Введение к работе
Актуальность темы. Осесимметричные задачи теории упругости имеют большую прикладную значимость. Необходимость их решения возникает при расчете на прочность многих конструкций в машиностроении и в строительстве. Эти задачи являются сложными задачами математической физики, и, несмотря на наличие большого числа исследований по пространственным и, в частности, осесимметричным задачам теории упругости, в настоящее время проблема разработки эффективных методов их решения является важной и актуальной. Особенно это ощущается, когда возникает необходимость решения смешанных задач и задач для областей со сложной геометрией. Применение же аппарата обобщенных аналитических функций позволяет разработать в осесимметричной теории упругости методы, которые среди других известных методов выделяются тем, что обладают алгоритмической мощью, в процессе решения задач учитывают в полном объеме известную информацию об аналитических свойствах искомого решения, позволяют проводить качественные исследования получаемых решений и доводить результат до численной реализации решений на ЭВМ.
Основы применения обобщенных аналитических функций к осесимметричным задачам теории упругости заложены в работах И.Н.Векуа, Г.Н.Положего, А.Я.Александрова, Ю.И.Соловьева. Построена теория обобщенных аналитических функций, получены представления общего решения осесимметричной задачи теории упругости через обобщенные аналитические функции, решен ряд задач. Однако эффективность применения методов обобщенных аналитических функций к решению конкретных задач еще низка. И причина тому - недостаточное совершенство методов решения краевых задач обобщенных аналитических функций. Поэтому дальнейшее развитие методов обобщенных аналитических функций в теории упругости неразрывно связано с разработкой новых и совершенствованием известных методов решения краевых задач обобщенных аналитических функций.
Цель работы - разработка и обоснование эффективных методов решения осесимметричных задач теории упругости, основанных на применении аппарата обобщенных аналитических и, в частности, р-аналитических функций комплексного переменного.
Методика исследования. Для достижения цели использовано общее решение осесимметричной задачи теории упругости через две
р -аналитические функции комплексного переменного 2 *» д: -/ lU с характеристикой p=>jc ( ос -аналитические функции), полученное Г-Н.Положим, с помощью которого решение осесимметричных задач теории упругости сводится к решению краевых задач дс -аналитических функций. Для решения краевых задач ос -аналитических функций использована методика, основанная на интегральных представлениях этих функций через аналитические функции.
Отметим, что использование интегральных представлений р -аналитических функций через аналитические функции позволяет сводить решение краевых задач р -аналитических функций к решению краевых задач аналитических функций. Такая методика для решения краевых задач ее -аналитических функций разработана Г.Н.Положим. К решению краевых задач р -аналитических функций с другими характеристиками она применялась в работах Г.Н.Положего, Н.А.Паха-ревой, Н.А.Вирченко, И.Н.Александрович и других. При решении осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости аналогичную методику, основанную на интегральных представлениях осесимметричных гармонических функций через аналитические функции комплексного переменного или через плоские гармонические функции, применяли также F.&.ttlehlez, CWaBeb ; В.И.Моссаковский, С.М.Бело-носов, А.Я.Александров, Ю.И.Соловьев, Н.Раджабов и другие.
Анализ результатов работ по решению краевых задач п -аналитических функций, а также осесимметричных задач теории потенциала и теории упругости путем сведения их с помощью интегральных представлений к краевым задачам аналитических функций показывает, что эта методика является эффективной, если исходную краевую задачу удается свести к такой краевой задаче аналитических функций, решение которой не только записывается в квадратурах, но и по возможности в наиболее простой форме. Повысить эффективность указанной методики применительно к решению краевых задач эс -аналитических функций удалось за счет глубоких исследований аппаратных, и качественных свойств используемых представлений, которые были проведены в наших работах [5-9,II,12,14-18,24-26,30,32J .
Научная новизна. В диссертации на основе результатов исследования аппаратных и качественных свойств основного интегрального представления sc -аналитических функций разработана новая методика решения краевых задач ас-аналитических функций, указаны и реализованы три подхода к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии методами р -аналитических функций, позволившие получить решение ряда задач для сложных областей.
В работе лично автором получены следующие основные результаты:
- получены интегральные представления ос -аналитических
функций через граничные значения аналитических функций и интег
ральные представления я: -аналитических функций в односвязных
областях сложной конфигурации ; установлены зависимости поведения
а. -аналитических функций, определенных основным интегральным представлением, в отдельных точках границы области от поведения в этих точках аналитических функций ;
разработана новая методика решения краевых задач да -аналитических функций с помощью интегральных представлений этих функций через граничные значения аналитических функций и в односвязных областях сложной конфигурации ;
разработана методика рэшения и исследования краевых задач типа линейного сопряжения х. -аналитических функций с действительным постоянным коэффициентом; решены две задачи типа линейного сопряжения Я1 -аналитических функций ;
решены краевые задачи ее -аналитических функций для ряда односвязных областей сложной конфигурации ;
указаны и реализованы три подхода к решению задач о напряженном состоянии круговой симметрии методами Р -аналитических функций;
решены задачи о напряженном состоянии круговой симметрии для ряда односвязных областей сложной конфигурации;
разработана методика качественных исследований решений основных задач о напряженном состоянии круговой симметрии, получаемых методами р -аналитических функций, в особых точках границы области.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы представляют собой вклад в разработку перспективного направления в математической теории упругости, основанного на применении методов обобщенных аналитических функций. Они имеют важное прикладное значение для практики решения пространственных осесимметрич-ных задач теории упругости. Разработанные в диссертации методы позволяют проводить качественные исследования получаемых решений в.отдельных точках и доступны для их численной реализации.
Результаты работы имеют теоретическую и прикладную значимость и для других разделов физики и механики (гидромеханики идеальной и вязкой несжимаемой жидкости, теории фильтрации, электростатики, магнитостатики и др.), краевые задачи которых
сводятся к краевым задачам р -аналитических и, в частности, за -аналитических функций. Разработанная в диссертации методика решения краевых задач х. -аналитических функций легко обобщается и находит применение при решении краевых задач р -аналитических функций с другими характеристиками.
Результаты работы внедрены в учебный процесс. Они используются при чтении специальных курсов "Краевые задачи р -аналитических функций", "Методы теории функций комплексного переменного в теории упругости" для студентов механико-математического факультета Киевского госуниверситета.
Достоверность результатов подтверждается корректность постановок рассматриваемых задач и строгим математическим обоснованием основных положений и алгоритмов. Результаты работы хорошо согласуются с полученными ранее результатами других авторов и не противоречат общим теоретическим положениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Третьем Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г.Москва,1968), на научной конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (г.Канев, 1974), на Шестой Казахстанской научной конференции по математике и механике (г.Алма-Ата,1977), на Всесоюзной конференции по теории упругости (г.Ереван,1979), на Второй конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (г.Руссе, Болгария,1981), на Третьем республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (г.Одесса,1982), на Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (г.Канев,1982), на П Всесоюзной конференции по теории упругости (г.Тбилиси,1984), на Ш Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела (г.Харьков, 1985), на Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г.Ташкент,1986), на семинаре по проблемам механики при Киевском университете (1988), на семинаре отдела теории упругости Тбилисского математического института им.А.М.Раэмадзе (1988).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы. Из результатов, опубликованных в совместных работах [2, 6-11,13-15, 18-26,28,29,31J , в диссертацию включены только те, которые получены лично автором или под его руководством и при личном участии.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 330 машинописных страниц (иэ них 290 страниц текста) состоит из введения,
шести глав, разбитых на 26 параграфов, заключения, списка литературы, содержащего 261 наименование, и приложения из 18 рисунков.