Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные сведения и разработки, используемые в работе 11
1.1. Обзор исследований по теме диссертации . 11
1.2. Основные положения математической теории упругости и теории трещин 19
1.2.1. Плоская задача теории упругости 19
1.2.2. Некоторые сведения из механики разрушения 22
1.3. Применение преобразования Меллина к основным уравнениям плоской теории упругости 25
1.4. Метод Винера-Хопфа 27
Глава 2. Начальное развитие полос сколыения 31
2.1. Полосы скольжения в окрестности вершины включения при сложном напряженном состоянии 32
2.1.1. Постановка задач. Моделирование полос трещинами поперечного сдвига и нормального разрыва 35
2.1.2. Полосы скольжения. Вывод функционального уравнения Винера-Хопфа 4І
2.1.3. Решение краевой задачи 45
2.1.4. Локальная интенсивность напряжений у вершин полос скольжения 47
2.1.5. Размеры полос скольжения, условия их развития 48
2.1.6. Полосы по механизму нормального разрыва . 49
2.1.7. Преобразования в подинтегральных выражениях 51
2.1.8. Определение направления развития полос 53
2.1.9. Анализ вычислений 54
2.2. Полосы скольжения в окрестности вершины трещины 57
2.3. Полосы скольжения вдоль границы матрица-включение 62
2.3.1. Постановка задачи. Моделирование полос скольжения 62
2.3.2. Вывод и решение функционального уравнения Винера-Хопфа 64
2.3.3. Размеры полос скольжения. Соотношения между локальными коэффициентами интенсивности напряжений 65
Глава 3. Предельное равновесие композиций с жесткими включениями-волокнами 70
3.1. Полосы скольжения в окрестности включения . 71
3.1.1. Модельное представление полос скольжения на включении конечной длины. Комплексные потен циалы задачи 71
3.1.2. Распределение напряжений в окрестностях вершин попос скольжения и включения. Коэффициенты интенсивности напряжений 75
3.1.3. Контактные напряжения вдоль границы раздела сред 80
3.1.4. Условия корректности задачи 80
3.2. Разрывы сплошности в окрестности включения . 81
3.2.1. Размеры полос скольжения 81
3.2.2. Разрывы смещений в полосах скольжения 84
3.2.3. Расслоение композиции и соответствующая предельная нагрузка 85
3.2.4. Вторичные разрывы смещений 88
3.2.5. Идеально упруго-пластическое тело. Полосы пластичности 89
3.3. Периодическая задача теории жестких включений 90
3.3.1. Периодическая система коллинеарных включений 90
3.3.2. Периодическая система параллельных включений. Приближенное решение 94
Глава 4. Локальное разрушение одного класса волокнистых композитов 100
4.1. Полосы скольжения в окрестности двух жестких взаимодействующих волокон 101
4.1.1. Моделирование полос скольжения. Комплексные потенциалы задачи 101
4.1.2. Контактные напряжения вдоль границы раздела сред 107
4.1.3. Локальное распределение напряжений. Коэффициенты интенсивности 108
4.1.4. Распространение полос скольжения 109
4.2. Анализ локального разрушения по упругому решению 110
4.3. Анализ локального разрушения с учетом полос скольжения 114
Глава 5. Начальное развитие полос сколыения вблизи дефектов границы раздела разнородных и разноименных материалов 124
5.1. Полосы скольжения в соединениях разноименных материалов 125
5.2. Полосы скольжения у вершины включения, находящегося в зоне контактного слоя разнородных несжимаемых материалов 135
Основные результаты и краткие выводы 148
Литература 151
Справка к расчету экономического эффекта 169
Расчет экономического эффекта (копия) 171
- Применение преобразования Меллина к основным уравнениям плоской теории упругости
- Локальная интенсивность напряжений у вершин полос скольжения
- Распределение напряжений в окрестностях вершин попос скольжения и включения. Коэффициенты интенсивности напряжений
- Полосы скольжения у вершины включения, находящегося в зоне контактного слоя разнородных несжимаемых материалов
Введение к работе
Проблема прочности элементов конструкций и сооружений и необходимость ее практического решения вызывала и вызывает большой интерес многих исследователей к изучению самого процесса деформирования и разрушения твердых тел. Одна из важнейших задач такого рода - исследование условий зарождения и развития локального разрушения .вблизи дефектов технологического или эксплуатационного происхождения. Определение полей напряжений и деформаций с учетом эффектов разрыхления, нелинейного и пластического деформирования позволяет более точно прогнозировать и рационально использовать несущую способность элементов конструкций.
К настоящему времени в литературе преобладающее большинство работ этого направления посвящено исследованию кинетики зон пластичности, предразрушения, зон накопления повреждений возле остроконечных пустотелых дефектов типа трещин. Не менее важной, особенно в связи с оценкой прочностных свойств новых композиционных материалов, для которых жесткость матрицы значительно меньше жесткости армирующих элементов, является уточненная картина развития локального разрушения возле остроконечных дефектов, заполненных другим материалом, в частности жестких включений. Определение геометрии и размеров областей предразрушения возле включений позволяет более полно описать структуру напряженно-деформированного состояния, предшествующего непосредственно разрушению. Количество работ по этому вопросу ограничено даже в случаях, когда не учитываются временные эффекты.
Целью работы является аналитическое исследование развития полос скольжения, моделирующих локализованное в узких областях (линиях, поверхностях) нелинейное, пластическое деформирование материала, расслоение или нарушение адгезии в композициях с жесткими волокнами, включениями; выяснение условий локального разрушения композиций с линейными волокнами путем разрыва собственно волокна или развития в окрестности его вершин трещин скольжения.
Задачи о развитии полос скольжения на основе их модельного представления поверхностями разрывов смещений приведены к краевым задачам теории аналитических функций. Получены их замкнутые решения способами, основанными на применении метода Винера-Хопфа, а также аппарата задачи линейного сопряжения. Механические выводы и следствия, исходящие из конкретных решений и числовых данных рассматриваемых в работе задач, получены из позиций механики разрушения.
Научная новизна работы заключается в решении нового класса смешанных задач теории упругости, описывающих в модельной постановке развитие локализованных зон предразрушения в окрестности изолированных и взаимодействующих жестких волокон или остроугольных включений. Установлены общие черты и различия в кинетике полос скольжения в окрестности жестких включений и трещин. С учетом эффектов нелинейности, пластичности и расслоения проведено исследование локального разрушения композиций, содержащих высокомодульные дискретные волокна, и сформулированы рекомендации по увеличению критической длины волокон и предельной нагрузки, вызывающей их отслоение.
Достоверность исследований подтверждает: апробированность исходных положений работы в постановках задач теории трещин; математическая точность и строгость в решении и удовлетворении граничных условий рассматриваемых задач; совпадение результатов при использовании двух различных математических подходов: задача сопряжения и интегральное преобразование Меллина совместно с методом
Винера-Хопфа; сравнение конечных аналитических и числовых данных в частных случаях с известными в литературе. На защиту выносится:
- решение новых двумерных смешанных задач теории упругости, описывающих развитие полос скольжения в композициях с жесткими линейными или остроугольными включениями;
- оценка влияния полос скольжения на поля напряжений и деформаций в окрестности жестких остроугольных включений;
- критериальные соотношения, определяющие характер локального разрушения и предельные нагрузки для композитов с низким объемным содержанием высокомодупьных дискретных волокон, рекомендации по увеличению критической длины волокон и предельной нагрузки, вызывающей их отслоение.
Диссертационная работа состоит из пяти глав; содержит 123 страниц машинописного текста, 33 иллюстраций, I таблицу и библиографический список, включающий 185 наименований литературных источников.
Первая_глава носит вспомогательный характер. В ней изложен обзор литературы, предшествующей данной работе, приведены некоторые соотношения математической теории упругости, механики разрушения, элементы техники интегрального преобразования Меллина и сущность метода Винера-Хопфа, необходимые при изложении последующих глав.
Во_втор_ой_главе решены задачи о начальном развитии полос скольжения в окрестности вершины остроконечного жесткого включения (или трещины, свободной от напряжений). Временными эффектами при деформировании матрицы пренебрегаем, полагая, что время зарождения и распространения зон скольжения мало по сравнению с продолжительностью жизни композиции. Прочность контактного слоя матрица- включение по крайней мере не меньше аналогичной величины
для матрицы. Полосы скольжения имитируют локальное, сконцентрированное в узких областях (поверхностях, линиях) нелинейное, пластическое деформирование материала, расслоение или нарушение адгезионной связи. Согласно положений механики разрушения под ними понимаем разрывы смещений при неизвестной длине полос и направлении их развития.
Размеры полос скольжения, исходящих из вершины включения, предполагаем малыми по сравнению с размерами включения и тела, т.е. имеет место квазихрупкое разрушение, что позволяет заменить реальную конфигурацию композиции бесконечным телом с попубеско-нечным включением. Полосы моделируем как тангенциальными, так и нормальными разрывами смещений с постоянными напряжениями на их берегах. Последнее можно трактовать как предел текучести матрицы, как некоторое предельное напряжение, которое учитывает все неупругие явления при деформировании композиции, как напряжение трения на поврежденной границе матрица-волокно.
Внешнюю нагрузку для рассматриваемых композиций задаем на бесконечности асимптотикой, являющейся решением упругой задачи для тела с остроконечным включением.
Получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжений у вершин полос скольжения, определены размеры полос, углы их распространения. Направления развития полос находим из условия их максимальной длины в зависимости от угла (к . Такая гипотеза дает результаты совпадающие или близкие с гипотезой по наибольшему значению коэффициента интенсивности напряжений в вершине полосы. Установлено, что в отличие от трещины, где полосы скольжения прежде всего развиваются в секторе на ее продолжении, возле жесткого остроугольного включения для всех возможных комбинаций параметров нагрузки Кj Кп направление развития полос скольжения не выходит за пределы сектора 2 С/5 ІЩ Ті, охватывающего включение.
Получено взаимосвязь между предельными значениями параметров нагрузки и упругими, прочностными характеристиками композиции, при которой следует ожидать развития полос. В частном случае из решения перечисленных задач после формальной замены следуют соответствующие результаты о развитии полос в окрестности вершин трещин-разрезов свободных от напряжений, согласующиеся с известными в литературе.
Приняв напряжения у вершин полос ограниченными, и исключив из рассмотрения малую окрестность у вершины включения, где напряжения заведомо сингулярны, получаем оценку развития локализованных в тонких полосах пластических деформаций для идеально упругопластического тела, удовлетворяющего условию Треска-Сен-Венана. При этом в направлениях развития полос наибольшее различие между максимальными касательными напряжениями итсох и касательными напряжениями Тгв меньше 3%. Размеры полос скольжения вдоль контактного слоя матрица-включение по условию максимальных касательных напряжений и по используемому условию Zze Z s совпадают.
В_Тетьей_гпаве в рамках модельной постановки, аналогичной задаче Леонова-Панасюка-Витвицкого-Дагдейла в теории трещин, приведено замкнутое аналитическое решение двумерной задачи о развитии полос скольжения вдоль границы раздела конечного жесткого линейного включения и матрицы уже без ограничений на длину зоны скольжения.
Определены размеры полос скольжения в зависимости от внешней симметричной двухосной нагрузки, упругих и прочностных свойств композиции; изучены поля напряжений в окрестности вершин включения и полос; установлена кинетика полос и связь между их размерами, критическими значениями разрывов смещений, энергией разрушения и соответствующей предельной нагрузкой.
Полученные соотношения необходимы в экспериментальной механике разрушения. Пусть, например, известна критическая (соответствующая моменту образования трещины) длина полос скольжения, размер включения 2а, коэффициент Пуассона // и модуль сдвига и матрицы, предел сдвига Zs контактного слоя матрица-включение. Тогда используя простые аналитические зависимости можно оценить величину предельных разрывов смещений Оо , эффективную энергию разрушения г , характеристику Ь20 , определяющую сопротивление контактного слоя зарождению в нем трещины. Предложенные выше упругие и прочностные характеристики вместе с соотношениями между ними служат основой методики по оценке влияния включений на прочность композиции.
Рассматривается также вопрос о развитии вторичных полос. При развитых первых полосах скольжения вдоль границы раздела сред, вторичные полосы в окрестности вершин включения будут развиваться по механизму нормального к поверхности разрыва смещений в направлении, перпендикулярном к первым.
В аналогичной постановке изучены периодические системы кол-линеарных и параллельных включений.
Четветая_глава посвящена анализу локального разрушения композиции, состоящей из однородной изотропной матрицы и внедренными в нее, наделенными ограниченной прочностью на разрыв, жесткими волокнами-включениями. На основе упругого решения, а также решения с учетом развития полос скольжения определено механизм разрушения, заключающийся в разрыве собственно волокна или в распространении в окрестности его вершин трещин скольжения. Для каждого из механизмов разрушения установлены значения предельных нагрузок. Получены критериальные соотношения, позволившие сформулировать рекомендации по увеличению критической длины волокон и предельной нагрузки, вызывающей отслоение волокна, для этого класса компози тов.
Рассмотрена задача о развитии зон скольжения в окрестностях двух взаимодействующих между собой волокон-включений, которая может служить ориентиром для оценки ситуации при разрыве сплошного волокна на два.
В пятой главе решены задачи о начальном развитии полос скольжения вблизи дефектов границы раздела разноименных и несжимаемых (///=/ =0,5) разнородных материалов. В случае плоской деформации для соединений разнородных несжимающих составляющих с полубес конечным жестким включением вдоль плоскости раздела, полосы скольжения (две, неравной длины) развиваются по граничных слоях материал-включение. Материалы выбраны несжимаемыми из со-ооражений, чтобы напряжения у вершины включения не имели осциллирующего характера. С другой стороны, такие материалы дают наибольшие размеры зон скольжения и поэтому оценка их величины идет в запас прочности. С помощью интегрального преобразования Меллина задача сведена к решению функционального уравнения Винера-Хопфа. Определены коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности вершин полос скольжения, их размеры при заданных упругих и прочностных характеристиках композиции.
Для анализа условий развития локализованных зон скольжения в окрестности жесткого включения или трещины,расположенных вдоль границы раздела разноименных материалов (с одинаковыми упругими, но разными прочностными характеристиками), использованы результаты главы П для изотропной матрицы с включением. Определены направления и условия развития полос скольжения, их длины, локальная интенсивность напряжений у вершин полос. Проведены соответствующие расчеты и сравнения.
Пр_акт ческая_ценность. Результаты работы расширяют возможность применения методов механики разрушения на материалы с жесткими линейными или остроугольными дефектами, а также на клеевые или сварные соединения с дефектами вдоль границы раздела сред.
Исследования по развитию полос скольжения в окрестности включения конечной длины могут служить основой для постановки новых экспериментов с целью определения характеристик трещино-стойкости материалов, содержащих линейные или остроугольные включения, а также необходимы для дальнейших разработок по уточнению картины распределения напряжений непосредственно перед разрушением.
Для материалов с низким объемным содержанием дискретных включений -волокон, модуль сдвига которых значительно превышает такую же характеристику связующего, получена оценка влияния включений на прочность основного материала.
В работе приведено значительное количество простых инженерных формул, определяющих коэффициенты интенсивности напряжений, значения разрывов смещений, предельную нагрузку для конкретных схем композиций с линейными волокнами-включениями. Часть результатов диссертационной работы передана заинтересованному предприятию и внедрена с экономическим эффектом 38030 руб. (Акт внедрения от 5 октября 1983 г. хранится в Физико-механическом институте им.Г.В.Карпенко. Справка о долевом участии утверждена директором ФМИ им.Г.В.Карпенко В.В.Панасюком).
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [ 12,13,14,15,80,81,82] и докладывались на УШ Всесоюзной научно-технической конференции по конструкционной прочности двигателей (г.Куйбышев,І98І), на Х.ХІ конференциях молодых ученых ФММ им.Г.В.Карпенко АН УССР (г.Львов, І98І, 1983гг.), на Третьей
Республиканской научно-технической конференции "Неметаллические включения и газы в литейных сплавах" (г.Запорожье, 1982), на Первой Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (г.Львов, 1983), на Пятой Всесоюзной конференции по механике полимерных и композитных материалов (г.Рига, 1983), на научных семинарах отделов физических основ прочности и прочности композиционных материалов в Физико-механическом институте им.Г.В.Карпенко АН УССР (г.Львов, 1983, 1984гг.).
Применение преобразования Меллина к основным уравнениям плоской теории упругости
При антиплоской деформации разрывные решения построены [34J также в предположении, что зона пластичности состоит из произвольного числа слоев пластичности, исходящих из вершины трещины (имеет вид /Z -звенного веера). Показано [ 34 ] , что при увеличении числа слоев, разветвленная зона и величина разрыва смещений в вершине трещины приближаются к соответствующим результатам, полученным из непрерывного решения, в работе [68J дано обобщение представленной зоны пластичности и доказана возможность перехода от разрывных решений к непрерывным.
Для плоской деформации, плоского и трехмерного напряженных состояний получены лишь приближенные решения [43,71,72,113,151, 168,169,177,185 J упругопластической задачи о растяжении тела, ослабленного отверстием или трещиной. Нагружение осуществляется усилиями, действующими перпендикулярно к плоскости трещины. Влияние двухосности нагружения и сдвига на основе упругого решения рассмотрено в [43] .Из анализа результатов приведенных работ следует, что хотя развитие зоны пластичности происходит на каждой стадии деформации во всех направлениях, все же имеются направления преимущественного роста, совпадающие с плоскостью трещины при плоском напряженном состоянии [ 3,72,II3J и наклонены к ней в случае плоской деформации [ 43,71,177,180] . Тенденция к локализации пластического течения в тонких слоях экспериментально выявлена и подтверждена во многих работах. Впервые и почти одновременно исследования пластических деформаций у трещины в пластинках из малоуглеродистых сталей проведены М.Я.Леоновым, П.М.Витвицким, С.Я.Яремой [87,88,63,147], Даг-дейлом fl55] .Заметим, что исследование Дагдейла менее полно, оно, в частности, не рассматривает развития вторичных пластических полос. Локализация пластических деформаций в гонких слоях наблюдается также в окрестности заокругленных [ 3,36,37,86] и V-образных [ 3,66,121,135 J концентраторов напряжений. Чаще всего локализация пластических деформаций происходит в малоуп-рочняющихся материалах с хорошо выраженной площадкой текучести на диаграмме О- . Для некоторых из них пластические деформации с трудом возникают (зуб текучести), но легко распространяются в виде полос скольжения, двойников. Моделирование зон пластичности тонкими прослойками материала, в которых напряжения превосходят предел упругости позволило привести задачу о развитии слоев скольжения к задаче о напряженно-деформированном состоянии в идеально-упругом теле с трещинами, поверхности которых взаимодействуют между собой по некоторому закону, т.а. к смешанной задаче математической теории упругости. Первой в такой модельной постановке была решена задача об упругопластическом равновесии пластинки с трещиной, растягиваемой на бесконечности усилиями перпендикулярно к ней Г 37,67,155 J. Положения этих работ были развиты [38 J в последующих исследованиях упругопластического равновесия тел при неоднородной деформации [36,88,90,91,117J , для пластины с двумя разрезами [29,32 ] или с периодической системой разрезов [зі,129 ] , а также при действии сосредоточенных сил [ЗО,32]. Отметим, что процессы зарождения первых полос скольжения в пластинках со щелью (разрезом) и отверстием качественно несколько отличаются [і17 ] : если в окрестности концов щели сначала образуются компактные области пластичности, наблюдаемые в виде пятен, то около отверстия сразу после упругой стадии деформирования возникают узкие области пластичности, нормальные к направлению разрыва.
Развитие пластических слоев, моделируемых линиями разрыва тангенциальных перемещений, развивающихся под углом к линии продолжения трещины рассмотрено в статьях [ 73,76,93,144,170, 178,183 ] , в том числе для кусочно-однородных пластин B[74,77J. Влияние границ тела на развитие полос пластичности исследовалась авторами работ [ 40,75,79,ПО,III,148,153,166 ] .
Наиболее полно обзор и решения неодномерных упругопласти-ческих задач представлены в монографии [зJ . Однако в настоящее время еще недостаточно изучено развитие пластических зон в окрестности трещин-разрезов, находящихся в условиях сложного напряженного состояния.
Наряду с пустотелыми дефектами не менее эффективными концентраторами напряжений являются заполненные трещины, отверстия, т.е. различного рода включения, особенно остроугольной формы. Наиболее опасными из них являются жесткие включения, модуль сдвига которых значительно превышает аналогичную величину для материала матрицы. В окрестности таких концентраторов под воздействием внешних силовых и температурных факторов, а также окружающей среды образуются зоны повышенных напряжений, что способствует зарождению и развитию трещин или полос скольжения и может привести к локальному или полному разрушению композиции.
Локальная интенсивность напряжений у вершин полос скольжения
В последнее время значительное развитие получили решения задач о взаимодействии включений и трещин в упругих телах [21,27,28,41,85,94,95,136,150,156,167] . Наиболее полно результаты в этом направлении синтезированы в монографии [її] . Напряженно-деформированное состояние тел с включениями при наличии дефектов вдоль границы включение-упругая матрица исследовалось для круговых включений в работах [44,118,139,174] и др., для линейных - в [54,99,152,173,179] .
Разрушение конструкционных материалов почти всегда происходит после развития в них вблизи различного типа концентраторов зон пластичности, разрыхления, зон накопления повреждений. Определение конфигурации и размеров локальных областей предразрушения позволяет более полно описать напряженно-деформированное сос« тояние, предшествующее непосредственно разрушению в окрестности острых концентраторов. Уточненная картина развития нелинейных и неупругих деформаций вблизи волокон, включений, заполненных трещин особенно важна в связи с оценкой прочностных и деформативных свойств современных композиционных материалов.
Зарождение трещины в окрестности вершины дефекта происходит в зоне предельно высоких для материала напряжений [83J . Поэтому самой трещине из-за высокой концентрации предшествуют области материала с нелинейными свойствами, в которых происходит расслоение материала, образование трещин серебра (полимеры), пластическое течение (металлы). Расположение нелинейно деформированного материала в узких областях позволяет моделировать зону предразрушения разрезом, находящимся под действием самоуравновешенных напряжений.
В противоположность случаю трещины возле жесткого включения, например, вследствие неравномерного растяжения - сжатия {0в/Сг -(3+/ 1+//) при В -0) [ 7,109] следует ожидать более значительные пластические деформации. До настоящего времени почти отсутствовали [ 26,51,158 ] решения плоских упругопластических задач для тел с включениями. Более полно исследован лишь случай продольного сдвига. В работе [ш] рассмотрена упругопластическая задача для полупространства/Х/ о 3 0 ,/Z/ oo, часть границы которого -о Х 0, U-0 ,/Й о спаяна с жесткой накладкой. Показано, что пластическая зона имеет форму полуцилиндра и охватывает часть поверхности накладки, не простираясь за границы ее продолжения.
Точная граница локализованной пластической зоны при условиях ангиплоской деформации возле жесткого "туннельного" включения, содержащегося в изотропном теле установлена в работе [50] . Для идеально упругопластической матрицы эта зона представляет собой цилиндрическую круговую область радиуса Хм =0,5 (Кщ/Тт ) $ смещённую на Хм от вершины в сторону включения, где ит - предел текучести при сдвиге. Аналогичная зона для трещины размещена впереди ее на расстояние Ъпл [I37,l40j .
Оказалось Г337 , что эффективное решение упругопластической задачи при антиплоской деформации тепа с жестким включением можно построить, если допустить, что возникающие пластические зоны распространяются, начиная от точек максимальной концентрации напряжений (от концов включения), в виде очень тонких слоев, примыкающих к включению. Для такой задачи определены [ 33 J компоненты тензора напряжений, длина пластических слоев, величина разрывов смещений в них. Показано,что, в отличие от трещины, пластические слои не могут развиваться на продолжении жесткого линейного включения. С использованием представления о локализации пластических деформаций в тонких слоях получены решения упругоплас-тических задач в условиях продольного сдвига для неупрочняемых тел, содержащих включение в форме ромбической или правильной 71 - угольной призмы [35] , или плоское включение нулевой толщины и две перпендикулярные симметричные относительно него трещины [ет] . Плоские задачи теории пластичности о подкреплении бесконечной плоскости и полуплоскости стрингером конечной длины с учетом пластических свойств материала изучалась в работах Ю.М.Кудишина [б9,70] . Для решения пластической задачи использовался метод упругих решений Ильюшина [37] , а соответствующей упругой задачи-метод линейного сопряжения [98] . В качестве материала для численного примера принято мягкую сталь типа Ст.З с неограниченной по деформациям площадкой текучести. Наибольших значений пластические деформации достигают в окрестностях загруженного конца стрингера.
Распределение напряжений в окрестностях вершин попос скольжения и включения. Коэффициенты интенсивности напряжений
Для изучения напряженно-деформированного состояния в окрестности вершин полос скольжения определим асимптотические формулы поля напряжений. Для этого необходимо перейти от системы координат XL/U к новой локальной системе координат 2Г , О с началом в вершине полосы (см.схему рис.3Л). После несложных выкладок при Z « OL-б учитывая соотношения (1.4), (3.6) находим что согласуется с известным /1547, полученным по методу Вильям-са Гі847 , распределением напряжений возле контактирующей по всей длине трещины на границе раздела двух сред, одна из которых абсолютно жесткая.
Постоянные компоненты напряжений равны Коэффициент при сингулярной части напряжений, т.е. коэффициент интенсивности напряжений к л при этом имеет вид Предполагая наличие развитых полос скольжения определим асимптотические формулы для компонент тензора напряжений в окрестности концов включения, где напряжения имеют логарифми- ческую сингулярность. Для этого перейдем к новой локальной системе координат р , if с началом в вершине включения (см. рис.3.1). После необходимых алгебраических преобразований для случая О « OL-о получим Здесь параметр f{ является однозначной функцией относительных размеров пластических слоев и включения и определяется выражением Асимптотические соотношения (3.17) выполняют роль промежуточной асимптотики и справедливы в некоторой кольцевой зоне fl О . Q1i. , причем ft «СС-й Исключение из рассмотрения некоторой области Р О уменьшает ошибку, связанную с идеализацией области у вершины включения. При начальном развитии полос скольжения, исключая область jO P#»приходим также к соотношениям типа Q OL-ё или 0 ОС-ё ПР11 выполнении которых напряжения в окрестности вершины включения уже ограничены. Постоянные члены в распределении напряжений (3.17) имеют вид Интересно отметить, что при ъ & (полосы скольжения отсутствуют) из соотношений (3.14) следует известное /8,109] асимптотическое распределение напряжений в окрестности вершины остроугольного жесткого включения. Формулы (3.14) и (3.17) указывают, в частности, на то, что в направлениях б % fit % где нормальные напряжения бе , б р достигают экстремальной (минимальной или максимальной) интенсивности, касательные напряжения отсутствуют.
Поверхности полос скольжения испытуют лишь относительные сдвиговые перемещения, поэтому число констант в асимптотическом решении (3.14) равно одной» В предельном случае, когда i- -CL , формула (3.16) преобразуется к виду где Л 7 - коэффициент интенсивности напряжений возле жесткого включения длины 2d t соответствующей упругому решению [8,19] . Введем в рассмотрение параметр относительной длины полос скольжения На основании формул (3.16),(3.20),(3.21) нетрудно показать, что для нормализованных значений оэффициентов интенсивности напряжений Кп = кп//сГ » Кт = Kj //& шеет место зависимость Здесь важно отметить, что величина,, Rfi существенно зави- 1/яс.Є. -сит от коэффициента интенсивности А жесткого включения, что подчеркивает определяющую роль макроскопического дефекта при инициировании разрушения и в связи с чем при наличии малых полос скольжения результаты для этого случая могут быть обобщены и на взаимодействующие включения, а также на жесткие остроугольные включения произвольной формы. Если длина полос мала по сравнению с размером макроскопического включения, то CL-o«OL и, следовательно, « / . В этом случае равенство (3.22) с точностью до величин порядка Отметим, что ограничиваясь в представлении правой части (3.23) слагаемыми порядка у , приходим к соответствующей формуле решения задачи для полубесконечного включения, полученной выше (2.86) с применением интегрального преобразования Меллина совместно с методом Винера Хопфа. Из формул (3.14)-(3.23) следует, что развитие полос коль-жения от вершины линейного жесткого включения приводит к качественному изменению характера сингулярности в окрестности і вершины включения (из корневой на более слабую логарифмическую)! и к уменьшению с ростом длины слоев интенсивности напряжений в окрестности вершин полос, что свидетельствует об устойчивом характере их подростания.
Полосы скольжения у вершины включения, находящегося в зоне контактного слоя разнородных несжимаемых материалов
Потере работоспособности изделий из волокнистых композиционных материалов предшествуют процессы локального разрушения, заключающиеся в дроблении волокон, разрыхлении и пластическом деформировании матрицы, нарушении адгезионной связи по контактному слою матрица-волокно. Разница в жесткостных свойствах армирующих волокон к окружающей их матрицы влечет за собой, задолго до проявления нелинейных свойств композита в целом, образование зон между волокнами, в которых напряжения превосходят предел упругости, даже когда среднее значений напряжений в композите сравнительно невелико. Локализованные области предразрушения оказывают существенное влияние на перераспределение полей напряжений и деформаций в композитном материале и, как следствие, на начало разрушения композита в целом. Поэтому для понимания кинетики разрушения армированного дискретными волокнами композитного материала важно исследование условий его разрушения путем развития трещин скольжения, зон нелинейности, пластичности в адгезионном слое или разрыва волокна, а также учет последующего измерения напряженно-деформированного состояния в композите.
Армирующие волокна в композиционном материале выбирают из соображений максимальных прочностных и жесткостных характеристик. С другой стороны, требование технологичности композита приводит к использованию матриц, имеющих малую по сравнению с армирующими волокнами жесткость и, соответственно, незначительное сопротивление деформации. Поэтому, при оценке механизмов разрушения в первом приближении волокно примем абсолютно жестким, но наделенным конечной прочностью на разрыв. Такое допущение упрощает математическое решение задачи и неоднократно использовалось, например, в работах [17,99 j. В настоящей главе в двумерной постановке исследован механизм локального разрушения композиции, состоящей из однородной изотропной матрицы с внедренными в нее жесткими волокнами - включениями. На основе упругого решения, а также решения с учетом наличия полос скольжения определено механизм разрушения, заключающийся в разрыве собственно волокна или в развитии в окрестности его вершин трещин скольжения. Получены критериальные соотношения, по-зволившие сформировать рекомендации по увеличению критической длины волокна и предельной нагрузки, вызывающей расслоение волокна и матрицы. При анализе локального разрушения композиции используется полученное в главе Ш замкнутое аналитическое решение двумерной задачи о развитии полос скольжения вдоль границы раздела конечного линейного жесткого волокна и матрицы. Установлены размеры полос скольжения и предельное значение внешней нагрузки, вызывающее отслоение волокна или разрыв волокна. Решение задачи для двух взаимодействующих между собой волокон - включений может служить ориентиром для оценки ситуации о развитии зон скольжения при разрыве сплошного волокна на два. Рассмотрим в условиях плоской задачи изотропное тело, отнесенное к декартовой системе координат %UU и содержащее два жестких волокна-включения одинаковой длины (Хг-0і/ (рис.4Д). Материалы матрицы и контактного слоя матрица-волокно предполагаем равнопрочными. Композиция подвергается на бесконечности действию одноосного поля растягивающих напряжений интенсивности /Vy паралпепьно линии волокон. Принимаем, что полосы скольжения распространяются из точек максимальной концентрации напряжений (вершин волокон) в виде тонких слоев, окаймляя вершины волокон. При этом моделируем их трещинами поперечного сдвига, допускающими разрыв тангенциальных перемещений при заданных на их поверхностях предельных значений касательных напряжений. Обоснованность такого подхода к представлению полос скольжения в окрестности жестких волокон обсуждалась нами выше.
Задача состоит в определении размеров полос в зависимости от прилагаемой внешней нагрузки, упругих и прочностных свойств композиции; выяснении взаимовлияния волокон на кинетику распространения полос. Граничные условия соответствующей смешанной задачи теории упругости определяются выражениями (рис.4.1)
Здесь бхос t баи і Txu - компоненты тензора напряжений; Li , V - компоненты вектора перемещений по осям декартовых координат UX и UU ; us, - предел сдвига контактного слоя мат-рица-волокно; знаки „ + и ,} - отвечают предельным значениям на действительной оси соответственно из верхней ii/ O") и нижней (U 0} полуплоскостей; tyUf fti.X} - сигнум-функция. При моделировании полосами нелинейных или пластических деформаций в композиции принимаем 2 = 2"r . Условие (4.1) означает непрерывность смещения между матрицей и волокном, условия (4.2) - непрерывность нормальной компоненты смещения при допустимости поперечного сдвига.
