Содержание к диссертации
Введение
Кинематические соотношения и условия равновесия в установившихся процессах конечного деформирования 11
Запись кинематических соотношений в координатах, связанных с линиями тока 11
Условия равновесия и уравнение совместности девиаторных составляющих тензора истинных напряжений 24
Определяющие соотношения и постановка задачи стационарного течения пластических материалов 27
Определяющие соотношения теории пластичности 27
Связи между напряжениями и кинематическим потенциалом при стационарном движении 30
Безвихревое течение в коническом канале 37
Решение для модели идеально пластического материала 38
Решение для модели жестко-пластического материала с изотропным упрочнением 39
Решение для моделей материалов, описываемых аналогом деформационной теории 40
Осесимметричное вихревое течение пластических материалов в коническом канале 43
Решение для модели идеально пластического материала 44
Решение для моделей материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого деформационной теорией с абсолютной производной 46
Решение для модели материала, описываемого деформационной теорией скоростного типа с Яуманновской производной 52
Решение задачи прямого выдавливания жестко-пластического материала через коническую матрицу 59
Движение материала без учета трения о рабочую поверхность матрицы (безвихревое течение) 60
5.2. Сравнительный асимптотический анализ процесса прямого выдавливания для различных моделей материала (вихревое течение) 67
5.2.1. Вихревое течение идеально жестко-пластического материала 68
5.2.2. Вихревое течение материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого модифицированной теорией с абсолютной производной 71
5.2.3. Вихревое течение материала, описываемого модифицированной теорией с Яуманновской производной 75
5.2.4. Сравнительный анализ асимптотических решений задачи прямого выдавливания для различных моделей материалов 79
5.3. Сравнительный асимптотический анализ процесса прямого выдавливания для различных моделей материала при условии Кулонова трения (вихревое течение) 91
5.3.1. Модель идеально жестко-пластического материала 92
5.3.2. Материал с изотропным упрочнением и материал, описываемый модифицированной деформационной теорией с абсолютной производной 93
5.3.3. Материал, описываемый деформационной теорией с Яуманновской производной 94
5.3.4. Сравнительный анализ асимптотических решений задачи прямого выдавливания для различных моделей материалов с учетом Кулонова трения 94
Библиографический список
- Условия равновесия и уравнение совместности девиаторных составляющих тензора истинных напряжений
- Связи между напряжениями и кинематическим потенциалом при стационарном движении
- вихревое течение пластических материалов в коническом канале
- Вихревое течение материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого модифицированной теорией с абсолютной производной
Введение к работе
Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.
В начале XX века были опубликованы работы Хаара и Кармана, Мизеса. В первой из них была сделана попытка получить уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариационного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано условие текучести.
Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается по двум главным направлениям: теория пластического течения и деформационная теория. В работах Прандтля, Мизеса, Рейса были получены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. В трудах Генки были сформулированы основные положения деформационной теории пластичности. Однако законченный вид деформационная теория пластичности (теория малых упругопластических деформаций) приобрела благодаря работам А.А Ильюшина [16].
Вопросы экспериментального обоснования различных вариантов теории пластичности на основе общей теории процессов А.А. Ильюшина рассматривались в работах Р.А. Васина [10], В.Г. Зубчанинова [15], Э.С. Ленского [32].
Исследованию задач установившегося течения пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы Д.Д. Ивлева [8], И.А. Кийко [20, 21, 22], В.В. Соколовского [44], О.Д. Григорьева [11], М.Я. Бровмана [4, 5, 6].
В рамках модели идеального жестко-пластического материала существует класс решений, известных как идеальные течения. Впервые возможность получения таких решений для установившихся плоских течений была показана в статье [63], в этой работе было получено решение, описывающее процесс выдавливания через матрицу специальной формы. Доказательство существования идеальных течений дано в статье [56].
В работах Кийко [20, 21, 22] получены точные решения задач о течении пластического материала в тонком слое, найденные с помощью интегрирования вдоль линий тока.
В работе [45] получено замкнутое аналитическое описание напряженно-деформированного состояния при волочении, удовлетворяющее всем условиям пластичности и граничным условиям.
В книге [44] приведены решения задач для осесимметричного течения идеально пластического и упрочняющегося материала при малых деформациях в коническом канале.
В работе [1] исследованы уравнения теории идеальных течений для установившегося плоского течения. В данной работе показано, что если условия идеальной пластичности течения выполняются, то существуют еще две переменные, которые подчиняются телеграфному уравнению. Эти переменные определяют связь между декартовой и криволинейной системами координат, координатные линии которой являются линиями тока и ортогональными к ним линиями.
Простота уравнений теории идеальных течений имеет большое практическое значение при теоретическом определении оптимальных геометрических параметров инструмента для различных операций обработки металлов давлением. Отметим также, что простота уравнений теории идеальных течений позволяет использовать решения задач в рамках этой теории как тестовые при отладке компьютерных программ, что является неотъемлемым элементом численного моделирования.
При этом основная часть задач рассматривалась в рамках теории течения с условием текучести Треска. Г. Генки было показано, что в этом случае разрешающая система уравнений гиперболическая с ортогональными характеристическими линиями. Однако известно, что условие текучести Мизеса лучше аппроксимирует экспериментальные данные. Кроме того, многие материалы упрочняются в процессе деформирования, в связи, с чем вырос интерес к исследованию задач установившегося течения с учетом упрочнения.
Для течений упрочняющегося жестко-пластического материала даже в случае малых деформаций [44] уравнения равновесия усложняются. Соответственно, нахождение аналитического решения этих задач затрудняется.
В статье [24] представлена замкнутая постановка краевой задачи плоского установившегося течения упрочняющегося жестко-пластического материала при больших деформациях. Показана невыполнимость теорем Генки для линий скольжения. В статье делается вывод о необходимости использования численных методов для решения задач плоского установившегося течения упрочняющегося жестко-пластического материала. Лишь в исключительных случаях возможно построение аналитических решений.
В статьях [12, 23] рассмотрен метод решения задач установившегося течения жестко-пластического материала с упрочнением. В отличие от задач о течении идеально пластических тел, где удается получить интегралы уравнений равновесия, например интегралы Генки для плоской деформации [41, 44], уравнения равновесия для упрочняющегося жестко-пластического материала [24, 62] не интегрируются. Это обстоятельство затрудняет использование прямых методов расчета, поэтому эффективным становится применение различных полуобратных методов. Рассматривается установившееся течение, когда траектории движения частиц, вдоль которых
7 необходимо интегрировать параметр упрочнения для определения поверхности нагружения, совпадают с линиями тока. В работе [23] дано обобщение этого метода для плоского течения изотропно-упрочняющегося материала с гладкой поверхностью нагружения; получены решения задач о течении в шероховатом сходящемся канале и волочении тонкостенной трубы. В работе [23] хоть и введены линии скольжения, частные решения даны при условии, что линии тока совпадают с линиями скольжения. Так как полученные уравнения равновесия в общем случае не интегрируются. В работе [12] построены решения задачи течения материала в сходящемся канале с прямолинейными шероховатыми стенками и задачи течения материала в конфузоре с шероховатыми стенками, образованными логарифмическими спиралями. При сравнении данных задач отмечен дуализм: в случае течения по линиям тока, представляющим собой лучи, линии скольжения будут логарифмическими спиралями и наоборот, в задаче о течении в канале с логарифмическим профилем линии скольжения будут прямыми.
Первоначально полу обратный метод решения был предложен в [11] и
применялся для задач об установившемся идеально пластическом течении
материала Мизеса в криволинейном канале. Полуобратный метод основан на
задании семейства линий тока и определяющих кинематических
характеристик течения из удовлетворения уравнениям равновесия; такой характеристикой может быть модуль вектора скорости или некоторые другие величины, функционально с ним связанные. Этим методом найдено большинство точных решений. Так в задаче о течении среды в канале с прямолинейными стенками допущение о том, что линии тока - прямые, проходящие через начало координат, оправдывается и позволяет найти решение [44, 50]. В статье [4] найдено частное решение, в котором линиями тока являются логарифмические спирали. В работе [6] показано, что данным
8 методом для гиперболических линий тока можно получить точные решения не только для статических задач, но и для динамических задач.
В работе [5] рассмотрен вопрос о проверке допущения о том, что кривые данного семейства являются линиями тока. При этом скорость и компоненты девиатора напряжений выражаются через функцию одной из криволинейных координат. Получено нелинейное дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция, если допущение оказывается правильным.
В последнее время активно развивается направление в пластичности не опирающееся на концепцию предельных поверхностей. Обобщение деформационной теории А.А. Ильюшина [14] поставило вопрос о выборе наилучшей коротационной производной в определяющих соотношениях, который рассматривается во многих работах [7, 48, 51, 54, 55, 57, 58, 60]. В работах [52, 53, 59, 61] получены и применяются определяющие соотношения, в которых используют непосредственно производную Яуманна. Такой подход вытекает из потребности исключить влияние жесткого вращения частицы при распространении определяющих соотношений для малых деформаций на большие, и восходит еще к работам Прагера [41] и Хилла [49].
В статье [25] в определяющих соотношениях предложено применять производную Коттера и Ривлина. Автор пишет, что использование вихревой производной Яуманна в определяющих соотношениях приводит к осцилляции напряжений при простом сдвиге [39]. Но в статье [9] показано, что применение полярной производной Яуманна устраняет этот недостаток.
Для выбора производных, в работе [37], кроме требования объективности [33, 47], было сформулировано дополнительное требование объективности. Было показано, что дополнительному условию удовлетворяют лишь абсолютная и полярная Яуманновская производные. В работе [37] показано, что при изотропных и близких к ним процессах полярная и вихревая производные совпадают.
Отметим, что постановки и решения задач установившегося течения на основе вариантов деформационной теории практически отсутствуют. Представляется актуальной разработка достаточно общей постановки и метода решения задач осесимметричного установившегося пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических сред; проведение сравнительного анализа решений, соответствующих теории течения (с учетом и без учета упрочнения), а так же вариантам деформационной теории скоростного типа.
Учитывая выше сказанное, сформулируем цель работы: разработка общей постановки и метода решения задач осесимметричного стационарного пластического течения, позволяющих получать решения в рамках различных моделей пластических материалов; построение и сравнение аналитических решений задачи осесимметричного стационарного течения несжимаемых материалов при использовании различных моделей конечного пластического деформирования.
В данной работе построены аналитические решения для задач осесимметричного стационарного движения пластических материалов при конечном деформировании как в рамках теории пластического течения с изотропным упрочнением, так и с использованием двух вариантов деформационной теории. Выведено условие совместности для девиаторных составляющих тензора напряжения. У многих авторов [2, 5, 23] оно встречается в частных решениях плоских задач стационарного течения материала, но в общем виде приведено не было. Проведено сравнение результатов задач для различных моделей материала. Результаты работы были приведены в статьях [26-30].
Условия равновесия и уравнение совместности девиаторных составляющих тензора истинных напряжений
Если с материальной частицей связать ортогональный базис, скорость единичных векторов ik которого меняется по закону: dl - —- = гк со, dt к то из определения Яуманновской производной следует, что она характеризует изменение тензора относительно этого вихревого базиса. Наряду с вихревой производной, при описании процессов используется полярная Яуманновская производная [55, 60], которая определяется из выражения: М =М + МП-ПМ, где Q = R 7?-1 = ІГ1 R - антисимметричный тензор угловой скорости полярного базиса. Эта производная характеризует изменение тензора относительно полярного базиса.
Для выбора производных, которые должны соответствовать типу тензора, изменение которого она отражает, в настоящее время широко используется требование объективности [33, 47], которое сводится к условию индифферентности тензоров-производных от индифферентных тензоров. Как показано в работе [37], этому требованию, наряду с полярной, удовлетворяют и все производные группы Ли. Вопросы, связанные с неоднозначностью определения производных, обсуждались в многочисленных публикациях [7, 48, 51, 54, 55, 57, 58, 60].
В работе [37] было сформулировано дополнительное требование объективности: производная инвариантного относительно деформации тензора должна тождественно обращаться в нуль при деформации материальной частицы. Было показано, что производные группы Ли от инвариантного относительно деформации тензора не обращаются тождественно в ноль при движении, не сопровождающимся вращением, и дополнительному условию удовлетворяют лишь абсолютная и полярные производные. Т.е. чтобы удовлетворить требованиям объективности необходимо для инвариантных относительно вращения тензоров использовать абсолютные производные, а для индифферентных полярные производные.
При описании пластических течений важным требованием является сохранение симметрии тензора при дифференцировании. Из определения (1.37) следует, что этому требованию удовлетворяют абсолютная производная, производные М и М, а также Яуманновские производные Мv и Мы. В то же время М и М этому требованию в общем случае на удовлетворяют.
В связи с тем, что рассматривается несжимаемый материал необходимо потребовать, чтобы производные тензоров - девиаторов оставались девиаторами. Как показано в [37] этому требованию удовлетворяют в общем случае абсолютная и Яуманновские производные.
Если связь между тензорными характеристиками будет изотропной, т.е. определяемой теоремой Кейли-Гамильтона [38], то из работы [37] следует совпадение тензоров угловой скорости полярного и вихревого базисов -со = Q. Это означает, что в изотропных и близких к ним процессах все производные тождественны.
Уравнения равновесия (1.47) и условие совместности девиаторных составляющих (1.48) более удобны для описания поведения пластических материалов, чем условие равновесия в виде (1.43). В отличие от задач о течении идеально пластических тел, где удается получить интегралы уравнений равновесия (1.43), например интегралы Генки для плоской деформации [41, 44], уравнения равновесия для упрочняющегося жесткопластического материала [24, 62] не интегрируются. В случае задания уравнений равновесия (1.47) и условия совместности (1.48) можно отдельно получить компоненты девиатора тензора напряжения, часто аналитически, а потом найти гидростатическую составляющую тензора напряжения. Представим уравнения равновесия (1.47) в сферических координатах:
1. Получены представления кинематических характеристик стационарного осесимметричного течения несжимаемой среды через потенциальную функцию переменной а2, отсчитываемой вдоль координатных линий, лежащих в меридиональной плоскости и ортогональных линиям тока.
2. Сформулировано уравнение совместности девиаторных составляющих тензора напряжений в системе координат, связанной с линиями тока.
3. Из условия равновесия получены дифференциальные уравнения для определения гидростатической составляющей напряжений, связанной с компонентами девиатора напряжений.
В дальнейшем будем рассматривать четыре типа соотношений, определяющих поведение жестко-пластических упрочняющихся материалов. Два варианта основаны на построении линейной связи между скоростью тензора напряжений и тензора деформации скорости. В двух других вариантах используется теория течения: идеально пластического материала и материала с изотропным упрочнением.
Определяющие соотношения должны учитывать, что деформации материала конечны. Кроме того, необходимо решать задачу выбора типа производных от тензора напряжений по времени. Для простоты ограничимся случаем активного процесса.
В качестве первого варианта рассмотрим обобщение деформационной теории А.А. Ильюшина [14], которое имеет следующий вид при использовании абсолютной производной по времени от тензора истинных напряжений:
Отметим, что использование абсолютной производной не позволяет удовлетворить требованию материальной объективности, однако данная производная удовлетворяет требованию сохранения девиаторов, поэтому представляется небесполезным исследовать возможные последствия использования данной производной. Так как тензор S индифферентен относительно вращения, то необходимо решать задачу выбора типа производных от тензора напряжений по времени. Как показано в [37], следует использовать полярную Яуманновскую производную. Но так как она трудна в применении, то будем пользоваться вихревой Яуманновской производной. Тем более что при изотропных и близких к ним процессах полярная и вихревая производные совпадают. А при описании остальных процессов разница между ними небольшая, для сдвиговых деформаций порядка 20%.
Связи между напряжениями и кинематическим потенциалом при стационарном движении
Рассмотрим изотропное течение в коническом канале материала, свойства которого моделируются аналогом деформационной теории с абсолютной производной. Определяющие соотношения для материалов, свойства которых описываются аналогом деформационной теории с Яуманновской производной и абсолютной производной, совпадут. Так как5рй=0, тогда из соотношений (2.14), (2.18) x = ctSa- Следовательно, полная система уравнений для нахождения напряженного состояния материала, состоящая из выражений связи между девиаторными составляющими тензора напряжения и кинематическим потенциалом (2.14), (2.18) уравнения совместности для девиаторных составляющих тензора истинных напряжений (1.50) и уравнений равновесия (1.49), имеет вид: Spp= Предположим, что 5aa = б , аналогично случаям идеально пластического материала и материала с изотропным упрочнением. Тогда А2 = А3. По свойствам девиатора должно выполняться равенство SPp + $аа + v = » следовательно = -А2 - А3= -2В. Компоненты девиатора напряжения (З.б.а) предстанут следующим образом:
Подставляя соотношения (3.7) в условие совместности (З.б.Ь), получим — = 0. Следовательно, В = const, da Найдем гидростатическую составляющую тензора напряжений, подставляя выражения (3.7) в уравнения равновесия (3.6.с): P = 4G\np + 6G(\np)2+6B\np + C. Тогда компоненты тензора напряжений будут равны: стрр = -2В + 6G(\npf +6В\пр + С аа = r„ = 6G\np + В + 6G(\npf + 6В\пр + С, (3.8) где С — константа интегрирования, определяемая из граничных условий.
Если положить В = —4= - А, то компоненты напряжений для материала, описываемого деформационной теорией (3.8) совпадут с компонентами напряжений для материала с изотропным упрочнением (3.5). Таким образом, при безвихревом течении деформационная теория и теория течения приводят к одному и тому же результату.
Найдем поле скоростей для безвихревого течения. Так как х — ctga, из (1.23) поле скоростей предстанет в виде: где Vk - константа, определяемая из начальных условий.
Таким образом, поле скоростей в случае безвихревого течения зависит только от радиальной компоненты, а по угловой координате не изменяется. Выводы по 3-ей главе:
1. Получены точные решения задачи о безвихревом течении в коническом канале для моделей идеально пластического и изотропно упрочняющегося материалов, а также моделей материалов, описываемых деформационной теорией скоростного типа с использованием абсолютной и Яуманновской производных.
2. Показано, что решения в рамках теории течения упрочняющегося материала и деформационных теорий скоростного типа совпадают.
Найдем распределение скоростей и напряжений при осесимметричном вихревом течении различных моделей материалов в коническом канале.
Рассмотрим задачу пластического течения в сходящемся канале с прямолинейными стенками. Предполагаем, что линии тока известны. Представим течение в сферических координатах, где «j — р, а2- а, аъ кр. Как и в случае изотропного течения, будем рассматривать радиальное сечение в области р0 р рк, aQ a ak, р = const, так как ни кинематические характеристики, ни определяющие соотношения не зависят от координаты ср. Координата р вводится в безразмерном виде (рис. 3), отнесенная к длине рк, тогда рк= — = 1; р0= - 1. Рассмотрим задачу осесимметричного вихревого течения идеально пластического материала при условии пластичности Мизеса (TS = const) и ассоциированного с ним закона течения.
Разрешающая система уравнений для нахождения напряженного состояния для идеально пластического материала будет состоять из выражений связи между девиаторными составляющими тензора напряжений и кинематическим потенциалом (2.26):
Учитывая, что компоненты девиатора напряжений являются функциями только координаты а, подставим полученные выше соотношения для компонент девиатора напряжений в условие совместности (4.2) и получим дифференциальное уравнение для определения касательной компоненты девиатора напряжений: безразмерная касательная компонента девиатора напряжений (далее по тексту напряжения - безразмерные величины, отнесённые к пределу текучести TS, знак « А » над ними опущен), С -константа интегрирования. Из (4.1) выразим кинематический потенциал через касательную компоненту девиатора напряжений в виде: Подставив соотношения компонент девиатора напряжений (4.4) в дифференциальные уравнения равновесия (4.3), получим гидростатическую составляющую тензора напряжений в виде: P = -C\np + l-2S2pa -3$Spada + K, (4.7) где Р -безразмерная величина, К— константа интегрирования. Таким образом, нахождение напряженного состояния идеально пластического материала сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (4.5).
вихревое течение пластических материалов в коническом канале
Выводы по 4-ой главе:
1. Задачи о течении в коническом канале материала, описываемого различными моделями пластичности, сведены к определению кинематического потенциала из обыкновенного дифференциального уравнения, являющегося следствием условия совместности девиаторных составляющих тензора напряжений.
2. Задача о вихревом течении идеально пластического материала сведена к решению обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения относительно касательной компоненты тензора напряжений. Данное уравнение эквивалентно системе двух дифференциальных уравнений, полученных В.В. Соколовским.
3. Решение задачи о вихревом течении изотропно упрочняющегося материала и материала, описываемого модифицированной деформационной теорией с абсолютной производной, представлено в квадратурах.
4. В области геометрических параметров процесса, исключающей осцилляцию напряжений, получено аналитическое решение задачи о течении материала, описываемого деформационной теорией скоростного типа с Яуманновской производной.
В данной главе исследуется влияние выбора различных типов определяющих соотношений на решения для напряженного состояния материала, а также взаимодействие материала с рабочей поверхностью матрицы (при а = аК).
В параграфе 5.1 рассматривается задача прямого выдавливания без учета трения между материалом и матрицей. В 5.2 исследуется влияние выбора типа определяющих соотношений на напряженное состояние материала при одинаковой для всех моделей кинематике течения. В 5.3 анализируется распределение напряжений и деформаций с учетом Кулонова трения. Пусть на поверхности а = ак трение отсутствует, тогда Условие (5.5) тождественно удовлетворяется, если использовать результаты главы 3, где рассматривалось безвихревое течение.
Было показано, что при безвихревом течении различные модели приводят к одному и тому же результату. Распределение скоростей описывается формулой (3.9), девиаторных составляющих напряжений формулой (3.3а), гидростатическая составляющая находится по формуле (3.4). Константы С и А определяем из граничных условий (5.1) и (5.2) соответственно. При этом ввиду независимости напряжений от угла а, примем условие (5.2) в виде г = TS . В результате получаем распределение напряжений в следующем виде:
Если положить в (5.6) модуль упрочнения G = 0, получим распределение напряжений в рамках модели идеально жестко-пластического материала. Подстановка значений арр из (5.6) при р = р/с=\ (lnpk =1п1 = 0) в выражение (5.3) позволяет найти значение усилия выдавливания F: Из (5.7) получим значение «удельного давления прессования» q в безразмерном виде, отнесённое к т5 для безвихревого течения материала: Из (5.8) видно, что удельное давление q состоит из двух слагаемых, одно из которых линейно зависит от модуля упрочнения, а второе равно значению q для идеально жестко-пластического материала.
Проиллюстрируем полученные решения на графиках. Упрочняющийся материал возьмем трех видов: слабоупрочняющийся при — = 0,2; среднеупрочняющийся при — = 0,5; Ts G ОП сильноупрочняющиися при — = 2,0 Ts На рис.5 изображены графики напряжений —— в зависимости от h радиальной координаты р, в пределах р0 = 0,5 р рк = 1,0 . Из графиков видно влияние упрочнения на характер напряжений т .
Поведение напряжений арр для идеально жестко-пластического и упрочняющегося материалов подобны, но значение коэффициента упрочнения G весьма существенно влияет на величину напряжений орр. Максимального значения напряжения трр достигают на входе материала в матрицу и в этом случае отношение напряжений сгрр для упрочняющегося к идеально жестко-пластическому материалу: G
Из графиков видно, что по модулю напряжения ааа превосходят напряжения трр. Напряжения сгаа являются нормальными сжимающими напряжениями, действующими на рабочую поверхность матрицы, и вместе со стойкостью инструмента (материала матрицы) являются лимитирующими при операции выдавливания. Поведение идеально жестко-пластического и слабоупрочняющегося материалов очень схожи - абсолютная величина напряжения на входе превосходит их величину на выходе из матрицы. Это уменьшение модуля ааа по мере убывания величины р носит достаточно равномерный характер.
Характер поведения среднеупрочняющегося материала — = 0,5 уже отличается от идеально жестко-пластического: по-прежнему абсолютная величина напряжения на входе превосходит их величину на выходе из матрицы, но после входа и продвижения материала по матрице модуль напряжений ааа не уменьшается, в отличии от идеально жестко-пластического материала, а растет при перемещении материала приблизительно до 1/4 длины матрицы, и это увеличение составляет около 0,5 %. После этого при движении к выходу из матрицы напряжения ааа по абсолютной величине начинают уменьшаться. тенденции становятся более выраженными. По модулю напряжения таа на выходе из матрицы больше, чем на входе, в отличие от неупрочняющегося материала (рис.6). Кроме того, при входе материала в матрицу и при перемещении по ней модуль напряжений ааа растет и достигает максимума, когда материал пройдет приблизительно до 3/4 длины матрицы, и это увеличение составляет около 22 % по сравнению с напряжением на входе.
Вихревое течение материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого модифицированной теорией с абсолютной производной
Важной технологической характеристикой процесса прямого выдавливания является значение коэффициента Кулонова трения между материалом и стенками матрицы (при а = ак). Совершенно ясно, что именно сила трения на стенках матрицы определяет наличие и величину сдвиговой деформации и касательного напряжения в процессе течения.
В решениях, которые получены в параграфе 5.2., количественной характеристикой сдвиговой деформации служит константа Сь определяемая из кинематических параметров процесса. Удовлетворить условию Кулонова трения в каждой точке мы не можем, но, используя решения параграфа 5.2, мы можем удовлетворить ему интегрально. Для этого составим интегральное равенство, которое свяжет константу С\ с коэффициентом Кулонова трения к где S - рабочая поверхность матрицы.
Подставим выражения для напряжений сгра и стаа из асимптотического решения при вихревом течении идеально жестко-пластического материала (5.23) в уравнение (5.63). После несложных, но громоздких преобразований окончательно получим где величины z, зависят от геометрии матрицы (р0);
Из выражений для z2 и z3 видно, что эти величины близки, но в уравнение (5.64) z3 входит как сомножитель в произведении на коэффициент трения к (к 0,3), что заметно уменьшит влияние z3 на общее значение константы С] , а в этом случае зависимость между С\И к становится близкой к прямой. Теперь задавая значения коэффициента трения к и геометрию матрицы (р0) можно найти соответствующее значение С\ из (5.64).
Подставляя найденное значение Сі в систему уравнений (5.23) найдем решение для напряженного состояния идеально жестко-пластического материала интегрально удовлетворяющее условию Кулонова трения. 5.3.2. Материал с изотропным упрочнением и материал, описываемый модифицированной деформационной теорией с абсолютной производной
Найдем функциональную зависимость между С\ и к для материала с изотропным упрочнением и материала, описываемого деформационной теорией с абсолютной производной.
Так как для обеих этих моделей материала асимптотическое решение было одинаковым (5.37), то, подставляя выражения для напряжений ура и ааа из (5.37) в интегральное выражение (5.63) найдем связь между С\ и к. После преобразований получим уравнение, связывающее величины С\ и А:, такого же вида, как и для идеально жестко-пластического материала:
Из (5.65) видно, что величины yt, в отличие от идеально жестко-пластического материала, зависят не только от геометрии матрицы (р0), но и от упрочнения материала (модуля G). При отсутствии упрочнения {G = 0) выражение для константы С\ для материала с изотропным упрочнением (5.65) сводится к выражению (5.64) для идеально жестко-пластического материала. 5.3.3. Материал, описываемый деформационной теорией с Яуманновской производной
Найдем связь между С\ и к для материала, описываемого деформационной теорией с Яуманновской производной.
Подставим выражения для компонент тензора истинных напряжений тра и 7аа из асимптотического решения (5.53) в интегральное уравнение (5.63). После преобразований получим уравнение (5.66), связывающее константы С\ и к, которое имеет такую же форму, как и для идеально жестко-пластического материала (5.64) и материала с изотропным упрочнением (5.65) Из выражений для х, в уравнении (5.66) видно, что уравнение (5.66) не сводится к уравнению (5.64) для идеально жестко-пластического материала (при отсутствии упрочнения G = 0).
Сравнительный анализ асимптотических решений задачи прямого выдавливания для различных моделей материалов с учетом Кулонова трения Основной количественной характеристикой сдвиговых деформаций в полученных асимптотических решениях является константа С] (5.14).
В параграфе 5.2 задавалась одинаковая кинематика (одинаковое значение константы Сі) для различных моделей материала. При интегральном удовлетворении закону Кулонова трения константа С] выражается через коэффициент трения к, но зависимости между С\ и к для каждой модели материала различны (5.64), (5.65), (5.66) и определяются геометрией матрицы ( pQ) и модулем упрочнения G.
Для того, чтобы результаты параграфа 5.3 были сопоставимы с результатами параграфа 5.2 сохраним кинематику процесса для идеально жестко-пластического материала. Отсюда для идеально жестко-пластического материала значению С\ = -0,96 соответствует значение коэффициента трения к = 0,081, а значению С\ = -3,82 значение к = 0,267.
В дальнейшем, пользуясь найденными асимптотическими решениями для различных моделей материала (5.23), (5.37), (5.53), при построении напряженного состояния процесса стационарного течения будем исходить из того, что коэффициенты трения к заданы: к\ = 0,081 - процесс слабовихревого течения, кг = 0,267 - процесс сильновихревого течения.
