Содержание к диссертации
Введение
1. Методы определения нмрлженно-деформированного состояния элементов конструкций 10
1.1 Экспериментальные методы 10
1.2 Численные методы 17
1.3 Комбинированные методы 21
1.4 Постановка задачи 28
2. Экспериментально-численная методика определения напряженно-деформированного состояния в отдельных зонах элементов конструкций 31
2.1 Обоснование выбора метода конечных элементов для экспериментально-численного определения напряженно-деформированного состояния 31
2.2 Определение граничных условий для метода конечных элементов по данным экспериментов 34
2.3 Особенности применения экспериментально-численной методики для решения задач с граничными условиями в напряжениях 41
2.4 Алгоритмы дискретизации зон на конечные элементы 46
2.5 Способ построения двумерных конечноэлемент-ных моделей для расчета плоского напряженного состояния в области подкрепленных накладками отверстий 48
3. Проверка экспериментально-численной методики при решении тестовых задач 52
3.1 Задача об изгибе кривого бруса 52
3.2 Задачи о пластине с малым круговым отверстием,. подверженной различным условиям нагружения 57
3.3 Исследование влияния погрешностей экспериментального определения граничных условий на точность решений метода конечных элементов 74
3.4 Аппроксимация граничных условий 96
3.5 Выбор размеров зон для расчета концентрации напряжений 110
3.6 Комбинированное применение метода конечных элементов с методами гологра/фической интерферометрии и муара 113
4. Решение практических задач о концентрации напряжений 123
4.1 Задача о проушине с плавающими накладками 123
4.2 Задача об изгибе балки с отверстием 134
Заключение 167
- Численные методы
- Особенности применения экспериментально-численной методики для решения задач с граничными условиями в напряжениях
- Задачи о пластине с малым круговым отверстием,. подверженной различным условиям нагружения
- Аппроксимация граничных условий
Введение к работе
В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года", принятых ХХУІ съездом КПСС, говорится о необходимости разработать и осуществить систему мероприятий по снижению удельной металлоемкости машин и оборудования, в частности, за счет совершенствования их конструкций.
Эти задачи неразрывно связаны с дальнейшим развитием методов исследования напряженно-деформированного состояния /НДС/, возникающего в элементах конструкций.
Опыт показывает, что на каждом этапе проверки новых конструкций на прочность, а также при их эксплуатации выявляются непредвидимые заранее места поломок. Это объясняется тем, что при проектировании нельзя полностью учесть все особенности взаимодействия отдельных узлов и элементов. С другой стороны, конструкция может подвергаться нагрузкам, отличающимися от заложенных в исходном расчете. Следовательно, при этом изменяется напряженность материала, особенно вблизи различных концентраторов напряжений, которые и определяют, в основном, места поломок.
Поэтому при совершенствовании конструкции проводятся дополнительные исследования, направленные на выявление и устранение причин разрушения отдельных элементов. Значительная часть таких исследований заключается в определении возникающего в них реального НДС, в первую очередь в местах концентрации напряжений.
Вопросам определения концентрации напряжений посвящено большое количество теоретических работ, в которых получены решения для концентраторов в виде различных отверстий, выточек, комбинированных концентраторов, трещин и др. Из них можно назвать работы Г.Н.Савина /"71, 72 7, Г.Нейбера 49 7, С.В.Се-ренсена 77 7 , Г.И.Баренблатта /"3 7, В.В.Панасюка 52 7, Г.Н.Черепанова /"94 7, Л.А.Галина 19 7, Д.В.Вайнберга II, 13 7 и др. В работах /"12, 55, 73 7 собран обширный материал по теоретическому и экспериментальному исследованию концентрации напряжений для наиболее часто встречаемых в элементах конструкций концентраторов. Однако полученные решения можно применять лишь при расчетах конструкционных элементов несложной формы, работающих под воздействием простых видов нагруже-ния.
Поэтому в настоящее время определение НДС элементов конструкций производится в основном экспериментально или путем численного расчета. Но проведение такого анализа обычными подходами зачастую оказывается затруднительным или нереализуемым по следующим основным причинам:
- практически невозможно осуществить экспериментальные измерения в интересуемых местах ;
- при численном расчете отдельных элементов становится проблематичным задание граничных условий.
Целью настоящей диссертации является разработка методики, не требующей выявления условий внешнего нагружения элементов конструкций, но позволяющей определять НДС их отдельных зон. Поставленная цель достигается за счет применения различных комбинаций экспериментальных методов и метода конечных элементов /МКЭ/. Методика заключается в том, что на контуре рассматриваемой зоны экспериментально определяются перемещения, деформации, напряжения или данные смешанного вида, зависящие от внешнего нагружения, которые используются в качестве граничных условий при последующем вычислении НДС внутри зоны численным путем. Определение этих величин в доступных точках объекта позволяет наиболее эффективно использовать экспериментально-численную методику для расчета концентрации напряжений в случаях, когда затруднены исследования экспериментальными или численными методами. В данной работе методика изложена применительно к решению плоских задач.
Научная новизна диссертации заключается:
- в разработке экспериментально-численной методики, реализующей МКЭ применительно к расчету НДС только локальных зон элементов конструкций. Необходимые граничные условия для численного расчета в этом случае определяют из экспериментальных данных, получаемых на контурах зон ;
- в предложении методики введения дополнительных уравнений, позволяющей решать задачи с граничными условиями в напряжениях при помощи МКЭ в традиционной формулировке без явного задания кинематических граничных условий ;
- в выявленных качественных закономерностях влияния различных факторов /ошибки экспериментальных измерений, степень дискретизации зон, близость контуров зон к концентраторам напряжений и др./ на точность вычисления НДС, использование которых в практических расчетах позволит оценивать погрешности определения максимальных напряжений ;
- в выработанных рекомендациях по применению методики, касающихся вопросов выбора размеров зон, их форм, оптимального количества точек экспериментальных измерений, их расположения на контуре и др. ;
- в предложении способа построения двумерных моделей МКЭ для расчета плоского напряженного состояния, возникающего в пространственных элементах конструкций типа пластин с приварными плоскими накладками, подкрепляющими отверстия.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что разработанная методика обладает более высокой разрешающей способностью по сравнению с экспериментальными методами, обеспечивает вычисление НДС в области концентрации напряжений с повышенной точностью и применима даже в тех случаях, когда исследования как экспериментальными, так и численными методами затруднены или невозможны.
Использование методики эффективно для сокращения работ /за счет замены их преобладающего объема расчетами/ в.экспериментальных исследованиях, проводимых с целью оптимизации форм и размеров геометрических концентраторов напряжений.
Решены практические задачи, предложенные ПО "Новокраматорский машиностроительный завод".
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе рассматриваются существующие экспериментальные, численные и комбинированные методы определения НДС элементов конструкций. На основе анализа изложенного дается постановка задачи.
Во второй главе раскрывается сущность предлагаемой экспериментально-численной методики определения концентрации напряжений. Обосновывается выбор МКЭ для комбинирования с экспериментальными методами. Освещаются вопросы, связанные с определением граничных условий для МКЭ в традиционной формулировке по данным экспериментов в перемещениях, напряжениях или в смешанном виде. Приводятся простые алгоритмы конечноэлементной дискретизации! зон концентрации напряжений,которые дают возможность существенно сократить объем и время подготовки исходной информации для МКЭ. Описываются особенности реализации методики при решении задач с граничными условиями в напряжениях. Излагается методика проведения таких расчетов без явного задания кинематических граничных условий. Рассматривается способ построения двумерных моделей МКЭ для расчета плоского напряженного состояния в пространственных элементах конструкций типа пластин с приварными плоскими накладками, подкрепляющими отверстия.
В третьей главе анализируются возможности экспериментально-численной методики на основе решения тестовых задач при, моделировании экспериментальных данных с помощью имеющихся аналитических решений. Исследуется влияние различных факторов на точность окончательных решений МКЭ. Приводится алгоритм аппроксимации граничных условий и показывается эффективность его использования для сокращения необходимого объема экспериментальных измерений. Дается обоснование и рекомендации для выбора размеров зон вокруг концентраторов напряжений, рассчитываемых МКЭ. Приводятся решения задач с использованием экспериментальных данных, полученных методами голографической интерферометрии и муара.
Четвертая глава содержит решения практических задач о концентрации напряжений в элементах конструкций, выпускаемых ПО "Новокраматорский машиностроительный завод".
Материалы диссертации опубликованы в работах Z 58, 59, 93 7.
На защиту выносится:
- новая экспериментально-численная методика определения НДС в отдельных зонах элементов конструкций ;
- способ построения двумерных моделей МКЭ для расчета плоского напряженного состояния, возникающего в пространственных объектах типа пластин с отверстиями, подкрепленными накладками ;
- методика решения задач с граничными условиями в напряжениях при помощи МКЭ в традиционной формулировке без явного задания кинематических граничных условий.
Работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ проводимых в группе геометрической Института проблем прочности АН УССР.
Методика и пакет программ внедрены в ПО "Новокраматорский машиностроительный завод".
Результаты работы докладывались на ІУ Всесоюзном семинаре "Оптико-геометрические методы исследования деформаций и напряжений и их стандартизация" /Менделеево Моск.обл., сентябрь 1982 г./ и на объединенном научном семинаре отделов Института проблем прочности АН УССР /ноябрь 1983 г./.
Автор выражает глубокую признательность академику АН УССР Г.С.Писаренко за научное руководство работой, канд.техн.наук Т.Г.Шагдыру за ценные советы, рекомендации и замечания, сотрудникам ПО "Новокраматорский машиностроительный завод" канд.техн.наук В.П.Сидорову и канд.техн.наук С.В.Чекулаевой за содействие и помощь в проведении экспериментальных работ, канд.техн .наук О.А.Левину /ИМАШ АН СССР/ и канд.техн.наук И.В.Волкову /ЦАРИ/ за предоставленные материалы экспериментальных исследований, сотрудникам Института проблем прочности АН УССР, уделявшим внимание автору в ходе выполнения работы.
Численные методы
К численным методам, широко использующимся в настоящее время для определения НДС элементов конструкций относятся метод конечных разностей, метод граничных интегральных уравнений и метод конечных элементов. Существенное расширение границ применения этих методов для решения задач механики деформируемого твердого тела стало возможным благодаря появлению современных быстродействующих дШ. Метод конечных разностей Г 14, 24 7 является классическим приближенным методом решения задач теории упругости. Суть метода"состоит в том, что значения искомой функции /перемещения, функции напряжений/ определяются в узловых точках, а производные заменяются разностными соотношениями. Замена производных от функции выполняется различными способами. Наиболее приемлемым является представление производных, входящих в основополагающее уравнение задачи, линейными комбинациями значений функций в узлах прямоугольной сетки. Обстоятельное изложение возможностей применения метода для решения плоских задач теории упругости дано П.М.Варваком "14.7. При решении плоской задачи на границе области должны быть заданы значения аппроксимируемой функции и ее нормальной производной. В процессе составления конечноразностных уравнений для узлов, расположенных вблизи границы области, необходимо вовлекать точки, находящиеся не только на контуре области, но и за контуром. То есть, чтобы составление уравнений было единообразным, вводятся фиктивные законтурные точки, в которых задаются значения искомой функции, обеспечивающие приближенное выполнение граничных условий. Поэтому применение метода затруднительно для областей сложной формы и со сложными граничными условиями. Так, если заданы статические и кинематические граничные условия, то их формулировка через искомую функцию существенно усложняется и решение задачи с помощью выбранной функции может оказаться нецелесообразным. Одним из путей решения методом конечных разностей смешанных задач плоской теории упругости является его сочетание с классическим методом сил /см. Г247/. Реализация метода усложняется также при использовании не- регулярных сеток, конечных разностей высоких порядков и при анализе напряженного состояния неоднородных тел. Следует отметить, что решение задач механики деформируемого твердого тела с помощью метода конечных разностей требует индивидуального подхода к каждой из них. Это понижает универсальность метода и лишает его преимуществ перед другими численными методами. Метод граничных интегральных уравнений Z"7, 15, 16, 101.7 базируется на теории потенциала и теории интегральных сингулярных уравнений.
Основой численной реализации метода является переход от функциональных интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Последние можно получить, например, сведением граничных интегральных уравнений по методу коллокаций к системам линейных алгебраических уравнений. Достоинством метода является то, что дискретные параметры вводятся только на границе тела, что приводит к решению задачи на единицу меньшей размерности, но с большей степенью гладкости функций. При этом подготовка исходных данных для расчетов на ЭВМ достаточно проста. Недостатком обычной процедуры метода, с точки зрения реализации вычислений на ЭВМ, является относительно большая трудоемкость формирования матриц общего вида. С помощью метода граничных интегральных уравнений возможно решать двумерные и трехмерные задачи механики деформируемого твердого тела. Однако в настоящее время практическое приложение метода ограничивается линейными задачами для однородных тел. Алгоритмы решения нелинейных задач только начинают разрабатываться. Метод конечных элементов /"27, 44, 69, 82 J относится к вариационным методам и. сходен по сути с методом Ритца. Сущность метода состоит в аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью конечных элементов, имеющей ограниченное число степеней свободы. В качестве объемных элементов используются тетраэдры и параллелепипеды, плоских элементов - прямоугольные и треугольные пластинки. Элементы соединяются в узлах и между ними определенным образом устанавливается взаимосвязь. Минимизация функционала энергии для дискретного эквивалента континуальной среды позволяет свести задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений взамен решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. При реализации метода конечных элементов чаще всего используется метод перемещений /так называемая традиционная схема МКЭ/. Он легко программируется и допускает простое подключение новых элементов. Кроме того, получаемые матрицы ленточного вида всегда являются симметричными и положительно определенными. Это существенно уменьшает объем требуемой памяти ЭВМ и не налагает ограничений на методы решения систем линейных алгебраических уравнений. С помощью МКЭ возможно осуществлять расчеты НДС плоских и. объемных тел произвольной формы, однородных и неоднородных, при линейной и нелинейной постановках задачи. К достоинствам метода относятся возможность наложения граничных условий с той же точностью, с которой производится решение задачи, и применимость в расчетах нерегулярных сеток на основе элементов с интерполирующими функциями практически любой сложности. В настоящее время МКЭ является наиболее универсальным из численных методов решения практических задач механики деформируемого твердого тела. Для определения НДС, возникающего в элементах конструкций, эффективно применять комбинирование- различных аналитических, экспериментальных и численных методов. Это позволяет расширить круг рассматриваемых задач, решение которых отдельными методами затруднено, существенно снизить трудоемкость проведения экспериментальных работ, а за счет совмещения с численными методами повысить точность получаемых результатов. Перспективность такого направления совершенствования методик исследований отмечается в работах Р.М.Шнейдеровича /"657 и А.Кобаяши 1107. В настоящее время известен ряд работ, в которых предложены некоторые варианты комбинирования различных методов.
Их можно отнести к двум условным направлениям совершенствования методик исследований. Первому направлению соответствуют методики, в которых один из методов служит для выявления условий оптимального использования другого метода с целью получения наиболее полной и достоверной информации о НДС. Второе направление состоит в таком комбинировании методов, когда окончательное решение яв-» ляется совокупностью решений отдельных методов. Сюда относятся и методики /в-і основном это экспериментально-численные методики/, в которых информация, полученная одними методами, используется в качестве исходных данных для , реализации других методов. К первому направлению относится методика совместного применения методов хрупких покрытий и тензометрии / 63 7. Она заключается в том, что с помощью метода хрупких покрытий предва- рительно определяются места и направление наибольших главных напряжений на натурной конструкции. Затем с учетом полученной информации, применяя тензометрию, определяют численные характеристики НДС. Методом тензометрии восполняются недостатки метода хрупких покрытий - неполнота и низкая точность определения напряжений. Полученная же методом хрупких покрытий информация дает возможность провести тензометрирование ооъекта в существенно уменьшенном объеме. В работе ГЪОJ рекомендуется использовать поляризационно-оптический метод для выполнения меат концентрации напряжений с последующим определением количественных значений напряжений в них методом тензометрии. Примером комбинирования экспериментальных и численных методов является работа Z"II3_7, в которой поляризационно-оптический метод применяется в сочетании с МКЭ. Совместность использования состоит в том, что конечноэлементная сетка для объекта подбирается исходя из визуального анализа оптических картин, полученных экспериментальным методом. То есть поляризационно-оптический метод дает возможность выявить области, значительного изменения напряжений, где необходимо увеличивать степень конечноэлементнои дискретизации для повьшения точности решений МКЭ. Более перспективным, на наш взгляд, представляется второе направление совершенствования:методик исследования НДС.
Особенности применения экспериментально-численной методики для решения задач с граничными условиями в напряжениях
При использовании традиционных схем МКЭ для решения задач механики деформируемого твердого тела необходимо задавать кинематические условия, поскольку знание только вектора узловых нагрузок не исключает смещения рассматриваемого тела как жесткого целого. С математической точки зрения это выражается тем, что глобальная матрица жесткости не имеет обратной. Очевидно, что порядок матрицы жесткости превыпает ее ранг на величину, равную числу степеней свободы всей совокупности связанных элементов, как жесткого целого. Если система закреплена от жесткого смещения, матрица жесткости обратима / 69J. Поэтому при комбинированном использовании экспериментальных методов и МКЭ, когда условия на контуре зоны объекта определяются в напряжениях, было предложено проводить реализацию численных расчетов при задании нулевых перемещений в одном из узлов конечноэлементной сетки, то есть при закреплении зоны в точке. В принципе, зона может закрепляться в любой точке, так как силы и моменты, прикладываемые к контуру и заменяющие действие мысленно отбрасываемой остальной части объекта, должны уравновешиваться. То есть в плоской задаче при использовании стандартной схемы ШЭ должны выполняться условия где fjel , Pyl - компоненты вектора узловых нагрузок в узле і контура конечноэлементной сетки для выделенной зоны ; NK - количество узлов на контуре. Однако из-за неточностей экспериментального определения компонент напряжений и вследствие допущений, заложенных в методиках их учета как граничных условий, соотношения /2.9/ могут не выполняться. В этом случае задание нулевых перемещений в узле сетки эквивалентно приложению в данном узле дополнительных усилий, равных по величине и противоположных по направлению возникающим.! невязкам сил. Такие невязки сил могут приводить к дополнительным искажениям численных решений, подверженных и без этого влиянию погрешностей в граничных условиях. Поэтому для исключения влияния закрепления зоны на решения МКЭ в областях максимальных напряжений, исходя из того, что интегральным методам присущ эффект сглаживания, необходимо производить численные расчетн при закреплении зоны в одной из точек контура, максимально удаленной от концентратора напряжений.
Расчеты НДС с помощью МКЭ, когда на контуре выделяемой зоны граничные условия экспериментально определены в напряжениях, было также предложено проводить без явного задания кинематических граничных условий. Методика таких расчетов состоит в том, что после составления глобальной матрицы жесткости [КЗ и вектора узловых нагрузок {Р} для используемой совокупности конечных элементов с N степенями свободы, в рассмотрение вводятся m дополнительных неизвестных, и расширенный вектор узловых перемещений {и} определяется из решения расширенной системы уравнений Система уравнений /2,10/ получается введением в систему /2.1/ П1 дополнительных уравнений вида относительно дополнительных неизвестных вектора {и} . Индекс 2 указывает положение вводимого уравнения в системе /2.10/. При этом матрица жесткости [к] преобразуется в : расширенную матрицу [К] , у которой элементы 6 -ых строк и I -ых столбцов получаются равными Дополнительные компоненты Ре расширенного вектора узловых нагрузок задаются произвольно, например, нулевыми. Количество дополнительных уравнений определяется из условия т Ы-г » ..«где г - ранг матрицы [j ] «Их расположение в системе уравнений /2.10/ произвольное, но такое, чтобы у / N-r / уравнений иццексы совпадали с номерами тех степеней свободы используемой совокупности конечных элементов, при наложении ограничений на которые матрица LK] становится обратимой. При реализации на ЭВМ метода конечных элементов с использованием описанной методики вводимые дополнительные уравнения удобно располагать первыми в расширенной системе уравнений /2.10/, как схематично показано на рис. 2.6, или последними, в зависимости от способа хранения в памяти ЭВМ матрицы [X] Тогда операция получения расширенной матрицы К \ является достаточно простой процедурой. Введение дополнительных уравнений внутри системы /2.10/усложняет процедуру построения матрицы [Kl . При решении МКЭ двумерных задач с граничными условиями в напряжениях необходимо задавать m 2. Проведенный численный эксперимент с заданием m = б, 4, 2 и дальнейшие расчеты с m = 2 показали, что система уравнений /2.10/ является разрешимой. Описанную методику решения системы линейных алгебраических уравнений МКЭ с помощью введений дополнительных уравнений /ЕДУ/ можно интерпретировать как задание кинематических граничных условий в некоторых фиктивных узлах, связанных с используемой совокупностью конечных элементов посредством фиктивных элементов, компоненты матриц жесткости которых достаточно малы и не учитываются при построении глобальной матрицы жесткости. Проведение расчетов МКЭ связано с трудоемким процессом подготовки и проверки исходной информации о конечноэлементных сетках. В последнее время уделяется большое внимание составлению алгоритмов автоматического или полуавтоматического формирования сеток с помощью ЭВМ для областей.с самым широким разнообразием геометрии границы /"31, 44, 46, П3_7. Но такие алгоритмы громоздки и, значительно упрощая ручную работу по подготовке исходной информации, приводят к увеличению временных затрат при проведении расчетов на ЭШ. Кроме того, в универсальных алгоритмах используются в основном простые треугольные элементы.
При комбинировании экспериментальных методов и МКЭ для анализа ЦЦС отдельных зон объектов удобнее иметь набор простых алгоритмов, позволяющих формировать сетки конечных элементов применительно к определенной форме концентратора напряжений и конфигурации контура зоны. Такие алгоритмы могут основываться на конечных элементах различных типов. Результаты, приводимые в данной работе, были получены с использованием в расчетах МКЭ простых алгоритмов дискретизаций областей, подобных изображенным на рис. 2.7.Вез особых трудностей МОЯЕНО изменять алгоритм так, чтобы структура сетки была различной /рис. 2.8/. При этом формирование массива связи элементов с узлами сетки происходит по жесткому закону, а алгот-ритм определения координат узлов выбирается исходя из конфигурации контура зоны и формы концентратора. Например, для сетки, изображенной на рис. 2.7,6, координаты узлов удобно вычислять с помощью зависимостей где j? - расстояния от центра отверстия до узлов ; ф - углы между осью х и образующими сетку лучами. В случаях, когда имеющийся алгоритм неприменим для дискретизации всей зоны, можно поступать следующим образом. Разбиение значительной части зоны на конечные элементы производится с привлечением ЭВМ, а оставшейся части - вручную /рис. 2.7,6/. Аналогичной процедурой пользовались авторы работы Г477. Из сказанного можно сделать следующий вывод: при опреде -лении концентрации напряжений в элементах конструкций с помощью экспериментально-численной методики желательно стандартизировать выбор конфигурации контура зон, чтобы затем использовать в расчетах на ЭВМ простые, постоянные для каждой формы концентратора алгоритмы формирования конечноэлементных сеток. Такая стандартизация будет полезна, так как разнообразие форм часто встречаемых концентраторов невелико, а выбор конфигурации контура зоны зависит в основном от исследователя.
Задачи о пластине с малым круговым отверстием,. подверженной различным условиям нагружения
В предыдущем параграфе представлены результаты решения задачи об изгибе кривого бруса. На примере этой задачи показана возможность комбинированного использования экспериментальных методов и МКЭ для определения концентрации напряжений в -тех случаях, когда контур рассматриваемой зоны объекта не замкнут сам на себя, а выходит на границу объекта, частично находясь в области возрастания градиентов напряжений. При таком выборе зоны требуется проводить существенный объем экспериментальных измерений для адекватного отражения значительных градиентов в изменении граничных условий на контуре зоны. С другой стороны, во многих случаях высокоточное измерение компонент перемещений или напряжений вблизи концентратора оказы- вается затруднительным. Так, например, использование тензометрии может приводить к определению граничных условий в точках, близких к концентратору напряжений, с большой погрешностью из-за усреднения показаний по длине базы датчиков. Кроме того размеры концентратора /например, отверстия/ должны значительно превосходить размеры используемых датчиков. Существуют экспериментальные методы, для которых размеры концентратора и количество точек измерений существенно не ограничивают возможность получения необходимой информации. Однако и этим методам свойственны определенные недостатки. Так, при. использовании даже в лабораторных условиях хорошо отлаженной методики, проведения эксперимента методом муара, погрешности измерений в зонах концентрации:составляют 6 8 % / 39 7. В случае применения поляризационно-оптического метода нахождению значений граничных условий вблизи контура геометрического концентратора может помешать краевой эффект /"64 7. Следует, особо отметить, что в ряде задач экспериментальное определение НДС в непосредственной близости от концентратора может оказаться практически нереализуемым вследствие, например, конструкционных особенностей объекта и т.п. Поэтому реализацию экспериментально-численной методики; представляется предпочтительным или единственно возможным осуществлять при выборе зон с замкнутым вокруг концентратора контуром. Это позволит за счет выноса контура зоны из области сильного влияния концентратора напряжений на НДС объекта значительно уменьшить необходимое количество точек экспериментальных измерений граничных условий для МКЭ и существенно расширить круг доступных комбинаций МКЭ и экспериментальных методов.
Применение экспериментально-численной методики для определения ЬЩС объекта в зонах, охватывающих концентратор напряжений, было рассмотрено на примерах расчетов плоских задач теории упругости с аналитическими решениями. Здесь, как и в задаче об изгибе кривого бруса, предумышленно, для демонстрации эффективности подхода в чистом виде без влияния на окончательные результаты погрешностей экспериментальных измерений, граничные условия для МКЭ определялись не экспериментально, а из известных зависимостей. Рассматривалась пластина с малым круговым отверстием при: трех вариантах нагружения - равномерное растяжение вдоль одной из осей - задача I /рис. 3.5,а/ ; - равномерное растяжение в направлении одной из осей и равномерное сжатие в направлении другой - задача 2 /рис. 3.5,6/; - равномерное растяжение в направлении двух осей - задача 3 /рис. 3.5,в/, для которых коэффициент концентрации напряжений в точках А и А пересечения контура отверстия и оси х составляет соответственно 3,4 и 2. Следует отметить, что в данных задачах область максимальных напряжений известна. Однако при решении подобного рода реальных задач трудно заранее определить расположение области максимальных напряжений в выделенной зоне. На примере задачи, об изгибе кривого бруса было показано, что проведение расчета НДС не всего объекта в целом, а отдельной его зоны, дает возможность дискретизировать зону достаточно малыми по размеру конечными элементами и вследствие этого выявлять области максимальных напряжений одновременно с получением высокоточных численных решений. Но может оказаться, что более рационально и целесообразно с точки зрения экономии объема памяти и; времени счета на ЭВМ использовать иной путь проведения расчетов, основанный на применении.методики фрагментации /"32, 33, 53 J. С помощью данной методики можно определять расположение максиг мально напряженной области зоны и проводить в ней уточненный расчет НДС. Методика фрагментации заключается в том, что первоначально расчет НДС зоны производится при ее исходной конечноэлемент-ной дискретизации, недостаточной для получения высокоточных решений. Затем в исходной сетке для области зоны с наблюдавшимися максимальными напряжениями выделяют фрагмент и проводят его дискретизацию более мелкими элементами.
При этом положение узлов на контуре фрагмента определяется положением узлов тех конечных элементов исходной сетки, стороны которых образуют контур фрагмента. После этого нефрагментированная часть зоны отбрасывается, а ее. действие на фрагмент заменяется заданием в узлах на его контуре перемещений, полученных при расчете по исходной сетке. Если при разбиении фрагмента на его контуре были введены дополнительные узлы, то значения перемещений в них интерполируются по линейному закону. С помощью фрагмента производится уточненный расчет НДС области максимальных напряжений зоны. Аналогично в этом фрагменте можновыделить новый фрагмент и осуществить очередное уточнение решения. Так поступают до достижения требуемой точности решения. Определение НДС вблизи отверстия с помощью МКЭ было реализовано при выделении в пластине круговой зоны, включающей отверстие /рис. З.б/. Для выяснения влияния:близости контура зоны к концентратору напряжений на точность результатов МКЭ проводились расчеты трех таких зон с различными радиусами контура, который приравнивался 14,5а , 7,2а и 4,2а , где а- радиус отверстия в пластине. При.проведении расчетов использовалась методика фрагментации. Уточнение решений МКЭ в отдельных областях круговых зон осуществлялось в два этапа. Дискретизация зон и выделяемых фрагментов производилась линейными треугольными элементами с применением простого алгоритма, описанного во второй главе. На рис. 3.7 схематично показаны фрагментированные области зоны с радиусом контура 14,5 а . В качестве фрагмента I выбиралась область зоны, располагавшаяся между двумя лучами, исходящими из центра отверстия и составляющими между собой угол 90 , и дугой окружности радиуса 7,2 а /рис. 3.7,а,б/. На втором этапе решение уточнялось во фрагменте II, который выделялся из фрагмента I вблизи отверстия. Контур фрагмента II частично образовывался отрезками лучей, исходящих из центра отверстия и составляющих между собой угол 50 /рис. 3.7,6/. Начиная с расстояния 3,1а откладываемого по лучам от центра отверстия, контур образовывался сторонами конечных элементов фрагмента I. Симметричность исходной конечноэлементной сетки.относительно осей координат позволяла без особых сложностей проводить с помощью фрагментов, уточнение решения в областях зоны, содержащих сечения А-Ви С-Э . Конечноэлементные сетки для зон с радиусами контуров 7,2а и 4,2 а получали усечением исходной сетки /а если требовалось, и сеток фрагментов/ для зоны радиуса 14,5 а.
Аппроксимация граничных условий
Комбинирование МКЭ и экспериментальных методов для определения концентрации напряжений в отдельных зонах элементов конструкций позволяет без особых затруднений использовать один из путей улучшения сходимости численных решений к точным. Этот путь - осуществление дискретизации рассматриваемых зон достаточно малыми по размеру конечными элементами. Но увеличение числа узлов на контуре конечноэлементной сетки приводит к возрастанию объема экспериментальных работ по определению граничных условий для МКЭ в точках объекта, соответствующих этим узлам. Для сокращения необходимой экспериментальной информации, а следовательно, повышения эффективности комбинированного применения методов, было предложено аппроксимировать дискретно заданные функции изменения компонент граничных условий вдоль контура зоны с последующим вычислением значений перемещений или напряжений в контурных узлах с помощью найденных функциональных зависимостей. При использовании такой процедуры экспериментальные измерения необходимо проводить в значительно меньшем числе точек контура по сравнению с количеством контурных узлов конечноэлементной сетки. Следует отметить, что аппроксимация граничных условий позволяет в некоторой степени сгладить погрешности, присутствующие в экспериментальных данных. В дальнейших расчетах аппроксимация граничных условий осуществлялась следующим образом. Контур рассматриваемой зоны спрямлялся и отображался на отрезок Г«,&1 оси І /рис. 3.18, а,в/. Если контур замкнут /рис. 3.18,6/, то предварительно он разрывался в одной из m точек экспериментального измерения граничных условий. В точках : [сг,В]и соответствующих точкам измерения граничных условий на контуре зоны задавались прибли-женные значения "Vf . некоторой функции. Ц = р {,) . Этими зна- чениями являлись либо одноименные компоненты вектора перемещений tidily в точках измерений на контуре, либо одноименные компоненты тензора напряжений эж Зу 7 у . Количество точек і: равнялось m для зон с незамкнутыми контурами и. п\+ \ - для зон с замкнутыми контурами.
В точке т+\ задавали 3 ,= . Известно /"43.7, что не существует методики, которая позволила бы определить наиболее подходящий тип функциональной зависимости для описания заданного набора экспериментальных данных. Поэтому аппроксимацию функции ф( ) на интервале ["&,] осуществляли алгебраическими многочленами вида Построение многочлена R,()BO МНОГОМ зависит от точности определения дискретных значений аппроксимируемой функции. Если погрешности эксперимента достаточно малы, коэффициенты многочлена /3.2/ можно определять решением задачи интерполирования функции РС ) При этом последовательность функций I, , , ,... отвечает требованиям интерполирования /"36 J. На практике, однако, в большинстве случаев погрешности эксперимента могут приводит к значительным отклонениям экспериментальных значений аппроксимируемой функции от действительных. В связи с этим осуществлялось приближение функции срСО в смысле среднеквадратического с помощью метода наименьших квадратов /"4, 41, 43 _7. Такой способ построения аппроксимирующих многочленов дает возможность сгладить случайные ошибки эксперимента и охарактеризовать: функцию рСО на рассматриваемом отрезке в целом, без копирования ее местных неправильностей . Б соответствии с алгоритмом метода наименьших квадратов, коэффициенты \ отыскивались решением системы линейных алгебраических уравнений вида где V\ VY\. При этом, из множества многочленов /3.2/ одинаковой степени многочлен R, ) с найденными коэффициента- мнк ми А І дает наилучшее среднеквадратичное приближение функции ф,) . Варьированием степени и можно определить УУ\ таких многочленов. В качестве критерия определения оптимального из многочленов Римнк для аппроксимации функции цэ(Д) использовали среднеквадратичное отклонение многочлена от заданных в точках ,: Є С&, & 1 приближенных значений ф, функции. Ясно, что при проведении экспериментальных ра-бот затруднительно определить погрешности измерений в каждой точке. Однако всегда можно оценить интервал - А %, в который они попадают. Тогда приближенное значение 9- функции У(К) в точке . [р? Сбудет находиться в пределах j Среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от точных значений аппроксимируемой функции в точках записывается как Подстановкой выражения /3.4/ в /3.5/ получим, что Среднеквадратичное отклонение многочлена Ри от экспериментальных данных ф. в точках ,. вСяД] равно Оптимальным, с точки зрения аппроксимации функции ф(4) по заданным ее приближенным значениям ф. в точках , считали тот многочлен наименьшей степени из ип многочленов 1инк Для К0Т0Р0Г0 выполнялось условие Последовательное применение описанного алгоритма для аппроксимации.функций изменения одноименных компонент граничных условий давало возможность определять затем перемещения или напряжения в любой точке контура рассматриваемой зоны. Отметим, что в последующих вычислениях не используются производные от многочленов. Поэтому степени выбираемых аппроксимирующих многочленов: могут быть достаточно большими и ограничиваются только величиной YY\ . Однако, как показали тестовые расчеты, при больших значениях И / 10 15/ и при 0{ «(э возможна потеря точности определения с помощью ЭВМ коэффициентов АІ выражения /3.2/. Данный факт объясняется возникновением значительной разницы между величинами слагаемых системы уравнений/3.3/.
Поэтому в дальнейших расчетах в качестве интервала [агИ оси использовался интервал [ I...27. Форма контура рассчитываемой МКЭ зоны объекта выбирается произвольно и допускает резкие изломы. В точках излома аппроксимируемые функции могут претерпевать резкие изменения. Но известно Z"36_7, что многочлен /3.2/ изменяется плавно. Следовательно трудно ожидать, что вблизи изломов погрешность приближения будет мала. Поэтому при решении практических задач аппроксимацию экспериментальных данных осуществляли отдельно по участкам интервала fl...2j между точками, которые соответствовали изломам контура, как показано на рис. 3.17,а,б,в,. Значения компонент граничных условий в узлах конечноэлемент-ной сетки, располагаемых на изломах контура, определяли- в окончательном виде как среднеарифметические от значений аппро- ксимирующих функций слева и справа от узлов. Аналогичным образом определяли граничные условия в узле разрыва замкнутого контура. Следует отметить, что аппроксимацию граничных условий можно осуществлять на основе иных типов функциональных зависимостей и критериев выбора их оптимальных параметров. Так, в качестве аппроксимирующих функций могут использоваться полиномы Чебыпева или одномерные кубические сплайны, методики применения которых для обработки экспериментальной информации, описаны в работах Z 6I, 81 _7. Для проверки эффективности применения аппроксимации граничных условий с целью уменьшения объема необходимой исходной информации, получаемой экспериментальным путем, были повторно осуществлены расчеты задачи о растяжении пластины с малым круговым отверстием. На основе использованных ранее конечноэле-ментных сеток определялось ЦЦС круговых зон с радиусами контуров 7,2 а И 2,8а / а - радиус отверстия/. То есть, в первом случае контур зоны находился вне области воздействия отверстия на ЦЦС пластины, во втором - внутри этой области. Граничные условия моделировались введением в точные значения! перемещений или напряжений погрешностей измерений, при которых в предыдущих расчетах наблюдались экстремальные отклонения численных решений от теоретического значения напряжения! сзу/А/ в точке Л пластины /рис. 3.19,а/.
