Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи об одноосном растяжении кругового цилиндра 23
1.1. Осесимметричная деформация кругового цилиндра 23
1.2. Однородное состояние одноосного растяжения ...32
Глава 2. Линеаризованная краевая задача об устойчивости состояния однородного растяжения цилиндра 34
2.1 Неоднородное равновесное состояние 34
2.2. Вычисление возмущения производной потенциала 35
2.3. Вычисление первого слагаемого в выражении дивергенции возмущения тензора напряжений Пиолы „ 43
2.4. Вычисление второго слагаемого в выражении дивергенции возмущения тензора напряжений Пиолы 45
2.5. Уравнения равновесия 48
2.6. Линеаризация условия несжимаемости 50
2.7. Граничные условия 50
2.8. Специальный вид решения краевой задачи 52
2.9. Преобразование первого уравнения равновесия 53
2.10. Преобразование второго уравнения равновесия 54
2.11. Преобразование условия несжимаемости 55
2.12. Преобразование граничных условий 55
2.13. Линейная однородная краевая задача 56
2.14. Численный метод решения линеаризованной задачи 58
2.15. Особенности спектра критических удлинений и мод выпучивания 61
Глава 3. Закритическое деформирование растягиваемого цилиндра 76
3.1. Вариационная постановка задачи 76
3.2. Численный расчет потенциальной энергии и её производных ...78
3.3. Алгоритм поиска решений нелинейной задачи 84
3.4. Анализ закритического поведения цилиндра 88
Заключение 104
Литература
- Однородное состояние одноосного растяжения
- Вычисление первого слагаемого в выражении дивергенции возмущения тензора напряжений Пиолы
- Линеаризация условия несжимаемости
- Численный расчет потенциальной энергии и её производных
Введение к работе
Проблема устойчивости механических систем имеет большое научное и прикладное значение, поскольку расчет любых строительных и инженерных конструкций основывается на анализе способности этих конструкций выдерживать различные внешние нагрузки и возмущения. Соответственно, вопрос устойчивости системы под воздействием внешних факторов часто выходит на первый план. Одним из самых первых исследователей устойчивости был Архимед, его работы носили статический характер и относились к твердым телам, погруженным в несжимаемую упругую жидкость. В дальнейшем было предложено большое количество различных определений понятия "устойчивость" и, соответственно, различных теорем об устойчивости, но большинство классических исследований устойчивости упругих систем всё же основывается на том или ином статическом критерии.
Во многих случаях состояние равновесной системы можно определить двумя параметрами - характерным перемещением v и параметром нагрузки Р. Тогда всей совокупности состояний равновесия соответствует некоторая кривая в системе осей v, Р. С помощью этой кривой можно предсказать поведение системы при монотонном возрастании параметра нагрузки (мягкое нагружение) или параметра перемещения (жесткое нагружение), а также отметить критические значения параметров. Возникновение различных методов отыскания критических состояний, соответствующих потере устойчивости, объясняется разнообразием свойств механических систем и кривых v, Р.
Исторически сложились три основных варианта статического метода исследования устойчивости упругих тел [63]. Первым был вариант, предложенный Эйлером, согласно которому изучается возможность существования форм равновесия, смежных с исходной, при заданном значении параметра нагрузки, причем появление смежной формы равновесия служит признаком неустойчивости исходной формы равновесия. Рассматриваются только сколь угодно малые отклонения от исходного состояния равновесия, что приводит к линеаризации задачи. При этом удается определить критические значения параметров, но закритическое поведение системы остаётся неизученным. Кроме того, для эйлеровой постановки задачи характерна существенная идеализация системы.
Во втором варианте статического метода в решение с самого начала вводятся те или иные неидеальности (несовершенства): начальные прогибы, начальные эксцентриситеты или дополнительные внешние силы. При решении часто пользуются линеаризованными уравнениями. Некоторая условность этого подхода состоит в линеаризации задачи, хотя рассматриваемые перемещения не являются малыми. Во многих случаях представляется более правильным учитывать нелинейности, неизбежно проявляющиеся при больших перемещениях.
Третий вариант статического метода, называемый энергетическим, связан с теоремой Лагранжа-Дирихле о минимуме потенциальной энергии. Этот метод оказался плодотворным для приближенного решения многих задач об устойчивости сложных систем, однако и он не может претендовать на универсальность, поскольку упомянутая теорема относится только к консервативным системам, тогда как действующие нагрузки не всегда имеют потенциал.
Данные методы часто приводят к одинаковым критическим значениям параметров системы, однако они не вполне эквивалентны друг другу, так как отвечают на разные по смыслу вопросы: метод Эйлера: при какой нагрузке возникают смежные формы равновесия? метод неидеальностей: при какой нагрузке характерное перемещение системы стремится к бесконечности? энергетический метод: до какого значения нагрузки потенциальная энергия системы сохраняет минимальные свойства в положении равновесия?
В историческом контексте первыми получили развитие различные теории устойчивости конструкций на основе одномерных моделей стержней и двумерных моделей пластин и оболочек [10, 26, 35, 69, 72-74].
Потеря устойчивости тонких и тонкостенных тел при сжатии происходит в области малых деформаций, что позволяет использовать физически линейные определяющие соотношения (закон Гука). Неустойчивость при растяжении наступает обычно при значительных деформациях, что требует полного учета физической нелинейности и трехмерности изучаемых тел. Кроме того, исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно в рамках одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек. Следует также отметить, что потеря устойчивости при растяжении может рассматриваться как один из механизмов разрушения конструкций [42].
Исследованием вопросов устойчивости на основе трехмерных уравнений нелинейной теории упругости занимались такие отечественные ученые, как В.Л. Бидерман [2], В.В. Болотин [4], А.Н. Гузь [12-14], В.А. Еремеев [18], Л.М. Зубов [23, 31-33, 35], А.Ю. Ишлинский [39], А.И. Лурье [52-54], В.В. Новожилов [60], К.Ф. Черных [79] и другие.
Среди зарубежных авторов следует упомянуть таких ученых, как D. Bigoni [84], М.А. Biot [85], А.Е. Green [92, 93], D. Joseph [40], J.C. Patterson [103], C.E. Pearson [104], S. Reese [106], R.S. Rivlin, C.B. Sensenig [111], R.T. Shield [92], С Truesdell [75, 82], Z. Wesolowski [114,115].
Необходимо отметить, что подавляющее большинство опубликованных работ по устойчивости упругих систем, в том числе и трехмерных упругих тел, посвящено исследованию устойчивости при сжимающих напряжениях.
Нелинейная теория упругости начала интенсивно развиваться сравнительно недавно, в сороковых годах двадцатого века. Это развитие связано с созданием новых рези неподобных и полимерных материалов, способных сильно деформироваться, сохраняя упругие свойства. В настоящее время нелинейная теория упругости развивается в том числе и как наука, описывающая поведение объектов живой природы, например, тканей живых организмов. Это новое направление получило название биомеханики.
Существенный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли такие отечественные ученые, как Н.В. Зволинский [19], Л.М. Зубов [24-29, 116], В.А. Левин [49], А.И. Лурье [53, 54], Н.Ф. Морозов [55], В.В. Новожилов [61, 62], Л.А. Толоконников, К.Ф. Черных [79], а также зарубежные ученые: G. Adkins [11], S.S. Antman [81], J.L. Ericksen [90], A.E. Green [11], R. Hill, W. Noll [112], R.W. Ogden [101], R.S. Rivlin [107-110], С Truesdell [75, 82,112].
Одним из распространенных конструктивных элементов является стержень, работающий на растяжение-сжатие. Проблема устойчивости этого элемента при сжатии хорошо изучена [31, 76, 87, 91], чего нельзя сказать о случае растяжения. Существенный интерес представляет предсказание возникновения неустойчивости при растяжении, а также теоретическое описание закритического поведения растягиваемого стержня, то есть поведения после потери устойчивости, которая выражается в исчерпании стержнем несущей способности с последующим разрушением. Хрупкие материалы (чугун, бетон и др.) разрушаются без видимых предварительных деформаций, тогда как пластичные материалы (сталь, медь, некоторые сплавы и др.) перед разрушением испытывают существенные формоизменения, в месте будущего разрушения стержня возникает и развивается шейка.
Процесс образования шейки достаточно хорошо изучен экспериментально [3, 16, 56, 77, 78, 80, 89, 98, 99, 102, 113], получены формы деформированных образцов; зависимость вида шейки от температуры, скорости растяжения; характер возникновения трещин на начальных стадиях разрушения образца и другие экспериментальные данные. На основе этих данных построен ряд теорий математического описания профиля шейки. Например, в работе [100] дается описание формы шейки с помощью двух поверхностей вращения. Предложенная модель имеет один параметр, который зависит от материала. Применение указанной модели дает хорошее соответствие фактическим профилям шеек, которые наблюдаются в образцах из мягкой и полутвердой стали, меди, свинца. Разработана также математическая теория образования шейки, согласно которой материал считается наделенным некоторыми идеализированными свойствами [37, 38], а именно считается, что он обладает определенным пределом текучести, после достижения которого деформируется, как вязкое вещество.
Однако, несмотря на большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных различным аспектам потери устойчивости растягиваемого цилиндра, представляет интерес рассмотрение этого явления на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости. Для целей этого исследования в данной работе используется специальная модель материала со степенным упрочнением, задаваемая при помощи логарифмической меры деформации. Следует отметить, что в реальных телах процесс потери устойчивости состояния однородного растяжения обычно связан с пластическими деформациями, однако в силу известной "концепции продолжающегося нагружения" [44] при решении возмущенных уравнений равновесия можно не учитывать разгрузку, то есть пользоваться определяющими соотношениями нелинейной теории упругости.
Из опытов на простое растяжение хорошо известно, что после достижения максимума на диаграмме растяжения стержня процесс однородного деформирования становится неустойчивым, образуется шейка. Здесь, однако, следует четко различать две различных диаграммы растяжения, использующиеся в зависимости от целей конкретного исследования [42, 56, 86, 88, 94]. Это диаграмма растяжения, на которой представлена зависимость условного растягивающего напряжения (то есть растягивающей силы, отнесенной к начальной площади поперечного сечения стержня) от удлинения образца; и диаграмма, на которой представлена зависимость истинного растягивающего напряжения (то есть растягивающей силы, отнесенной к актуальной площади поперечного сечения стержня) от удлинения образца. Первую диаграмму обычно называют условной диаграммой растяжения, вторую называют истинной.
При этом для большинства употребительных материалов первая диаграмма имеет точку максимума при некотором удлинении образца, тогда как вторая диаграмма может оставаться возрастающей даже при относительно большом удлинении. В данной работе под диаграммой; растяжения всюду понимается условная диаграмма, поскольку при изучении потери.устойчивости при растяжении большое значение имеет именно она и, в частности, её точка максимума [63], так как именно после достижения этой точки в эксперименте происходит потеря устойчивости цилиндрической формы растягиваемого стержня.
В данной: работе на основе точных уравнений трехмерной нелинейной теории упругости проведен анализ устойчивости стержня, имеющего форму кругового цилиндра. Материал стержня считается однородным, изотропным и несжимаемым. Для определения критических значений параметра деформации и соответствующих им мод выпучивания используется метод Эйлера, то есть решается линеаризованная задача, при этом амплитуды мод выпучивания остаются неопределенными.
Для исследования закритического поведения цилиндра используется энергетический метод с применением метода Ритца [41], На однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра накладывается некоторое количество полученных при решении линеаризованной задачи мод выпучивания, начиная с первой. В полученном таким образом неоднородном деформированном состоянии тела исследуется его потенциальная энергия на предмет наличия стационарных точек по амплитудам наложенных мод. Согласно вариационному принципу Лагранжа, эти точки соответствуют равновесным состояниям деформированного цилиндра. Таким образом, для определения реальной формы растянутого цилиндра после потери устойчивости однородного деформированного состояния остаётся отыскать среди найденных стационарных точек ту, что соответствует равновесному состоянию с наименьшей потенциальной энергией.
Следует отметить, что существует более строгий метод изучения закритического поведения трехмерных упругих тел, основанный на операторном методе Ляпунова-Шмидта [5] исследования ветвления решений нелинейных задач [20-23, 43, 117]. Указанный метод позволяет точно определить количество решений статических краевых задач нелинейной теории упругости и их характер в окрестности точки бифуркации, однако его применение дает возможность исследовать лишь начальное закритическое поведение деформируемых тел, когда параметр нагружения мало отличается от критического значения. Метод, разработанный в данной работе, позволяет исследовать закритическое поведение трехмерного нелинейно-упругого тела при любых деформациях, что делает его более универсальным.
Необходимость исследования закритического поведения систем обосновывается тем, что знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, что приводит в итоге к повышению безопасности механических систем, включающих тела, для которых осуществимо закритическое деформирование. В частности, представляет интерес задача определения условий устойчивого закритического деформирования элементов структуры в составе композиционных материалов, как база для создания материалов с повышенными механическими характеристиками.
Экспериментальному исследованию некоторых аспектов закритического деформирования посвящены работы П. Бриджмена [3], Р.А. Васина и др. [6], С,Д. Волкова [9], А,А. Лебедева и Н.Т\ Чаусова [48], Ф.С. Савицкого и Б.А. Вандышева [67], В.В. Стружанова и В.И. Миронова [71], Я.Б. Фридмана и Б.А. Дроздовского [17].
Различные подходы к теоретическому объяснению данного механического явления представлены в работах С.Д. Волкова [7, 8], В.А. Ибрагимова и В.Д. Клюшникова [36], A.M. Линькова [50, 51], Л.В. Никитина и Е.И. Рыжака [57-59, 64-66], В.В. Стружанова [70] и ряда других ученых.
В ряде исследований такого рода считается допустимым невыполнение условия Адамара, то есть, вообще говоря, допускается неустойчивость материала. В данной работе, как будет показано ниже, условие Адамара выполняется для всех исследованных деформаций цилиндра и, в том числе, на закритической фазе деформирования.
Во многих исследованиях закритического деформирования рассматривается поведение разупрочняющихся материалов, а именно материалов, для которых на определенном этапе имеет место убывающая зависимость истинных напряжений от удлинений. В частности, вопросы, близкие к теме настоящей работы, обсуждались с другой точки зрения в статьях [59, 64-66], где показана физическая осуществимость падающего участка истинной диаграммы нагружения при сохранении свойства сильной эллиптичности материала (строгого неравенства Адамара).
В настоящей работе рассматривается материал, для которого зависимость истинного напряжения от удлинения является монотонно возрастающей, то есть участок разупрочнения отсутствует. Падающий участок наблюдается на диаграмме зависимости условного напряжения от удлинения. Исследованное в [59, 64-66] разупрочнение материала может иметь место на стадии достаточно развитой шейки. Однако в данном исследовании начало образования шейки не связывается с разупрочнением материала, а рассматривается с точки зрения явлений упругой неустойчивости, аналогичных выпучиванию конструкций.
Перейдем к изложению содержания работы. Первая глава посвящена постановке задачи об одноосном растяжении кругового цилиндра. В п. 1Л рассмотрен общий случай осесимметричной деформации кругового цилиндра из однородного изотропного материала. Получены представления градиента деформации, меры деформации Коши-Грина, логарифмической меры деформации (тензора Генки). Определены собственные значения и собственные векторы указанных мер деформации.
Сформулированы граничные условия, согласно которым боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки, а на торцах отсутствуют силы трения и задано постоянное нормальное перемещение. В рассмотрение введена специальная модель изотропного материала со степенным упрочнением, задаваемая при помощи логарифмической меры деформации, и приведен вид определяющих соотношений для несжимаемого тела, выраженных при помощи логарифмической меры деформации, а также вид условия несжимаемости материала. Используемая модель удовлетворительно описывает поведение ряда упруго-пластических конструкционных материалов при активном нагружении и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций. Уравнения равновесия для тензора напряжений Пиолы, условие несжимаемости материала и граничные условия образуют краевую задачу, решения которой соответствуют равновесным состояниям осесимметрично деформированного кругового цилиндра.
В п. 1.2 рассмотрено однородное состояние одноосного растяжения. Представлен вид решения краевой задачи, соответствующий однородному напряженно-деформированному состоянию цилиндра. Показано, что для рассматриваемого материала условная диаграмма растяжения имеет точку максимума, тогда как истинная диаграмма монотонно возрастает.
Во второй главе рассматривается линеаризованная краевая задача об устойчивости состояния однородного растяжения цилиндра, для исследования устойчивости цилиндра применяется метод Эйлера. В п. 2.1 в рассмотрение введена осесимметричная форма равновесия упругого цилиндра, мало отличающаяся от однородного состояния одноосного растяжения, описанного в п. 1.2. За счет малого множителя добавочные компоненты имеют порядок меньший, чем компоненты, соответствующие однородному состоянию, что приводит к линеаризованной задаче. Путем линеаризации определяющего соотношения найдено возмущение тензора напряжений Пиолы, необходимое для вывода линеаризованных уравнений равновесия.
В п. 2.2 вычислено возмущение производной удельной потенциальной энергии деформации по логарифмической мере деформации.
П. 2.3 и п. 2.4 содержат промежуточные преобразования, необходимые для выражения уравнений равновесия тела через три неизвестных функции: добавочные перемещения по осям г и z, а также возмущение давления в несжимаемом теле.
В п. 2.5 представлен окончательный вид двух линеаризованных уравнений равновесия относительно трех функций. Разрешимость задачи обеспечивается наличием третьего дифференциального уравнения, связывающего указанные функции, а именно линеаризованного условия несжимаемости материала, вывод которого дан в п. 2.6.
В п. 2.7 осуществлен вывод линеаризованных граничных условий на боковой поверхности и на торцах цилиндра. Тем самым получена линейная однородная краевая задача, которая всегда имеет тривиальное решение.
Согласно бифуркационному критерию устойчивости равновесия, исследование устойчивости в малом сводится к нахождению спектра критических значений параметра деформации, при которых указанная краевая задача имеет нетривиальные решения, а также к определению собственных функций — мод выпучивания. В силу "концепции продолжающегося нагружения" бифуркационный критерий пригоден с прикладной точки зрения также и для исследования устойчивости упруго-пластических тел.
Поиск нетривиальных решений краевой задачи производился с использованием специального вида решения, описанного в п. 2.8. Данный вид решения позволяет удовлетворить краевым условиям на торцах цилиндра.
В пп. 2.9, 2.10, 2.11 и 2.12 произведено преобразование соответственно первого уравнения равновесия, второго уравнения равновесия, условия несжимаемости и граничных условий на боковой поверхности цилиндра с учетом специального вида решения. Для обеспечения разрешимости краевой задачи в п. 2.12 в рассмотрение введены два краевых условия на оси цилиндра, которые вытекают из требований неразрывности материала и гладкости решения на оси цилиндра.
Таким образом, в результате проведенных преобразований задача об исследовании устойчивости положения равновесия растянутого цилиндра оказалась сведенной к линейной однородной краевой задаче для трех обыкновенных дифференциальных уравнений с четырьмя краевыми условиями. Окончательный вид этой задачи дан в п. 2.13.
В п. 2.14 описан численный метод решения полученной линеаризованной задачи, использующий векторно-матричную запись дифференциальных уравнений.
В п. 2.15 представлены особенности спектра критических удлинений и.мод выпучивания. Установлено, что критические значения параметра деформации существуют только на ниспадающем участке диаграммы растяжения. Для каждого значения номера моды выпучивания, начиная с 1, существует критическое значение параметра деформации, причем значения параметра деформации монотонно растут с увеличением номера моды. Первое критическое удлинение расположено очень близко к точке максимума на диаграмме растяжения, все последующие удлинения также близки друг к другу, причем разность между соседними сначала возрастает с ростом номера моды, затем начинает убывать, а для мод старших порядков становится очень малой.
С ростом номера моды выпучивания увеличивается число нулей собственных функций краевой задачи, то есть с возрастанием номера моды усиливается осцилляция решения по радиальной координате. Кроме того, характер осцилляции решения зависит от параметра модели материала, характеризующего упрочнение. С увеличением этого параметра осцилляция незначительно уменьшается. Установлено также, что для мод высших порядков деформация при потере устойчивости локализуется вблизи боковой поверхности цилиндра. Описанные закономерности проиллюстрированы графически. Кроме того, представлена таблица, содержащая значения критических удлинений, соответствующих различным модам выпучивания для разных, значений параметра упрочнения.
В третьей главе на основе энергетического метода исследования устойчивости изучено закритическое деформирование растягиваемого цилиндра. В п. 3.1. дана вариационная постановка задачи о растяжении; цилиндра. Решение линейной однородной задачи определено во второй главе с точностью до произвольного постоянного множителя. Амплитуды выпучивания и число закритических форм равновесия не могут быть найдены из линеаризованной краевой задачи устойчивости, для анализа закритического поведения цилиндра необходимо рассмотреть нелинейные уравнения, описывающие деформацию упругого тела. Исследование закритического поведения цилиндра основано на применении вариационного принципа Лагранжа, согласно которому выполнение уравнений равновесия, записанных в перемещениях, и граничных условий эквивалентно стационарности потенциальной энергии тела. Основываясь на этом принципе, равновесное состояние считаем устойчивым, пока потенциальная энергия имеет в нём минимальное значение. Если же в процессе нагружения возникает возможность существования равновесного состояния с потенциальной энергией меньшей, чем в текущем состоянии, то текущая форма равновесия теряет устойчивость, сменяясь более выгодной с энергетической точки зрения новой формой равновесия. Такой подход к исследованию устойчивости позволяет, в отличие от линеаризованной задачи, не ограничиваться лишь малыми отклонениями от однородного деформированного состояния.
Для анализа потенциальной энергии применен метод Ритца. Рассмотрено однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра, описанное в п. 1.2, на которое накладываются М полученных при решении линеаризованной задачи мод выпучивания, начиная с первой. При этом амплитуды наложенных мод выпучивания являются неизвестными. Потенциальная энергия тела оказывается нелинейной функцией этих неизвестных. Задача сводится к поиску таких значений этих переменных, которые доставляли бы потенциальной энергии стационарные значения. Иными словами, нужно потребовать, чтобы первые производные потенциальной энергии по всем амплитудам мод выпучивания были равны нулю. В результате возникает система нелинейных алгебраических уравнений относительно амплитуд наложенных мод выпучивания.
В п. 3.2 описан численный расчет потенциальной энергии и её производных. При вычислении указанных величин удлинение цилиндра и значения амплитуд мод выпучивания считаются фиксированными.
Удельная потенциальная энергия и её производные заменяются сеточными функциями по г и z, и для вычисления потенциальной энергии тела и её производных применяется формула Сим пеона.
В п. 3.3 описан итерационный метод поиска решений нелинейной задачи, основанный на замене Л/ -мерных. поверхностей, соответствующих первым производным потенциальной энергии, плоскостями, касательными к данным поверхностям в некоторой точке.
Анализ закритического поведение цилиндра представлен в п.. 3.4. Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения цилиндра существует только тривиальное решение системы алгебраических уравнений, описанной в п... 3.1,. то есть однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет устойчивость. Ниспадающий участок диаграммы растяжения характеризуется наличием шести решений помимо тривиального. Из найденных нетривиальных решений только два соответствуют неоднородному состоянию тела, в котором потенциальная энергия меньше, чем в однородном состоянии. Формально эти два решения различны, однако они описывают одно и то же напряженно-деформированное состояние цилиндра, а значит можно ограничиться рассмотрением только одного из них, которое и определит текущее состояние тела на ниспадающем участке диаграммы растяжения. Установлено, что для этого решения выполняется условие Адамара во всем диапазоне исследованных удлинений цилиндра.
Рассмотрены особенности этого решения. Все значения амплитуд наложенных мод выпучивания положительны. Установлено, что амплитуды убывают с ростом порядкового номера моды, С ростом коэффициента растяжения значения амплитуд постепенно возрастают и, по достижении коэффициентом растяжения некоторого значения, существенно удаленного от точки максимума на диаграмме нагружения, начинают убывать. Причем, по мере увеличения растяжения первыми начинают убывать амплитуды мод более высоких, порядков, и последней достигает максимума амплитуда первой моды. Отмечено, что увеличение параметра упрочнения приводит к уменьшению максимальных значений амплитуд, достигаемых в процессе растяжения цилиндра.
Приведена таблица, в которой представлены значения коэффициента растяжения, при которых достигает максимума амплитуда моды с наибольшим номером, и амплитуды мод выпучивания, соответствующие этим значениям коэффициента растяжения. Неоднородное осесимметричное деформированное состояние цилиндра, соответствующее приведенным в таблице решениям, проиллюстрировано графически.
По теме диссертации опубликованы работы [30,45-47,95-97]. Из них работы [30, 95] выполнены и опубликованы в соавторстве с научным руководителем Зубовым Л.М. В указанных работах Зубову Л.М. принадлежат постановка задачи и выбор методов исследования, соискателю принадлежат реализация методов исследования, аналитические выкладки, выполнение и анализ численных расчетов.
Однородное состояние одноосного растяжения
Из опытов на простое растяжение хорошо известно, что после достижения максимума на диаграмме нагружения стержня процесс однородного деформирования становится неустойчивым. Цилиндрическая форма растянутого образца теряет устойчивость, сменяясь осесимметричной формой равновесия. Изучим это явление, основываясь на точных уравнениях трехмерной теории устойчивости упругих тел [18, 53]. Рассмотрим осесимметричнуго форму равновесия упругого цилиндра, мало отличающуюся от однородного одноосного растяжения (1.2.1), R = R0 + W, p(r,z) = P() + ep\r,z), (2.1.1) -У R0 = Я /2rer + Ягег, w = u(r,z)er + w(r,z)ez. Здесь є - малый параметр, w - вектор добавочного перемещения. Линеаризуя уравнения равновесия (1.1.6) относительно осесимметричных возмущений, получим
Таким образом, в результате проведенных преобразований задача об исследовании устойчивости положения равновесия растянутого цилиндра оказалась сведенной к линейной однородной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений (2,9.1), (2.10.1), (2.11.1) с краевыми условиями (2.12.1)-(2.12.4). Для наглядности и упрощения дальнейшей работы с полученной краевой задачей приведем указанные уравнения последовательно
Полученная линейная однородная краевая задача (2.13.1)-(2.13.7) решена конечно-разностным методом, описанным в [31]. Для применения этого метода из уравнения (2.13.2) Q выражается через U и W и подставляется в (2.13.1), затем из (2.13.3) W выражается через U и тоже подставляется в (2.13.1). В результате получается однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно U, которое в общем виде может быть записано таким образом kAU" + k3Um + к21Г + kxU + k0U = О, где к4, k3i к2, кх, кй- функции от г. (2.14.1) Аналогично преобразовываем граничные условия, выражая их только через U.
Подставляя Х0 и Х в соответствующие граничные условия, получим систему из четырех линейных однородных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных С0, С,, С2 и С3.
Для того чтобы краевая задача (2.13.1)-(2.13.7) имела ненулевое решение, должна иметь нетривиальное решение и полученная однородная алгебраическая система, а, значит, её определитель должен быть равен нулю. Значение параметра деформации Я, при котором выполняется это условие, и будет критическим значением деформации, соответствующим неустойчивости при растяжении цилиндра.
Кроме того, описанный метод позволяет получить сеточные функции для U(r), U\r), U"(r) и Um(r), а также W(r), W\r) и W(r). Для этого по уже найденным С0, Q, С2 и Сэ составляется вектор XN и последовательно, от i = N до i = l применяется формула (2.14.3). Для вычисления W(r) и её производных используется соотношение (2.13.3).
Рассмотрим полученное решение линейной однородной краевой задачи (2.13.1)-(2.13.7). Все результаты, приведенные в работе, относятся к случаю / = 20, гс = 1. Установлено, что критические значения параметра Л существуют только на ниспадающем участке диаграммы растяжения, то есть при Л > Д,. Этот факт согласуется с теоремой об отсутствии смежных
форм равновесия на возрастающем участке диаграммы растяжения стержня, доказанной [32] для изотропного несжимаемого материала общего вида в случае плоской деформации прямоугольного бруса.
В табл. 2.1 представлены значения критических удлинений Л.и(/?) в зависимости от целочисленного параметра волнообразования п вдоль оси цилиндра и параметра упрочнения /3; а также приведены значения Ал(Р), соответствующие точке максимума на диаграмме нагружения. В данной работе мы ограничимся рассмотрением случаев fi є [1.005..1.1], что соответствует интервалу Л, є [1.005.. 1.105]. То есть относительное удлинение, при котором достигается точка максимума, составляет от 0.5% до 10.5% в зависимости от выбранного в каждом конкретном случае значения /3. Такой выбор продиктован тем, что именно в этот диапазон попадают относительные удлинения, соответствующие максимуму на диаграмме растяжения для многих пластичных металлов, таких как бронза, сталь и др. [1, 76, 83,105].
Вычисление первого слагаемого в выражении дивергенции возмущения тензора напряжений Пиолы
Отметим некоторые особенности распределения критических удлинений Хп. Для каждого значения и = 1,2,3,... существует критическое значение Лп, причем значения Лп монотонно растут с ростом и. Первое критическое удлинение / расположено очень близко к точке максимума на диаграмме растяжения At. Разность Ап+, - Лп сначала возрастает с ростом п, затем начинает убывать, а при достаточно больших п становится очень малой.
Рис. 2.1 и 2.2 наглядно представляют распределение нескольких первых критических значений удлинения при р = 1.1. На рис. 2.1 показана диаграмма растяжения, а на рис. 2.2 показан в масштабе участок диаграммы, находящийся между двумя пунктирными линиями на рис. 2.1. Цифры на рис. 2.2 соответствуют номерам: мод выпучивания. При построении данных графиков было принято А = 1. Согласно (1.2.3), параметр модели материала А оказывает влияние лишь на величину растягивающей силы, то есть в данном случае на масштаб по оси ординат.
Критические значения Яп, соответствующие различным модам, близки друг к другу, что видно из рис. 2.1, 2.2 и табл. 2.1. Аналогичные с качественной точки зрения результаты были получены ранее Л.М. Зубовым и А.Н. Рудевым в задаче о неустойчивости растянутого прямоугольного бруса в условиях плоской деформации [32].
Обратимся к анализу собственных функций линеаризованной задачи - мод выпучивания. Моды определяются с точностью до постоянного множителя, поэтому при их вычислении полагали U(r)\r=r =1 с Наложенное на (У(г) ограничение является ограничением и HaJf(r), так как W(r) выражается через U(r) в соответствии с (2.13.3).
Как показывают расчеты, с ростом п увеличивается число нулей собственных функций Un{r)t Wn{r) краевой задачи (2.13.1)-(2.13.7). То есть с возрастанием номера моды усиливается осцилляция решения по радиальной координате. Так,. например, при /? = 1.1 и и 10 функции Un(r) и Wn{r) не меняют знака в промежутке (0,гс), при 40 п 55 имеют один нуль, при 75 и 90 — два нуля и т. д. При п = 300 функции имеют восемь нулей, а при п = 500 уже четырнадцать нулей на (0,rc).
Кроме того, характер осцилляции решения зависит от параметра упрочнения /?. С ростом р осцилляция незначительно уменьшается. Установлено также, что для мод высших порядков деформация при потере устойчивости локализуется вблизи боковой поверхности цилиндра.
Описанные закономерности проиллюстрированы графически на рис. 2.3-2.34. На рис. 2.3-2.6 приведен вид функций U„(r) и W„(r), соответствующих первой моде неустойчивости для Р = 1.005 и Р = 1Л. Качественно результаты для разных значений р практически не отличаются. Функции Un[r) и Wn{r) не имеют корней на интервале (0,гс), При п = 10 (рис. 2.7-2.10) картина остается сходной с предыдущей, за тем исключением, что происходит отклонение Un(г) от прямолинейного вида. При и = 30 (рис. 2.11-2Л4) тенденция к отклонению Un(r) от прямой развивается, и при Р = 1.005 у функций Ua(г) и Wn(r) возникает по одному нулю на интервале (0,гс), тогда как при /7 = 1.1 функции Un(r) и Wn(r) ещё не имеют нулей на данном интервале.
Дальнейшее увеличение п (рис. 2.15-2.30) приводит к развитию описанных выше тенденций, возникает и развивается осцилляция решения. Рис. 2.27-2.30 наглядно демонстрируют тот факт, что с увеличением п деформация локализуется вблизи боковой поверхности цилиндра. На рис. 2.31-2.34 показаны графики функций Un(r) и WH{r) для случая « = 500 в малой окрестности нуля по ординате. Видно, что при /7 = 1.1 функции Wa{r) и Un{r) имеют 14 корней, а при = 1.005 имеют 15 корней на интервале (0,гс), то есть наблюдается увеличение осцилляции при уменьшении /?.
Вид мод выпучивания для случая /7 = 1.04 приведен на рис. 2.35-2.40, где представлены первые 6 мод. Здесь принято = 0.15. Из приведенных иллюстраций видно, что моды с четными номерами симметричны относительно среднего поперечного сечения цилиндра, тогда как моды с нечетными номерами несимметричны.
Линеаризация условия несжимаемости
Процесс растяжения цилиндра исследовался следующим образом: последовательно, с определенным шагом возрастания задавались значения Я, начиная от 1.0, что соответствует исходному недеформированному состоянию тела. Для каждого фиксированного значения А производился поиск решений системы уравнений (3.1.3) с помощью итерационного метода, описанного в п. 3.3. Вычисления производились для различных значений М от 1 до 10. Зависимость решения от числа наложенных мод выражается в том, что при прочих равных условиях увеличение М приводит к незначительному уменьшению абсолютных значений амплитуд наложенных мод выпучивания. Очевидно, что чем больше М, тем точнее результат, однако при увеличении значения М на единицу время, необходимое для решения задачи, возрастает примерно вдвое, что послужило естественным ограничением величины Л/. Наибольшее количество наложенных мод, для которого был проведен подробный анализ решения задачи, равно семи.
Отметим закономерности, общие для всех значений /? є [1.005.. 1.1] и всех М = 1..7. Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения цилиндра существует только тривиальное решение системы (3.1.3) сп=0, п = \„М, то есть однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет устойчивость. Ниспадающий участок диаграммы растяжения характеризуется наличием шести решений помимо тривиального. Из найденных нетривиальных решений системы (3.1.3) только два соответствуют состоянию тела, в котором потенциальная энергия меньше, чем в однородном состоянии. Значения амплитуд мод с четными номерами в обоих решениях одинаковы, тогда как значения амплитуд мод с нечетными номерами различаются только знаком. Формально эти. два решения различны, однако они описывают одно и то же напряженно-деформированное состояние цилиндра. Состояние, задаваемое одним из решений, может быть получено из состояния, задаваемого другим решением, поворотом цилиндра на 180 градусов вокруг любой оси проходящей через точку Z-Ay , R = 0 перпендикулярно оси цилиндра. Таким образом, с физической точки зрения оба решения совпадают, а значит можно ограничиться рассмотрением только одного из них, которое и определит текущее состояние тела на ниспадающем участке диаграммы растяжения.
Для того чтобы убедиться в физической содержательности полученного решения, обратимся к одному из наиболее значимых и обоснованных ограничений в форме неравенств, накладываемых на функцию удельной потенциальной энергии деформации нелинейно-упругого материала П, а именно к условию Адамара [53, 75]. Согласно этому условию, для того, чтобы некое равновесное состояние было устойчиво по отношению к бесконечно малым деформациям для любой смешанной граничной задачи, необходимо выполнение в каждой точке локального неравенства d2T\ flb—rOab 0, Va,Vb, (3.4.1) называемого неравенством Адамара. Непосредственной проверке выполнения (3.4.1) препятствует произвольность векторов а и Ь. Эта проблема решена в [15, 34], где показано, что неравенство Адамара равносильно системе элементарных неравенств, представимых в виде
Численный расчет потенциальной энергии и её производных
В таблице 3.1 представлены для различных величин /? значения коэффициента растяжения, при которых достигает максимума амплитуда моды с наибольшим номером, Я и соответствующие этому коэффициенту растяжения амплитуды мод выпучивания. Приведенные в табл. 3.1 решения системы (3.1.3) соответствуют случаю М = 7, / = 20,
На рис. 3.1-3.6 представлено неоднородное осесимметричное деформированное состояние цилиндра, задаваемое соотношениями (ЗЛ.1) и соответствующее решениям, приведенным в табл. 3.1. Для наглядности используется разный масштаб по R и Z.
Следует отметить, что полученные формы деформированных цилиндров не обладают симметрией относительно среднего поперечного сечения, что вполне объяснимо, если принять во внимание тот факт, что из наложенных на однородное состояние мод выпучивания только моды с четными номерами обладают такой симметрией, тогда как моды с нечетными номерами несимметричны (см. рис. 2.35-2.40). Однако можно говорить о симметрии решения в том смысле, что существует второе решение, получаемое из первого поворотом цилиндра на 180 градусов вокруг произвольной оси, проходящей через ось цилиндра перпендикулярно к ней. Второе решение можно назвать также отраженным относительно среднего поперечного сечения цилиндра. При этом равновероятно появление одного или другого решения на закритической фазе деформирования.
Применяемая модель материала (1.1.21) ранее использовалась только для описания поведения растягиваемых цилиндров на возрастающем участке диаграммы растяжения [42, 56]. В данной работе она впервые применена для анализа закритического поведения цилиндра, и сколько-нибудь положительный результат исследования совершенно не был гарантирован на начальных этапах работы. Однако модель смогла доказать свою состоятельность и на закритической стадии растяжения. Обнаружено очень хорошее соответствие между критическими значениями, соответствующими моменту потери устойчивости при растяжении, полученными в экспериментах на простое растяжение [1, 76] и полученными с применением указанной модели чисто теоретически. Причем, что бывает далеко не всегда, критические значения, полученные бифуркационным методом и энергетическим методом, практически совпадают друг с другом, что лишь добавляет достоверности полученным результатам.
После достижения точки максимума на диаграмме растяжения в цилиндре начинают нарастать деформации, отклоняющие состояние от однородно деформированного всё сильнее, что также соответствует экспериментальным данным.
Сравнивая полученные картины деформации с известными из экспериментов [3, 77, 89, 98], можно предположить, что рассмотренная в работе модель применима к. описанию закритического поведения материалов, для которых характерна слабо выраженная шейка. Отсутствие ярко выраженной локализации неоднородности по длине также можно объяснить сравнительно небольшим числом вовлеченных в формообразование мод выпучивания и вытекающей из этого приближенностью решения.
Таким образом, модель материала со степенным упрочнением (1Л.21) достаточно адекватно описывает поведение растягиваемых цилиндров на всей диаграмме растяжения, имея своим недостатком лишь определенную приближенность в описании самой формы растягиваемого цилиндра.
