Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Формулировка уравнений нелинейно-упругого морского нефтеподъемника в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений 12
1.1 Основные гипотезы и допущения. Вектор распределенных гидродинамических нагрузок 12
1.2 Уравнения равновесия, геометрические и физические соотношения для нелинейно-упругого нефтеподъемника. Постановка граничных условий 17
1.3 Уравнения нелинейно-упругого нефтеподъемника с переменной вдоль образующей толщиной стенки 19
ГЛАВА II Асимптотический анализ уравнений глубоководного нефтеподъемника. алгоритм метода параметризации граничных условий численного решения регулярных уравнений 25
2.1 Асимптотическое интегрирование уравнений линейно-упругого многосекционного нефтеподъемника 26
2.2 Асимптотическое интегрирование уравнений нелинейно-упругого нефтеподъемника с непрерывным изменением вдоль образующей толщины его стенки 32
2.3 Алгоритм метода параметризации граничных условий для численного решения нелинейных регулярных уравнений 38
ГЛАВА III Исследование характеристик напряженно-деформированного состояния нелинейно упругих глубоководных нефтеподъемников 47
Заключение 81
Литература 83
- Уравнения равновесия, геометрические и физические соотношения для нелинейно-упругого нефтеподъемника. Постановка граничных условий
- Уравнения нелинейно-упругого нефтеподъемника с переменной вдоль образующей толщиной стенки
- Асимптотическое интегрирование уравнений нелинейно-упругого нефтеподъемника с непрерывным изменением вдоль образующей толщины его стенки
- Алгоритм метода параметризации граничных условий для численного решения нелинейных регулярных уравнений
Уравнения равновесия, геометрические и физические соотношения для нелинейно-упругого нефтеподъемника. Постановка граничных условий
Возрастающая с каждым годом потребность в промышленном освоении минеральных ресурсов дна Мирового океана и межконтинентального шельфа приводит к необходимости создания сложных гидротехнических комплексов, часто с уникальными технологическими и эксплуатационными характеристиками. Проектирование этих комплексов в настоящее время невозможно без предварительного этапа математического и компьютерного моделирования процессов взаимодействия их длинномерных элементов (трубопроводов, шлангов, якорных цепей и т.д.) с пространственным, в общем случае, потоком окружающей жидкости и внутренним потоком гидросмеси. Современные технологические и магистральные трубопроводы являются сложными металлоемкими конструкциями, частые аварии которых связаны не только с большим материальным ущербом, но и с существенными нарушениями экологии. Корректное прогнозирование аварийных ситуаций, возникающих при эксплуатации трубопроводных комплексов, может быть получено только на основе анализа характеристик их напряженно-деформированного состояния. Наиболее интересными и важными для проектировщиков являются результаты моделирования экстремальных режимов эксплуатации длинномерных элементов в окружающей гидрометеосреде, с целью определения их равновесных конфигураций и прочностных характеристик. Разработка корректных математических моделей этих процессов, создание на их основе универсальных стандартных модулей численного анализа имеет фундаментальное значение для интенсивного внедрения методов математического моделирования в приоритетных отраслях современной техники, и определяет актуальность темы данной диссертации и основное направление проведенных в ней исследований.
Степень разработанности проблемы Интерес к задачам механики вертикальных глубоководных океанских трубопроводов стимулируется прежде всего их прикладным значением. Так, например, международная конференция Int. Soc. Offshore and Polar Eng. (ISOPE) целиком посвящена проблемам механики глубоководных трубопроводов. Статические задачи механики вертикальных глубоководных океанских трубопроводов рассмотрены в докладах участников из Японии, Китая, занимающихся аналогичными изысканиями. Для глубоководных морских нефтяных платформ актуальной является проблема уменьшения осевых напряжений в трубопроводе, идущем от дна к платформе. Так в докладе [82] рассматривается вариант решения этой проблемы путем использования ступенчатого трубопровода, состоящего из нескольких участков уменьшающегося сверху вниз диаметра, между которыми располагаются насосные модули. Анализируется характеристики такой системы, в частности продольные вибрации и осевые напряжения, возникающие вследствие перемещений платформы. Определяется оптимальная конфигурация многоступенчатого трубопровода. Полученные результаты показывают, что использование многоступенчатого трубопровода с уменьшающимися в направлении сверху вниз диаметрами участко в позволяют снизить осевые напряжения на 22-31% по сравнению с трубопроводом одинакового диаметра. В докладе [93] введена расчетная модель подводных тонкостенных трубопроводов на больших глубинах акватории, выявлены большие погрешности по нормативным расчетным формулам в задачах проектирования глубоководных трубопроводов. Морские и внебереговые конструкции рассчитывают на техническую надежность и прочность по концепции предельного напряженного состояния. Авторами статьи [65] проведен анализ тонкостенных расчетных моделей с целью выявления показательной предельной нелинейной реакции до этапа потери устойчивости.
Обсуждаются специфические признаки упругой неустойчивости тонкой цилиндрической оболочки с учетом геометрических несовершенств в предложенной расчетной модели, реализуемой по программе ANSYS, по концепциям метода конечных элементов, введены локальные дефекты по толщине оболочки. Изложены опытные данные программных испытаний серии цилиндрических моделей под действием регулируемого внешнего давления водной среды в сварном резервуаре. Сравниваются опытные данные и полученные результаты расчета. В статье [78] исследуется гидроупругая устойчивость малых поперечных колебаний свободно опертой трубки кругового поперечного сечения, по которой течет вязкая несжимаемая жидкость. Поперечный изгиб конструкции удовлетворяет дифференциальному уравнению балочного типа с постоянными коэффициентами, записанному с учетом присоединенной массы жидкости. Предполагается, что трубка опирается на упругое основание по прямой линии, совпадающей с одной из образующих цилиндра. С помощью введения специальных операторов в гильбертовом пространстве решение задачи сведено к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Получим приближенное аналитическое соотношение для нахождения критической скорости потока и спектральных характеристик частот колебательного процесса. Приведены результаты расчетов. В качестве исходного приняты значения таких параметров, как длина, толщина стенки, момент инерции поперечного сечения трубки, модуль Юнга, вес материала трубки и жидкости на единицу длины, коэффициент упругости основания и скорость потока. Для морских трубопроводов (длина которых может достигать 1000 м и более), как показывают исследования, проведенные в [23, 26, 27, 28, 29, 38, 67, 68, 69, 82, 83, 84], корректной моделью являются уравнения гибких линейно-упругих стержней, допускающих большие перемещения и углы поворота. Так, в статье [23] приводятся основные допущения и вспомогательные соотношения, относящиеся к расчетным схемам трубопровода, потока
Уравнения нелинейно-упругого нефтеподъемника с переменной вдоль образующей толщиной стенки
Выбираем в качестве независимой переменной вертикальную координату х2 =х и введем для (1.12) - (1.13) следующие безразмерные переменные и параметры: - здесь w0 - 0.25 n pt \D0 -d0 Jg - погонный вес трубопровода в нижнем граничном сечении (.(о) = 1, у = 1,2), vfQ - скорость потока гидросмеси при х = 0. После подстановки (1.14) в (1.12) - (1.13) и проведения необходимых преобразований (опуская здесь и в дальнейшем верхний индекс ноль в обозначениях безразмерных величин), рассматриваемая задача сформулируется окончательно в виде Из системы (1.15) можно получить ряд нижеприведенных следствий: ! (х) = 02 (х) = 1, Vy0 = Vy = COnst, ЙГг- (х) = COnSt (/ = 1,... ,б), j(x) = 1 Пусть, например, диаграмма деформирования материала стенок нефтеподъемника аппроксимируется полиномом третьего порядка аь=Е0є-Е1є .
После подстановки зависимости сгь= ть(є) в выражение (1.11) для изгибающего момента и проведения необходимых преобразований, определяем: где к = (2/3)((ЗЕ0/Е1 ){H/D)yг - наименьшее значение к-к{х), для которого d P/dk = 0. Получаем искомое выражение для функции (к), входящей в (1.15), в виде: Аналогичным образом можно получить значения функции (к) для любого другого аналитического типа зависимости jb = crb(s). Считая известными параметры D0 ,d0 ,сп , pt, pj-, pw ,7] ,H, профиль скорости подводных течений vc=vc(x), 0 х 1, вид диаграммы деформирования, например, в форме кубической параболы (1.16) с известными значениями параметров EQ, Ех, основной задачей является определение из решения (1.15) характеристик НДС нефтеподъемника, исходя из условия сохранения его прочности: где 7R - известное расчетное сопротивление материала стенок нефтеподъемника, а = max аг х,р С этой целью для любого фиксированного сечения х необходимо определить значения: (1.19) была использована в кандидатской диссертации О.А.Тороповой [73] для расчета характеристик НДС глубоководного нефтеподъемника при различных законах изменения его внешнего и (или) внутреннего диаметра вдоль образующей. Эта модель была использована в кандидатских диссертациях О.Н. Околес-новой [58], Е.А. Козыревой [21], О.А. Тороповой [73] для расчета равновесных конфигураций и прочностных характеристик глубоководных нефтеподъемников и трубопроводов, буксируемых плавсредством в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений. Здесь в качестве независимой координаты целесообразно использовать Эйлерову дуговую координату s, как и в основной системе (1.12) - (1.13). Пусть п — число секций, /j,...,ln- их длины (/ = /j +... + ln), Dl,...,Dn- внешние диаметры нефтеподъемника, [d = const, vf = const \ b=bj =Ц/Е\, s s Sj (j = 1,...,n: s0 = 0, sn=l), (...\ - параметры нижней секции нефтеподъемника: wl=mlg, \=л и так далее. Введем для рассматриваемой задачи следующие безразмерные переменные и параметры: Будем считать, что в местах перехода секций st приложена в общем случае система сосредоточенных механических нагрузок ( Tj N]), ... , (SJn_l,S Nn_l)i возникающих обычно за счет действия насосов и другого технологического оборудования нефтеподъемника. После подстановки (1.20) в (1.12) - (1.13) и проведения необходимых преобразований, рассматриваемую задачу можно сформулировать окончательно в виде: (1.21) Остальные следствия приводятся к рассмотренным в пункте 1.3 классам уравнений. Отличительной особенностью систем (1.15) и (1.21) является наличие в них малого параметра ju при старшей производной от зависимой переменной, так как для глубоководных трубопроводов (то есть при // 100Ow) значение /л 1(Г4-г1(Г3.
Таким образом, сформулированные в этой главе модельные уравнения, описывающие статические характеристики глубоководного нефтеподъемника в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений, относятся к классу нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных систем. При этом, в случае линейно-упругого материала стенок нефтеподъемника система является квазилинейной (так как q(z) = z ), а при нелинейной диаграмме деформирования материала стенок - неквазилинейной системой достаточно общего вида (1.15) или (1.21). Тем самым возникает необходимость в асимптотическом анализе сформулированных выше уравнений, который позволит выявить особенности поведения искомого решения. Эти вопросы обсуждаются в следующей главе настоящей диссертации.
Асимптотическое интегрирование уравнений нелинейно-упругого нефтеподъемника с непрерывным изменением вдоль образующей толщины его стенки
Как и в пункте 2.1, проверим сначала условия применимости метода пограничных функций А.Б. Васильевой для оценки возможности асимптотического интегрирования нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи (1.15). Для характеристического уравнения, соответствующего (1.15): Условие (2.17) при 0 х 1, т]х у г]2, цх, т]2- границы изменения области значений функции Е,(х,у) по у, выполняется, если оно справедливо при х = 0 и у = у(0), что всегда имеет место, так как осевое усилие Т(о) отличается на несколько порядков от силы в правой части неравенства (2.17). Поэтому уравнение имеет действительные корни разных знаков, что позволяет корректно использовать метод пограничных функций. Можно доказать, что при определенных ограничениях на структуру правых частей системы (1.15) ее решение существует, единственно и стремится при ju- О к решению вырожденной задачи, описывающей статические характеристики нефтеподъемника с нулевой изгибной жесткостью (Е010 =0): Задача (1.15) является, в соответствии с классификацией А.Б. Васильевой, при условии выполнения неравенства (2.17) в области G, сингулярно возмущенной дифференциальной системой условно устойчивого типа, то есть зоны краевых эффектов возникают в малых окрестностях граничных сечений х = 0 и х = 1 глубоководного нефтеподъемника. Поэтому асимптотическое разложение решения задачи (1.15) можно представить в виде: где Y = YQ(X)+ {iYl(x)+... - регулярный ряд с коэффициентами, зависящими - пограничные ряды с коэффициентами, зависящими от t0 = x/ju и tx=(x-\)l /л. После подстановки (2.19) в (1.15) и соответствующих преобразований будем иметь у0 = у0 = 0 : исленное интегрирование регулярных уравнений (2.18) на отрезке [ОД] позволяет найти значения компонент векторов Уо(0) и .Уо(0 то есть построить у0 (х) и z0 (х) в области G. Система (1.15) не является квазилинейной для общего случая {к) Ф const, что требует обоснованного построения экспоненциально убывающих пограничных слоев в малых окрестностях граничных сечений х = 0 и х = 1.
Для определения пограничных функций в окрестности х = 0 имеем из (2.21) следующие скалярные уравнения: Начальное условие для і о ( о ) получается после подстановки (2.19) в граничные условия системы (1.15) и имеют вид: Кроме того, потребуем, как обычно, чтобы 20(f0)-» 0 при t0 т- оо: Точка покоя z0 = 0 системы (2.23) - (2.25) является седлом (то есть условно устойчивой), так как корни соответствующего характеристического уравнения равны для рассматриваемого здесь случая являясь вещественными числами разных знаков в области G. Система (2.23) - (2.25) интегрируется в квадратурах и для устойчивой при t0 - оо сепаратрисы седла получаем Формула (2.26) дает аналитическое представление одномерного многообразия П0, обладающего тем свойством, что если Z0(70)GQ0, то при t0 О z0 (/о) є Q0 При этом z0 (t0 ) удовлетворяет неравенству откуда следует справедливость условия (2.25). После подстановки (2.26) во второе уравнение системы (2.23) для определения z2 о имеем следующую задачу с начальными условиями: (2.27) В практических расчетах достаточно ограничиться линейным приближением для погранслойных функций, то есть считать, что (-Vo), оW=- ,o(o)exp (- Vo). Л =(Ц (Уо(0))У( о(0))) . Аналогичным образом в окрестности х = 1 имеем из (2.22) следующие скалярные уравнения: Асимптотический анализ задачи (1.15) позволяет сделать следующие, важные для практических приложений, выводы: 1. Так же, как и в случае линейно-упругого материала стенок нефтеподъемника, возникают локальные зоны краевых эффектов (пограничные слои) у проекций векторов кривизны и перерезывающего усилия в малых окрестностях пограничных сечений. Их амплитудные значения необходимо обязательно учитывать в задачах прочностного расчета глубоководного нефтеподъемника с учетом эффектов его взаимодействия с внутренним и внешним потоком окружающей жидкости. 2.
В пределах точности представления искомого решения главными членами асимптотического разложения физические характеристики материала стенок нефтеподъемника не оказывают влияния на его равновесные конфигурации в вертикальной плоскости стационарного потока подводных течений (из-за идентичности регулярных, вырожденных уравнений (2.4) и (2.18)). 3. Следствием предыдущего вывода является то, что если выражения для погранслойных функций (2.28) и (2.32) заменить на их аналоги, соответственно, (2.8) и (2.10), то полученные в результате формулы (2.14) являются асимптотическим разложением решения задачи расчета статических характеристик нелинейно-упругого многосекционного нефтеподъемника с сосредоточенными механическими нагрузками. Завершающим этапом асимптотического анализа рассмотренных здесь модельных уравнений глубоководного нефтеподъемника является разработка универсального алгоритма численного решения нелинейных регулярных уравнений типа (2.4) или (2.18). Как показано в следующем разделе настоящей главы с этой целью может оказаться весьма эффективным применение метода параметризации граничных условий, предложенный и теоретически обоснованный в работах В.В. Кузнецова [23, 24, 25].
Алгоритм метода параметризации граничных условий для численного решения нелинейных регулярных уравнений
Рассмотрим двухточечную краевую задачу для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида: Здесь yeRn, f(x,y) - непрерывно-дифференцируемый оператор, действующий из пространства [0,1] х/Г, a=(av.. ,#„_J, P (J3V.. фJ- мультииндексы, В общем случае задача (2.34) является корректно поставленной, так как может иметь несколько решений, неустойчивых к малым возмущениям граничных условий. Введение (исходя из механического смысла задачи) некоторых дополнительных условий, выделяющих единственное решение y (s), позволяет сузить область возможных решений до множества корректности. Будем считать, что такие условия допускают представление в виде Кроме того, предположим, что если Ур (/) (к = ОД,...) является J3 -решением системы (2.34), удовлетворяющим возмущенным граничным условиям Ур \S) u — Y , то из сходимости У — 0 следует равномерная сходимость последовательности \Ур \s)) Ур\$). Таким образом, имеем краевую задачу (2.34) - (2.35), решение которой существует и устойчиво по отношению к возмущению граничных условий. Это позволяет использовать для его отыскания один из известных численных методов, например, метод пристрелки. Основная идея метода заключается, как известно, в сведении задачи (2.34) - (2.35) к численному решению системы т нелинейных алгебраических уравнений с т неизвестными начальными параметрами (рь ..., рт)= р. Здесь Y(x;p) -решение задачи Коши y/ = f(s,y), у(О) = а0р. Система (2.36) называется системой стыковки. Ее свойства определяются свойствами оператора Yy3(x; р). Так, оператор F является непрерывно дифференцируемым, что следует из непрерывной дифференцируемости f и Y. Однако, он в общем случае неограничен и определен не на всех р Є R . Действительно, если то задача Коши у1 = f (s,y), у(0) = а 0р не обязательно разрешима на всем отрезке [О, 1], то есть может существовать точка
Поэтому область определения F (dom F) не совпадает, вообще говоря, с пространством [0,1 ] х Rm. Система (2.36) решается обычно методом Ньютона-Рафсона-Канторовича Отличительной его особенностью является высокая (квадратичная) скорость сходимости, если выбрано "достаточно хорошее" начальное приближение р к вектору недостающих начальных параметров. Кроме того, необходимо, чтобы задача Коши у1 = f(s,y) была разрешима на всем отрезке [0,1], а функция f(x,y) ограниченна по своим переменным, иначе будет невозможно определить F(p) (р g dom F) и сделать в (2.37) первый итерационный шаг. Далее, начальная Р - пристрелочная траектория Yр (s; р) должна принадлежать области G(s). В противном случае нельзя рассчитывать на сходимость траектории к решению даже при наличии сходимости F{pK) - ) . Эти требования к стартовому вектору р можно сформулировать в виде: р Є Р, где - (2.35) с умеренным на точном решении спектром матрицы Якоби J={ д f/d у] (то есть когда пристрелочные траектории слабо реагируют на изменение начальных условий) определение допустимого стартового вектора р Є Р осуществляется без особых затруднений. Если же среди локальных собственных значений матрицы J имеются большие по абсолютной величине (в этом случае значение константы Липшица L = \\df/dy\\ = max\X i \»1), что характерно, например, для задач расчета глубоководных нефтеподъемников), то множество Р оказывается очень "узким" и отыскание хотя бы одного его элемента становится серьезной проблемой. Из сказанного следует, что необходимы такие модификации пристрелочных алгоритмов, которые надежно работают в условиях возможного быстрого роста пристрелочных траекторий рассматриваемой дифференциальной системы и сходятся к точному решению при любом, даже очень "грубом" начальном приближении р є G(0). Одной из таких модификаций является метод параметризации граничных условий (МПГУ) [24]. "Погрузим" (2.34) в однопараметрическоё семейство краевых задач вида ГО где г = г (р) 0 - некоторая функция вектора недостающих начальных параметров - известное Р - решение «родственной» задачи Оператор f: [0,1] xRn Rn может быть выбран произвольным образом, однако, с точки зрения реальных вычислений желательно, чтобы он отражал какие-либо качественные особенности поведения искомого решения.
Условие (2.35) представим в виде Yfl(T(p),p)-Y T(p),p0) — г\ и для V Є Обоснование равномерной сходимости описанного здесь алгоритма МПГУ, доказательство конечности числа / для достижения конца отрезка интегрирования приведено в [24]. Конкретная постановка краевой задачи (2.34) предъявляет свои требования к способам введения вектор-функции параметризации граничных условий и оценки константы Липшица, основанных на использовании известных свойств дифференциальных операторов f(x,y) и г (х, у ). Так, скорость продвижения по длине отрезка интегрирования вдоль выбранной траектории переноса граничных условий определяется, очевидно, мерой "близости" операторов f(x,y) и f (х, у0). Ее количественной характеристикой может служить, например, величина Тем самым появляется интересная возможность оценить в явном виде степень отклонения искомого точного решения краевой задачи (2.34) от известного решения "родственной" задачи (2.38) уже на предварительном этапе применения алгоритмов МПГУ. Действительно, на основе использования теоремы об оценке решений двух дифференциальных систем с одинаковыми начальными условиями [22, стр.62], имеем: