Введение к работе
Актуальность проблемы.
Высокая механическая прочность и легкость оболочек обуславливает их широкое использование в технических конструкциях. В настоящее время на практике применяются оболочки сложной геометрии, что влечет за собой развитие как фундаментальных, так и прикладных разработок, ориентированных на численные методы исследования.
Обзоры по оболочкам сложной формы приведены в работах Я.М. Григоренко, A.M. Тимонина, А.Н. Гузя, А.С. Чернышен-ко, М.С. Корниптина, М.А. Файзуллиной, Н.П. Петухова, М.Н. Серазутдинова и Н.М. Якупова.
Являясь эффективным подходом к исследованию в механике твердого деформируемого тела, метод граничных элементов (МГЭ в настоящее время занимает достойное место среди других численных методов и находит применение для решения разнообразных задач в различных областях. МГЭ основан на соответствующих этим задачам граничных интегральных уравнениях, которые могут быть построены при существовании фундаментальных решений для исследуемых дифференциальных операторов и при проведении детального анализа предельных соотношений интегральных представлений, имеющих место при переходе на границу.
Основы теории граничных интегральных уравнений были заложены в работах С.Г. Михлина , В.Д. Купрадзе , Н.И. Мусхе-лишвили и В.И. Смирнова.
Метод граничных элементов (МГЭ) впервые с прикладной точки зрения описан в исследованиях Т.А. Крузо и Ф.И. Риццо.
Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории оболочек, неразрывно связанной с осуществлением гранично- элементных методов, посвящены работы С. Лукасевича , В.П. Ольшанского, В.П. Шевченко.
Развитие МГЭ в теории пластин и оболочек представлено работами Ю.П. Артюхина, К.Н. Банцарева, Р. Ваттерфилда, П. Бенерджи, К. Бребия, Э.С. Венцеля, Ю.В. Верюжского, А. Вро-убела, СП. Гавели, Г.К. Господинова, А.П. Грибова, И.Л. Зан-га, Р. Квина, Б.Г. Коренева, Т.В. Крамина, С. Крауча, П. Кси-алинга, ATM. Куземко, В.М. Кулакова, Т. Масатаки, Л.Б. Ма-
слова, В.Н. Пайыушша, М. Саламы, М.Н. Серазутдинова, Ф. Старфилда, М.Тетсуи, В.М. Толкачева, Н. Тосаки, A.M. Трофимова, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского и других.
В механике твердого деформируемого тела особый интерес представляют задачи, связанные с оценкой напряженного -деформируемого состояния, обусловленного наличием в телах концентраторов напряжений типа трещин, которые сильно влияют на работоспособность конструкции, являясь во многих случаях причиной ее разрушения. Этот факт предопределяет теоретическую и практическую значимость указанного класса задач.
Обзор работ по исследованию напряженно- деформируемого состояния пологих оболочек с одиночными разрезами приведені в монографии В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышина. Построению системы сингулярных уравнений и анализу распределения напряжений в окрестности разрезов для пологих оболочек посвящены работы З.А. Осадчука, В.П. Шевченко, В.К. Хижняка, С .Я. Яремы и др.
Построение аналога функций Грина для сосредоточенных деформационных и силовых факторов осуществлено в работе Г.А. Мораря.
Если для пологой сферической оболочки фундаментальная матрица Грина может быть получена в функциях Кельвина-Томпсона, то для пологих оболочек двоякой кривизны получение этой матрицы в замкнутом виде затруднительно.
Применение МГЭ к определению НДС пологих оболочек сопряжено с определенными трудностями в определении матрицы Грина (в замкнутом виде) и анализе свойств граничных интегральных уравнений, связанными с наличием разнообразных граничных условий на контуре и берегах разрезов.
Кроме того, наряду с потенциальной возможностью рассмотрения с помощью МГЭ с итерационным уточнением определенных классов нелинейных задач, в этом случае может иметь место медленная сходимость (или даже расходимость) итерационного процесса.
Вместе с вышеуказанными трудностями, МГЭ обладает рядом существенных преимуществ, а именно:
1. С вычислительной точки зрения МГЭ приводит к системе меньшего порядка, чем другие численные методы (МКЭ,МКР)
при решении той же задачи. После решения этих уравнений можно найти решение в любой точке заданной области, вместо автоматической привязки результатов к ряду фиксированных точек (МКР и МКЭ).
-
В атом методе в силу непрерывности аналитического решения, которое справедливо всюду в области не возникает вопроса совместности элементов, как в МКЭ, где аппроксимации проводятся в каждом элементе.
-
Физические величины, связанные с производными решения можно получить аналитически, дифференцируя сингулярные решения и суммируя их, что также способствует повышению точности, так как численное интегрирование всегда представляет более устойчивый и точный процесс, чем дифференцирование.
Необходимость преодоления вышеуказанных трудностей в сочетании с новыми возможностями, предоставляемыми методом граничных элементов предопределяет актуальность решения данной задачи.
Предложенный краткий обзор свидетельствует не только об теоретической и практической актуальности исследуемой в работе проблемы, что подтверждается многочисленными публикациями по расчету пологих оболочек различными методами, но также показывает недостаточное развитие МГЭ в применении к решению этой задачи. Данная работа, обобщающая предшествующие разработки в этой области, представляет собой продвижение в данном направлении и позволяет рассматривать достаточно широкий класс задач.
В работе для исследования пологих оболочек применяется итерационный метод, использующий фундаментальную матрицу Грина для сферической оболочки, которая представляется в бесселевых функциях. Свойства этих функций хорошо изучены. Поэтому при решении не возникает вопросов точности определения фундаментальных решений.
Целью диссертационной работы является:
Развитие метода граничных элементов для решения задач теплопроводности и термоупругости теории пологих оболочек и построение эффективного численного алгоритма и программного комплекса.для исследования температурного поля и НДС пологих оболочек двоякой кривизны со сложным опорным контуром.
На защиту выносятся:
-
Построение и анализ граничных интегральных уравнений теории теплопроводности и термоупругости пологих сферических оболочек для всех основных видов градичных условий.
-
Итерационный МГЭ для расчета пологих оболочек двоякой неотрицательной кривизны.
-
Численные алгоритмы и комплексы программ, реализующие МГЭ в применении к расчету пологих оболочек сложной геометрии.
4) Результаты решения ряда новых задач и их анализ.
Научная повизна предлагаемых в работе результатов состоит
в проведении следующих разработок:
Построены граничные интегральные уравнения для различных типов граничных условий и в случае наличия разрезов произвольной формы с использованием предельных соотношений интегральных представлений, полученных на основе подхода Ада-мара и метода локализации;
Предложен и исследован итерационный МГЭ для расчета пологих оболочек и рассмотрены вопросы его сходимости и эффективности.
Получено совместное решение задач теплопроводности и тер-моуиругости теории пологих оболочек МГЭ.
Разработаны различные способы дискретизации широкого класса областей сложного очертания, их опорных контуров и разрешающих граничных интегральных уравнений.
Построены и обоснованы эффективные численные алгоритмы МГЭ для решения широкого класса задач теории пологих оболочек сложного контура, на основе которых создан программный комплекс и выработаны рекомендации по его практическому применению.
Поставлен и решен ряд новых задач, исследующих влияние различных внешних и внутренних факторов на. напряженно- деформируемое состояние пологой оболочки.
Достоверность научных положений и результатов диссертации обеспечивается:
-Применением высоко точных схем интегрирования в численных алгоритмах и аналитических подходов для определения значений сингулярных и суперсингулярных интегралов.
-Проведением вычислительного эксперимента для модельных и тестовых задач теории оболочек, имеющих аналитическое ре-шепие или решение, полученное другими численными методами.
-Осуществлением апостериорной оценки достоверности решений при расчете сферической оболочки и при исследовании оболочки двоякой кривизны на каждом шаге итерационного процес са путем вычисления певязки выполнения граничных условий в промежуточных точках контура исследуемой области, а также оценки точности приближенного решения, полученного в ходе итерационного процесса исходя из функциональной сходимости вектора фиктивных сил во всей области.
Практическая ценность работы обусловлена следующими факторами:
Разработанное программное обеспечение позволяет рассчитывать оболочки со сложной внешней границей плана и конечным числом отверстий произвольной формы при наличии различных связей как на внутренних и внешних границах (смешанные граничные условия), так и в заданном наборе внутренних точечных опор. Алгоритм расчета предполагает определение всех компонент перемещений, деформаций, усилий и моментов для разнообразных видов нагружения: распределенных (внутри области и по определенным кривым) и сосредоточенных (в отдельных точках) сил и моментов произвольного направления, а также под действием заданного температурного поля.
Программный комплекс основан на максимальной автоматизации процесса расчета, которая включает минимизацию и удобство представления исходной информации, оптимальный выбор схем аппроксимации и избирательное определение искомых величин в необходимой для пользователя форме, что дает возможность широкого применения данного пакета как в учебном про цессе и научных разработках, так и для чисто практических исследований.
Предложенные в диссертации расчетные схемы для решения пологих оболочек сложного опорного контура, а также полученные результаты могут быть использованы в проектных и конструкторских организациях для инженерных расчетов.
Апробация работы. По основным результатам работы автор награжден дипломом лауреата конкурса "Молодые дарования"
в области механики и машиноведения, организованного Международным гуманитарным фондом "Знание".
Основные результаты диссертации доложены и обсуждены:
- на Итоговых научных конференциях Казанского государствен
ного университета за (1993-1994 гг.);
на семинаре кафедры теоретической механики Казанского технического университета (1994 г.);
на международной научно-технической конференции "Механика машиностроения.", Набережные Челны, 1995г;
на 47 Республиканской научной конференции по итогам научных исследований и внедрению их в производство., Казань, 1995;
на 4 международной конференции "Лаврентьевские чтения" по математике, механики и физике, Казань, 1995;
на 17 международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1995;
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.