Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи конечного квазиупругого неизотермического деформирования анизотропных тел
1.1 Меры деформаций и напряжений 20
1.2 Основные термомеханические соотношения 27
1.3 Вариационные соотношения термоупругости 36
1.4 Система уравнений нелинейной анизотропной термоупругости 43
1.5 Результаты, полученные в первой главе 46
2 Класс рассматриваемых задач 4g
2.1 Процессы деформирования начально анизотропных цилиндрических тел 48
2.2 Структура тензоров, описывающих физические свойства материалов 51
2.3 Задача о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра под действием внутреннего давления, осевой силы, крутящего момента и температуры 59
2.4 Система уравнений нелинейной анизотропной термоупругости в цилиндрических координатах 67
2.5 Результаты, полученные во второй главе 71
3 Построение конечноэлементной модели деформирования анизотропного цилиндрического тела 73
3.1 Обоснование выбора типа конечного элемента. Аппроксимация полей неизвестных величин внутри элемента 73
3.2 Построение матрицы жесткости конечного элемента 80
3.3 Алгоритм решения связанной краевой задачи 84
3.4 Тестирование программы 86
3.5 Результаты, полученные в третьей главе 96
4 Решение задач при конечных деформациях 98
4.1 Конечные деформации полого изотропного цилиндра 98
4.2 Численное решение задачи о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра 104
4.3 Конечные деформации композитного баллона в температурном поле 109
4.4 Результаты, полученные в четвертой главе 117
Заключение 119
Список использованных источников 121
- Основные термомеханические соотношения
- Структура тензоров, описывающих физические свойства материалов
- Система уравнений нелинейной анизотропной термоупругости в цилиндрических координатах
- Численное решение задачи о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра
Введение к работе
Современные конструкционные материалы применяются в широком диапазоне механических и немеханических (температурных, электромагнитных и других) воздействий. Для описания поведения деформируемых твердых тел при указанных воздействиях во многих случаях необходимо построение сложных моделей. Математическое моделирование термомеханических процессов конечного деформирования сред с усложненными свойствами является одним из наиболее актуальных направлений современной механики, что подтверждается ростом числа публикаций по данной тематике как в России, так и за рубежом [18, 36, 39,48, 70, 86, 90,104, 106, 109, 111 и др.].
Поведение эластомеров, металлических, керамических и композитных материалов, часто обладающих значительной анизотропией свойств, существенно зависит от перечисленных факторов, поэтому необходимо построение на основе общих соотношений экспериментально обоснованных термомеханических моделей данных материалов. В настоящее время наметился существенный разрыв между обилием общих подходов и доведением их до конкретных моделей и расчетов.
Целью настоящей работы является постановка связанной термомеханической краевой задачи конечного деформирования анизотропных материалов и разработка методики ее численного решения.
Хотя число работ, в которых рассматриваются определяющие соотношения и постановки краевых задач в упругих анизотропных средах при малых деформациях, велико, имеется достаточно небольшое число работ, посвященных исследованию конечных деформаций анизотропных материалов. Это монографии А.Грина и Дж.Адкинса [27], К.Ф.Черныха [33, 97, 99], В.И.Левитаса [40], а также статьи A.Danescu [107], B.Mauget и P.Perre [109], Л.А.Толоконникова и Н.М.Матченко [93].
В монографии [27] особое внимание уделяется общей форме связи между напряжениями и конечными деформациями в упругих материалах. Рассмотрено
влияние симметрии свойств материала на определяющие соотношения, при этом полагается, что группа симметрии материала не изменяется в процессе деформирования. Функция энергии деформации полагается инвариантной по отношению к группе симметрии, что накладывает ограничения на форму ее зависимости от тензора деформаций. Для различных кристаллических классов построены полиномиальные тензорные базисы для групп преобразований, описывающих симметрию свойств этих классов. В монографии [27] уделяется внимание и такому важному вопросу моделирования конечных деформаций, как исключение жестких поворотов, для чего предлагается использовать в определяющих соотношениях объективную производную Яуманна от тензора напряжений. В книге [74] показано, что в изотропных материалах это приводит к явлению осцилляции напряжений при простом сдвиге. Такое же явление возникает и в анизотропных материалах [86].
Монография" К.Ф.Черныха [97] также посвящена проблемам нелинейной анизотропной упругости. На основании изучения групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств кристаллических классов и текстур, автор для изотропного, трансверсально-изотропного и ортотропного материалов выписывает системы инвариантов тензора деформаций, в качестве которого используется тензор конечных деформаций Коши-Грина или метрический тензор деформированного состояния. Закон упругости является следствием представления плотности энергии деформации (упругого потенциала) как функции выписанных инвариантов. Выдвинуто важное требование перехода закона упругости при малых деформациях в закон Гука. Приведены конкретные выражения для упругого потенциала в трансверсально-изотропных и ортотропных материалах. Предложенные соотношения положены в основу теории конечных деформаций тонких анизотропных оболочек (см. также [33, 76]). Поскольку соотношения формулируются в терминах инвариантных (по отношению к жесткому движению) мер напряжений и деформаций, вопрос о методе исключения конечных поворотов не ставится.
В книге В.И.Левитаса [40] с общих термомеханических позиций рассматриваются большие упругопластические деформации изотропных и анизотропных материалов. Учет анизотропии свойств производится путем включения в число аргументов функции свободной энергии тензоров четных рангов, характеризующих симметрию свойств. Важным является вывод об индифферентности этих тензоров.
В настоящей работе предлагается, следуя работам А.А.Маркина [51, 52], Г.Л.Бровко [14, 15, 17], В.И.Левитаса [40, 41, 42], А.А.Рогового [61], в качестве тензора деформаций использовать неголономную меру, обобщенная яуманновская производная которой совпадает с тензором деформации скорости. В случае анизотропных материалов это существенно облегчает запись уравнений состояния, так как тензоры, характеризующие начальную анизотропию свойств материала, индифферентны, а объективные производные указанного типа "от них обращаются в ноль при условии постоянства их компонент в главных осях анизотропии. На этот факт также указывалось в работах [40, 74, 97, 109].
Поведение анизотропных тел под действием гидростатического давления существенно отличается от поведения изотропных тел. Экспериментально установлено, что при воздействии на анизотропный материал только гидростатического давления возможно появление сдвиговых деформаций, а в начально изотропных материалах при таком воздействии сдвиговые деформации не возникают [4, 5, 43]. Различно поведение изотропных и анизотропных материалов под воздействием температурного поля [22, 56, 83]. В однородном поле температур в нестесненном изотропном теле возникают только объемные деформации, а в анизотропном теле к объемным деформациям добавляются сдвиговые. В случае нагревания тел при отсутствии деформаций, в них возникают температурные напряжения, которые в изотропных телах являются гидростатическими, а в анизотропных телах содержат шаровую и девиаторную составляющие. Механические свойства как
изотропных, так и анизотропных тел зависят от температуры, причем эта зависимость может быть и нелинейной [25].
Проявление описанных нелинейных эффектов в анизотропных и изотропных телах усиливается с ростом деформаций, поэтому актуальной является разработка моделей конечного деформирования изотропных и анизотропных тел, позволяющих описать эти явления.
В современной литературе практически отсутствуют публикации, в которых были бы предложены модели конечного термоупругого деформирования анизотропных тел. Исключение составляет лишь монография В.И.Левитаса [40], в которой сделаны первые шаги в этом направлении. В случае малых деформаций упругого анизотропного тела напряжения, деформации и температура чаще всего связываются с помощью уравнений Дюгамеля-Неймана, вывод которых с точки зрения термомеханики приведен в книге В.Новацкого [58]. Вопросам термоупругости изотропных материалов посвящены классические работы А.Д.Коваленко [34, 35], Б.Боли и П.П.Уэйнера [11], М.А.Био [10, 105], Э.Мелана и Г.Паркуса [54], Я.С.Подстригача" с соавторами [72], а в случае анизотропных материалов постановки задач термоупругости на основе уравнений Дюгамеля-Неймана приведены в книгах Б.Е.Победри [68], А.С.Кравчука, В.П.Майбороды и Ю.С.Уржумцева [38], в трехтомнике по механике композитов под редакцией А.Н.Гузя [55]. В статье M.Ferrari [108] приводится общая постановка задач связанной линейной теории термоупругости для однородного изотропного тела.
Проблемы термодинамики в анизотропных материалах и формулировка вариационных принципов термоупругости рассматривались в книгах И.И.Гольденблата с соавторами [24, 25] и работах М.А.Био [10, 105], в статье Б.Е.Победри [69]. Решение смешанной задачи термоупругости для трансверсально-изотропного слоя приведено в статье [66]. Связь между напряжениями, деформациями и температурой в изотропных упругих и упруго пластических телах обсуждается в работах Ю.Н.Шевченко [101, 102].
Помимо разработки термомеханических моделей поведения материалов интерес представляет постановка краевых задач конечного деформирования анизотропных тел под действием силовых и температурных воздействий. Такие постановки задач в случае изотропных материалов рассматривались в работах А.А.Поздеева, П.В.Трусова и Ю.И.Няшина [74, 95], А.А.Поздеева и А.А.Рогового [73], В.И.Левитаса [40], А.А.Маркина и В.И.Адамова [1], А.А.Маркина и М.Ю.Соколовой [49]. В статье E.Rusu, V.Hatman [112] дана математическая постановка геометрически нелинейной задачи термоупругости для несжимаемого изотропного материала. Для случая, когда рассматриваемое тело в исходной и в конечной конфигурациях представляет собой часть цилиндра, ограниченную координатными поверхностями в цилиндрической системе координат, получено аналитическое решение задачи.
Наряду с кинематическими соотношениями и уравнениями состояния сплошной среды ъ систему уравнений связанной краевой задачи механики деформируемого твердого тела входят условия равновесия и уравнение теплопроводности. Они могут быть записаны как в дифференциальной форме, так и в виде вариационных соотношений. Постановки краевых задач термоупругости с использованием дифференциальной формы уравнений равновесия и теплопроводности, приведены в работах [31, 44]. Вариационные формы условий равновесия широко применяются при решении как линейных [20, 23, 29, 30, 80], так и нелинейных [20, 24] задач механики деформируемого твердого тела. Вариационные принципы в теплопроводности используются значительно реже, например, в работах А.Д.Коваленко [35], М.А.Био [10, 105]. Впервые вариационный принцип связанной задачи термоупругости установил М.А.Био [105], исходя из основных положений термодинамики необратимых процессов.
Преимуществом вариационных формулировок является их применимость в случаях, когда точное решение задачи теории упругости не может найдено. В этих случаях вариационный метод часто обеспечивает формулировку для приближенного решения задачи, которая дает решение с заданной точностью.
Здесь вариационный метод обеспечивает не только приближенное решение системы уравнений краевой задачи, но и приближенное выполнение граничных условий.
Основой для вариационной формулировки задачи о статическом равновесии механической системы под действием внешних и внутренних сил служит принцип виртуальной работы [20], который также называется принципом виртуальных перемещений. Принцип виртуальных перемещений состоит в том, что если механическая система, на которую наложены заданные геометрические связи, находится в равновесии под действием приложенных сил, то сумма всех виртуальных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему, на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, равна нулю.
Этот принцип может быть сформулирован также следующим образом: если сумма всех виртуальных работ равна нулю на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, то механическая система находится в равновесии. Принцип виртуальной работы может быть распространен на динамические задачи в случае, если учитываются члены, представляющие виртуальную работу сил инерции.
Существует несколько подходов к формулировке вариационных принципов. В линейной теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии деформации при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Описанный подход основан на построении функционала, зависящего от параметров состояния термомеханической системы. Этот подход является классическим и используется в работах [20, 24].
Различные вариационные принципы термоупругости приведены в работах [6, 10, 13, 20, 24, 35, 104, 105, 106, 110, 111].
В книге И.И.Гольденблата, В.Л.Бажанова и В.А.Копнова [24] получены вариационные принципы линейной и нелинейной термоупругости при малых деформациях, описываемых линеаризованным тензором Коши-Грина. В линейной постановке связь между напряжениями, деформациями и температурой в анизотропной среде описывается законом Гука, а в случае нелинейно упругой среды - более сложным законом, квадратичным относительно тензора деформаций. Принимается, что упругие характеристики рассматриваемой среды зависят от температуры. Однако при выводе вариационных соотношений температура не варьируется.
Линеаризованный тензор деформаций Коши-Грина используется также в работах [6, 104, 106].
В статье [6], авторами которой являются Л.И.Балабух и Л.А.Шаповалов, выводится вариационное уравнение для термоупругой задачи с тепловыми источниками и стоками, учитывающее необратимые явления в термоупругих процессах. Уравнение получено с использованием соотношений Дюгамеля-Неймана для изотропного материала в предположении, что упругие и тепловые константы материала не зависят от температуры. При выводе уравнения варьированию подвергаются механические и температурные переменные.
В работе Altay G.Askar, Dokmeci M.Cengiz [104] предложен обобщенный вариационный принцип, из которого следуют не только традиционно формулируемые уравнения движения и теплопроводности и естественные граничные условия для силы и теплового потока, но и условия скачков на известной внутренней поверхности или на границе. Новый вариационный принцип для термоупругой среды получен на основе принципа виртуальной работы. При его выводе использована квадратичная форма свободной энергии, учитывающая анизотропию материала. В предложенных уравнениях варьируются механические и термические характеристики процесса. Полученный вариационный принцип является аналогом принципа Ху-Васидзу [20].
В статье A.A.Cannarozzi, F.Ubertini [106] для решения задач линейной связанной термоупругости используется квазистатическая постановка на основе принципа Хеллингера-Рейсснера [23] в гибридной версии - на основе модифицированного принципа минимума дополнительной энергии - для упругой составляющей и аналогичного принципа для теплопроводности. Предполагается, что модули упругости и термические константы материала не зависят от деформаций и температуры. При выводе вариационного принципа варьируются вектор перемещений, тензор напряжений, температура и вектор теплового потока.
В статье Yang Zhenglin, Chen Haoran [115], исходя из функционального выражения Хеллингера-Рейсснера [23] для задач термоупругости в случае моноклинических материалов, получено модифицированное функциональное выражение Хеллингера-Рейсснера для задачи термоупругости со смешанными граничными условиями.
В работе D.W.Nicholson, B.Lin [111] сделана постановка связанной задачи термоупругости на основе принципа виртуальной работы с использованием функции свободной энергии, структура которой аналогична функции, используемой в линейной изотропной термоупругости при малых деформациях. Используются энергетический тензор напряжений и тензор деформаций Коши-Грина, которые являются энергетически сопряженными. Получены вариационное условие равновесия и вариационное соотношение, эквивалентное уравнению теплопроводности.
В работе [13] предлагается вариационный принцип, уравнениями Эйлера которого являются дифференциальные уравнения термоупругости в напряжениях.
Другой подход к построению вариационных принципов термоупругости описан в книге А.Д.Коваленко [35]. Он заключается в умножении уравнений равновесия и теплопроводности на независимые вариации вектора перемещений и вектора энтропии и последующем интегрировании по всему объему тела. Под вектором энтропии понимается количество тепла,
прошедшего через единичную поверхность в данном направлении, деленное на абсолютную температуру. Вариационный принцип связанной термоупругости построен для изотропного материала при малых деформациях с использованием соотношений Дюгамеля-Неймана между напряжениями, деформациями и температурой. В случае несвязанной задачи термоупругости из построенного в [35] вариационного принципа следует принцип возможных перемещений.
Ряд работ [28, 57, 62, 77, 81, 82, 100, 102, ПО, 111, 113-117] посвящен расчету и исследованию напряженно-деформированного состояния анизотропных тел, находящихся под влиянием внешних силовых и температурных воздействий. Во многих из этих работ используется метод конечных элементов.
В книге Ю.Н.Шевченко с соавторами [102] методом конечных элементов решается задача определения напряженно-деформированного состояния и температурного поля в многослойном теле вращения произвольного меридионального сечения. Предполагается, что слои тела скреплены между собой без натяга и в процессе деформирования не могут проскальзывать. Тело подвергается осесимметричному нестационарному нагреву за счет конвективного теплообмена с окружающей средой при идеальном тепловом контакте между слоями и нагружению осесимметричными объемными (силами инерции) и поверхностными силами, не вызывающими закручивания. Температура внешней среды, поверхностные и объемные силы являются функциями координат и времени. Теплофизические и механические характеристики тела зависят от температуры.
Сформулированная задача сводится к решению осесимметричной задачи теплопроводности по определению температур точек тела в заданные моменты времени и задач термоупругости и термопластичности по определению напряженно-деформированного состояния тела.
Рассматриваемая задача решается в квазистатической постановке, то есть напряженно-деформированное состояние тела определяется для
фиксированных моментов времени при соответствующих значениях температуры и нагрузки. Процесс нагружения тела разделяется на малые по времени этапы (величина шага выбирается из условия устойчивости процесса расчета температурного поля с использованием явной схемы решения уравнения теплопроводности). На каждом шаге решаются вариационное уравнение, эквивалентное дифференциальному уравнению теплопроводности с начальными и граничными условиями, и вариационное уравнение Лагранжа, которое выражает принцип минимума потенциальной энергии тела и эквивалентно уравнениям равновесия и статическим граничным условиям.
Для решения системы вариационных уравнений используется метод конечных элементов. Применяются кольцевые элементы треугольного поперечного сечения с тремя узлами. В пределах каждого конечного элемента поле температур и поле перемещений аппроксимируются линейными функциями координат.
На каждом шаге нагружения по данным о теплофизических свойствах материала тела и условиям теплообмена с окружающей средой опрделяется температурное поле для рассматриваемого момента времени. Затем для этого момента времени при известных величинах температуры в узлах из системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов определяются компоненты узловых перемещений. По полученным значениям перемещений производится вычисление деформаций и напряжений.
В работе [111] проведено численное исследование по применению конечноэлементного анализа для определения совместной термомеханической реакции почти несжимаемых эластомеров с учетом больших деформаций, нелинейного поведения материала, локализации механических воздействий и температурных градиентов.
В статье K.P.Soldatos, J.Q.Ye [114] рассмотрено трехмерное стационарное термоупругое поведение свободно опертых толстых слоистых цилиндрических оболочек и панелей с перекрестным расположением волокон. Задача решается при любом типе стационарных температурных условий на границах слоистой
композитной оболочечной конструкции, которые представляются в форме рядов Фурье.
В статье В.Г.Савченко [77] исследуется напряженное состояние слоистых тел вращения, состоящих из неупруго деформирующихся изотропных материалов и упругих материалов с прямолинейной ортотропией, одно из главных направлений анизотропии которых совпадает с осью вращения тела, при неосесимметричном нагружении объемными и поверхностными силами и нагреве. Предполагается, что слои тела скреплены между собой без натяга и на их общей границе выполняются условия идеального контакта.
В статье C.Miehe [110] описан алгоритм решения нелинейных связанных задач термоупругости. Уравнения баланса импульса и энтропии записываются в интегральной форме с использованием координатных функций по Бубнову-Галеркину и линеаризуются в окрестности текущего состояния. Определяющие соотношения выражаются при помощи неогуковского потенциала свободной энергии с добавлением температурного члена. Пошаговый алгоритм решения задачи основан на схеме «предиктор-корректор» по времени итерационного типа, дискретизация области проводится при помощи стандартных изопараметрических конечных элементов.
В статье [115] излагается процедура решения разрешающих уравнений, и отмечается, что при этом исключается погрешность, которая появляется при использовании гипотез теории пластин. Метод представляет новый подход к решению задачи термоупругости для слоистых сред (особенно при определении межслойных температурных напряжений в многослойных толстых композитах).
В работе M.Savolia, J.N.Reddy [ИЗ] представлены результаты анализа напряженного состояния многослойных плит, подверженных тепловым и механическим нагрузкам, на основе трехмерной квазистатической теории термоупругости. Получены точные трехмерные решения для плит с ортотропными слоями, главные оси которых параллельны краям плит, а также в случае с антисимметричным армированием слоев. Показано, что в углах плиты
при ее равномерном нагреве касательные напряжения оказываются несвязанными.
В статье H.S.Zibdeh, J.M.A1 Farran [116] получено точное решение задачи линейной теории упругости для напряжений и перемещений в круглом полом ортотропном цилиндре, в котором распределение температуры по закону косинуса от угловой координаты наложено на осесимметричное распределение. С его помощью построено решение для многослойного цилиндра, слои которого имеют одинаковое расположение осей ортотропии. Получены зависимости напряжений и перемещений от толщины слоев, расположения осей ортотропии в сечении цилиндра, от числа слоев и порядка их следования.
В статье [82], авторами которой являются А.М.Симонян, Ю.Г.Саноян, исследуются напряжения, возникающие между слоями композита при температурном воздействии. Показано, что сдвигающие межслойные напряжения возникают в основном около кромок конструкций, где рекомендуется использовать более прочные либо более пластичные связующие.
В статьях [100, 117] рассмотрены некоторые вопросы теории термонапряжений слоистых анизотропных цилиндрических оболочек. В статье [100] учитывается поперечная анизотропия материала для каждого слоя.
В работе Ю.И.Няшина и В.Ю.Кирюхина [62] рассматривается двухслойная цилиндрическая оболочка, каждый слой которой представляет собой волокнистый однонаправленный композиционный материал. Ставится и решается проблема определения углов укладки слоев, обеспечивающих минимальные (по возможности, нулевые) удлинение и закрутку композиционной трубы при однородном температурном нагреве.
В работе Е.Г.Евсеева с соавторами [28] на основе конечноразностных методов исследуется напряженно-деформированное состояние тонкостенных композитных оболочек вращения при действии осесимметрично распределенной тепловой нагрузки и внутреннего давления. Уравнения прикладной теории термоупругих композитных оболочек, учитывающие деформации поперечного сдвига, получены на основе трехмерной теории
16 термоупругости. Рассматриваются ортотропные многослойные оболочки, полученные намоткой. Анализируется влияние профиля температуры, распределения давления и ортотропии на напряжения и деформации в элементарном слое конструкции. Делается вывод о необходимости учета поперечных и перерезывающих деформаций, играющих существенную роль при анализе процессов расслоения и разрыва, и их комбинаций. Отмечается, что рассматриваемые термические эффекты могут вызывать разрушение матрицы, приводящее к разрушению всей конструкции до достижения критических значений напряжений в волокнах.
В статье [57], авторами которой являются В.А.Никитюк и В.В.Федоров, предложены уточнения к конечноэлементному расчету напряженно-деформированного состояния оболочек давления из композиционных материалов. Уточнения позволяют получить удовлетворительное совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными как по напряжениям в слоях, так и по перемещениям. Приводятся результаты расчета контактного давления между фланцем и оболочкой, перемещений и напряжений в слоях с учетом геометрической нелинейности.
В работе Е.М.Селедкина [81] сформулирована методика, и получены соотношения для учета цилиндрической анизотропии при деформировании трубчатых заготовок в условиях плоской деформации. Составлены матрицы, отражающие анизотропные свойства материалов, которые необходимы для формирования матриц жесткости при расчетах с использованием метода конечных элементов. Полученные соотношения позволяют учитывать поворот главных осей анизотропии на разный угол относительно декартовой системы координат в любой точке деформируемого тела.
В настоящей работе на основе классического термомеханического подхода предложена постановка, и разработана методика численного решения задачи о конечном деформировании изотропных и анизотропных тел под воздействием внешних силовых и температурных факторов с учетом их взаимного влияния.
В первой главе с использованием неголономной меры деформаций, «повернутого» обобщенного тензора истинных напряжений и тензора условных напряжений Пиола-Кирхгофа рассматриваются условия равновесного протекания процесса конечного деформирования и уравнение теплопроводности в вариационных формах. Полученные вариационные соотношения, в отличие от известных вариационных принципов, позволяют исследовать процессы конечного термоупругого деформирования изотропных и анизотропных тел с учетом взаимного влияния деформационных и температурных характеристик процесса.
Получена замкнутая система уравнений связанной краевой задачи нелинейной анизотропной термоупругости.
Во второй главе получены выражения кинематических характеристик конечного деформирования осесимметричного тела через поле скоростей точек этого тела.
Определена структура тензоров, описывающих упругие и тепловые свойства изотропных, трансверсально-изотропных и ортотропных материалов. Для этих типов материалов получены соотношения, связывающие компоненты тензоров упругости в главных осях анизотропии материала и технические константы материалов. Система уравнений связанной краевой задачи термоупругости записана с учетом структуры тензоров, характеризующих упругие и тепловые свойства материала рассматриваемого цилиндрического тела.
Решена задача о равновесии тонкостенного цилиндрически трансверсально-изотропного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления, осевой силы, крутящего момента и температуры, при малых деформациях. Найдены характеристики напряженно-деформированного состояния цилиндра. Проведен анализ зависимости напряжений, возникающих в цилиндре, от ориентации главных осей анизотропии материала цилиндра относительно неподвижного базиса цилиндрической системы координат.
В третьей главе на основании выбранных типа конечного элемента и законов распределения скоростей движения и скоростей изменения температуры точек в пределах конечного элемента записана замкнутая система дискретных уравнений краевой задачи. Разработан алгоритм решения связанной задачи по определению напряженно-деформированного состояния и температурного поля в составных осесимметричных конструкциях из анизотропных материалов под действием внешних силовых и тепловых факторов. Предложенный алгоритм реализован в виде прикладной программы на языке программирования высокого уровня.
Проведено тестирование прикладной программы на задачах, имеющих известное аналитическое или приближенное (в рядах) решение. Тестовые расчеты показали, что предложенные соотношения модели и их численная реализация позволяют получить результаты, удовлетворительно согласующиеся с- решениями классических задач теории упругости и теплопроводности.
В четвертой главе приведены полученные с помощью разработанной прикладной программы решения ряда связанных задач термоупругости по определению напряженно-деформированного состояния и температурного поля в цилиндрических телах из изотропных и трансверсально-изотропных материалов. Сделан анализ зависимостей полученных решений от свойств материалов.
Установлено, что при малых деформациях (до 0,6%) решения, полученные с использованием геометрически линейных соотношений, совпадают с решениями, полученными по использованным в работе геометрически нелинейным соотношениям. При деформациях порядка 20% выявлены существенные различия между линейными и нелинейными решениями.
Проанализированы зависимости относительного угла закручивания тонкостенного анизотропного цилиндра от приложенного давления, изменения температуры и ориентации главных осей анизотропии материала цилиндра при
различных величинах деформаций. Установлено, что при различных внешних воздействиях направление закручивания может быть разным, а при некоторых сочетаниях величин внешних воздействий и ориентации главных осей анизотропии закручивание не происходит.
Исследовано напряженно-деформированное состояние многослойного баллона из композиционного материала под действием внутреннего давления в неоднородном температурном поле, обусловленном внешними по отношению к баллону источниками тепла. Показано, что число слоев композита и ориентация главных осей анизотропии в каждом слое при постоянных размерах баллона значительно влияют на напряженно-деформированное состояние. Определены касательные напряжения, возникающие между слоями композита. Учет этих напряжений имеет существенное значение при оценке прочности баллона.
Основные термомеханические соотношения
В основе термодинамики и теории определяющих соотношений лежит постулат макроскопической определимости, выдвинутый А.А.Ильюшиным в работе [32], под другими названиями он приводится в книгах [79, 94]. Согласно этому постулату, напряженное состояние в точке х = const в момент времени t t0 определяется процессом деформирования (т), t0 т t, изменением температуры Г(т) и других нетермомеханических параметров в данной точке среды. Таким образом, утверждается, что процесс в точке х среды не зависит от процесса в какой-либо соседней точке х+ d х, то есть локально определен. Кроме того, постулат утверждает, что принципиально возможно в некотором макрообъеме создать однородное напряженно-деформированное состояние, полностью адекватное состоянию в точке х, и реализовать это состояние в экспериментах с М-образцами. В связи с этим формальное выражение для постулата макроскопической определимости может быть записано именно для такого макрообъема. В окрестности точки х в начальном состоянии выделим макрообъем A V0 с плотностью р0, массой Am = p0AV0 при температуре Г0. Полагаем, что массообмен выделенного объема с окружающей средой отсутствует. Вследствие перемещений стенок этого макрообъема, определяемых аффинором деформаций Ф(/) и притока тепла d Q внутри него возникают поля напряжений S(t) и температур T{i). Напряжения S(/) характеризуют контактные воздействия на частицы среды, находящиеся на поверхности Д27, ограничивающей макрообъем. Процессы, в которых элемент изолирован от немеханических воздействий, называются адиабатическими [10, 31, 35, 46, 79, 84]. При этом предполагается, что выделенный объем заключен в адиабатическую оболочку. Пусть на временном отрезке [t0;t] рассматриваемый объем подвергается механическому воздействию, находясь в адиабатической оболочке. В момент времени / тензор истинных напряжений имеет значение S. С момента времени і воздействие на объем прекращается, то есть при t t перестает совершаться работа внешними по отношению к элементу среды напряжениями. Это может быть достигнуто фиксацией стенок элемента и, следовательно, значения тензора деформаций при t i. Значение S, к которому стремится тензор напряжений при -» х называется равновесным [46, 47]. На основе этого определения записывается необходимое условие упругости материала в виде Выполнение данного условия означает, что напряженное состояние при фиксированной деформации не меняется. Таким образом, в упругом теле, заключенном в адиабатическую оболочку, изменение деформации вызывает изменение напряжения, а изменение напряжения приводит к изменению деформации.
Изменение напряжений возможно и при фиксированной деформации, если допускаются немеханические воздействия на рассматриваемый материальный объем, когда адиабатическая оболочка отсутствует. Примером служит возникновение тепловых напряжений в стесненном теле при отсутствии деформирования вследствие изменения температуры этого тела. В основе термомеханики лежит гипотеза о параметрах состояния. Главное свойство параметров состояния заключается в том, что при полной изоляции термомеханической системы они достигают некоторых значений и сохраняют их сколь угодно долго. Если параметры состояния не изменяются, то состояние системы называется равновесным [46]. Будем рассматривать термодинамически равновесные процессы, в которых физическое время не влияет на реакцию макрообъема. Такие процессы можно трактовать как последовательность сменяющих друг друга равновесных состояний. Для выделенного макрообъема запишем основные соотношения термомеханики. Для описания состояния сплошной среды используются универсальные параметры состояния: U - удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия; Т - температура; ц - удельная (отнесенная к единице массы) энтропия. Эти параметры состояния связаны между собой первым и вторым законами термодинамики. Первый закон термодинамики связывает удельную (отнесенную к единице начального объема) работу внешних напряжений d A и удельное (отнесенное к единице начального объема) тепловое воздействие d Q на рассматриваемый объем за время dt с изменениями внутренней энергии: Отсутствие штриха у приращения внутренней энергии означает, что она является полным дифференциалом независимой системы параметров состояния, определяющей данный материал. где Q - скорость притока тепла; w — скорость диссипации (рассеяния энергии) в единице массы рассматриваемого объема.
Процессы, в которых энтропия может изменяться при адиабатической изоляции (d Q = 0), называют необратимыми. Изменение энтропии в таких процессах обусловлено частичным или полным рассеянием (диссипацией) механической работы. Для необратимых процессов d w О. В настоящей работе изучаются процессы конечного деформирования, для которых скорость диссипации полагают равной нулю. Второй закон термодинамики для таких процессов принимает вид Наряду с удельной внутренней энергией в термомеханике в качестве параметра состояния используется удельная свободная энергия y/ = U-rjT [31, 58]. На основании последнего соотношения и первого и второго законов термодинамики получим основное термомеханическое тождество для обратимых процессов [31]: или где - отнесенная к начальному объему мощность напряжений. Удельная мощность напряжений может быть определена как свертка обобщенного тензора истинных напряжений (1.22) и тензора деформации скорости (1.12): N =L--W. Элементарная удельная работа напряжений за временной отрезок dt имеет вид
Структура тензоров, описывающих физические свойства материалов
Рассматриваемые цилиндрические тела считаем кусочно-однородными, то есть составленными из конечного числа зон, в пределах каждой из которых сплошная среда считается однородной. Это позволяет, в частности, моделировать слоистые конструкции. В соответствии с постановкой задачи, приведенной в первой главе, материал в рамках каждой однородной зоны считаем упругим, изотропным или анизотропным в начальной состоянии. В упругих линейных материалах тензор напряжений S (1.21) и линеаризованный тензор деформаций г связаны соотношением Анизотропными называются материалы, свойства которых различны в і различных направлениях. Если линейный анизотропный материал обладает симметрией свойств, то для него можно указать группу ортогональных преобразований gA, для всех элементов QA которой справедливо равенство Группа преобразований gA, которая в общем случае является подгруппой полной ортогональной группы g, называется группой симметрии данного материала. Если для некоторого материала группа gA совпадает с полной ортогональной группой, то такой материал называется изотропным. Условием изотропии материала является условие (2.14), записанное для любого QA eg. Свойства изотропного материала одинаковы во всех направлениях, проходящих через некоторую точку. Условие (2.14) является условием симметрии свойств материала в начальном состоянии. Будем считать, что если для материала в начальном состоянии группа преобразований gA установлена, то имеет место следующее условие: В соответствии с условием (2.15) группа симметрии материала gA совпадает с группой симметрии тензоров N и В. Это значит, что при всех преобразованиях исходного материального базиса QA є gA компоненты этих тензоров не изменяются: Тогда для тензоров N и В можно выписать разложения по инвариантным базисным тензорам Iа, а = 0,1,...,5, и их диадам, характеризующим тип симметрии данного материала. Инвариантность базисных тензоров и их диад определяется условиями Тензоры, характеризующие свойства анизотропных материалов, имеют наиболее простое строение в системе координат, связанной с главными осями анизотропии.
Под главными осями анизотропии понимают главные оси тензора напряжений, возникающих в анизотропном материале в ответ на чисто объемную деформацию [59]. Обозначим тройку ортогональных единичных векторов, определяющих главные оси анизотропии, ах,а2,аъ. Эти единичные векторы связаны с базисными векторами е,- ортогональным тензором поворота Q: В статьях [48, 85] показано, что инвариантными относительно групп симметрии анизотропных материалов оказываются различные для различных типов материалов тензоры канонического шестимерного базиса, записанные в главных осях анизотропии: В дальнейшем рассмотрим материалы, которые в начальном состоянии являются ортотропными (в каждой точке имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии), трансверсально-изотропными (имеют одну ось и одну плоскость симметрии) и изотропными. Упругие свойства ортотропного материала определяются девятью независимыми константами, трансверсально-изотропного материала - пятью независимыми константами, изотропного материала — двумя независимыми константами. Тензор коэффициентов температурных напряжений для ортотропного материала задается тремя независимыми константами, для трансверсально-изотропного материала - двумя независимыми константами, для изотропного материала - одной константой. Для этих материалов в статьях [48, 85] получены разложения тензоров N и В по базису (2.18): Коэффициенты яар разложений (2.20), (2.22), (2.24) связаны с компонентами Nijkl тензора N в векторном базисе главных осей анизотропии (2.8) прямым и обратным соотношениями [84] где Р и р,у - матрицы перехода [31], которые определяются одной и той же таблицей 2.1. Коэффициенты Ьа разложений тензора В (2.21), (2.23), (2.25) связаны с его компонентами в базисе главных осей анизотропии (2.8) соотношениями [84] В линейной теории упругости для изотропных и анизотропных материалов [43] принято использовать системы констант, называемых техническими. Выразим компоненты тензора N через технические константы. Для изотропного материала ненулевые компоненты тензора №ls) выражаются через модуль объемной упругости К и модуль сдвига G в виде Коэффициенты пап разложения (2.24) тензора № для изотропного материала имеют вид Тензор коэффициентов температурных напряжений В для изотропного материала имеет вид Для трансверсально-изотропного материала полиадное представление тензора упругости имеет вид +ЛГ2323 [( + а3а2)(а2а3 + 3) + ( + йі5з)(5з5і + 5і«з)] + (2-32) +0,5(Nxnx-Nn22)(a2ax+axa2)(a2ax+axa2). Техническими константами для трансверсально-изотропного материала являются [43]: Е - модуль Юнга в направлении оси анизотропии, Е - модуль Юнга в направлении плоскости изотропии, v - коэффициент
Пуассона, характеризующий" поперечные деформации в плоскости изотропии при растяжении вдоль оси анизотропии, v - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечные деформации в плоскости изотропии при растяжении в этой плоскости, G - модуль сдвига в плоскости, содержащей ось анизотропии, G = модуль сдвига в плоскости изотропии. Отметим, что упругие свойства трансверсально-изотропного материала характеризуются шестью техническими константами, но независимыми являются только пять Тензор коэффициентов температурных напряжений В для трансверсально-изотропного материала записывается в виде где Яц, В± - компоненты тензора, соответствующие направлению оси трансверсальнои анизотропии и двум направлениям, перпендикулярным этой оси, то есть лежащим в плоскости изотропии. Тогда коэффициенты в разложении (2.23) выражаются через 2?ц и В± в виде Полиадное представление тензора упругости для ортотропного материала имеет вид модули сдвига Gr(?, G , Grz.
В силу симметрии тензора N упругие постоянные ортотропного материала связаны соотношениями: Выразим тк? через технические константы: где В{ j, В22, В33 — компоненты тензора, соответствующие направлениям трех главных осей анизотропии ортотропного материала. Тогда коэффициенты в разложении (2.21) выражаются через Ви, В22, В33 в виде ьо= (Ви +В22 +В33), bl=-j=(2B33-Bn-B22)) b2=-j={Bn-B22). (2.39) Тензор теплопроводности Л0, являясь тензором второго ранга, на основании принципа Неймана [103] обладает той же симметрией, что и тензор В, поэтому имеет разложения по базисам, аналогичные приведенным для тензора В (2.21), (2.23), (2.25), (2.30), (2.31), (2.34), (2.35), (2.38), (2.39). Эффекты, связанные с анизотропией свойств материала, определяются не только структурой тензоров, характеризующих физические свойства, но и ориентацией главных осей анизотропии относительно системы действующих на тело внешних сил. В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра.
Система уравнений нелинейной анизотропной термоупругости в цилиндрических координатах
Используя описанные структуры тензоров N, В, Л0, характеризующих упругие и тепловые свойства материала цилиндра и учитывая определяющие соотношения (1.40), запишем вариационные уравнения равновесия (1.63) и теплопроводности (1.74) в подробном виде. Для этого найдем производные по времени от тензоров и выразим входящие в уравнения произведения тензоров через компоненты этих тензоров. В неподвижном базисе ё{ тензоры свойств материала имеют вид: Будем считать, что компоненты тензоров N, В, Л0 в неподвижном базисе в процессе деформирования остаются постоянными, то есть Найдем входящую в вариационное уравнение равновесия (1.63) производную по времени «повернутого» обобщенного тензора напряжений LR, дифференцируя определяющие соотношения (1.40): Производные по времени тензоров упругости (2.66) и температурных напряжений (2.67) обращаются в ноль: N = 0, В = 0, - так как векторы et неподвижного базиса не изменяются с течением времени, а компоненты этих тензоров подчиняются условию (2.69). Поэтому Выразим компоненты Щ «повернутого» тензора деформации скорости WR в неподвижном базисе ei через его компоненты W в подвижном базисе є , связанном с неподвижным соотношением е1=е1-\], которое следует из определений тензора WR (1.17) и аффинора деформаций (1.4), (1.5): Элементарный объем в цилиндрических координатах определяется формулой Используя соотношения (1.16i), (2.17), (2.71)-(2.73), запишем вариационные уравнения (1.63), (1.74) через компоненты кинематических Выпишем остальные уравнения системы уравнений нелинейной анизотропной термоупругости в компонентном виде: определяющие соотношения кинематические уравнения условия для напряжений и температуры
Полученные выражения вариационных уравнений равновесия и теплопроводности (2.74), (2.75), определяющих соотношений (2.76), кинематических уравнений (2.3), (2.5), (2.7), (2.9), (2.10), (2.77) соотношений между тензорами напряжений (2.13), начальных условий (2.6), (2.8), (2.11), (2.78), (2.80), эволюционных соотношений (2.79), граничных условий (2.81)-(2.86) служат основой для конечноэлементного решения задачи по определению напряженно-деформированного состояния и температурного поля в начально анизотропном неоднородном полом круговом цилиндре конечных размеров, находящемся под действием внутреннего и внешнего давлений, осевой силы и неоднородных нестационарных внешних тепловых факторов. 1. Получены выражения кинематических характеристик конечного деформирования осесимметричного тела через поле скоростей точек этого тела с учетом относительных поворотов сечений, ортогональных оси симметрии. 2. С учетом структуры тензоров, характеризующих упругие и термические свойства материала система уравнений связанной краевой задачи термоупругости записана в лагранжевых цилиндрических координатах. 3. Решена термоупругая задача о деформировании тонкостенного трансверсально-изотропного цилиндра. Найдены характеристики напряженно-деформированного состояния при приложении только механических или только тепловых воздействий, а также при их совместном действии. Проведен анализ зависимости напряжений, возникающих в цилиндре, от начальной ориентации главных осей анизотропии. Метод конечных элементов [7, 20, 23, 29, 30, 64, 80] позволяет перейти от рассмотрения непрерывных полей основных неизвестных системы уравнений поставленной краевой задачи к их дискретным аппроксимациям и свести задачу к определению конечного числа неизвестных - законов движения узловых точек тела xm{t), где m = l,...,N - номер узловой точки, N — общее число узлов конечноэлементной модели. В этом методе приближенные выражения непрерывных функций, описывающих физические величины, являются гладкими в пределах каждого конечного элемента и, следовательно, непрерывными и кусочно-дифференцируемыми во всем теле.
Построение дискретной модели в координатах начального состояния х заключается в разбиении расчетной области на типовые подобласти - конечные элементы, в каждой из которых принимается некоторая аппроксимация неизвестной функции. Пусть в начальный момент времени t = t0 расчетная область разбита на п конечных элементов, а неизвестные компоненты скоростей Vj(x,t), точек, лежащих внутри элемента, аппроксимируются функциями поэтому в дальнейшем для общности будем применять обозначение vL{t) и для скорости изменения температуры в узле 7 (0» если требуется записать соотношения, одинаковые по форме для скорости изменения температуры и компонент вектора скорости перемещения в узле. Вид интерполяционной функции зависит от типа конечного элемента. Простейшие треугольные элементы (симплекс-элементы) имеют линейную интерполяционную функцию. Аппроксимация (3.1) определяет вид всех характеристик деформированного и напряженного состояний внутри элемента. После подстановки (3.1) в кинематические (2.3), (2.5), (2.7), (2.9), (2.10) и определяющие (2.76) соотношения найдем аппроксимации величин, входящих в вариационное условие равновесного протекания процесса (2.74) и вариационное уравнение (2.75), описывающее распространение тепла в рассматриваемом теле, и получим систему V алгебраических уравнений относительно неизвестных законов изменения компонент узловых скоростей vL(t) в виде:
Численное решение задачи о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра
Решена задача о равновесии тонкостенного анизотропного цилиндра под действием внутреннего давления, осевой силы, крутящего момента и температуры. Линейная постановка задачи при бесконечно малых деформациях приведена в пункте 2.3. При численном решении этой задачи в нелинейной постановке рассматривался цилиндр с отношением h/R = 0,1. Длина цилиндра в расчетах полагалась в четыре раза больше толщины ее стенки. Цилиндр нагружался внутренним давлением, равномерно распределенным по внутренней боковой поверхности. Наружная боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузок. Торцы цилиндра свободны для перемещений в радиальном направлении. Один торец закреплен, а другой свободен в окружном (тангенциальном) "и осевом направлениях, то есть осевая сила и крутящий момент, приложенные к цилиндру, полагаются равными нулю. Температурное поле считалось однородным. Начальная температура цилиндра составляла 273К. Проведены расчеты при разных значениях конечной температуры и при различных углах ориентации главных осей анизотропии материала цилиндра относительно ортов цилиндрической системы координат 0 (рисунок 2.1). Такой анизотропный цилиндр моделирует один слой ленточного или намотанного композита [67, 68, 70]. Одной из интегральных характеристик деформированного состояния цилиндра является относительный угол закручивания, который вычисляется по формуле где vj/, \j/0 - углы между радиусами цилиндра, лежащими на торцах, в деформированном и начальном состояниях, L — длина цилиндра в деформированном состоянии. Графики зависимостей угла ф от давления, температуры и угла ориентации главных осей анизотропии приведены на рисунках 4.10—4.14. На рисунке 4.8 изображены графики зависимостей угла \}7 от давления при малых деформациях (до 0,2%), угле 0 = 45 и конечных температурах цилиндра от 253К до 293К. На рисунке 4.9 изображены графики зависимостей угла закручивания ij/ от угла 0 при малых деформациях (до 0,2%), конечной температуре 293К и давлениях ОПа до 2000Па.
Анализ этих зависимостей показывает, что модуль относительного угла закручивания увеличивается с ростом давления при фиксированных температуре и угле 0, а также с ростом температуры при фиксированных давлении и угле 0. При нулевом давлении, то есть только при температурном воздействии на цилиндр угол закручивания достигает наибольшего по модулю значения (при фиксированной разности температур) при угле ориентации главных осей анизотропии 0 = 45. Аналогичные результаты получаются при углах 9є(-90;0). Эти результаты хорошо согласуются с аналитическим решением, полученным в рамках безмоментной теории упругости в пункте 2.3. На рисунке 4.10 изображены графики зависимостей относительного угла закручивания ці от разности температур при давлениях ОПа и 105Па, угле 0 = 45, на рисунке 4.11 — графики зависимостей ф от давления при конечной температуре 473К, угле 0 = 45; на рисунке 4.12 - графики зависимостей ij/ от угла ориентации главных осей анизотропии 9 при давлениях ОПа и 105Па и конечной температуре 473К. Все зависимости получены при конечных деформациях (до 11%). Анализ зависимостей, полученных при конечных деформациях, показывает, что при нулевом давлении разница между углами \{/, вычисленными по линейной и нелинейной теориям в диапазоне приращения температур от 0 до ЗООК при 9 є (0;90), незначительна и не превышает 1,6%. Угол vj/, рассчитанный по нелинейной теории при давлении 105Па, по модулю больше угла \j/, рассчитанного по линейной теории при том же давлении, на 30-40%. При расчете по геометрически нелинейной теории увеличение температуры на ЗООК при давлении 105Па вызывает возрастание угла ф на 175%, а возрастание давления от 0 до 105Па при разности температур ЗООК приводит к увеличению угла vj/ на 80%. Рост давления при постоянной разности конечной и начальной температур так же, как и возрастание разности температур при постоянном давлении, приводит
