Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Равновесие и устойчивость изгибаемого нелинейно-упругого бруса
1.1. Равновесие прямоугольного бруса при чистом изгибе
1.2. Устойчивость изгиба
1.3. Изгиб бруса из полулинейного материала
1.4. Изгиб бруса из материала Блейтца и Ко
1.5. Численные результаты
Глава 2. Равновесие нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями 33
2.1. Собственные напряжения возникающие вследствие клиновой дисклинации 33
2.2. Винтовая дислокация в нелинейно-упругом цилиндре 50
Глава 3. Устойчивость нелинейно-упругого цилиндра с собственны ми напряжениями 70
3.1. Линеаризация уравнений равновесия и бифуркационный анализ устойчивости 70
3.2. Численный анализ устойчивости цилиндра с дисклинацией при растяжении и сжатии 74
Заключение 85
Литература
- Устойчивость изгиба
- Изгиб бруса из материала Блейтца и Ко
- Винтовая дислокация в нелинейно-упругом цилиндре
- Численный анализ устойчивости цилиндра с дисклинацией при растяжении и сжатии
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В медицине, биомеханике и технике уже достаточно давно стали применять материалы, способные испытывать большие деформации и при этом сохранять упругие свойства. Согласно предложению К. Трусделла подобные материалы были выделены в отдельную группу и получили обозначение «гиперупругие материалы». В теории упругости их механические свойства целиком задаются упругим потенциалом (функцией энергии деформации). Существует достаточно большое количество различных моделей, описывающих поведение материалов данного класса. Однако, не все они адекватно отражают известные экспериментальные данные и результаты. В этой связи весьма актуальной является проблема выбора подходящей нелинейной модели материала и ее параметров для решения конкретной механической задачи.
При определении свойств материалов по-прежнему используются стандартные механические эксперименты: на растяжение, сжатие, кручение, изгиб. Задачи о равновесии и устойчивости конструкций с нелинейными свойствами (конструкции из резиноподобных материалов и эластомеров) при этих типах деформаций достаточно непросты несмотря на то, что рассматриваются тела простой геометрии. В то же время во многих случаях сам процесс анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости (аналитические преобразования, связанные с выводом нелинейных краевых задач и генерированием уравнений нейтрального равновесия) достаточно алгоритмичен и дает возможность автоматизации его главных этапов с помощью современных средств компьютерной алгебры.
Цель диссертационной работы состоит в моделировании традиционных экспериментов (изгиб, растяжение-сжатие) по определению характеристик материалов, степени пригодности новых и уже существующих моделей материалов; автоматизации процесса анализа решения и устойчивости тел с использованием нелинейно-упругих моделей и собственных напряжений.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях, выносимых на защиту:
-
В рамках конечных деформаций изучено НДС бруса при чистом изгибе. Методом наложения малой деформации на конечную выведены уравнения нейтрального равновесия изгибаемого нелинейно-упругого бруса.
-
На основе бифуркационного подхода исследовано существование нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи. Для рассмотренных моделей материалов для каждого номера моды установлено существование двух точек бифуркаций, первая из которых расположена существенно левее точки максимума на диаграмме изгиба, а вторая – в непосредственной близости к ней.
-
Исследовано напряженно-деформированное состояние нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированную дисклинацию. В рамках теории эффектов второго порядка получена аналитическая формула изменения длины ненагруженного цилиндра вследствие образования в нем дефекта.
-
Исследовано влияние величины вектора Бюргерса винтовой дислокации на длину цилиндра. Выведена аналитическая зависимость изменения длины и закручивания свободного от внешних нагрузок цилиндра от параметра дислокации; показано, что в ряде случаев эта зависимость немонотонна.
-
Методом наложения малой деформации на конечную изучено явление потери устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Исследовано влияние материальных характеристик, геометрических размеров цилиндра и параметра дисклинации на бифуркационные кривые при сжатии и растяжении.
Научная и практическая значимость. В диссертационном исследовании приводится решение одной из фундаментальных проблем механики твердого тела, связанной с разработкой общих методов решения и анализа задач деформирования и устойчивости упругих тел, подверженных большим деформациям. Полученные результаты, описывающие эффекты второго порядка и устойчивости тел при изгибе и растяжении, представляют интерес для разработки новых
методик испытания материалов и определения их параметров.
Степень достоверности результатов, полученных в диссертационном исследовании, обеспечивается использованием строгого математического аппарата нелинейной теории упругости, сравнением асимптотических и численных результатов, применением проверенных и надежных численных алгоритмов, сравнением результатов в частных случаях с результатами других авторов.
Основные результаты работы докладывались на V, VI, VII, VIII, IX всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморск 2009, 2011 - 2014), XIV международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 90-летию со дня рождения академика И. И. Воровича (Ростов-на-Дону - Азов, 2010), международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010), международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010), «Six M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics - Focus: Solids and Structures» (Cambridge, M.A., 2011), XXXIX, XXXXI Summer School «Advanced Problem in Mechanics» (Saint-Petersburg, 2011, 2013), второй всероссийской школе молодых ученых-механиков в рамках «X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики» (Нижний Новгород, 2011), всероссийской школе-семинаре «Современные исследования в области естественных и технических наук: междисциплинарный поиск и интеграция» (Тольятти, 2012), второй научно-практической школе-семинаре молодых ученых по мероприятию «Поддержка развития внутрероссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения научных исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах» (Тольятти, 2012), Second China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (Rostov-on-Don, 2013), 39th SOLID MECHANICS CONFERENCE (Zakopane, Poland, 2014), научной конференции «Проблемы прочности, динамики и ресурса», посвященной 90-летию
академика РАН Ф. М. Митенкова (Нижний Новгород, 2014), на научных семинарах кафедры теории упругости Южного федерального университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 4 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ [1 - 4].
Работы [1,2,4 - 10] посвящены компьютерной автоматизации исследования равновесия и устойчивости изгибаемого нелинейно-упругого бруса. Из них [2,4,7] выполнены в соавторстве с М.И. Карякиным, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования решений краевых задач, а диссертанту – формулировка нелинейных и линеаризованных краевых задач, проведение численных расчетов при решении этих задач, реализация вычислительных схем бифуркационного анализа, на основе которого определены точки бифуркации на диаграмме нагружения. В работах [1,6,8,10] Д.Ю. Сухову принадлежит разработка интерфейса вычислительной системы с использованием технологии Maplets в системе компьютерной алгебры Maple.
Работы [3,11 - 19] посвящены исследованию равновесия и устойчивости растягиваемого нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями, источником которых являются изолированная дисклинация и винтовая дислокация. Формулировка задачи и выбор метода решения задач о равновесии и устойчивости цилиндра с собственными напряжениями принадлежит М.И. Карякину. В работах [, , , ] И.В. Позднякову принадлежит компьютерная реализация анализа решений задач о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией. В работе [] О.Г. Пустоваловой принадлежит формулировка метода последовательных приближений. Диссертанту принадлежит компьютерная реализация этого метода и вывод аналитических зависимостей для изменения длины нена-груженного цилиндра с клиновой дисклинацией и аналитических формул для закручивания цилиндра с дислокацией. Вывод уравнений нейтрального равновесия и компьютерная реализация метода поиска нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи также осуществлены соискателем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения, приложения и библиографических источников, содержащих 107 наименований, и изложена на 105 страницах.
Устойчивость изгиба
Для исследования устойчивости изгибаемого прямоугольного бруса воспользуемся методом наложения малой деформации на конечную. Для этого сообщим точкам упругого тела малое перемещение из найденного положения равновесия путем изменения полуобратного представления (1.1.1) следующим образом: R = Р(х) + sU(x,y), ч Ф = By + sV(x, у), (1.2.1) Z = z, V є — формальный малый параметр, U(x, у), V(x, у) - новые неизвестные функции. Градиент деформации, соответствующий преобразованию (1.2.1), может быть записан в виде С = С0 + еС, (1.2.2) где С0 - градиент деформации, соответствующий основному решению, устойчивость которого исследуется, а тензор С линейно зависит от функций U (х, у), V(x,y). Аналогичным образом проводится линеаризация остальных геометрических характеристик деформации: G - меры деформации Коши-Грина, U -левого тензора искажений, А - тензора поворота, 4, к = 1..3 главных инвариантов и в итоге тензора напряжений Пиолы. Общая формула процесса, по которой проводилась линеаризация, представлена в виде: F = —F(Co + еС)е=о ає
Уравнения нейтрального равновесия - линеаризованные уравнения (1.1.9) запишутся в следующем виде divD = 0, (1.2.3) где D - линеаризованный тензор напряжений Пиолы. В компонентах этого тензора система уравнений (1.2.3) имеет вид
Условия (1.2.5) означают отсутствие напряжений на боковых поверхностях панели, а условия (1.2.6) - отсутствие осевой растягивающей силы и равенство суммарного момента с заданным изгибающим моментом. Они реализуются отсутствием перемещений в направлении оси Оу и отсутствием напряжений на площадке OyR в направлении оси OR.
Система (1.2.4) состоит из системы дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных в терминах неизвестных функций U (х, у) и V(x,y). С помощью замены система (1.2.4) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, причем благодаря (1.2.7) - (1.2.8) краевые условия (1.2.6) выполняются автоматически. Изучение возможности существования нетривиальных решений системы вида (1.2.4) - (1.2.7) проводилось по следующей схеме. Общее решение разыскивалось в виде: и = C\U\ + C2U2, v = C\V\ + C2V2, (1.2.9) где (иь у ), к = 1,2 - линейно-независимые наборы функций, представляющие собой решения задач Коши для (1.2.3). В каждой задаче Коши первая пара начальных условий имеет вид: а вторая — для производных и к {-d/2), v k {-d/2) — получается выражением последних из равенств (1.2.5) в точке х = -d/2 с учетом (1.2.10). Удовлетворение краевым условиям (1.2.5) в точке х = d/2 приводит к линейной системе уравнений для определения Сі и С2. Данная система имеет нетривиальные решения в том случае, когда определитель этой системы равен нулю. Коэффициенты этого определителя зависят от параметра изгиба В. Таким образом, рассматривая определитель как функцию параметра В, и находя нули этой функции, можно определить критические значения этого параметра.
В следующих параграфах будут рассмотрены примеры решения задачи об изгибе нелинейно-упругого бруса.
В качестве первого примера рассмотрим задачу об изгибе бруса из полулинейного материала, удельная потенциальная энергия деформации которого задается соотношением [9] W = tr2(U-E)+//tr(U-E)2, (1.3.1) где Е — единичный тензор, X, ц — материальные параметры. В этом случае краевая задача (1.1.10)-(1.1.8) для определения функции Р{х) имеет вид В {—IX + ХРВ - 2ц + 2цРВ) Заметим, что функция Р{х) может быть записана в виде Р{Х) = h f{x), В причем функция f{x) не имеет особенности при В = 0, и описывает изменение толщины изгибаемой панели. Это проделано для того, чтобы не возникало проблем с переходом к недеформированному состоянию тела [64], так как традиционное полуобратное представление (1.1.1) является истинным для ненулевого значения параметра В.
Видно, что тензор напряжений Коши имеет диагональную структуру. После проведения линеаризации всех необходимых деформационных характеристик, получен линеаризованный тензор напряжений Пиолы для крае 23 вой задачи (1.2.4) - (1.2.6). Ненулевые компоненты тензора D имеют вид:
Получим краевую задачу об изгибе нелинейно-упругого бруса из сжимаемого материала Блейтца и Ко, функция удельной потенциальной энергии [9] которого задается выражением: W = —ц(1 -(5) hKl н— Ц - 1 ) _ 3 + -/ївli н— [Ца - 1 ) - 3 . (1.4.1) 2 a 2 or При малых деформациях параметр ц имеет смысл модуля сдвига, а параметр а связан с коэффициентом Пуассона выражением а = . Материальный (1 - 2v) параметр В є [0,1] характеризует нелинейность: он существенно влияет на деформируемость материала при сверхбольших деформациях [44].
Для краевой задачи (1.4.2) аналитического решения не было найдено, поэтому она была исследована численно. Компоненты тензора напряжений Коши (1.1.12) в случае модели материала Блейтца и Ко (1.4.1) имеют вид В данном разделе приведены результаты анализа нелинейных и линеаризованных краевых задач, перечисленных выше в разделах 1.3 и 1.4.
На рис. 1.5.1 приведены построенные с использованием (1.1.11) зависимости изгибающего момента MQ = — от угла изгиба у = ВЬ для панели с размерами b/d = 2, у = 0.25. Первый график соответствует модели полулинейного материала (1.3.1), зависимости 2-3 получены для модели Блейтца и Ко при/? = 0 и/? = 1 соответственно. На всех диаграммах отчетливо виден так называемый «падающий участок», связываемый обычно с потерей устойчивости процесса нагружения.
При рассмотрении процесса нагружения панели торцевыми моментами для полулинейного материала с различным значением коэффициента Пуассона, было определено, что коэффициент Пуассона не влияет на точку максимума графика диаграммы нагружения. На рис. 1.5.2: линия 1 соответствует
Изгиб бруса из материала Блейтца и Ко
В случае материала Блейтца и Ко с параметром J3 = 1 - также большее значение коэффициента а = 249.5 позволяет цилиндру изменять длину, в данном случае - удлиняться, в большей степени, чем при меньшем значении коэффициента а. Также как и при изменении толщины стенки - чем толще цилиндр, тем он сильней удлиняется, изменение длины составляет 4 %; а при толщине близкой к 0.01 дисклинация не оказывает никакого воздействия. Изменение длины цилиндра также симметрично относительно случая отсутствия дисклинации к = 1, как показано на рис. 2.1.10. Выводы, основанные на аналитической формуле, согласуются с проведенными численными экспериментами с достаточно высокой точностью. Образование дисклинации в цилиндре существенным образом влияет на его длину для всех рассмотренных толщин (h от 0.99 до 0.01) и для всех рассмотренных моделей материалов. Также сильное влияние на изменение длины цилиндра оказывает коэффициент а в модели материала (1.4.1): чем больше этот коэффициент, тем большее изменение длины испытывает цилиндр. В работе рассматривались значения этого параметра в диапазоне [0.3; 249.5].
В частности, в случае материала Блейтца и Ко при /? = 1 цилиндр, свободный от внешних нагрузок, удлиняется, причем при большем значении а это удлинение доходит до 4%. В случае /3 = 0 ненагруженный цилиндр укорачивается.
В случае гармонического материала цилиндр, ненагруженный осевой силой, для всех рассмотренных толщин, значений коэффициентов Пуассона и параметра дисклинации удлиняется, причем это удлинение симметрично относительно случая отсутствия дисклинации
Влияние дислокации на изменение длины цилиндра в рамках нелинейной теории упругости было рассмотрено ранее в работах [105], [80], [106]. С использованием модели неогуковского материала в рамках теории несжимаемого континуума в [105] показано, что распределенные винтовые дислокации приводят к скручиванию цилиндра, при этом его длина уменьшается. Таким образом, эффект Пойнтинга, обусловленный винтовыми дислокациями, совпадает с эффектом Пойнтинга обратного знака, обусловленным крутящим моментом. В [80] рассмотрен случай образования изолированной дислокации в сплошном цилиндре с возможностью кавитации на ее оси, при этом получены аналогичные результаты по изменению длины цилиндра. Задача о дислокации в рамках сжимаемого континуума рассмотрена в [106]. При использовании упрощенной модели материала Блейтца и Ко на основе численного исследования краевой задачи равновесия также показано, что при достаточно больших значениях параметра дислокации цилиндр не только скручивается, но и укорачивается. В данном пункте влияние наличия дислокации на изменение длины цилиндра будет рассмотрено более детально для полулинейного материала и материала Блейтца и Ко.
Образование в цилиндре винтовой дислокации с учетом возможности закручивания цилиндра описывается полуобратным представлением вида [76]:
Краевыми условиями для (2.2.2) в случае полого цилиндра являются отсутствие напряжений на боковых поверхностях цилиндра (2.1.3). Нужно отметить, что матрица компонент градиента деформации в этом случае не будет диагональной, поэтому все выкладки существенно усложняются.
В случае материала Блейтца и Ко (1.4.1) краевая задача (2.2.2), (2.1.3) выглядит следующим образом:
С использованием определяющего соотношения для полулинейного материала (1.3.1) уравнение равновесия (2.2.2) и граничные условия (2.1.3), составляю щие краевую задачу, приобретают вид: В данном случае легко построить диаграмму нагружения (растягивающая сила в зависимости от удлинения цилиндра) при фиксированном параметре дислокации для обеих моделей материалов. Рис. 2.2.1. График зависимости осевой силы от удлинения цилиндра, параметр дислокации a = 0.1, h = 0.95, = 0.5
Диаграмма нагружения цилиндра представлена на рис. 2.2.1, линия 1 – случай полулинейного материала, линия 2 – материал Блейтца и Ко при = 1, линия 3 – = 0.5, линия 4 – = 0. Из рисунка видно, что падающий участок на диаграмме нагружения есть не для всех значений параметра модели : при = 0 на диаграмме есть падающий участок, затем с увеличением этого параметра точки максимума графика не наблюдается. Точное значение , при котором еще есть точка максимума графика приведена в работе М.И. Каряки-на [45]. Для полулинейного материала график зависимости является линейно возрастающим. Рис. 2.2.2. Осевая сила в зависимости от удлинения цилиндра, случай упрощенного материала Блейтца и Ко, /5 = 0, a = 0.01
На рис. 2.2.2 изображена зависимость осевой растягивающей силы от удлинения цилиндра в случае материала Блейтца и Ко: а = 4.5 - линия 1, а = 2 - линия 2, а = 1.16 - линия 3, а = 0.75 - линия 4, а = 0.5 - линия 5. Из графиков видно, что изменение параметра а влияет на положение точки максимума (точки максимума изображены квадратами на графиках).
Для исследования влияния дислокации на удлинение цилиндра используем условие Q = 0. Таким образом получается зависимость удлинения цилиндра от параметра дислокации a для обеих моделей материалов (1.3.1), (1.4.1).
На рис. 2.2.3 приведены графики зависимостей изменения длины цилиндра от параметра дислокации, для материала Блейтца и Ко: /? = 0 - линия 1, J3 = 0.3 - линия 2, J3 = 0.7 - линия 3, J3 = 1 - линия 4, для полулинейного мате Рис. 2.2.3. Изменение длины цилиндра от параметра дислокации h = 0.95, а = 0.5 риала - линия 5. Из рис.2.2.3 понятно, что в случае полулинейного материала длина цилиндра уменьшается, а в случае материала Блейтца и Ко удлинение или укорочение цилиндра зависит от параметра /?.
Для аналитического описания явления изменения длины цилиндра вследствие образования в нем винтовой дислокации использовалась теория эффектов второго порядка. Для этого необходимо представить решение для функции Р (г) в виде разложения по степеням малого параметра дислокации а Р(г) = г + af\(r) + а /г(г) + О (а ) , (2.2.7) таким образом будут последовательно отыскиваться неизвестные функции Д, к 1,2 для всех приведенных степеней малого параметра а.
Из формулы (2.2.9) следует, что при /? = 1 цилиндр не будет менять длины для всех рассмотренных значений параметра дислокации, а с уменьшением уб до нуля цилиндр будет удлиняться. Данные результаты находятся в полном соответствии с численными результатами, представленными на рис. 2.2.3. Аналитическое выражение для функции Л (г) в (2.2.7) имеет вид
Винтовая дислокация в нелинейно-упругом цилиндре
На рис. 2.2.12 изображено изменение длины ненагруженного крутящим моментом и осевой силой цилиндра из упрощенной модели материала Блейтца и Ко - уб = 0, а = 1/2 в зависимости от параметра дислокации a и толщины h. Из рисунка видно, что десятипроцентное укорочение происходит только в случае цилиндра толщиной h = 0.05, в то время как для цилиндра толщиной h = 0.95 укорочение происходит только на 2.5% при одинаковом значении параметра дислокации. График является симметричным относительно случая отсутствия дислокации a = 0. Рис. 2.2.13. Изменение длины цилиндра из упрощенной модели материала Блейтца и Ко в зависимости от параметра дислокации, h = 0.05
Зависимость изменения длины ненагруженного цилиндра из упрощенной модели материала Блейтца и Ко в зависимости от параметра дислокации a и параметра а приведена на рис. 2.2.13. Из рисунка видно, что цилиндр при образовании в нем дислокации укорачивается - изменение длины составляет до 2%.
Как показывают результаты, появление винтовой дислокации в ненагру-женном цилиндре отражается на его длине и закручивании.
В случае отсутствия закручивания if/ = 0, параметр дислокации будет оказывать большое воздействие на длину цилиндра, свободного от осевой силы. На диаграмму нагружения в этом случае оказывает влияние параметр модели материала Блейтца и Ко - а. На длину ненагруженного цилиндра оказывает воздействие материальный параметр /? - цилиндр может как удлиняться, так и укорачиваться.
В случае цилиндра постоянной длины образование дислокации ведет к закручиванию цилиндра, причем в случаем полулинейного материала влияет коэффициент Пуассона у, а в случае материала Блейтца и Ко - параметр Д
Представлены результаты влияния материальных параметров модели (1.4.1) на изменение длины и закручивание свободного от нагрузок цилиндра при образовании в нем винтовой дислокации. Так, в случае материала Блейтца и Ко в зависимости у от значения параметра /? цилиндр с дислокацией может либо укорачиваться, либо сначала удлиняться, а потом укорачиваться. Данный результат подтвержден выведенной аналитической формулой. Как показали результаты анализа этой формулы на изменение длины ненагруженного цилиндра с винтовой дислокацией оказывают воздействие его толщина - изменение длины может составлять 10%; материальные параметры а - изменение доходит до 2%; /? - цилиндр может укорачиваться на 10%. Глава 3
Рассмотрим полый цилиндр радиусов г0 и п с клиновой дисклинацией, для которого полуобратное представление имеет вид (2.1.1). Для того, чтобы исследовать устойчивость цилиндра с образованием в нем изолированной дисклинации модифицируем полуобратное представление (2.1.1) следующим образом:
По новому полуобратному представлению находятся все необходимые деформационные характеристики, включая линеаризованный тензор напряжений Пиолы. Уравнения нейтрального равновесия имеют вид (1.2.3). В компонентах линеаризованного тензора напряжений Пиолы система уравнений записывается как:
Линеаризованная краевая задача (3.1.2)-(3.1.3) состоит из дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно неизвестных функций U(r, р, z), V(r, р, z), W(r, р, z) и граничных условий.
Компоненты линеаризованного тензора напряжений Пиолы для материала Блейтца и Ко (1.4.1) при /? = 0 имеют вид: Компоненты линеаризованного тензора напряжений Пиолы для полулинейного материала (1.3.1) определяются выражениями:
Анализ существования нетривиальных решений системы уравнений (3.1.2) - (3.1.3) проводился следующим образом. Общее решение отыскивалось в виде и = C\U\ + C2U2 + С3Щ, v = C\V\ + C2V2 + C3V3, (3.1.5) w = C\W\ + C2W2 + C3W3, где Оь vk, wk), к = 1,2, 3 - линейно-независимые наборы функций, представляющие собой решения задач Коши для (1.2.3), у которых первая пара начальных условий имеет вид: Щ (го) = 1, vi (го) = О, w\ (го) = О, Н2 (го) - О, v2 (го) = 1, V2 (Го) = 0, (3.1.6) Щ (го) - О, v3 (го) - О, w3 (го) - 1, а вторая - для производных и к (го), v k (го), w k (го) - получается выражением последних из равенств (3.1.3) в точке г = го с учетом (3.1.6). Удовлетворение краевым условиям (3.1.6) в точке г = г\ приводит к линейной системе уравнений относительно неизвестных констант интегрирования Q, к = 1,2, 3. Критические значения параметра изменения длины цилиндра у находятся из характеристического уравнения, означающего равенство нулю определителя этой системы.
Численный анализ существования нетривиальных решений системы (3.1.2) - (3.1.3) соответствующий сжатию цилиндра с дисклинацией из полулинейного материала показал наличие точек бифуркаций.
На рис. 3.2.1 изображены бифуркационные кривые - множество точек, при которых возникают новые формы равновесия цилиндра при сжатии в зависимости от параметра изолированной дисклинации к. В случае гармонического материала (1.3.1) для различного коэффициента Пуассона при толщине h = 0.99 и длине / = 20 получены следующие результаты: линия 1 -у = 0.45, линия 2 - у = 0.4, линия 3 - у = 0.35, линия 4 - у = 0.3, линия 5 -у = 0.25. Все эти значения критического параметра найдены для мод с номерами т = 1, п = 1 по (3.1.4), так как они возникают раньше среди значений с другими номерами мод. Из графиков на рис. 3.2.1 ясно, что наличие дискли-нации оказывает существенное влияние на потерю устойчивости цилиндра при сжатии, причем, кривые практически симметричны относительно случая = 1 – отсутствия дисклинации. В зоне больших дисклинаций существенное влияние на критическое значение оказывает коэффициент Пуассона. Положение кривых при значении = 1 и полости размером в 0.01 соответствует стержневой потере устойчивости по Эйлеру [107].
Численный анализ устойчивости цилиндра с дисклинацией при растяжении и сжатии
Если рассматривать цилиндр с толщиной стенки h = 0.1 таб. 3.2, 3.3, то можно увидеть, что первыми точками бифуркации являются точки с номерами мод m = 2, n = 2. Симметричность относительно отсутствия дисклинации в цилиндре наблюдается у точек с номерами мод: m = 1, n = 1; m = 2, n = 2; m = 3, n = 2.
На рис. 3.2.2 приведены бифуркационные кривые цилиндра при сжатии в зависимости от параметра дисклинации к в случае материала Блейтца и Ко при толщине стенки цилиндра h = 0.5, а = 0.5 и длине / = 20: линия 1 -/? = 1, линия 2 - J3 = 0.8, линия 3 - J3 = 0.5, линия 4 - /? = 0.2, линия 5-/3 = 0. Все эти значения найдены для мод с номерами m = 1, п = 1, так как они являются наименьшими среди критических значениях у с другими номерами мод. Из рис. 3.2.2 видно, что наличие дисклинации оказывает существенное влияние на потерю устойчивости цилиндра при сжатии, как и значение параметра модели материала (1.4.1) – выше значение параметра модели , тем меньше значения точек бифуркации цилиндра при сжатии.
На рис. 3.2.3 изображены точки бифуркации для первых мод т = 1, п = 1 цилиндра при сжатии в зависимости от параметра дисклинации к в случае материала Блейтца и Ко - уб = 1 для различного коэффициента а при толщине h = 0.5 и длине / = 20: линия 1 - а = 2, линия 2 - а = 1.16, линия 3 - а = 0.75, линия 4 - а = 0.5. Из графика заметно, что на значение точек бифуркации оказывает влияние изменение коэффициента а: при значении а = 0.5 критические значения у больше, чем при значении а = 2. Все бифуркационные кривые симметричны относительно случая отсутствия дисклинации к = 1. Рис. 3.2.4. Бифуркационные кривые для сжимаемого цилиндра различной толщины из упрощенного материала Блейтца и Ко
На рис. 3.2.4 изображены бифуркационные кривые для сжимаемого цилиндра различной толщины с дисклинацией, номера мод п = 1, т = 1, коэффициент = 0.5. Линия 1 - толщина 0.9, линия 2 - толщина 0.8, линия 3 - толщина 0.7. Положение кривых при значении параметра дисклинации к = 1 соответствует потере устойчивости по Эйлеру при соответствующих толщинах [107]. Заметно, что при самой маленькой толщине бифуркационная кривая несимметрична относительно случая отсутствия дисклинации к = 1. Это означает, что при к 1 - вставке клина, бифуркационная кривая выше, чем при к 1, соответствующей вырезанию клина. Рис. 3.2.5. Бифуркационные кривые для сжимаемого цилиндра из упрощенного материала Блейтца и Ко
На рис. 3.2.5 изображены бифуркационные кривые для сжимаемого толстостенного цилиндра с дисклинацией, номера мод п = 1, т = 1, коэффициент а = 0.5. Линия 1 - толщина 0.6, линия 2 - толщина 0.5, линия 3 -толщина 0.4, линия 4 - толщина 0.3. Из рисунков 3.2.4 и 3.2.5 можно сделать вывод, что чем толще цилиндр, тем ниже находится бифуркационная кривая. Так, при толщине в 0.3 при дисклинации 0.8 цилиндр потеряет устойчивость при у = 0.835, что соответствует укорочению больше, чем на 15%. Таким образом, дисклинация любого знака является стабилизирующим фактором в цилиндре при сжатии. Из рис. 2.1.2 можно заключить, что падающий участок у диаграммы на-гружения есть только для цилиндра из материала Блейтца и Ко с малыми значениями параметра Д растягиваемого осевой силой. Наличие такого участка может свидетельствовать о потери устойчивости растягиваемого цилиндра. Дальше будут приводиться результаты для одного случая материала Блейтца и Ко - J3 = 0.
При растяжении цилиндра из материала Блейтца и Ко при /? = 0 критические значения параметра изменения длины для т = 1, п = 0 представлены в таб. 3.4 для различных значений коэффициента a, h = 0.5, / = 20. Из таблицы видно, что значение коэффициента а вносит большой вклад в их значение: при меньшем значении параметра а значение точек бифуркации меньше, в то время как параметр дисклинации практически не влияет - изменение составляет доли процента.
Проведенный анализ устойчивости сжимаемого и растягиваемого цилиндра показал, что поле собственных напряжений, вызванных изолированной дисклинацией, оказывает большое влияние на бифуркационные кривые.
Так, при сжатии цилиндра из полулинейного материала на потерю устойчивости при большой дисклинации % = 1.2 и % = 0.8 влияет материальный параметр у - разница в значениях точек бифуркации составляет 2%. В случае материала Блейтца и Ко в зоне больших дисклинаций существенное влияние оказывают параметры модели а и /? - разница варьируется от 1 до 2%.
При рассмотрении растягиваемого цилиндра из материала Блейтца и Ко с изолированной клиновой дисклинацией большой эффект оказывает значение материального параметра а - значение точек бифуркаций отличается от 6% до 14%, в то время как сама дисклинация не оказывает никакого воздействия.