием и применением метода функции Грина к решению граничных задвч меха-
ники дефорлирувмых твердых тел и терко-, электростатики;
- в расчетной практика и проектировании некоторых элементов
конструкций, оснований и фундаментов насосных станций в проект
ном институте "МОЛДГИПРОВОДХОЗ" (справка о внедрении и 01-6/3498);
- в научных отчетах кафедры "Строительная механика и кнжевернш
конструкции" ІСишинеї кого с/х института по теме "Исследование
напряжений и деформаций элементов конструкций гидромелиоративных
систем" с номером госрегистрации н г/р 780-647-99.
Аппробация работы. Результаты работы были доложены, обсуждены
и аппробированы аа П-оа Национальной Конференции по конечным и граничным элементам (Румыния, Сибиу, 1993), xvrn-ом Конгрессе Румынско-Американской Академии наук и искусств (Кишинев, 1993), на 1-оя Научной Конференции по Прикладной и Индутриальноа ^етемртике (Румыния. Орздие, 1993), II-оа Всесоюзной Конференции по теоршг упругости (Грузия, Тбилиси, 1984), на семинаре "Механика твердого деформируемого тела" кафедры "Сопротивление материалов" Техничес- кого Университета Молдовы (1995), семинаре кафедры "Строительная механика" Технического Университета Молдовы (1981, 1995), семинара Лас^ратории численных методов в мохашше Инсткгута Математики АН Молдовы (1981, 1985, 1995), семинаре Института Проблем механики АН СССР (Москва, 1988), семинаре отделов термоупругости и термопляс-течности Института Механики АН Украины (Киев, 1982, 1895), семинаре кафедры теории упругости МГУ им.М.В.Ломоносова (Москва, 1983), соминаре "Численные методы в механике сплошной среды" ЛГУ йяон-град, 1984), семинаре кафедры "Механика и управление процессами" ЛСД (Ленинград, 1884), семинчре "Механика твердого деформируемого тела" МИСИ им.В.В.Куйбышева (Москва, 1888), семинаре механико-математического факультета ДГУ (Днепропетровск, 1987), семинаре механико-математического факультета ОГУ (Одесса, 1986), на Научно-технических республиканских конференциях Кишиневского сельхозинститута (Кишинев, 1977-1994).
Личный вклад автора. Все новые результаты получены в работе
лично автором. Использованные в работе материалы имеют ссылки на соответствующие источники, которые приводятся в списке использованной литературы.
цублияации. Основные результаты, полученные по теме диссертации были опгбликованы в 40 научных работах, включая одну монографию и справочник по функщта! к матрицам Грина.
Структура и объем работа. Диссертация состоит из трех основ
ній: частей. Первая и вторая^асть содериат_теорию-пр9длох»нного_
метода,-а третья часть'содержит различные его примен<-чкя и прило
жения. Каждая глава, часть, а таїода работа в целом снабжены соот
ветствующими выводами. Диссертация содеряагг также введение, заі о-
чента, приложения и список использованной литературы. Община объем
работа составляет 308 о«, включая список литературы из 135 нзимв-
новззий» 33 рисунка и 4 приложения.
На зазэту автор выносит .следующие науша положения:
разработка нового сф^ктквпого иетздз в ьйханика дэформирук.ш: твердо? тел должна основываться на интегральных представления!, ядра которых максимально соответствуют концепция о тотальном влиянии и критерии об аналитической разрешимости;
понятия об исходной я'расчетное'системе, о сжиашшх и нвгатаяе-гаг обобщенных элементах влияния» гаэрвыз введенные а «эханику дофораюруешх твйрдах тел, соответствуют ащеуказанзой концепции и критерию;
метод -элементов- Е.ТЙЯІШ <НЗЗ), разработанный чя'оскоее введенных швах понятия, позвотат одинш образок поручать на только yfce извсі'ггі-г» результаті!, но и потж результаты в построении матриц Грина, решений в зшадратурах, граничных интегральных уравнений (в теория упругости), интегральных представлений и интегральных уравнений по обышу и по поверхности (э других теориях механики дефермируай&а тазрдая тол) дет рэздашот по форм? тал, шишгя вэканоничэскив тела;
в отличие от сувествующих методов, МЭВ приводят к существенно меньшему количеству интегральных уравнений и включает в себя универсальность численных и прающэства аналитических м«годов.