Осесимметричная задач для цилиндрической оболочки слабопеременных толщины и радиуса при силовой и температурной нагрузках Кохно, Георгий Федорович

Введение к работе

Актуальность темы. Проблема исследования напряженного и деформированного состояния цилиндрической оболочки переменной толщины с переменным радиусом срединной поверхности возникает в различных областях техн^и и является одной из вакных задач, как в практическом, так и в теоретическом отношении. Оболочки переменной толщины различной геометрии используется, в виде отдельных элементов в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов (сильфрны гладкие и сильфоны гофрированные, полноводы, топливные (,'аки ракет, компрессоры, фланцевые соединения), а также других видах машиностроения и строительства.

Оболочки переменной толщины, обладая высокой прочностью, при минимально!? материалоемкости, обуславливэпщей их легкость, повышают эксплуатационные и эстетические качества, делают их трименение предпочтительным, а иногда незаменимым в современном производстве. Достоинством является: их способность к восприятия сосредоточенных и локальных нагрузок; обеспечение переменной жесткости конструкции, возможность использования знутреннего объема и т.д. Ьместа с тем, решаются проблемы эко-томии дорогостоящих материалов.

Следует отметить, что емкость и весовое качество конструкції существенно зависит от теоретически обоснованного выбора закона изменения толщины элементов, который обычно на практике финимается в виде линейного закона, что не всегда является іптимальннм вариантом.

Проектирование и внедрение новых элементов указанного типа [ривело к появлении работ по исследованию прочности оболочек [временной толщины с учетом влияния внешних сил, сдвига и тем-іературн. Особенно интенсивно развиваются различного рода числение методы расчета оболочки переменной толщины. Однако разработанные методы, не всегда учитывают требуемые характеристики, ;о и приводят, пак правило, к достаточно слогам алгоритмам и рогряммям. Степень разработки проблемы значительно отстает от апросов шстеннрной практики, что вынуждает конструкторские проектные организации проводить дорогостоящие натурные испыта-ия.

Полученные, на данное чремя результаты по исследованию болочки переменной толщины, не учитывают, как правило,нап-яженно - деформированного состояния оболочки при одновреман-ом действии на нее трех факторов: внешних сил, эффекта сдвига температуры.

Изучение напряженного состояния оболочек переменной толщины с учетом внутреннего давления, поперечного сдвига, теше- ' ратуры является достаточно сложной задачей и требует не только применения точных математических методов, но и решения задач в усложненной, по сравнению с классической, постановке.

Д^ля исследований последнего времени характерно развитие статических и динамических задач линейной теории упругости для изотропных тел, механические харакі эристики которых являются непрерывными функциями координат. Имеющиеся результаты дают иного точных и приближенных решений для областей классического типа - полоса, цилиндр, клин - при различных видах неоднородности. Как для теории, так и для практических приложений, не менее существенной проблемой является построение модели линейной теории динамики оболочки с учетом влияния поперечных сдвигов и упругой неоднородности материала.

Возникает необходимость совершенствования имеющихся и создания новых методов расчета применительно к тонкостеннным кон -струхциям типа изотропной непрерывно неоднородной цилиндричес -кой оболочки при осесимметричной деформации. Об актуальности исследований в этом направлении можно, например, судить по постоянно возрастающему числу публикаций.

Таким образом тема исследования представляется достаточно актуальной и ее разработка позволяет получить аналитические формулы для определения параметров термоупругого состояния оболочек слабопеременного радиуса и толщины, а также развивает новый подход к решению важных практических задач для неоднородных оболочек.

Цель работы, целью реферируемой работы является: во-первых-подучение замкнутой системы уравнений для цилиндрической оболочки слабопеременной толщины и переменного радиуса, на основе использования смешанного вариационного принципа Э.Яейсснера ; во-вторых — осуществление вывода дифференциальных уравнений равновесия и движения изотропной, неоднородной' цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации ; определение перемещения, угла поворота оболочки, усилий и моментов; изучение температурных напряжений цилиндрической оболочки со слабопеременной геометрией.

методика выполнения исследований. В работе используются методы теории упругости; асимптотический метод малою параметра; методы решения дифференциальных уравнений и систем линейных

алгебраических уравнений. Численные результаты получены с помощью ЭВМ; использован метод Берстой - Хичкока; выделение квадратного множителя производилось с помощью программы составленной на языке ЙЗРТРАЬ - ІУ.

Ьяучная новизна диссертации заключается в исследовании новых - геометрически сложных оболочек и состоит в следующем:

разработана методика расчета цилиндрической оболочки перемен- ной толщины с переменным радиусом срединной поверхности;

решена проблема слабого изгиба тонкостенной оболочки путем построения модели без использования того или иного перехода от трехмерной области к двухмерному континууму, для оболочки со срединной поверхностью частного вида; а именно: оболочки слабопеременного радиуса и толщины;

получены системы разрешающих дифференциальных уравнений для цилиндрической оболочки с медленно изменяющейся геометрией (толщины и среднего радиуса), с учетом эффектов сдвига и температуры;

предложена модель расчета стационарных колебаний неоднородной цилиндрической оболочки; решение строится в форме ряда по степеням малого параметра;

решен ряд конкретных задач по определению напряженно-деформированного состояния оболочки с линейным законом изменения толщины, с учетом внешней нагрузки;

составлена и реализована на ЭШ программа расчета собственных частот для неоднородных тел цилиндрической формы.

Практическая ценность. Развитые методы расчета могут быть рекомендованы конструкторским предприятиям различного профиля, для проектирования оболочечных конструкций с зироким диапазоном законов изменения толщины. Наличие эффективных решений теории упругости неоднородных тел дает возможность в последующих исследованиях ставить и репать задачи теории пластичности и ползучести для подобных тел. Очевидно, что результаты исследования помогут в решении проблемы прогноза напряженного состояния элементов, при выборе наперед заданной неоднородности.ііолученше результаты позволяют решать часто встречающийся вопрос о концевых эффектах для фланцевых соединений в трубопроводах. Предложенная методика важна для расчета процесса оптимизации ряда технологических процессов, таких как, подводная сварка, когда приходится учитывать и изучать температурные и силовые подл.

>

Апробация работы. Основные положення работы докладывлись и обсуждапгсь на наУно-технических конференциях Лекишрздского института водного транспорта (Ленинград І9ВІ-83 г. г., секция: Прикладная математика); методическом семинаре кафедры "Сопротивление материалов" СПГГУ (1993 г.); научно-методических семинарах кафедры математики под рукэводством профессора Л. Г. Голоскэкова (ЛИВТ I6(3-91 г. г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы четыре статьи.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и содержит 130 страниц машинописного текста, 2 рисунка, список использованной литературы 63 наименований.

СОДЕРЇШІЕ РАБОТЫ

Во введении дастся краткий обзор литературы по теме диссертации, обсуждаются различные подходы к решению данного класса задач; излагается обоснование актуальности и новизны темы; сформированы цель работы и основные положения и дана краткая характеристика диссертации по главам.

В первой главе рассмотрена осесимыетричная деформация цилинд рической оболочки переменной 'толщины с переменными радиусом срединной поверхности; изменения толщины и радиуса считаются малыми; на боковых поверхностях действуют радиальные нагрузки Р_А и Р., . Система уравнений получена с помощью смешанною вариационного принципа Э.Рейсснера.

В параграфе І.І. изложена постановка задачи; используются цилиндрические координаты 1,4* , " . Осевая симметрия привс,-дит к отсутствию сдвигов Y , Y и касательных напряжений 'С 'Х,^, . Вместо радиуса 1- вводится координата р :

где R (г) и К(г) - переменные радиус и толщина оболочки.

їри функции: U._t, ьУ₀ , % определяют деформацию оболочки. Связь и

с усилиями и моментами вытекает из смешанного принципа Рейсснера

JJj(^-S'^i--S'6'-_crn)dV-j'jF_aSu_:c(5 = 0 (2]

Здесь F- тензор малых деформаций, выраженный через перемещение U. ; <о - тензор напряжении; f) - удельная потенциальная энергия деформации, выраженная через напряжения, а _а - заданная

поверхностная наїрузка. Варьируются и перемещения, и напряжения.

Для разрешения данного варипционнаго соотношения вычисляется интегралы от функции Ф по объему V и по поверхности о оболочки при осевой симметрии:

і Чг

(Ю

Чі

?-t

?-Ч

J]$dS -2x{J<>R dz 4-/ФЯ

-Ц " !i=0 ' -,у_г

С учетом, что вариация перемещения а будет

где е

^ = ej\i₀ + е_я [SV_e +j) ( у- < )]

6₂ - орты;

Поверхностная нагрузка на торцах:

С)

1₂=о ⁼ "^х*2е_г-^;е₂;_Г_а|_гг=<_гв_г+й^е_г; (5)

здесь g* ,Т*, - нормальные и касательные составляющие нагрузки на торцах от внешних сил и моментов. На боковых поверхностях заданы давления:

fn|j,= -ii

Из функционала Рейсснера после подстановки в (2) значений: П - удельной потенциальной энергии деформации, результатов вычислений интегралов от выражений --5 и -- . а также конкретных значений из (3),получены уравнения равновесия и соотношения упругости

(RT)'.O; (RM,)' = RQ, (RM.f-VR^-p,); (7)

D'<

Здесь

ї-т>^г ' ^v И(і-і)^г)

- жесткости оболочки на растяжение и изгиб соответственно.

Ьадача растяжения оболочки оделяется и рассматривается после задачи изгиба.

Задача изгиба при постоя!» ( внутреннем давлении упрощается.Система уравнений для прогиоа и угла сдвига ^ имеет вид

В параграфе 1.2 изучается случай линейно-переменною сечения оболочки, нагруженной внутренним давлением Р (рис.1).

Имеем R(z)-R ~k2; изучается не коническая оболочка, а такая, внутренняя поверхность которой является цилиндрической, внешня». же поверхность, как и срединная, будет конической. После преобразований система уравнений () окончательно принимает вид

где Т„«Т,(0)- значение Т₍ (г.) при2=0;

R,= Pk(0)- значение R (д). при 2=0 .

Исключая из уравнений (10) прогиб U и малые величины порядка > по сравнению с единицей, оставляя лишь первую степень параметра конусности, приходим к дифференциальному уравнению для сдвига у

_і-ті^т_-^ц_м'*\їГ^,+_чУ'Л\^к_? ^(Ю

2. ii{\-f.) _зп-ы>) ^П-ьт»

Частное решение уравнения (II) имеет следующий вид:

Для оболочки линейно-переменной толщины определяется решение уравнения (II) в виде

рАе />tfl(2.-t-f )+-6е^ІПС|,Я+^)-0 pk (<3)

где А, В, ^ , 4^у переменные величины; j^JZ+t^; J3.7 +^=о>; А и В определяются из условий заракрепления оболочки. Величины А и f определяют краевой эффект вблизи начала оболочки при 2=0, а величины В и f ответственны за поведение оболочки вблизи края 2= (.к в случае достаточно длинной оболочки получены две подсистемы для их определения

п . п

Ч'>^<Щ ; . 1* = -^a*Zu>

(М)

ІІри малом "к" производные искомых функций будут малыми, а сами эти функции - медленно меняющимися. Используя осреднение правых частей уравнений (14) за период Т= Еіі/д , приходим к выражению для У

у=А₀е ^{ґ h} т (jizi-t )+В₀е ^к ^mfpt^h^pk о?)

Далее определены прогиб U , поворот 9, перерезывающая сила GL и изгибающий момент М,.

Для полубесконечной оболочки при действии на краю изгибающего момента 1.1.(0) = М и отсутствия перерезываюцей силы}(0)=0

определяется угол поворота втулки. ^

Для длинной оболочки, когда выполняется неравенство t ^> ~Г анализ существенно упрощается. В случае длинной оболочки определяется угловая жесткость.

Во второй главе рассмотрен! задачи осесимметричной деформации для непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки в статической и динамической постановках.

На основе теории малых прогибов тонких оболочек типа Тимошенко формируется математическая модель поставленной задачи, выводятся основные дифференциальные уравнения равновесия и коле-.-батального движения.

В параграфе 2.1 при выводе дифференциальных уравнений применен смешанный вариационный принцип Э.Рейсснера, который в случае движения опирается на принцип Гамильтона - Остроградского, финцип Рейсснера позволяет составить дифференциальные уравнения равновесия и движения для непрерывно неоднородного тела, при конкретном задании закона изменения упругих модулей, конфигурации тела, гипотез о характере его деформации. Одновременно получаются соответствующие рассматриваемой задаче естественные граличные условия.При этом используются обычные гипотезы о характере деформации оболочки, но учитывается влияние сдвига. Распределение напряжений по толщине оболочки также задается. Основные напряжения подчиняются... линейному закону, второстепенное касательное напряжение - параболическому, финят экспонен -циальный закон изменения модуля упругости от осевой координаты. Вводятся напряжения при помощи функции, производящей обратное преобразование Лежандра

У (|)=|" -У(Ь), (17)

гдеУ(й) - удельная потенциальная знеріия, 'выраженная через напряжения,

U() -потенциальная энергия деформации, приходящаяся на единицу объема,

- тензор деформации; б - тензор напряжений. Требования силовых граничных условий на $ :

м кинематических, на Р :

(18)

достигаются расширением функционала

W= J Ldt НЮ

сдось L - функция Ла^гранжа, представляющая собой разность кинетической Е,, и потенциальной П энергий системы; о_й и О_и части поверхности упругого тела на которых заданы силы (*) или перемещения (U*);

Вариационное условие стационарности записывается в виде:

при условии, что би.

t, - lt₄

, ИЛИ что

би..

5и_я = SW = Sur_n = Se\ ^=<ов\ = о гг-f)

⁰ t t t + t-

lt₂ t₍ t. It, 1

где: E,. - кинетическая анергия оболочки;

F. - поверхностная нагрузка, которая приложена на торцах 2=0, Z= и на боковых поверхностях = -^- S7=-j- Объемной нагрузкой будем пренебрегать.

Из вариационного условия (20) получены дифференциальные уравнеши движения, содержащие радиальные и осевые перемещения и угол поворота оболочки, а также усилия и моменты; получены естественные граничные условия на торцах оболочки; внешнее P., и внутреннее Р, давления считаются заданными.

ph.^-_o = T_i ;

.іґ о

Е(х)

[ ^ ₊ %&] ; да

R "E(z)L h & -I ' . ^

, _л I2H + V) _л

Первые три уравнения представляют собой уравнения движения, разрешенные относительно ускорений ( ії₀ , гіг , 8 ). Остальные пять уравнений выражают собой закон Гука; На торцах %. = 0; Z = С получены естественные граничные условия:

(23)

Б параграфе 2.2 рассмотрена задача о равновесии непрерывно неоднородной оболочки под действием равномерного внутреннего давления Р =const= Р (наружное давление Р_Л и массовые силы отсутствуют при осесимметричной деформации.

Неоднородность свойств материала определяется экспонен -циальной зависимостью модуля угругости от осевой координаты:

Efz)= Е₀е~*" (J-> 0) (24)

Получена система дифференциальных уравнений равновесия и представлено ее решение - U. , W , В . Важное место при этом занимает вопрос о нахождении и анализе корней характвристичес-кого уравнения, получаемого при решении определителя алгебраической системы уравнений, составленного для нахождения произ -вольных постоянных решения исходной системы дифференциальных уравнений. Корни А- ( 1= I, 2, 3, ...,6) вычислены с учетом малости величин порядка "/о по сравнению с единицей и для случаев когда V мало, т.е.

12.

*

I » Rh і ⁷ VRK

В качестве примера, рассматривается задача о внутреннем

цавлении оболочки с лесткой заделкой краев; краевые условия: при 2= 0 и 2 = I , а₀= 0 ; w_o = 0 ; 9 = 0.

фиводятся выражения для определения напряжения от изгиба и напряжения растяжения.

В параграфе 2.3. исследуется случай движения изотропной непрерывно неоднородной цилиндрической оболочки при осесиммат-ричной деформации. Рассматривается установившееся движение оболочки при экспоненциальной зависимости модуля упругости от осевой коордицяты ( р₄ = р^ ₌ о).

Для решения полученных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами использована процедура последовательных приближений. Определено решение в веде суммы ряда, представленного по степеням параметра Q , где Q = ^(<"^ f сеть малый параметр, связанный с частотой свободных колебаний о), которая, в свою очередь, не зависит от начальных условий. Граничные условия являются однородными. Подстановка решений вида

с, исходную систему дифференциальных уравнений (22) приводит к рекурентним соотношениям, из которых определяется решение где Uj , "W! , 0_t - коэффициенты, подлежащие. определению (1=0, I, 2,...).Ограничиваясь решением для функции нулевого и первого приближения, приходим к системе однородных алгебраических уравнений. Равенство нулю определителя системы дает уравнение шестой степени относительно СО Т₀ = U-.

Уравнение решалось методом Верстой - Хичкока. Численные результаты получены с помощью программ, написанных на языке' ФОРТРАН для ЕС ЭВМ.

Отмечено, что из найденных корней уравнения подходят только положительные корни. Удалось получить деформации и соотношения между частотами и геометрическими размерами для изотропной неоднородной цилиндрической оболочки при осесимметричюй деформации. Заметим, что полученные результаты можно распространить на случай оболочек, снабженных системой тонких ребер, которые являются теплопроводящими елементами.

В третьей главе решается задача о термоупругом напряженном состоянии тонкой цилиндрической оболочки со слабопеременной тол-піиной при механических и тепловых воздействиях, симметричных

относительно оси оболочки.

В параграфах 3.1., 3.2. дана постановка задачи термоурру-гости для цилиндрической оболочки и осуществляется вывод системы разрешающих уравнений. Считается, что оболочка с некоторого момента подвержена внешней радиальной нагрузке (\О0,ВДи находится в температурном поле Т (t ,Z).

Вместо тензора напряжений вводятся в рассмотрение интег -ралькые величины - усилия и моменты, определение которых тре -' бует решения обыкновенных дифференциальных уравнений, функции Г (Z) и! (г,г) представляют собой усредненную по толщине температуру и ее радиальный перепад между криволинейными поверхностями оболочки:

. T(4,30 = T(z) + f(1/,2)

Т= -ЦТ (._)Z) сЬ

где Т (г) аппроксимируется линейным законом Т (р , я) = )ІЯ)р -она интерпретирует собой температурный иэгиб (при _р= t-R ). Зависимость ^ (л) от температуры Т (р,2) дается формулой:

ЛЯ)=-Г J P^T(M)

-ь/г Из функционала Рейсснера следуют соотношения упругости,

определяющие термоупругое состояние оболочки, далее с учетом

слабоизмоняемой геометрии поверхности и предположения об усред -

нении по толщине с учетом условия fvh '~^п \ получена система

уравнений для прогиба U₀ и угла сдвига У , с учетом температур*

них составляющих.

В параграфе 3.3 определяется стационарное температурное поле Т (р ,z) в случае линейно -переменного сечения оболочки, нагруженной равномерным внутренним давлением Р, с последующим выводом разрешающего уравнения относительно изгиба оболочки исследуемого типа.

Положение поверхности определяется заданием вектор -радиуса 4.(2) - непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор функции t = t(2). Положение точек (базисной) поверхности оболочки определяется введенными ранее координатами t , "f , z и описывается набором геометрических уравнений - ограничений. Положение точе» поверхностей оболочки, определяется введением двух координатой сС .которые задают углы мевду осью и срединной, а также внешней поверхностями оболочки (рис. 2).