Введение к работе
Актуальность проблемы
Исследованию физико-механических свойств материалов посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых.
Различные вопросы теории и методов исследования как краевых задач для дифференциальных уравнений, описывающих поведение деформируемых тел, так и свойств самих материалов рассматривали М А. Алексидзе, В.И. Арнольд, И.Н Векуа, М И Ви-шик, В С. Владимиров, И.И. Ворович, И.Ц Гохберг, Д.А Индейцев М.Г Крейн, В Д Купрадзе, О.Н. Ладыженская, В П. Мас-лов, В П. Матвеенко, С Г. Михлин, Н Ф Морозов, С Л. Соболев, С. Агмон, А Дуглис, Л Ниренберг и др Существенные результаты при исследовании смешанных краевых задач получили В.М Александров, Б Д Аннин, Н X. Арутюнян, А В Белоконь, А О Ватульян, И.И Ворович, Б М. Глинский, Е.В Глушков, Н В. Глушкова, А Г Горшков, Р В. Гольдштейн, И.Г Горячева, И.М Дунаев, Д А. Индейцев, В В Калинчук, В И Колесников, А В. Манжиров, Н Ф Морозов, А Д Полянин, В И Моесаков-ский, С М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г Я Попов, ОД. Пряхина, В С Саркисян, М.В Сильников, А.В Смирнова, Т.В. Суворова, Д В Тарлаковский, Л А Фильштинский и др
Вопросы концентрации напряжений в деформируемых телах при наличии дефектов были глубоко изучены в работах В Г Баженова, И И Воровича, И.Г. Горячевой, А Н. Гузя, И М. Дунаева, В.А. Еремеева, Л.М Зубова, Д А Индейцева, Д М. Климова, Л.П. Лебедева, Н.Ф. Морозова, А.В. Наседкина, В В. Новожилова, И Ф. Образцова, Б Е. Победри, М Г Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, ЮГ Яновского и др.
Разнообразие целей, для которых предназначены материалы, широкий спектр механических - прочностных и физических -электромагнитных, температурных, оптических, магнитных, пьезоэлектрических, сегнетоэлектрических и других характеристик сформировали ряд направлений исследования материалов, преимущественно по отдельным из перечисленных свойств
\0
Дальнейшее многообразие материалов достигается их различными сочетаниями в композиционных материалах, материалах блочного строения, представляющих сложное строение из фрагментов материалов различных типов
Особое место занимает исследование свойств материалов на-поразмерных величин, физико-механические свойства которых значительно изменяются по сравнению с макротелами Взаимодействие микро- и макротел с наноразмерными представляет новый важный раздел для исследователей
В связи с технологическим назначением многие материалы используются во взаимодействии или в контакте с другими материалами, что может приводить к искажению первоначально установленных физико-механических свойств, изученных вне взаимодействия В этих случаях появляются новые задачи, требующие дополнительного исследования, учитывающие технологический контакт материалов при использовании. Задачи нового типа возникают и при исследовании возможностей конструирования материалов с заданными физико-механическими свойствами. Сложность решения указанных задач связана с необходимостью исследования возникающих при этом краевых задач механики деформируемого твердого тела и физических процессов, описывающих поведение соответствующих полей.
Кажущаяся возможность преодоления этих сложностей применением современных вычислительных средств не всегда позволяет достигать искомой цели Причина состоит в том, что в композитных, составных материалах, в материалах с дефектами или включениями меньшей размерности распределение физико-механических полей носит сложный характер, описываемый большим числом параметров В частности, в отдельных областях могут возникать зоны концентрации напряженности или плотности физико-механических полей, усложняющие исследование Понимания закономерностей возникновения таких явлений, опираясь только на численные методы, достигнуть не всегда удается.
Настоящая работа нацелена на преодоление ряда отмеченных нерешенных проблем В основе исследования лежит новый метод- дифференциальный метод факторизации, разработанный для решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений
в частных производных большого порядка Этот метод служит дополнением к методу Винера - Хопфа, разработанному для решения интегральных уравнений и названному в работе интегральным Два указанных метода значительно расширяют арсенал средств аналитического и численно-аналитического исследования краевых задач для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных, а также возникающих при этом систем интегральных уравнений, появляющихся при исследовании материалов, тем самым позволяют выявлять ряд важных закономерностей в поведении их решений
Значительное внимание в работе уделено конструированию материалов путем пассивного напыления мелкоразмерных субстанций на подложку, которая может иметь разнотипные подстилающие поверхности Принимается во внимание возможность искривления траекторий движения субстанций физическими полями, действующими в зоне между источником и подстилающей поверхностью.
Особое место занимают краевые задачи для материалов, имеющих составное строение из трехмерных фрагментов материалов этого же типа или других свойств Такого рода материалы называют материалами блочного строения Простейшими среди них являются слоистые материалы Теория слоистых материалов глубоко развита и считается практически исчерпанной
Исследование материалов блочного строения производится, как правило, численными методами. В то же время в случаях протяженных тел, а тем более при наличии дефектов эти методы неэффективны Такая же проблема возникает в задачах вибрации в случаях неограниченных блочных тел, когда необходимо учитывать условия излучения на бесконечность
В диссертации дается анализ существующих аналитических, численно-аналитических и численных методов исследования и решения краевых задач о напряженно-деформированном состоянии материалов сложного, в том числе блочного строения Важное внимание уделено проблеме создания материалов с заданными физико-механическими свойствами, предназначенных для использования в условиях мощных физико-механических полей Значительное продвижение в этом направлении может быть сде-
лапо на основе формирования материалов блочного строения с блоками, имеющими сложные физико-механические характеристики. Речь идет о создании материалов с заданной способностью локализовать те или иные поля деформаций или напряжений, напряженности электрического или магнитного полей, иметь определенные динамические трассы внутри тела, обладать заданным уровнем концентрации напряжений в окрестностях дефектов и т д.
Для выполнения этих исследований в диссертации развивается новый математический аппарат, использующий идеи факторизации. Определенные шаги по прямому или косвенному развитию этого метода были сделаны в работах М И Вишика, Г И. Эскина, А.О Ватульяна, Л.А. Игумнова, В А Бабешко и О.М. Бабешко В работах М И. Вишика, Г.И. Эскина рассмотрено применение метода факторизации для полупространства В основе исследования лежит идея выделения главного члена асимптотики символа псевдодифференциального уравнения В работах А.О. Ватульяна и учеников строится система граничных интегральных уравнений для упругих ограниченных тел на основе свойств преобразований Фурье, связанных с целыми функциями в таких областях. Далее развивается метод исследования ГИУ как некорректных, по А.Н. Тихонову, операторных уравнений Аналогичные уравнения получил Л.А. Игумнов, используя разложения по собственным функциям краевой задачи, в предположении возможности их построения
В А Бабешко и О.М Бабешко разработан ряд подходов исследования краевых задач для систем однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в отдельной области, опирающихся на топологические методы и факторизацию матриц-функций, построены варианты факторизации мероморфных матриц-функций.
В то же время ими не был решен большой круг вопросов, что не позволяло перенести методы факторизации на блочные структуры и не давало возможности исследовать краевые задачи для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Например, подход, который ими рекомендовался для блочных структур, состоял в следующем. Поскольку получаемое методом факторизации решение принадле-
жит классу медленно растущих обобщенных функций, состоящих из классических и обобщенных составляющих, предлагались достаточно сложные преобразования по отделению классической составляющей решения от обобщенной Затем предлагалось удовлетворение по традиционной схеме граничным условиям путем внесения классических составляющих решений в граничные условия контакта блоков. Это существенно усложняло задачу и делало подход неэффективным. Кроме того, ими не была решена проблема исследования и решения краевых задач для неоднородных дифференциальных уравнений, не исследовались нестационарные краевые задачи, что также тормозило перенос метода на нелинейные задачи
Наконец, не были систематизированы методы факторизации мероморфных матриц-функций и по этой причине не было замечено существование двух методов факторизации - классического, созданного Н Винером и Е. Хопфом и названного интегральным, и дифференциального Оба метода основаны на сведении в одном случае интегральных, в другом -дифференциальных уравнений к функциональным уравнениям, дальнейшее исследование которых опирается на идеи факторизации. Перечисленные причины не позволяли осуществлять исследования блочных структур в полной мере Ряд перечисленных недостатков устраняется настоящей работой В частности, в диссертации развит дифференциальный метод факторизации, применяемый к краевым задачам для систем дифференциальных уравнений Надо отметить, что существование дифференциального метода факторизации долгое время не было обнаружено Это объясняется тем, что в основе метода лежат тонкие свойства топологической алгебры, связанные с автоморфизмом топологических многообразий с краем, разделом математики, не часто используемым в приложениях В диссертации этот метод систематизирован и для его применения разработан и обоснован строгий алгоритм использования. Метод демонстрируется на многочисленных примерах
Цели исследования
1 Разработка математического аппарата, основанного на идеях факторизации, для исследования краевых задач для систем дифференциальных и интегральных уравнений, описывающих
напряженно-деформированное состояние материалов сложного строения, в том числе наноматериалов, и позволяющего давать аналитические представления решения краевых задач внутри области
2 Применение метода к краевым задачам для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами любого порядка, заданным на множестве областей материала блочной структуры одной размерности или разных размерностей с кусочно-гладкой границей. Предполагается, что материалы имеют блочное строение, причем каждый блок обладает специфическими физико-механическими свойствами Блоки могут иметь поверхностные и внутренние дефекты типа трещин и включений Блоки способны реагировать на внешние физические поля - температурные, электромагнитные, диффузионные, описываемые краевыми задачами для систем дифференциальных уравнений в частных производных
-
Развитие дифференциального метода факторизации для исследования нестационарных и неоднородных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих поведение материала со сложными свойствами
-
Развитие интегрального метода факторизации для исследования и решения систем двумерных интегральных уравнений.
5 Построение общего представления решений краевых задач для блочных структур деформируемых материалов. Формирование условий, позволяющих управлять определенными свойствами материалов
6. Исследование возникновения резонансных явлений в материалах с покрытиями и сложного строения
Научная новизна результатов работы
В работе впервые обобщены различные методы факторизации, основанные на идеях автоморфизма топологических многообразий и разработан метод сведения как краевых задач для систем дифференциальных уравнений, так и систем интегральных уравнений к функциональным уравнениям в пространствах медленно растущих обобщенных функций
Развиты два дополняющих друг друга метода факторизации.
Дифференциальный метод факторизации позволяет получать аналитические представления решений краевых задач в материалах блочной структуры одной размерности Материалы могут подвергаться воздействиям внешних полей различной природы.
Второй, интегральный, метод факторизации обобщил подходы к исследованию интегральных уравнений с разностным ядром Он позволяет получать представления решений при наличии неоднородностей гипа трещин и включений в материалах Для его применения построены новые формулы факторизации мероморфных матриц-функций произвольного порядка. Благодаря им оказалось возможным построить решение систем интегральных уравнений с мероморфным символом, которые ранее решить и исследовать не удавалось В диссертации развит новый подход к исследованию многомерных, в частности, двухмерных интегральных уравнений в произвольных областях. Данный подход эффективен при исследовании материалов с покрытиями, а также имеющих внутренние неоднородности и дефекты сложной формы
Разработка указанных методов для блочных структур дала возможность разрабатывать методы исследования краевых задач для систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений.
В диссертации развивается метод бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для исследования двухмерных интегральных уравнений в произвольных областях Метод служит дополнением к традиционным подходам и позволяет получать явные формулы для описания поведения решений (контактных напряжений, температурных и электромагнитных полей) в сложных телах
Полученные научные результаты позволили сформулировать условия проектирования материалов с заданными свойствами В частности, сформулированы условия, приводящие к локализации деформационных процессов в средах с неоднородностями и ре-зонансов, что не удавалось выполнить другими методами.
Научное и практическое значение результатов работы
Дифференциальные и интегральные уравнения являются основным средством описания широкого спектра природных и тех-
ногенных закономерностей и процессов. Поэтому любой прогресс при их исследовании и решении способствует познанию действительности, позволяет выявить новые явления и свойства Уместно упомянуть, что такие уравнения, как уравнение Максвелла в теории электромагнитных волн, Шредингера в квантовой механике, Дираки в релятивистской квантовой механике, стали результатом осмысления определенных решений более простых уравнений и их связи с результатами экспериментов Поэтому знание аналитического представления решений может послужить получению необходимых связей с экспериментальными данными и выявлению новых закономерностей Развитые методы дают большие возможности для этих исследований
Разработанный в диссертации дифференциальный метод факторизации существенно облегчает процесс понимания, анализа и применения свойств решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, что ранее делалось только численными методами и не позволяло получать аналитическое представление решения.
Благодаря развитию методов исследования блочных структур стало возможным исследование систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами Развитый математический аппарат позволяет ставить и решать краевые задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений, основываясь на сведении последних к линейным системам дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом Ньютона - Канторовича
Развитие дифференциального метода факторизации дает толчок к исследованию классов медленно растущих обобщенных функций, представленных двухмерными интегралами, а также к исследованию аналитических многообразий, порождаемых характеристическими уравнениями систем дифференциальных уравнений в частных производных.
В диссертации дифференциальный метод факторизации применяется для исследования различных типов материалов, находящихся в сложных механических, физико-химических и биологических условиях На основании анализа решений краевых задач формируются условия для проектирования новых материалов, в
том числе обладающих определенными медико-биологическими свойствами
В результате созданы новые материалы медико-биологического назначения, имеющие практическое применение. При этом использована лишь небольшая часть возможностей метода. Он применим для исследования прочности и разрушения материалов, явлений сейсмологии, геофизики, в сейсмостойком строительстве, акустике, экологии С его помощью удается исследовать краевые задачи для полупроводниковых и пьезокера-мических материалов, возникающие при создании объемных интегральных схем элементной базы электроники Метод применим для изучения наноматериалов и устройств, использующих эти материалы, в том числе во взаимодействии с микроструктурами
Дифференциальный метод факторизации эффективен при исследовании квантово-механических явлений и процессов, протекающих в квантовых ямах и квантовых проволоках Он используется для анализа поведения больших молекул как механических объектов С его помощью оказывается возможным теоретически анализировать взаимодействие на ядерном уровне столкновения элементарных частиц с ядром. Это лишь небольшой перечень задач, которые могут решаться дифференциальным методом факторизации
Интегральный метод факторизации в той форме, которая развита в диссертации, применим для анализа напряженно-деформированного состояния материалов с неоднородностями меньших размерностей - включениями, трещинами, покрытиями. Данный метод может использоваться для решения большого круга двухмерных интегральных уравнений, частные случаи из которых в одномерном варианте изложены в многочисленных работах Назовем некоторые из них. материаловедение, смешанные и контактные задачи механики деформируемого твердого тела, фундаментостроение, строительство, судо- и авиастроение, распространение электромагнитных волн и др.
Важно заметить, что дифференциальный и интегральный методы факторизации не исключают, а дополняют друг друга (и это демонстрируется в диссертации), позволяя исследовать классы задач, не поддающихся эффективному изучению другими методами
Работа выполнена в КубГУ в рамках исследований по приоритетному направлению развития науки и техники в Российской Федерации «Индустрия наносистем и материалов» и имеет прямое отношение к следующим критическим технологиям Российской Федерации- «Технологии создания и обработки композиционных и керамических материалов», «Технологии создания и обработки кристаллических материалов», «Технологии создания и обработки полимеров и эластомеров», «Технологии создания электронной компонентной базы».
Исследования велись при поддержке грантов федеральных целевых программ «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997— 2000 гг.», проекты А0017, В0121, гранта REC-004 Американского фонда гражданских исследований и развития, Краевой целевой программы Краснодарского края «Академические прикладные научные проблемы Краснодарского края на 2004-2008 годы», грантов РФФИ, выполняемых под руководством соискателя (04-01-08101)-офи, (04-01-96822)-р2004юг, (06-05-96806)-офи, а также с участием в качестве исполнителя (06-08-96635)-р_юг_а, (06-08-96636)-р_юг_а (06-08-08017)-офи, (06-08-96803)-р_юг_а, (03-08-96537)-р2003юг_а, (03-01-96527)-р2003юг_а, (00-01-96023) р2003юг, проектов ведущих научных школ НШ-2107 2003, НШ-4839 2006 1, программ отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН и Президиума РАН, выполняемых Краснодарским отделом Южного научного центра РАН.
Достоверность результатов
Достоверность результатов теоретических исследований обеспечивается применением строгих математических методов Полученные результаты подвергаются проверке путем применения к задачам, решаемым иными способами. Поэтому диссертация изобилует многочисленными примерами, демонстрирующими применение развитых в ней теорий и результатов Например, дифференциальный метод факторизации проверялся на различных типах дифференциальных уравнений и систем, в частности, для простейшей блочной системы - слоистой среды Методы
факторизации мероморфных матриц-функций прошли непосредственную проверку путем перемножения последних
Полученная с применением теоретических методов интеллектуальная собственность прошла патентную экспертизу и запатентована
На защиту выносится:
-
Разработка нового метода - дифференциального метода факторизации исследования и решения краевых задач напряженно-деформированного состояния материалов, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности
-
Развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния и физических свойств материалов блочного строения при воздействии физическими полями различной природы Блоки структуры могут обладать широким спектром физико-механических свойств.
-
Разработка интегрального метода факторизации для исследования и решения систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании материалов с неоднородностями, в том числе с покрытиями
-
Разработка методов факторизации мероморфных матриц-функций нескольких комплексных переменных применительно к дифференциальному и интегральному методам факторизации
5. Разработка методов расчета напыления и осаждения субстанций материалов на подложку в условиях наличия физических полей
6 Разработка методов управления некоторыми механическими свойствами материалов.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на VIII (Пермь, 2001 г) и IX (Нижний Новгород, 2006 г) Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике, на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г), на V1JI Всероссийской научно-
технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» (Нижний Новгород, 2004 г), на IX Всероссийской научно-технической конференции «Методы и средства измерений физических величин» (Нижний Новгород, 2004 г), на X Всероссийской конференции с международным участием «ПЭМ-2004» (Дивноморск, 2004 г.), на IV Всероссийской научной конференции «Физическая экология» (Москва, 2004 г), на X Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006 г), на Международной конференции «Environmental Problems and Ecological Safety» (Wiesbaden, 2004 г ), на IV Международном семинаре «Фундаментальные прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий Стихия-2001» (Севастополь, 2001 г.), на XXXV Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Sint-Petersburg, 2007 г), a также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Института проблем механики и геоэкологии КубГУ.
Публикации
По теме диссертации опубликованы 23 статьи, из них 18 в журналах, определенных ВАК РФ для публикаций основных научных результатов докторских диссертаций, в 16 тезисах всероссийских и международных конференций Диссертационные исследования использованы в 10 патентах и свидетельствах
Структура, содержание и объем работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, приложений, списка использованной литературы
