Введение к работе
Актуальность темы. Традиционным методом исследования устойчивости нелинейно-упругих и нелинейно вязкоупругих сред является метод исследования устойчивости по отношению к малым возмущениям. Получаемые в результате решения линейные относительно возмущений уравнения, позволяют найти значения параметра нагрузки при котором происходит смена форм равновесия. В этом направлении выполнено подавляющее большинство работ по теории устойчивости для нелинейно-упругих и нелинейно вязкоупругих сред.
Фундаментальный вклад в развитие теории устойчивости упругих и вязкоупругих сред при малых и конечных докритических деформациях по отношению к малым возмущениям внесли Бабич И.Ю., Болотин В.В., Галимов К.З., Гузь А.Н., Гуменюк Б.П., Ершов Л.В., Зубов Л.М., Ивлев ДД., Ильюшин АА., Ишлинский А.Ю., Карнаухов В.Г., Лурье А.И., Никитин Л.В., Новожилов В.В., Победря Б.Е., Работ-нов Ю.Н., Спорыхин А.Н., Терегулов И.Г., Толоконников Л А., Шемякин Е.И., Шестериков С А., Адкинс Дж., Бленд Д., Веселовский 3., Грин А.., Ривлин Р., Томас Т., Циглер Г., Био МА. и другие отечественные и зарубежные ученые.
Проблема устойчивости по отношению к конечным возмущениям поднималась в основном в теории точного машиностроения и была освещена в работах Е.П. Попова и В.И. Феодосьева. Значительный интерес эта проблема приобрела в сеязи с исследованиями устойчивости гонких оболочек, так как между теоретическими результатами, полученными на основе концепции устойчивости "в малом" и эксперимен-
4 тальными данными имелись существенные расхождения, которые можно было объяснить только принципиальными причинами.
В 1956 году вышла работа В.В. Болотина по исследованию устойчивости нелинейно-упругих тел при конечных возмущениях, в которой для физически и геометрически нелинейного упругого материала, в статической постановке, впервые был поставлен вопрос об устойчивости по отношению к конечным возмущениям. Решение задачи методом Бубнова-Галеркина было сведено к исследованию нелинейной относительно возмущений системе алгебраических уравнений. Далее искалась уточненная , в зависимости от вида нелинейности, точка бифуркации.
В дальнейшем вопросы устойчивости при конечных возмущениях рассматривались, в основном, в работах зарубежных авторов. Этим вопросам были посвящены работы Naghdi Р.М., Trapp IA., Holser S.M., Hansen L.S., Hopper СТ., Williams R.M., Buffer H.
Небольшое количество работ, посвященных вопросам устойчивости по отношению к конечным возмущениям, объясняется не отсутствием интереса к этой проблеме, а существенными математическими трудностями, возникающими при решении этой задачи. Поэтому требуют изучения вопросы поведения нелинейно-упругих и нелинейно вяз-коупругих сред при конечных возмущениях, так как еще Н.Г. Четаевым было отмечено, что реально существующие возмущения хоть и малы, но конечны.
5 Конечные возмущения ставят вопрос о нахождении не только
:ритических нагрузок, но и критических возмущений, то есть таких при
іревьішении которых среда может потерять устойчивость. Нахождение
>бластей возмущений, в которых основной процесс деформирования
>удет устойчивым, способствует получению результатов более близких
: реально наблюдаемым в природе.
Одним из методов решения задач устойчивости является разло-кение возмущений перемещений в ряд Бубнова-Галеркина. Рас-:мотрение сходимости этого ряда представляет большие трудности и в іастояшее время нет удовлетворительного доказательства сходимости >того ряда, что, однако, не мешает использованию этого способа в трактических расчетах, поэтому важным становится вопрос о обоснованном ограничении количества слагаемых в ряде Бубнова-Галеркина, что позволило бы уменьшить вычислительные трудности, возникающие іри решении конкретных задач.
Другой важной проблемой теории устойчивости является учет неоднородности материала, описываемого нелинейными уравнениями, а невозмущенном состоянии, в этом направлении решено есєго лишь несколько частных задач и только лишь для малых возмущений. Поэтому проблемным является вопрос об учете свойств неоднородности в невозмущенном состоянии в задачах устойчивости по отношению к конечным возмущениям.
Целью работы является вывод критериев устойчивости по отношению к конечным возмущениям для нелинейно-упругих и нелинейно
вязкоупругих сред; учет влияния неоднородности материала в невозмущенном состоянии; рассмотрение связи стохастичности и неустойчивости для рассмотренньа нелинейных сред; решение в динамической постановке конкретных задач устойчивости по отношению к конечным возмущениям; оценка влияния конечности возмущений и неоднородности материала на критические параметры; нахождение' размерности странных аттракторов для конкретных задач и вытекающие отсюда рекомендации по ограничению числа слагаемых в ряде Бубнова-Галеркина.
Метод исследования: аналитический, численный. Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими методами.
Научная новизна. Новыми являются теоретические результаты по устойчивости деформирования нелинейно-упругих и нелинейно ЕЯЗКО-упругих тел при наложенных конечных возмушениях в динамической постановке:
- для общего вида упругого потенциала выведены уравнения для нелинейно-упругих тел при конечных возмущениях, получен достаточный критерий устойчивости основного процесса деформирования;
- для двух моделей, описывающих поведение нелинейно вязко-упругого тела в динамической постановке выведены уравнения при конечных возмущениях, получен достаточный критерий устойчивости основного процесса деформирования;
для нелинейно-упругого тела с учетом случайной неоднородности в основном состоянии получены динамические уравнения при конечных возмущениях и выведен достаточный критерий устойчивости;
для нелинейных сред, рассмотренных в диссертации предложен алгоритм вычисления размерности странных аттракторов соответствующих динамических систем и тем самым ограничена размерность пространсг.и вложения, что позволяет обоснованно ограничить число членов ряда метода Бубнова-Галеркина.
Для ряда задач устойчивости по отношению к конечным возмущениям получены графические зависимости, связывающие модуль возмущений и критические удлинения. Сделаны выводы, что среда может потерять устойчивость при любом значении параметра нагрузки, если возмущения превысят определенный предел.
Получены графические зависимости, связывающие размерность странного аттрактора для динамических систем, соответствующих рассмотренным задачам, с параметром нагрузки и сделаны выводы, что размерность странного аттрактора уменьшается с увеличением параметра нагрузки, а, следовательно, уменьшается и размерность пространства вложения исходной динамической системы.
Практическая ценность. Исследование устойчивости при конечных возмущениях в диссертационной работе проводилось в строгой постановке и результаты, полученные с обычно принятой в механике точностью, не обусловлены методом решения. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в задачах точного машино-
8 строения, в задачах геофизики, в горном деле и во всех прикладных задачах, где необходимо оценить область возмущений, в которой какое-то состояние тела или какой-то процесс будет устойчивым, а также соответствующие этой области параметры, что позволяет прогнозировать поведение тел и конструкций.
Достоверность установленных в работе результатов следует из корректности постановок задач, применения строгого аналитического аппарата исследования. Полученные в работе общие положения, в частных случаях приводят к известным ранее результатам. Анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных согласуется с теоретическими результатами, приведенными в работе.
Апробация. Отдельные результаты диссертационной работы обсуждались на Всесоюзных школах по МТДТ в г. Куйбышеве в 1975, 1976, 1977, 1978 годах, на пятой Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике в г. Ленинграде в 1977 году, городском семинаре по механике сплошных сред в г. Воронеже в 1977 году, городском семинаре по механике деформируемого твердого тела при Куйбышевском госуниверситете в 1979 году, научном семинаре кафедры теоретической механики Днепропетровского госуниЕерсите-та в 1979 году, научном семинаре по теории колебаний кафедры теоретической механики МВТУ им. Баумана в 1981 году, на научном семинаре кафедры теоретической механики Тульского политехнического института в 1981 году, на научных конференциях Воронежского технологического института, на Всероссийской математической школе по со-
9 временным методам в теории краевых задач в 1992 и 1994 годах, на
Всероссийской школе по современным проблемам механики и матема-. тической физики в 1994 году.
В целом диссертация докладывалась на городском семинаре по механике сплошных сред в Воронежском госуниверситете в 1994 году, на заседании кафедры математики Воронежского высшего военного авиационного инженерного училища в 1995 году, на семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН в 1995 году.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы. Объем работы 275 страниц, включая 219 страниц текста, приложения, содержащего 64 рисунка. Список литературы из 154 наименования.
Публикации. По теме диссертации опубликование 26 работ.