Введение к работе
Актуальность проблемы. Красные оадачи для уравнения Пуассона ноониклют но многих pun делах механики сплошной среди. 'Гак, функции напряжении » задаче о кручении упругих стержней является решением оадпчи Дирихле, n высот подъёма жидкости в цилиндрическом капилляре решением оадачи Неймана. Но многих случаях практикой интересуют не сами решения краевых оадач, а оценки некоторых функционалом, свяоанпых с ними (максимальное (значение касательных напряжений, жёсткость кручения, максимальная высота нодьёмй жикости н капилляре и пр.). Яолыпон иніерес ныпынпег гак же расположение на поверхности стержня "опасных дочек" точек, в которых модуль касательных напряжений достигає і- своего ппиОолыпего значения, а также точек, п которых капиллярная жидкость ііиднн.маеісм на наибольшую иысоту.
Задачу Дирихле исследовал ещё Сен Ненан. Им были напучены точные решения для сіержнеїї ряда конкретных сечений (круг, эллипс, правильный треугольник и т. д.). а аатем нычислены онпчения указанных выше функционалов. Такая идеология долгое премя была господегвукнпей,'сначала находилось решение, аоагем вычислялись интересующие всех онпченич функционалов.
II монографии II. X. Лругкшяна и 1>. Л. АСрамнна имеется подробное описание таких методов и решены многие конкретные оадачи (Лруїюнян II. X., Абрамян ІІ. .1. || Кручение упругих тол. М., Фиомапио. 1903).
И послевоенное время получил распространение другой подход к иоучению краевых оа.іач для уравнения Пуассона. Коротко идею отого подхода можно сформулировать так: не находя решения, по-
лучить оценки нужных функционалов черео геометрические параметры оадами. Таким оценкам посвящены работы Г. Пойл, Г. Сегё, Л. Макар-Лиманона, Л- Пейна, Г'. Филиппика, 1>. Каноля, С. Фу, Л. Уиллера и др. (оадача Дирихле); Д. Сигеля, С. Сакагуши, И. Ко реьаара и др. (оадача Неймана).
Задачам с неиовестной границей, на которой оадаиы как условия Дирихле, так и условии Неймана посвящены работы Ф. Л. Чер-ноусько, Дж. Серрина, X. Вайнбергера, Д. Киндсрлерера и Г. Стам-иаккьл и др.
Цель работы.
-
Получение оценок решений оадач Дирихле и Неймана, содержащих только геометрические характеристики области определения.
-
Алгоритм вычисления нормальной проионодной решения оадами Дирихле и касательной производной решения оадачи Неймана на границе области, не требующий оиания самих решений.
Методика работы. В диссертации применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений с частными проио-водными эллиптического типа и методы теории функций комплексного переменного (ТФКН).
Научная ноииона. Следующие основные результаты диссертации являются нонмми:
-
Достаточные условия вогнутости (выпуклости вверх) решения оадами Дирихле (холма напряжений).
-
Методы вычисления нормальной проионодной решения оадачи Дирихле и касательной производной решения оадпчи Неймана на границе области, не требующие онания самих решений.
3. 'Георема о представлении решения оадпчи Неймана.
4. Новью оцрнки решений краевых овдач для уравнения Пуассона черео геометрические характеристики области определения. Ряд других новых реоультатон получен в качестве следствий перечисленных ПЫ1ПО.
Приложении. В роботе получены удобные формулы для вычисления модуля касательных напряжений в оадпче о кручении упругих стержней. Полученные формулы пооиоллют определять опасные точки »н\ поверхности стержня в случаях, отличных от классических. Кроме того, полученные оценки могут найти применение в теории краевых оадач дли ші.іии тических уравнений.
Апробация работы. Реоультатм диссертации докладывались на научных семинарах мсхаиико математического факультета МГУ. МИИ'Г'в, на совместных (заседаниях Московского математического общества и Семинара им. И. Г. Петровского и 1990 и 93
І.Г.
Публикации- Основные результаты диссертации опубликовали в Q рабо lax автора, список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит но введения, трёх глав, рообнгых па 12 параграфов, и списка литературы. Работа положена на 103 страницах. Список литературы содержит 44 наименования.