Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы в качестве наполнителя в композитных материалах все чаще используются включения, один из характерных размеров которых много меньше двух других. Оказалось, что армирование композита жесткими чешуйками — наиболее эффективный путь увеличения его жесткости: при одинаковой объемной концентрации наполнителя жесткие чешуйки увеличивают модуль упругости материала в 1,5 - 2 раза больше, чем квазисферические включения или волокна. С другой стороны, среда, содержащая тонкие, но податливые включения, может быть рассмотрена как модельная для описания процессов накопления повреждений ( трещин и других дефектов) в реальных материалах. Таким образом, больший интерес для механики композитов представляют тонкие включения, модули упругости которых существенно отличаются от модулей упругости основной среды.
Один из классических подходов к исследованию сред с включениями опирается на использование математического описания в рамках теории упругости в виде интегральных или интегро-дифференциальных уравнений по срединной поверхности включения. При этом основной интерес для приложений представляют главные члены асимптотических разложений упругих полей в окрестности тонких включений по естественным параметрам задачи. Однако практическое применение подобных разложений связано как с математическими, так и с вычислительными сложностями.
В подавляющем числе случаев разрушение материала сопровождается образованием пластических областей. В связи с этим особое значение приобретают упруго-пластические задачи, в которых в ходе решения, помимо определения возникающих напряжений и деформаций, должна быть определена граница, отделяющая упругую и пластическую зоны. Аналитическое решение в замкнутом виде для такого класса задач получено только для случая антиплоской деформации.
Все вышеизложенное позволяет сделать вывод о научной
и практической значимости разработки методов и алгоритма расчета полей напряжений в окрестности тонких включений и трещин в упругих и упруго-пластических средах.
Цели и задачи исследования. В диссертации были поставлены следующие задачи:
-
Анализ задачи о равновесии однородной упругой среды, содержащей тонкое включение, модули упругости которого существенно отличаются от модулей упругости среды.
-
Построение метода решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в пространственных задачах теории упругости с включениями.
-
Изучение свойства класса экспоненциальных функций, при менительно к решению интегралных уравнений для среды с включением в плоском и пространственном случаях, исследование свойств предложенной аппроксимации на этом классе функций, получение оценки точности аппроксимации непрерывных и разрывных функций.
-
Решение с помощью введенной аппроксимации плоской и пространственной задачи теории упругости для сред с тонкими включениями, распространение метода на решение упруго-пластических задач.
Научная и практическая ценность работы заключается в разработке эффективного метода решения плоских и про-странстрвенных задач о тонких податливых и жестких включениях в упругих и упруго-пластических средах.
Новые результаты, выносимые на защиту
1. Предлагается достаточно универсальный метод решения задач о средах с тонкими включениями и трещинами, позволяющий рассматривать плоские и пространственные задачи. Метод распространяется на упруго-пластические среды и не зависит от конкретных особенностей задачи.
2. В результате применения аппроксимации решения функциями специального вида удается избежать численного вычисления интегралов. Класс этих функций характеризуется тем, что для них соответствующие интегралы могут быть вычислены аналитически. В результате исследование сред с разного рода включениями сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Публикации и Апробация работы. По теме диссертации опубликовано шесть научных работ. Результаты работы докладывались в НТО им.А.Н.Крылова, на V Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса), 12 Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластич-ности(Тверь), на международной конференции EUROMECH-291 (СПб)
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 124 страницах и содержит 56 рисунков. Библиография включает 48 наименований.