Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные методы решения смешанных задач теории упругости для деформируемого полупространства 17
1.1.Осесимметричные смешанные задачи теории упругости для полупространства. Обзор литературы 17
1.2. Приложения смешанных задач для упругого полупространства в механике горных пород и в строительной механике 25
1.3.Основные уравнения статики трехмерного упругого тела 31
1.4. Выводы по главе 1 35
ГЛАВА 2. Осесимметричная задача о деформации изо-тропного полупространства при упругом закреплении границы вне области приложения распределенной нагрузки 36
2.1. Математическая постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия 36
2.2. Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории упругости для изотропного полупространства .40
2.3. Распределение напряжений и перемещений на границе упругого полупространства 44
2.4. Преобразование аналитического решения осесимметричной задачи 45
2.5.Частные случаи аналитического решения осесимметричной смешанной задачи 49
2.6.Равномерно распределенная нагрузка. Решение в точках упру -гого полупространства 55
2.7.Выводы по главе 2 57
ГЛАВА 3. Действие сосредоточенной силы на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей 59
3.1. Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи о сосредоточенной силе 59
3.2. Задача Буссинеска 61
3.3. Компактная форма точного решения задачи о сосредоточен -ной силе, приложенной к упруго закрепленной поверхности полупространства 65
3.4. Численные исследования напряженного состояния упругого полупространства 73
3.5. Выводы по главе 3 88
ГЛАВА 4. Осесимметричная деформация полупростран -ства с упруго закрепленной границей под действием равномерно распределенной нагрузки .90
4.1. Решение интегрального уравнения в случае равномерно распределенной нагрузки 90
4.2. Расчет нормальных напряжений на упруго закрепленной границе полупространства 94
4.3. Численное исследование распределения перемещений на границе изотропного полупространства 99
4.4.Опорное давление на деформируемый угольный пласт в окрестности цилиндрической выработки 105
4.5.Выводы по главе 4 112
Заключение 115
Список литературы
- Приложения смешанных задач для упругого полупространства в механике горных пород и в строительной механике
- Преобразование аналитического решения осесимметричной задачи
- Компактная форма точного решения задачи о сосредоточен -ной силе, приложенной к упруго закрепленной поверхности полупространства
- Численное исследование распределения перемещений на границе изотропного полупространства
Введение к работе
Актуальность темы. Анализ напряженно-деформированного состояния
полубесконечных упругих тел на основе аналитических решений пространственных смешанных задач теории упругости является фундаментальной проблемой механики деформируемого твердого тела. Известно, что исследование ряда научно-технических проблем горной и строительной механики приводит к постановке смешанной задачи для полупространства, в точках поверхности которого вне области приложения распределенной нагрузки выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и перемещений (условие упругого закрепления границы). Решение этой пространственной задачи представляет большой практический интерес, так как её приложения связаны с разработкой методов расчета напряженно-деформированного состояния массива горных пород при подземной добыче полезных ископаемых, с оценкой прочности деталей, включающих тонкие перфорированные прослойки, с исследованием проблем теории многослойных оснований.
В последние десятилетия опубликован ряд работ, посвященных построению в
прямоугольной декартовой системе координат решений трехмерных задач о
распределении напряжений и перемещений в полупространстве (полуплоскости), при действии на него нормальной нагрузки, распределенной по многосвязной конечной области, вне которой граничная поверхность упруго закреплена. Из обзора литературы следует, что класс пространственных осесимметричных задач о действии распределенной нагрузки на полупространство с упруго закрепленной границей в настоящее время остается практически не изученным. Аналитическое решение осесимметричной задачи о напряженно-деформированном состоянии изотропного полупространства при смешанных граничных условиях исследуемого типа отсутствует, а необходимые для практики численные расчеты, как правило, базируются на трудоёмкой реализации принципа суперпозиции решений задач о сосредоточенной силе. Поэтому разработка аналитических методов решения осесимметричных задач о деформации полупространства под действием нормальных усилий при упругом закреплении граничной поверхности является актуальной задачей классической теории упругости, имеющей практические приложения во многих областях современной промышленности и техники.
Цель работы – построение аналитических решений осесимметричных задач о действии распределенных и сосредоточенных усилий на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей и исследование на их основе закономерностей распределения напряжений и перемещений в упругом теле. Для достижения цели ставились следующие задачи:
- получить аналитическое решение осесимметричной задачи для упругого
полупространства в случае, когда в круговой области V, принадлежащей граничной
плоскости, приложена распределенная нагрузка, вне области V выполняется условие
пропорциональности нормальных напряжений и перемещений, касательные напряжения
на всей границе обращаются в нуль;
построить интегральное уравнение для определения неизвестной функции, входящей в аналитическое решение осесимметричной задачи о действии на изотропное полупространство нагрузки, распределенной по круговой области, вне которой граничная поверхность упруго закреплена;
исследовать аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи о действии сосредоточенной силы на изотропное полупространство, на границе которого отсутствуют касательные напряжения и выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и перемещений;
на основе построенных аналитических решений осесимметричных смешанных задач разработать алгоритмы расчёта на ПК перемещений и напряжений внутри и на границе упругого полупространства;
- установить влияние упругого закрепления границы на распределение напряжений и перемещений в изотропном полупространстве при действии на него равномерно распределенной нагрузки либо сосредоточенной силы.
Объект исследования – осесимметричная деформация изотропного
полупространства с упруго закрепленной границей под действием распределенных и сосредоточенных внешних усилий.
Предмет исследования – закономерности изменения напряженно -
деформированного состояния изотропного полупространства с упруго закрепленной границей при варьировании параметров, входящих в граничные условия и аналитические решения осесимметричных задач.
Методы исследования. При построении аналитических решений осесимметричных смешанных задач для полупространства использованы отдельные положения теории интегрального преобразования Ханкеля, интегральных уравнений Фредгольма второго рода, рядов Неймана, специальных функций Бесселя, Неймана, Струве, гамма-функции, эллиптических интегралов первого и второго рода, полных эллиптических интегралов.
Научная новизна полученных результатов состоит в том, что в работе
- впервые с помощью метода интегрального преобразования Ханкеля получено
аналитическое решение смешанной задачи об осесимметричной деформации изотропного
полупространства в случае, когда на границе касательные напряжения обращаются в нуль,
в круговой области, принадлежащей граничной плоскости, действует распределённая
нагрузка, зависящая от радиальной координаты, вне круга – нормальные напряжения и
перемещения пропорциональны;
впервые в результате аналитического решения осесимметричной задачи теории упругости получены известные формулы С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера для напряжений и перемещений на границе полупространства при действии на него нагрузки, равномерно распределенной по круговой области;
в случае распределенной нагрузки постоянной интенсивности, приложенной к полупространству с незакрепленной границей, входящие в аналитическое решение осесимметричной задачи несобственные интегралы вычислены через специальные и элементарные функции;
- получена компактная форма точного решения осесимметричной задачи о деформации изотропного полупространства с упруго закрепленной поверхностью под действием сосредоточенной силы;
- предложен алгоритм аналитического преобразования несобственных интегралов,
содержащихся в решениях осесимметричных задач, его реализация существенно
уменьшает время компьютерных расчетов компонент тензора напряжений;
- разработаны и обоснованы методы численной реализации аналитических решений осесимметричных смешанных задач исследуемого класса;
- на основе численных исследований установлены новые закономерности,
характеризующие влияние внешней нагрузки, физико-механических свойств материала и
упругого закрепления поверхности полупространства на его напряженное состояние в
случае осесимметричной деформации.
Достоверность научных результатов и выводов обеспечивается корректностью постановок исследуемых осесимметричных задач, использованием апробированных методов решения сформулированных задач, проверкой выполнения граничных условий, построением решений отдельных задач двумя способами, получением из аналитических решений в частных случаях формул, опубликованных в научной литературе, подтверждением результатов расчётов известными качественными закономерностями и данными других авторов.
Научное значение полученных результатов заключается в развитии
аналитических методов решения осесимметричных смешанных задач о напряженно-
деформированном состоянии полупространства с упруго закрепленной поверхностью при действии на него нормальной нагрузки.
Научные положения, которые выносятся на защиту.
1.Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории упругости о деформации изотропного полупространства при следующих граничных условиях: к упругому телу приложена нагрузка, распределенная по круговой области V, вне области V - нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения на всей граничной плоскости отсутствуют, напряжения на бесконечности обращаются в нуль.
2.Вторая форма аналитического решения исследуемой осесимметричной задачи, построенная путем перехода от трансформанты к оригиналу введенной функции, характеризующей нагрузку на граничной поверхности полупространства.
3. Математическое доказательство утверждений о том, что формулы
С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера для компонент тензора напряжений и вектора перемещения на границе полупространства в случае приложенной к нему нагрузки, равномерно распределенной по круговой области, являются частным случаем полученного аналитического решения осесимметричной задачи; в случае распределенной нагрузки, зависящей от радиальной координаты, интегральная форма построенного аналитического решения при отсутствии закрепления поверхности полупространства совпадает с решением Тередзавы.
4.Преобразование формул для компонент вектора перемещений в точках изотропного полупространства с незакрепленной границей путем вычисления несобственных интегралов и их записи через специальные функции в случае осесимметричной деформации упругого тела под действием равномерно распределенной нагрузки.
5. Компактная форма точного решения осесимметричной задачи о деформации изотропного полупространства с упруго закрепленной границей под действием сосредоточенной силы.
6.Разработанные алгоритмы и компьютерные программы для расчёта компонент тензора напряжений и вектора перемещений внутри и на границе изотропного полупространства. Численный анализ решений осесимметрич-ной задачи о напряженно-деформированном состоянии изотропного полупространства с упруго закрепленной границей при действии сосредоточенной силы либо равномерно распределенной нагрузки. 7. Задача об опорном давлении горных пород на угольный пласт в окрестности цилиндрической выработки.
Практическое значение полученных результатов. Алгоритмы расчётов и программы для численной реализации аналитических решений осесимметричных задач на ПК позволяют исследовать пространственное напряжённо-деформированное состояние горного массива с полостями при разработке пластовых месторождений полезных ископаемых, а также деталей с перфорированными прослойками при обосновании рабочих параметров элементов конструкций в машиностроении.
Результаты могут быть использованы конструкторскими бюро, научно-исследовательскими институтами, а также при изложении специальных курсов по механике деформируемых твердых тел в вузах.
Личный вклад соискателя. Следующие результаты, изложенные в диссертации и публикациях, принадлежат лично автору:
- аналитическое решение осесимметричной задачи о действии распределенной
нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей вне области
приложения внешних усилий;
- математическое обоснование перехода от распределенной нагрузки к
сосредоточенной силе в аналитическом решении осесимметричной задачи для
изотропного полупространства с упруго закрепленной границей;
- подтверждение достоверности аналитических решений осесим-метричных задач путем получения из них в частных случаях решений Тередзавы, Буссинеска, формул С.П.Тимошенко;
- преобразование аналитических решений осесимметричных смешанных задач
теории упругости о деформации изотропного полупространства с упруго закрепленной
поверхностью под действием сосредоточенной силы либо равномерно распределенной
нагрузки к компактному виду путем вычисления несобственных интегралов через
специальные функции;
- разработка алгоритмов и компьютерных программ для численной реализации
аналитических решений;
анализ закономерностей распределения напряжений и перемещений в изотропном полупространстве на основе аналитических и численных исследований решений смешанных задач;
аналитическое решение и численное исследование задачи о давлении горных пород на угольный пласт в окрестности цилиндрической выработки.
Основные результаты получены автором самостоятельно. По результатам
исследований опубликованы три работы без соавторов [3,10,11]. В статьях [1-2,4-9,12-17]
соискателю принадлежит получение аналитических решений осесимметричных задач,
разработка алгоритмов численной реализации их решений, выполнение расчетов,
установление и анализ закономерностей, научному руководителю и соавторам
принадлежат постановки задач, участие в выборе методов решения и обсуждении результатов исследований.
Апробация результатов диссертации. Основные положения и результаты диссертации докладывались на ХV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» ( Ростов-на-Дону, Россия, 2011г.); на Международной конференции «Современные проблемы механики и математики» ( Львов, Украина, 2013); на VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов- на- Дону, Россия, 2013); на 6th International Conference of Young Scientists CSE-2013 (Lviv, Ukraine, 2013); на XXII Международном научном симпозиуме «Неделя горняка 2014» (Москва, Россия, 2014); на XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, Россия, 2014).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, из них 6 статей в журналах, входящих в перечень ВАК, 8 статей в научных журналах и в сборниках трудов международных конференций, 3 публикации в сборниках тезисов докладов на международных научных конференциях.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа содержит 32 рисунка, 1 таблицу. Общий объем диссертации составляет 157 страниц, из них 17 страниц занимает список литературы, 21 страницу – приложение.
Приложения смешанных задач для упругого полупространства в механике горных пород и в строительной механике
Смешанные задачи для упругого полупространства представляют собой большой класс задач линейной теории упругости, имеющих практические приложения в различных областях науки и техники. Для их решения применяются аналитические, численные и численно-аналитические методы.
Большинство аналитических методов решения пространственных задач теории упругости, предложенных в прошлом веке, основаны на построении формул, представляющих перемещения и напряжения через неизвестные функции, которые удовлетворяют либо бигармоническому уравнению, либо уравнениям Лапласа и Пуассона. Такие общие представления позволяют при исследовании конкретных задач теории упругости использовать известные частные решения этих уравнений [52]. При изучении процессов деформирования трёхмерного упругого тела современные ученые широко используют общие решения системы уравнений теории линейной упругости, впервые полученные В. Кельвиным, Ж.Буссинеском, П.Ф. Папковичем, Г. Нейбером, Б.Г. Галёркиным.
В создании аналитических методов решения пространственных задач теории упругости большую роль сыграли опубликованные в 1938 г. формулы П.Ф.Папковича, представляющие перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Б.Г.Галёркин [14] предложил способ определения напряжений и перемещений в изотропном теле при помощи трех функций. В случае упругого полупространства первая и вторая основные задачи, а также контактная задача были сведены к определению одной гармонической функции по заданным значениям самой функции либо её производной во взаимно дополняющих областях S ,S , сумма которых есть полная граничная плоскость [69].
Развитие аналитических методов решения задач теории упругости для полупространства связано, прежде всего, с исследованием осесимметричных задач. Так, S.K. Datta [97] рассмотрел осесимметричную задачу для упругого полупространства со сферическим включением, использовав представление решения через две гармонические функции. Применив итерационную процедуру к решению, автор получил приближенные выражения для распределения перемещений при удалении от включения.
Задача определения функции Грина для упругой полуплоскости [122] значительно усложняется при переходе к исследованию трехмерных тел. Построению функций Грина для упругого полупространства посвящены работы [128,130,145]. В случае осесимметричной задачи H.Hasegawa [113] построил функцию Грина и в качестве приложения математических результатов рассмотрел задачу о распределении напряжений в полупространстве с полусферической выемкой при учете объемных сил. Изучению проблем, связанных с применением методов потенциала в задачах теории упругости, посвящена монография В.Д.Купрадзе [49]. На основе методов теории потенциалов G.Fu [103] исследовал распределение перемещений при индентировании упругого полупространства жестким осесимметричным штампом.
Уже к середине прошлого века учеными был предложен широкий спектр эффективных методов, позволивших получить точные решения контактных и некоторых других пространственных смешанных задач теории упругости. Здесь, кроме метода построения функции Грина, отметим метод сведения к интегральным уравнениям, метод комплексных потенциалов, метод интегральных преобразований, метод парных интегральных уравнений.
Интенсивное развитие аналитических и численных методов решения пространственных смешанных задач теории упругости, в первую очередь, связано с исследованием контактных задач, а также задач механики разрушения, строительной механики и геомеханики.
Впервые контактная задача для случая вдавливания в упругое полупространство кругового цилиндра была рассмотрена Ж.Буссинеском [91] в 1885 г. Решения интегрального уравнения пространственной контактной задачи в случаях круглого и эллиптического штампов изложены в монографиях И.Я. Штаермана [87], Л.А. Галина [15,16], А.И. Лурье [51]. Большой класс контактных задач, приведенных в монографии [12], изучен с помощью асимптотических методов, разработанных И.И. Воровичем, В.А. Бабешко, В.М. Александровым. Различные модификации асимптотических методов использованы в работах [95,110] при исследовании как плоских, так и пространственных смешанных задач.
M.R. Gecit [105] контактную задачу о вдавливании полубесконечного цилиндра в упругое полупространство свел к решению системы сингулярных интегральных уравнений. В его статье приведены численные результаты для контактного давления и коэффициента интенсивности напряжений в угловых точках для различных материалов контактирующих тел.
В работе И.И. Аргатова [8] рассмотрены статические контактные задачи для системы штампов на границе упругого полупространства, обобщены асимптотические методы решения задач этого класса, сопоставлены результаты, полученные различными методами.
Преобразование аналитического решения осесимметричной задачи
При заданной конкретной нагрузке q(r) вычисление трансформанты функции /?(г) может оказаться сложным. Поэтому в построенном решении, используя формулу обращения, осуществим переход от трансформанты к оригиналу функции /?(г), характеризующей нагрузку на граничной поверхности полупространства. Например, для радиального перемещения в точках полупространства из соотношений (2.28), (1.6), (2.20) найдем u(r,Z) = -1±ll[lfi(g)ZJ0(&)df](1-2v-zt)ez J1(rt) — 00 t + x _ 111 f Д)[ J (1 - 2v - z)e"te J0 ( ) J1 (rt) —] / 0 t + X Выполнив аналогичные преобразования, представим решение (2.28)-(2.39) в следующем виде: в точках упругого полупространства z 0 а а u(r,z) = \p(%)Gu(r,z,Z)dZ , w(r,z) = \p(%)Gw(r,z,%)d% , 0 0 а а (Tr(r,z) = \P(%)Gr(r,z,Z)dZ , ae(r,z) = \P(Z)Ge(r,z,Z)dZ , 0 0 а а az(r,z) = jp )Gz(r,z, )d , Trz(r,z) = \p()Grz(r,z,)d (2.41) 0 0 и в точках граничной плоскости z = 0 а а и(г,0) = J P()gu(r,)d , w(r,0) = jP( )gw(r, )d , 0 0 а а (Tr(r,0) = jp(4)gr(r,4)d4 , гв(г,0) = \№)8е(г,№ , 0 0 а az(r,0) = j3()gz(r,)d% , rrz(r,0) = 0 . (2.42) Здесь введены обозначения в соотношениях (2.41) Gu(r ) = -(1lM](1-2v-zt)e-zt J )J1(rt) tdt E 0 t + x G(r, E 0 ґ + f -zt dt -zt dt Gr(r ) = -Ht2 (1-zt)e-ztJ t)J0(rt) \t(1-2v-zt)e-ztJ0 t)J1(rt) 0 + z r 0 t + % ґ + r t + x Ge(r,z ) = -2v J/V 0( )/0(rt) —J/(1-2v-rf)e-2 y0( )/1(rt) lit Gz(r,z,%) = -E, \t2(1 + zt)e zt J0(&)J0(rt) + Z Grz(r,z,) = -zJt3e-ztJ0(#)J1(rt)— (2.43) и, соответственно, в формулах (2.42) gu(r,g) = - J J0 (&)J1 (rt) E t + x 2(1-v2)7 ,„ tdt g (/-,) = J0 (&)J0 (rt) E 0 t + x ,ч sr t2dt (1-2V) ґ tdt gr (r,) = -\ J0 (&)J0 (rt) + J0 (&)J1 (rt) 0 t + x r 0 t + x ge(r,) = -2v f /0 ( f)70 (rt) f J0 (&)J1 (rt) 0 t + x r 0 ґ + t2dt о t + % Для определения неизвестной функции fi(r) в круге г аиспользуем равенство (2.20). После подстановки в него вертикального перемещения w(r,0) из второго соотношения (2.42) получим интегральное уравнение а /3(r) = q(r) + kM(r,0) = q(r) + k\/3(%)gw(r,Z)d%, r a . Запишем его в виде а /3(r) = q(r) + \/3(,)g1w(r,,)d%, г а, (2.45) где г tdt g1w(r,)=kgw(r,) = x\J0(&)J0(rt) . (2.46) 0 t + % Интегральное уравнение (2.45) является неоднородным уравнением Фредгольма второго рода. Его аналитическое решение [44,47] может быть представлено рядом Неймана.
Таким образом, построена вторая форма аналитического решения осесимметричной смешанной задачи для упругого полупространства с граничными условиями (2.5). Согласно построенному решению компоненты тензора напряжений и вектора перемещений определяются формулами (2.41)-(2.44), причем содержащаяся в них неизвестная функция р(г) находится из интегрального уравнения (2.45), (2.46). В результате элементарных вычислений, которые здесь нецелесообразно приводить из-за их большого объёма, можно убедиться, что уравнения (2.1)-(2.4) тождественно удовлетворяются при подстановке в них полученного решения (2.41), (2.43). Решение (2.41)-(2.44) по сравнению с формулами (2.28)-(2.39) имеет следующие преимущества: его реализация не требует вычисления трансформанты функции, задающей нагрузку, кроме того, при численных исследованиях значительно уменьшаются затраты компьютерного времени за счет улучшения сходимости несобственных интегралов, содержащихся в решениях.
Решение Тередзавы. Исследуем случай, когда параметр к, входящий в граничные условия (2.5), равен нулю. Из формулы (2.21) при к = 0 для распределения нормального напряжения az (г,0) на границе полупространства имеем o-z(r,0) = -/?(r), 0 г оо . (2.47) Из равенства (2.20) следует, что функция fi(r) в этом случае известна: она равна приложенной в круговой области нагрузке q(r) при г а и обращается в нуль, если г а. Таким образом, смешанная задача (2.5) при к = 0 трансформируется в первую основную задачу теории упругости для изотропного полупространства.
Если к = 0, то согласно формуле (2.25) параметр % также обращается в нуль. Приравняв в равенствах (2.28), (2.29), (2.30), (2.33) параметр % нулю, убедимся, что выражения для функций u(r,z), w(r,z), az (г, z), тГ2 (r, z) совпадают с приведенным в монографии [59] решением первой основной задачи теории упругости в случае осесимметричной деформации упругого полупространства под действием распределенной нормальной нагрузки pz(r), 0 г оо. Отметим, что в книге В. Новацкого [59] явные выражения для компонент напряжений ов, аг отсутствуют. Кроме того, в ней указано, что решение этой задачи было впервые получено Тередзавой другим способом.
Равномерно распределенная нагрузка. Исследуем случай, когда в круговой области на границе полупространства приложена распределенная нагрузка постоянной интенсивности q(r) = q0 = const. Коэффициент к, по-прежнему, считаем равным нулю, поэтому вне области приложения нагрузки поверхность упругого тела свободна от внешних усилий, а граничные условия (2.5) принимают вид (az(r,0) = -q0, г а; \az(r,0) = 0, г а; [тГ2(г,0) = 0, г оо. (2.48) Отметим верхним индексом “ c” компоненты вектора перемещений, тензора напряжений, а также функции Gu...Grz,gu...grz, соответствующие решению задачи для полупространства с граничными условиями (2.48).
Формулы СП. Тимошенко, Дж.Гудьера. Преобразуем соотношения (2.50), (2.52) для напряжений и перемещений на границе полупространства внутри и вне круговой области приложения равномерно распределённой нагрузки q0. Покажем, что получающиеся в результате преобразования соотношения для компонент напряжений и перемещений совпадают с известными формулами С.П.Тимошенко, Дж. Гудьера.
Компактная форма точного решения задачи о сосредоточен -ной силе, приложенной к упруго закрепленной поверхности полупространства
Из рисунков 3.3-3.6 видно, что максимальные сжимающие напряжения в исследуемых плоскостях достигаются в точках г = 0, принадлежащих оси z. При увеличении г монотонно убывающие кривые rz = rz (г) пересекают ось г и напряжения становятся растягивающими. Графики показывают, что при приближении плоскости z = const к границе полупространства координаты точек пересечения уменьшаются, а максимум растягивающих напряжений увеличивается, перемещаясь к оси z. В граничной плоскости z = 0 напряжения а положительны и монотонно уменьшаются с ростом г.
При удалении от плоскости z = 0 в глубь полупространства напряжение az достаточно быстро уменьшается. Так, в плоскости z = 1 напряжения на порядок меньше, чем в плоскости z = 0.1. Из сравнения рисунков 3.5, 3.6 следует, что при переходе от плоскости z = 1 к плоскости z = 2 интенсивность затухания напряжений уменьшается. Приведенные рисунки позволяют получить количественную оценку изменения напряжения а при удалении от границы полупространства.
Для наглядного представления о распределении напряжения az в упругом полупространстве на рисунках 3.7 - 3.10 построены изолинии для различных значений параметра % в области Q = {r,ze [0.05,1]}. Рисунки показывают, что изолинии сгущаются при приближении к началу координат, подтверждая наличие концентрации напряжений в окрестности точки приложения сосредоточенной силы. В случае задачи Буссинеска напряжения az в упругом полупространстве отрицательны (рис.3.7). При закреплении границы, когда j 0, в нижнем правом углу на рис.3.8-3.10 появляется область растягивающих напряжений. Из расчетов следует, что с ростом % кривая тг(г,г) = 0, разделяющая области сжимающих и растягивающих напряжений в плоскости г, z, перемещается по направлению к оси z. Из анализа рисунков следует, что с ростом параметра % область сжимающих напряжений CTZ , а также их величины уменьшаются, область растягивающих напряжений в полупространстве увеличивается.
Изолинии касательных напряжений в упругом полупространстве представлены на рисунках 3.19-3.22. Из них видно, что картины распределения напряжений r(r,z) при выбранных значениях параметра z качественно совпадают, с ростом х величины касательных напряжений rrz уменьшаются.
Численный анализ распределения напряжений и перемещений в упругом полупространстве и на его границе при j = 0 и % = 0.8м1 выполнен в работе [34]. Следует отметить, что с ростом параметра % увеличивается время расчета на компьютере компонент напряжений и перемещений. Поэтому расширение диапазона изменения х на порядок потребовало оптимизации алгоритма численной реализации решения смешанной задачи о действии сосредоточенной силы на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей.
В заключение главы отметим некоторые общие закономерности, вытекающие из анализа рисунков 3.2-3.22. 1. С увеличением параметра % область влияния сосредоточенной силы уменьшается, её контур, сжимаясь, приближается к началу системы координат, то есть происходит локализация концентрации напряжений в окрестности точки приложения сосредоточенной силы. При удалении от этой области величины напряжений в упругом полупространстве быстро уменьшаются. 2. Графики изолиний нормальных напряжений oz,or показывают, что при z 0вблизи оси г появляются области растягивающих напряжений, которые с ростом х увеличиваются. 3. В случае решения смешанной задачи, когда j 0, напряжения cjz,cjr,cje,Trz меньше в областях сжимающих напряжений и больше в областях растягивающих напряжений, чем их значения, получающиеся при решении задачи Буссинеска, когда х = о. 4. В исследованной области Q максимальные значения нормального напряжения az в несколько раз больше касательного напряжения и на порядок больше абсолютных значений напряжений ав,аг.
Численное исследование распределения перемещений на границе изотропного полупространства
Из графиков видно, что при выбранных значениях параметра % радиальные перемещения на отрезке г/ае[1;4] с ростом г монотонно уменьшаются. Абсолютные значения и(г) увеличиваются при уменьшении параметра % . Из расчётов следует, что влияние параметра % на распределение перемещений возрастает при удалении от границы области приложения нагрузки г = аи становится существенным в интервале изменения радиальной координаты (1.3, 3.0). При г/а 3 на рис. 4.46 появляется тенденция к сближению кривых.
На рисунках 4.5 представлены результаты численных исследований зависимости вертикальных перемещений на границе полупространства от безразмерной радиальной координаты г/а при различных значениях параметра % . a) Из расчетов, выполненных по формуле (4.23), следует, что в области упругого закрепления границы вертикальные перемещения максимальны при г/а = 1. С ростом радиальной координаты вертикальные перемещения уменьшаются. Если г/ає[1;4], то имеет место закономерность: чем большех, тем меньше перемещенияw(r). При изменении параметра от 0.2 до 1.8 вертикальные перемещения уменьшаются в точке г/а = 1 приблизительно в 2 раза, в точке г/а = 2— в 4.5 раза, а когда г/а = 4, то в 30 раз. Таким образом, влияние параметра увеличивается при удалении от области приложения нагрузки. Из рис. 4.56 видно, что при г/а 2появляется тенденция к сближению кривых. При этом по мере удаления от области приложения нагрузки кривая и(г)при = 0.2 убывает быстрее, чем кривые, соответствующие значениям х = 1,1.8. Поэтому при дальнейшем увеличении г кривая = 0.2 приблизится к кривой = 1 и пересечёт сначала её, а затем и кривую = 1.8. В результате при удалении от области приложения нагрузки на расстояние, величина которого зависит от входящих в задачу параметров, закономерность о зависимости вертикальных перемещений точек граничной поверхности полупространства от параметра % изменится. Расчеты показывают также, что параметр х оказывает более существенное влияние на вертикальные перемещения, чем на радиальные.
При аналитических исследованиях напряженно-деформированного состояния массива горных пород в окрестности подземных выработок используются, как правило, методы механики сплошной среды, в частности, теории упругости. При этом массив моделируется упругой средой с начальным напряженным состоянием, обусловленным весом и боковым сжатием пород.
Рассмотрим угольный пласт, залегающий на глубине я от дневной поверхности. Обозначим его мощность через 2/г. Пусть в пласте проведена вертикальная цилиндрическая выработка кругового сечения, радиус которого равен а. Введем цилиндрическую систему координат r,6,z, совместив плоскость z = 0 с контактной поверхностью угольного пласта и вмещающих пород. Начало системы координат расположим в центре круга, являющегося потолком выработки (рис.4.6). Рис. 4.6. Схема угольного пласта с цилиндрической выработкой В цилиндрической системе координат исходные напряжения в ненарушенном горном массиве записываются следующим образом: г = о0в = a1PnS(H - z) , cr0z = -p„g(H - z) , т00 =т0в=т0=0 . (4.24) Здесь а0,а0,...,т0 - компоненты тензора напряжений, а1 - коэффициент бокового распора, рп - средняя плотность горных пород, g- ускорение силы тяжести. При наличии выработки полные напряжения аР,а$,...,тв массиве могут быть представлены в виде суммы исходных и дополнительных напряжений erf = Jr +ar , Jn = Jn + JQ,-, TJ?Z = т0 + rrz . (4-25)
В случае достаточно большой глубины залегания пласта влиянием дневной поверхности на дополнительные компоненты напряжений, появление которых связано с созданием выработки в массиве, можно пренебречь. Тогда задача о напряженно-деформированном состоянии массива горных пород может быть сведена к смешанной задаче теории упругости для полупространства, лежащего на перфорированном угольном пласте.
Сформулируем граничные условия смешанной задачи для упругого полупространства z 0, моделирующего массив горных пород, расположенный над угольным пластом. С учетом формул (4.24), (4.25) имеем: az(r,0) = pngH, r a; az(r,0) = fm(r,0), r a; rrz(r,0) = 0, r oo. (4.26) Здесь w(r,0) - вертикальные перемещения точек контактной поверхности пород с угольным пластом, к - коэффициент постели винклеровского основания, который прямо пропорционален модулю Юнга Ес угольного пласта и обратно пропорционален его мощности. Приложенная в круговой области распределенная нагрузка PngH постоянна, поэтому смешанная задача (4.26) для упругого полупространства осесимметрична. Следовательно, компоненты тензора напряжений и вектора перемещений не зависят от угловой координаты в, что учтено при записи граничных условий (4.26).
В случае осесимметричной деформации изотропного полупространства компоненты дополнительных напряжений в массиве определяются из уравнений равновесия (2.1), соотношений Коши (2.2), закона Гука (2.3) и условий совместности Сен-Венана (2.4).
Решение системы уравнений (2.1)-(2.4) при более общих граничных условиях приведено во второй главе, в которой получены аналитические формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещения в точках упругого полупространства и на его границе; далее решение преобразовано путем перехода от трансформанты к оригиналу введенной вспомогательной функции, характеризующей распределение нагрузки в круговой области и упругое закрепление границы, построено интегральное уравнение для определения введенной функции, получена формула для нормального напряжения JZ на границе полупространства. Учитывая результаты второй главы, формулу для расчета опорного давления на угольный пласт запишем в виде