Введение к работе
Актуальность темы. „Вопросы нелинейной динамики-деформиру-
емых систем составляют один из наиболее важных классов задач механики деформируемого твердого тела. Динамические задачи теории упругости являются недостаточно изученными как количественно, когда рассматривается динамическая устойчивость упругих и, тем более, неупругих систем, так и качественно, когда исследуется нелинейный волновой процесе в тонкостенных конструкциях. Классический математический аппарат теории упругости ь значительной степени исчерпал свои возможности для получения принципиально новых знаний о предмете. Между тем, три последние десятилетия отмечены усилением интереса к решению нелинейных эволюционных уравнений. Эта тенденция связана с созданием нового метода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), а также с развитием теории солитонов. Солитон -- это бегущая уединенная волна неизменной формы, упруго взаимодействующая с другими такими же волнами. Будучи решениями нелинейных волновых уравнений и обладая при этом свойствами частиц, солитоны являют собой модельное воплощение корпускулярно - волнового дуализма.
Оказалось, что многие эволюционные уравнения, обладающие солитонными решениями, имеют очень простую внутреннюю структуру и могут быть проинтегрированы методами линейной теории. Кроме того, выяснилось, что подобные уравнения естественно возникают в качестве моделей физических явлений в различных областях естествознания, подчеркивая материальное единство котра. Все это привело к тому, что расширился список классических уравнений математической физики: к уравнениям теплопроводности, Лапласа и волновому добавились уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), синус - Гордона (СГ) и нелинейное уравнение Шредингерэ (КПП. Эволюционные уравнения, к которым ггрименим МОЗР, выделились б класс нелинейных интегрируемых уравнений.
Современное состояние Мкх&нкки деформируемого твердого тела характеризуется значительным отставанием от механики жидкости и газа, акустики и других смежных дисциплин в вопросах анализа динамических процессов с позиций теории солитонов.
Тем не менее, важным стимулом на пути создания самой теории солитонов явились численные эксперименты Ферми, Паста и Улама в классической задаче теории упругости о нелинейных поперечных колебаниях струны, когда на макроуровне было выявлено квантование энергии. Кроме того, в работах отечественных авторов имеются результаты экспериментального наблюдения солитонов в тонких упругих стержнях, причем все параметры солитонов определяются физико - геометрическими параметрами стержней. Таким образом, проблема вывода и анализа нелинейных интегрируемых уравнений в динамических задачах теории упругости является актуальной.
Целью работы является исследование нелинейного волнового процесса в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках и стержнях, вывод и анализ нелинейных интегрируемых уравнений, приложения теории солитонов к решению динамических задач теории упругости.
- Научная новизна работы заключается в следующем:
выявлены особенности эболюции нелинейных продольных волн в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках;
проведен учет влияния анизотропии материала оболочки на волновой процесс;
получены и проанализированы нелинейные интегрируемые и близкие к ним уравнения, моделирующие нелинейный волноеой процесс в цилиндрических оболочках' и стержнях;
предложен модифицированный критерий устойчивости для деформируемых систем, описываемых солитонными уравнениями;
на основе предложенного критерия устойчивости решены задачи статической и динамической устойчивости полубесконечного цилиндрического стержня, определены скорости продольного и из-гибного солитонов,,оценена скорость нелинейно-упругого солито-на деформации.
Достоверность результатов. Используются известные классические и неклассические модели оболочек и стержней. Упрощение уравнений движения и вывод нелинейных интегрируемых уравнений проводятся методом многих масштабов. Корректность этого метода для получения эволюционных уравнений обоснована в литературе по асимптотическим методам. Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически. Выводы, расширяющие еущест-
БуКШ* ПрвДСТ&БЛбНИЯ О Характере ИОЄЛЄДУ6МЬІХ ПрОЦЄ0006, ООГЛй-
еуются с результатами фундаментальных исследований по нелинейной динамике деформируемых твердых тел.
Практическая значимость1.- Результаты—исследования "эволю-""
ции сожтонов в акустических волноводах могут найти применение в задачах о передаче и сохранении информации на больших расстояниях, а также в расчетах на устойчивость одномерных деформируемых систем большой протяженности. Работа выполнена в рамках проблемы "Математические модели систем твердых и упругих тел, взаимодействующих через слой жидкости" (16В.03) вузовской программы СГТУ на 1991-1995 гг. "Математическое моделирование и параметрический синтез приборов и машин" (16В).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993), на Второй Международной научно -технической конференции " Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994), на' ежегодных научно - технических конференциях Саратовского государственного технического университета (Саратов, 1993, 1994), на научном семинаре кафедри математической теории упругости и биомеханики' Саратовского государственного университета и на семинаре Саратовского филиала института машиноведения РАН под руководством члена-корреспондента АИН РФ, д.т.н., профессора Резчикова А.Ф.
На_защиту_выносятся следующие результаты работы:
исследование эволюции нелинейных продольных волн в упругих и нелинейно-упругих изотропных и анизотропных цилиндрических оболочках;
полученные нелинейные интегрируемые и близкие к ним уравнения, моделирующие волновой процесс;
модифицированный критерий устойчивости для деформируемых систем, описываемых нелинейными интегрируемыми уравнениями;
решение задач статической и динамической устойчивости полубесконечного цилиндрического стержня;
определение скоростей продольного и изгибного еолитонов в тонком стержне, оценка скорости продольного нелинейно-упруго-і'О солитона.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы и
-6.-
результаты исследований опубликованы в 5 научных работах.
Структура и объем.работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 100 наименований и содержит 117 страниц наборного текста.