Введение к работе
Актуальность темы. Поскольку в процессе изготовления и эксплуатации конструкций не удается избежать появления трешиноподоб-ных дефектов, приходится оценивать возможность использования конструкций, содержащих такие дефекты. Способность конструкций с трещинами сопротивляться заданным нагрузкам п хрупком и квазихрупком случае определяется значениями коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Напомним, что КИН вычисляются через коэффициенты в асимптотике напряжений или смещений вблизи фронта трещины, а сами напряжения и смещения являются решениями соответствующей задачи теории упругости.
Несмотря па развитие вычислительной техники и численных методов, включая методы конечных и граничных элементов, численное эпределение поведения решения вблизи контура разреза является весьма сложной задачей в особенности для трехмерных тел. В настоящее время практически не существует численных методов, гарантирующих сходимость локальных характеристик приближенных решений ( например, таких как КИН ) к соответствующим характеристикам точного решения. В этих условиях большое значение приобретают полученные для част-Еіьіх случаев аналитические или асимптотические решения. Они пред-зтавляют самостоятельный интерес, являются эталонами для проверки я корректировки численных процедур, а также могут использоваться для получения приближенных решений в альтернирующих методах. Кроме этого интерес представляют оценки решений, которые позволяют в ряде ;лучаев выяснить возможность роста трещины, не прибегая к решению :оответствугощих уравнений.
Таким образом актуальными являются проблемы разработки новых эффективных методов построения аналитических и приближенных решений пространственных статических и динамических задач теории упругости о трещинах, построение оценок решений указанных задач, а также применение разработанных методов для получения новых решений. Ис-
следованию этих проблем и посвящена диссертация.
Основная цель работы заключается в развитии нового математического аппарата для исследования и решения граничных уравнений пространственных задач линейной механики разрушения и получении с его помощью решений ряда важных для теории трещин статических и динамических задач.
Научную новизну работы составляют следующие результаты.
Развит и обоснован новый проекционный метод решения операторных уравнений, включающих в себя и граничные уравнения пространственных задач теории трещин. Разработанный метод является обобщением известных проекционных методов и оказывается полезным при решении краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, т.к. позволяет учесть в приближенном решении особенности точного решения и вместе с тем избежать вычисления сингулярных интегралов ( интегралов в смысле главного значения и конечночастных интегралов ). Эффективность метода проиллюстрирована на различных задачах о трещинах отрыва и сдвига при статических и гармонических по времени нагрузках.
Развит аналитический метод решения задач об эллиптических трещинах в упругом пространстве. В случае статических полиномиальных нагрузок произвольного порядка разработанный метод приводит к конструктивной процедуре построения аналитического решения. Для гармонических по времени нагрузок, допускающих разложение в степенной ряд по волновому числу, коэффициентами которого являются полиномы, метод приводит к конструктивной процедуре разложения решения в ряд Тейлора по волновому числу, причем позволяет вычислить произвольное количество коэффициентов ряда. Получаемые разложения решений гармонических задач в ряд Тейлора являются аналитическими решениями только в случае низких частот, т.к. решения, как функции от волнового числа, не являются голоморфными. Для построения высокоточных приближений в более широкой области волновых чисел, включающей
средние частоты, использованы аппроксимации Паде.
Получен ряд результатов, относящихся к построению оценок решений дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. В том числе получены новые изопериметрические оценки решений класса псев-додпфференцналыгых уравнений, которые, применительно к задаче о трещине нормального разрыва, приводят к изопериметрическим оценкам Ьр - норм (р > 1) скачков смещений. В задаче об установившихся колебаниях пространства, ослабленного трещиной нормального разрыва, в случае низкочастотных колебаний доказаны теоремы сравнения для модулей амплитуд скачков смещений н КИН.
Предложен новый способ симметризации функций и исследованы его свойства. Разработанный математический аппарат оказался полезен не только для задач теории трещин, но и для некоторых других задач теории упругости. В частности, с помощью введенной симметризации получены изопериметрические оценки жесткости при кручении .неоднородного стержня. Отметим, что допускается как непрерывность, так и кусочная непрерывность функции, соответствующей модулто сдвига, а сечение стержня может быть как односвязным, так и многосвязным. Полученные оценки являются естественным обобщением хорошо известного результата Полна для однородных стержней. Кроме этого построены изопериметрические оценки частоты основного тона при продольных и поперечных колебаниях неоднородного стержня.
Доказана сходимость метода последовательных приближений в задаче о трещине сдвига при гармонических нагрузках в случае низких частот. Доказана также сходимость альтернирующего метода в задаче о взаішодействующих трещинах отрыва, расположенных в одной плоскости. При этом доказана сходимость КИН, а трещины могут располагаться на любом расстоянии друг от друга.
Теоретическая и практическая ценность. В работе предложены новые подходы к построению аналитических и численных решений класса систем псевдодифферешшальных уравнений, включающего в се-
бя граничные уравнения статических и динамических пространственных задач теории трещин, а также к построению изопернметрических оценок решений псевдодифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Разработанные методы и лолу ченпые с их помощью оценки и решения могут быть использованы при расчете на прочность элементов конструкций.
Часть из представленных результатов была получена в ходе работы, выполнявшейся при поддержке РФФИ ( грант 93 - 011 - 16035 ).
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью доказательств и подтверждается проведенными расчетами и сопоставлениями с известными результатами в случаях, когда таковые имеются.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на III Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (19S5 г., Харьков), VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (1986 г,, Ташкент), VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопластических волн (1986 г., Новосибирск), Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (1988 г., Краснодар), Международной конференции по интегральным уравнениям и обратным задачам (1989 г., Варна), 28-й Польской конференции по механике деформируемого тела (1990 г., Ко-зубник, Польша), 3-ем Международном конгрессе по прикладной математике (IGIAM 95) (1995 г., Гамбург, Германия), 1-ом Семинаре "Неклассические проблемы теории упругости и механики разрушения" (1995 г., Москва), ІХ-Й Конференции по прочности и пластичности (1996 г., Москва), 11-й Европейской конференции по разрушению (ECF-11) (1996 г., Пуатье, Франция), Международном симпозиуме по динамике сплошной среды (1996 г., Бад Хонеф, Германия), а также на семинарах Института проблем механики РАН.
По теме диссертации опубликовано 20 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,