Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Контактные задачи для предварительно напряженного физически нелинейного упругого слоя 23
1. Вывод основных уравнений напряженно-деформированного состояния физически нелинейного упругого слоя 23
2. Вывод интегральных уравнений контактной задачи для слоя, когда значения pt и pz мало отличаются одно от другого 29
3. Решение контактной задачи для слоя 32
4.О разрешимости интегрального уравнения (I.3.I) 49
5. Решение контактной задачи для полупространства 54
Глава II. Задачи о щелях для предварительно напряженного физически нелинейного упругого слоя 57
1. Постановка задачи о щели для слоя 57
2. Решение задачи о щели в слое методом "больших и малых Я " 61
Глава III. Контактные задачи для преднапряженного физически нелинейного упругого слоя с подвижной линией раздела граничных условий 74
1. Постановка задачи 74
2. Необходимые условия ограниченности контактных давлений на контуре области контакта ( pi = pz s p ) 78
3. Условие для определения размеров и формы области контакта 86
4. К вопросу об ограниченности контактных давлений на контуре эллиптического в плане штампа, действующего на пред-напряженный физически нелинейный упругий слой 92
Приложение I 101
Список литературы 110
- Вывод основных уравнений напряженно-деформированного состояния физически нелинейного упругого слоя
- Вывод интегральных уравнений контактной задачи для слоя, когда значения pt и pz мало отличаются одно от другого
- Решение задачи о щели в слое методом "больших и малых Я "
- К вопросу об ограниченности контактных давлений на контуре эллиптического в плане штампа, действующего на пред-напряженный физически нелинейный упругий слой
Вывод основных уравнений напряженно-деформированного состояния физически нелинейного упругого слоя
Как известно, А.А.Гриффите [і42,І43] первым в теории упругости применил вариационный принцип Гамильтона к определению длины равновесных трещин (о принципе Гамильтона см., напр.,[53_).
В работе Г.И.Баренблатта [зз] показано, что условие конечности контактных напряжений на конце линии контакта следует из принципа Гамильтона. В теории контактных задач с неизвестной областью контакта, следуя Г.И.Бареблатту, использовать этот принцип предложил В.М.Александров [ilj, а также Р.В.Гольдштейн [59]. В работах [I45-I47J с помощью вариационных принципов механики решаются контактные задачи с неизвестной площадкой контакта методом конечных элементов. Однако, численные методы в рассматриваемых задачах пока не являются эффективными. В.И.Довнорович [74J показал "эквивалентность" контактной задачи для полупространства и задачи о трещине нормального разрыва в упругом пространстве в случае одной и той же линии смены граничных условий, в том смысле, что по решению одной из них легко определить решение другой задачи. В работах В.С.Губенко [бЗ,6 Г и М.Д.Мартыненко [l02j обе из рассматриваемых задач решаются по существу эквивалентными методами. Именно, для решения смешанных задач с кольцевой линией смены граничных условий в [63\ применяются интегральные уравнения, в [б&_] - дробное дифференцирование; в [102J смешанные задачи для симметричных областей решаются методом функций Грина двулистного риманова пространства. В.М.Александров, Б.И.Сметанин [l8,I9J асимптотическими методами рассмотрели плоскую и осесимметричную задачи о равновесной трещине в слое малой толщины с различными краевыми условиями на гранях слоя. Б.И.Сметанин [l30j, используя асимптотический метод, решил осесимметричную задачу о растяжении упругого пространства, ослабленного плоской кольцевой щелью. В.Т.Гринченко, А.Ф.Улитко [бҐ] при помощи парных интегральных уравнений рассмотрели задачу о кольцевой трещине в упругом пространстве. А.Е.Андрейкив, В.В.Панасюк [23І путем преобразования к системе парных интегральных уравнений решили задачу о системе концентрических трещин в упругом пространстве. Р.В.Гольдштейн pf,55J задачу о трещине произвольного очертания в плане на границе соединения двух полупространств с различными упругими свойствами сводит к системе трех интегро-диф-ференциальных уравнений относительно скачков смещений вдоль поверхности трещины. Р.В.Гольдштейн, В.М.Ентов, А.Ф.Зазовский [5бJ вариационными методами решили задачу о прямоугольной трещине в упругом пространстве и задачу о прямоугольном в плане штампе, действующем на упругое полупространство. Р.В.Гольдштейн, А.А.Спектор [57] методами вариационных неравенств рассмотрели контактные задачи для полупространства с неизвестной площадкой контакта и задачи о трещине нормального разрыва в безграничной упругой среде в предположении, что область налегания поверхности трещины заранее неизвестна. Установлено, что вдавливающая сила при заданной осадке (осадка при заданной силе) для штампа без острой кромки с произвольным основанием представляет собой верхнюю (нижнюю) грань величин вдавливающих сил (осадок), соответствующих семейству штампов с тем же основанием и острой кромкой. Зто дает способ построения нижних (верхних) оценок для вдавливающих сил (осадок). Доказано, что для объемлющей трещины область налегания не больше, чем для объемлемой, если приложенные нагрузки в первом случае не меньше нагрузок, действующих во втором. Далее, если трещина с частично налегающими поверхностями расширяется вдоль некоторой части контура и внешние нагрузки при этом не уменьшаются, то не уменьшается коэффициент интенсивности напряжений в неподвижных точках ее исходного контура. Эти утверждения позволяют строить двусторонние оценки коэффициентов интенсивности напряжений и областей налегания для трещин сложной формы с помощью соответствующих решений более простых задач.
В работах Р.В.Гольдштейна, А.А.Спектора [58,59J показано, как для решения и исследования задач о трещинах с неизвестной заранее границей может быть использован принцип Гамильтона.
Б.И.Сметании, Б.В.Соболь JI3IJ рассмотрели задачу об упругом равновесии полупространства, ослабленного плоской трещиной, которая расположена перпендикулярно к поверхности полупространства. Задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода.
А.Ф.Улитко [I36J с помощью интегрального преобразования на полуоси по функциям Лежандра второго рода с чисто мнимым верхним индексом смешанную граничную задачу теории упругости о растяжении пространства, содержащего две круговые трещины, расположенные в одной плоскости, свел к нахождению решения системы регулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с ядрами простого вида при различных правых частях.
Вывод интегральных уравнений контактной задачи для слоя, когда значения pt и pz мало отличаются одно от другого
Интегральное уравнение (I.3.1) отличается от интегрального уравнения контактной задачи для линейно-упругого слоя только видом функции L(u) и значением контактной жесткости В . Нетрудно проверить, что анализ (I.3.I) можно провести на основе результатов, изложенных в [48J.
Действительно, функция L (и) вида (I.3.I) обладает всеми характерными свойствами функций L (и) , указанными в 22 [ f8j; в частности ГГ7] Кроме того, справедлива лемма 51.1 \bb\, во втором предложении которой только следует считать а также справедлива, в точности, и лемма 51.2 [48]. Введем в рассмотрение [48 J два безразмерных параметра \ и и , определяемых геометрией области контакта 2 и толщиной слоя п . Параметр \ определяется соотношением Х = = n/oL , ОС - /l motOC R . Параметр jU в случае выпуклой области Si определяется соотношением ju tfi/ftni,,; mlm минимальный радиус кривизны контура д2 , очерче-вающего область 2 . Параметр X характеризует слой большой относительной толщины, а параметр ju - малой, если область ic - круг, то Х =JU ; в общем случае ju X
Из сказанного, на основании [48], вытекают следующие результаты [68]. При "А.- интегральное уравнение (1.3Л) переходит в интегральное уравнение соответствующей контактной задачи для преднапряженного нелинейно-упругого полупространства [l 7 J которое, в свою очередь, отличается от классического интегрального уравнения контактной задачи [і38] для линейно-упругого полупространства лишь значением контактной жесткости О .
Решение интегрального уравнения (I.3.I) контактной задачи для слоя будет иметь при всех значениях безразмерных параметров X и /и те же особенности, что и решение интегрального уравнения контактной задачи (1.3Л) для полупространства. Более того, можно заключить, что при достаточно больших X и достаточно малых ju могут быть использованы асимптотические методы [}\0] приближенного решения интегрального уравнения СЕ .3.1).
Остановимся на оценке границ применимости этих методов, поскольку все расчетные формулы из [48] переносятся на данный случай без изменений. Однако необходимо помнить, что величина /[ вит (1.3.2) и коэффициенты otm (см.табл.1), определявмне формулой (39.8) р 8], будут зависеть от основного напряженно-деформированного состояния слоя (в силу последней формулы (1.2.3) можно считать, что А й( ) и сст = ОСт(со) , О s сое \/3 ; табулирование Хт по параметру сд = to(v) выгодно отличается тем, что тогда все оставшиеся вычисления при любом виде функции 4і(V4) можно провести на обычном программируемом микрокалькуляторе, не прибегая более к численному вычислению достаточно сложных интегралов оСт= ОСт (v) , а используя для этого, например, линейную аппроксимацию по табл.1).
Учитывая (1.3.3) и определение параметра Я , получаем X 2І [17]. Для нахождения соответствующей оценки при малых J-L достаточно заметить, что первое соотношение (57.8) [48] в рассматриваемом случае будет иметь вид к = 0,6. Отсюда для выпуклого в плане штампа получаем j-i 0,833 [17].
В качестве примера рассмотрим плоский, y-faitfJ = о , эллиптический в плане штамп с полуосями (Я и . В этом случае между параметрами Я и J существует связь [48jj:
Пусть на диаграмме (f ) , где 2Г - интенсивность де-виатора напряжений, определяемая формулой из (1.1.2), а ЇҐ -интенсивность девиатора деформаций, имеется участок линейного "упрочнения" (рис.2). Характерный вид функции (tr) t соответствующей этому условию, показан на рис.3. Качественно такую кривую можно представить соотношением [17]
Решение задачи о щели в слое методом "больших и малых Я "
При изучении той или иной контактной задачи теории упругости возможно рассмотрение следующих двух вариантов: 1) область контакта Q фиксирована и не зависит от величины действующей на штамп силы Р ; 2) область контакта Ье изменяет свою форму и размеры в зависимости от величины вдавливающей силы Р . В данной главе исследуются контактные задачи теории упругости для предварительно напряженного ( р , Рл.= р ) физически нелинейного упругого слоя с переменной областью контакта. Пусть штамп - абсолютно жесткое тело, занимающее внутреннюю часть пространства, образованную пересечением некоторой цилиндрической поверхности (л (оси )= 0 с поверхностью SL -%(с іу ) (система координат Odc u z привязана к штампу). Введем в рассмотрение еще одну систему координат ODC Z , связанную со слоем. Начало координат этой системы расположим на нижней границе слоя, который лежит без трения на недсформируемом основании, а ось направим вверх, перпендикулярно граням слоя. Опустим штамп на верхнюю границу слоя ЗЬ = А так, чтобы ось % пошла по оси . Приложим к штампу силу Р . Под ее действием он получит жесткое перемещение о + doc + ли . Если сила Р настолько велика, что угловая линия штампа (линия пересечения образующих штамп поверхностей) полностью врезалась в поверхность слоя, то имеет место первый вариант задачи. Именно, область контакта JC равна сечению цилиндрической поверхности tofetyJ О и не изменяется при любом зна-чении силы Р , большим некоторого своего значения Р (искажением области S , связанным с перекосом штампа при его внедрении в слой, можно пренебречь ввиду малости « и /8 ). Если же Р : Р , то угловая линия штампа либо вообще не врезается в поверхность слоя, либо врезается частично. Величина и форма области контакта Q - $ будет зависеть от величины вдавливающей силы Р . Зто второй вариант задачи, на изучение которого обращаем свое внимание (см.рис.21). Как было показано в 3 гл.1, математически задача о действии штампа на преднапряженный ( pt = pz = р ) физически нелинейный упругий слой при отсутствии сил трения вдоль области контакта i2 может быть сведена к решению интегрального уравнения первого рода (см.(I.3.1)) Здесь и далее двойные интегралы берутся по области контакта ic . К интегральному уравнению (3.1.I) необходимо добавить условия равновесия штампа где ічx и Ми - моменты силы, действующие на штамп относительно осей ос и у . Для случая упругого полупространства (/1- сю ) интегральное уравнение (З.І.І) принимает вид Система уравнений (3.1.1), (3.1.2) или (3.1.3), (3.1.2) для первого варианта задачи является разрешающей, т.е. для определения четырех неизвестных величин Ct(oc3y), S1 , о/ и Ё имеется четыре независимых условия. В случае второго варианта задачи добавляется еще одно неизвестное - сама область контакта JT2 . При этом для получения еще одного (дополнительного) условия следует обратиться к вариационным принципам механики. Известно [ll,59] что в задачах с переменной зоной контакта для линейно-упругого тела необходимо найти такое решение уравнения (3.1.I) или (3.1.3), которое доставляет минимум функционалу при заданном виде функции у[ос ) и малых возможных вариациях области St (очевидно, функционал (3.1 Л) имеет место в рамках любой линеаризованной теории упругости). Уточним, что вариации области JC должны удовлетворять условию взаимного непроникания друг в друга контактирующих тел. Этому ограничению удовлетворяют, например, внешние вариации Wt относительно истинной области контакта Ьс (рис.22). Обратим внимание, что варьировать площадку контакта можно как при постоянном внедрении о и поворотах и /3 , так и при постоянных суммарной вдавливающей силе Р и результирующих вращающих моментах Мх и Ми . Из (3.1 Л), в частности, вытекает на основании [33J, как необходимое, условие конечности контактных давлений - часть контура области \d , на которой не происходит врезание штампа в слой), а точнее обращение контактного давления в нуль. 2. Необходимые условия ограниченности контактных давлений на контуре области контакта ( р-, pz Р ). Пусть сила Р , действующая на штамп, такова, что его угловая линия нигде не врезается в поверхность слоя, т.е. условие (3.1.5) имеет место для всех точек (эс у) є 9 2
К вопросу об ограниченности контактных давлений на контуре эллиптического в плане штампа, действующего на пред-напряженный физически нелинейный упругий слой
Радиус сходимости ряда (3.4.13) определяется величиной первого ненулевого корня функции chic и- собсои в комплексной плоскости и ; в данном случае сходимость будет иметь место при 1и/-=7Т . Отсюда, например, следует, что для эллиптического в плане штампа с полуосями ос и , когда ( і -мнимая единица) формулой (3.4.12) можно пользоваться при выполнении неравенства [Лб]
Внутреннее решение при малых JJ- применимо во всей области Q. за исключением узкой кольцевой зоны, примыкающей к контуру 3Q . В этой узкой зоне справедливо решение типа погранслоя [48]; относительная толщина погранслоя имеет порядок l/w Решение типа погранслоя экспоненциально (как -eocp(-n/ju) , где П - отнесенное к ftnin кратчайшее расстояние от точки до точки Рє. Эь2 ) стремится при удалении от контура Э2 к внутреннему решению. Далее будем предполагать, что параметр /и настолько мал, что решение типа погранслоя можно не принимать в расчет.
В случае полиномиальной функции 4( ряд (3.4.12), дающий внутреннее решение, обрывается. Например, для штампа с полиномиальным основанием вида (3.4.2) внутреннее решение будет также представлять собой полином степени N .
Как уже отмечалось, при а Ыэи) вида (3.4.12) из условия минимума функционала (3.3.7) непосредственно вытекает, как необходимое, условие (3.1.5) и, более того, обращение а(ос3у) на в нуль. Таким образом, здесь при рассмотрении задачи в предположении переменности области контакта в случае эллиптической области 2 (полуоси ОС и ) функцию ( toc,y.) для штампа с основанием (3.4.2) нужно представить в форме [ЇІб]
Подставим теперь функцию вида (3.1.1), (3.4.2) в (3.4.12), выполним все операции дифференцирования и приравняем полученный результат выражению (3.4.14). Получим соотношение, связывающее между собой два полинома степени Л/ , коэффициенты которых зависят от Otтп и Ske . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ос и у , получим систему /z (N+d) x(N+2) независимых алгебраических уравнений. Зти уравнения содержат J4. (N- і) N неизвестных коэффициентов otmn , поэтому из всей совокупности коэффициентов v% могут быть произвольными только 2 (Ы-1) Л/ . Остальные ZN+d коэффициентов ifct ,как и в случае большой относительной толщины слоя, при заданных величинах о , d , J3 , ос и о необходимо считать . дополнительными неизвестными.
Далее рассмотрим частный случай, когда форма основания штампа - параболоид, т.е. Qfoc}y) = Ах + Вух (А 0 , В 0 ), а сила Р приложена в центре симметрии штампа. На основании (3.4.12) найдем для этого случая внутреннее асимптотическое решение задачи при малых / , обращающееся в нуль на контуре 3-зс эллиптической области контакта. Согласно изложенной выше общей схеме имеем [Пб]
Из асимптотической оценки в первой формуле (3.4.15) следует, что погрешность ее не будет превосходить 5%, если П Ъ С , т.е. если точка Q є hd удалена по нормали от контура 9-W более чем на .
Итак, в случае переменной области контакта для параболоид-ного штампа, действующего на упругий слой конечной толщины, при достаточно больших Я или достаточно малых / область контакта оказывается эллиптической [ііб].
