Введение к работе
Диссертация посвящена развитию метода граничных состояний на класс задач линейной механики для анизотропных тел. При разработке метода широко использовался формализм гильбертовых пространств и теорема взаимности для среды. Вводятся понятия граничного и внутреннего состояний для анизотропной среды, показывается их взаимно однозначное соответствие. В пространствах внутренних и граничных состояний определяются скалярные произведения.
Разработана методика построения базисов для исследуемых пространств и доказана сходимость ряда коэффициентов Фурье для разложения функций механических характеристик по выбранному базису. Показана методика решения основных задач механики деформируемого твердого тела; построены решения конкретных задач.
Актуальность. Все разработанные к настоящему времени методы решения задач МДТТ имеют свои достоинства и недостатки. Метод граничных состояний (МГС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики. Он обеспечивает возможность построения решения основных задач механики для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме этой особенности МГС имеет еще достоинство - он является общим.
К настоящему времени его применение в механике касалось узкого круга задач: кручение призматических стержней (А.А. Харитоненко), гидродинамика идеальных жидкостей (А.А. Харитоненко), статические задачи теории упругости изотропных тел, как при отсутствии массовых сил (В.В. Пеньков), так и при их наличии (Д.В. Викторов), линейная несвязанная термоупругость (Л.В. Саталкина), задачи линейной теории упругости для неоднородных тел (Л.В. Саталкина). Появились первые результаты в области динамических задач: МГС применен для исследования вынужденных колебаний упругих тел (И.Н. Стебенев).
Естественным развитием сферы применения МГС является усложнение свойств среды, в частности, – рассмотрение сред с анизотропными свойствами.
Цель работы. Развитие метода граничных состояний на класс задач теории упругости для анизотропных тел и построение решений конкретных задач.
Задачи исследования. Для достижения поставленных целей в данном исследовании необходимо решить следующие задачи:
сформулировать понятия пространств внутренних и граничных состояний анизотропного тела;
обеспечить свойства гильбертова изоморфизма обоих пространств;
сформировать счетный базис пространства состояний анизотропной среды, на основе общего решения определяющих уравнений;
провести ортогонализацию базиса внутренних состояний; построение «тела в смысле МГС»;
сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах МГС;
разработать вычислительные алгоритмы;
теоретически обеспечить разрешимость задач для анизотропных сред;
провести решение конкретных задач как для односвязных так и для двусвязных областей.
Практическая ценность заключается в возможности использования нового метода для решения задач анизотропной упругости; в использовании вычислительных алгоритмов в инженерных целях.
Научная новизна раскрывается следующими положениями:
1) МГС, который является новым «энергетическим» методом механики, применен для решения задач для анизотропных тел;
2) построен новый способ выделения базиса пространства состояний, использующий общие решения для анизотропной среды;
3) решены оригинальные задачи для тел различных геометрических конфигураций.
Достоверность полученных результатов обеспечена:
1) строгим математическим обоснованием МГС;
2) тестированием результатов в отношении точности;
3) тестированием метода на известных решениях (результаты тестирования показали абсолютное совпадение с известными точными решениями).
Публикации. По материалам диссертации опубликованы 8 научных работ. Одна работа опубликована в издании, рекомендованном ВАК.
Апробации. Положения диссертации докладывались: на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 27–29.06.2009, 20–22.0.9.2010), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 27–29.06.2009), на совещании–семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (25.04.2009), на конференции «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ – 2010, Воронеж, 14.05.2010, 29.10.2010), на научном семинаре имени Л.А. Толоконникова (Тула, 29.09.2010).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы из 79 названий и 2 приложений. Объем работы составляет 81 страницу основного текста, включая 51 рисунок, 4 таблицы и 16 страниц приложения.
