Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Контакт цилиндра и полупространства при наличии смазки.. 16
1.Контакт цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства при наличии смазки.. 16
2. Контакт упругого цилиндра и жесткого полупространства при наличии смазки 54
3. Двумерный контакт упругого ролика и жесткого полупространства при наличии смазки.. 66
4.Влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки. 89
Глава 2. Контакт упругих тел по узкой области.. 91
Глава 3. Слой жидкости между жестким валом и тонким упругим вкладышем, закрепленным в жестком корпусе.. 123
Глава 4. Нанесение покрытий по принципу ленточного подшипника.. 142
1.Математическая модель.. 144
2. Центральная зона. 152
3. Входная зона. 157
4. Выходная зона. 173
5. Определение неоднородности толщины наносимого покрытия. 182
6.Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия 185
Результаты и выводы 197
Приложение 1. Контакт упругих тел по узкой эллиптической области.. 199
Приложение 2. К вопросу о граничных условиях для уравнения рейнольдса. Течение жидкости со свободной поверхностью.. 205
Список литературы 216
- Контакт цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства при наличии смазки..
- Влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки
- Математическая модель
- Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия
Введение к работе
Актуальность темы. Контактная гидродинамика – важная область гидродинамической теории смазки. Контактная гидродинамика является теоретической основой для расчета широкого класса узлов трения (опор качения и скольжения, шарниров, передач, уплотнений и др.).
В узлах трения (УТ) протекают сложные механические, физические и физико-химические процессы, связанные с взаимодействием поверхностей в относительном движении. Прежде всего, это процессы трения, изнашивания и смазки, которые широко распространены в природе и технике. Изучением многих из этих процессов занимается контактная гидродинамика.
Контактная гидродинамика имеет дело с течением смазочной жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела, при больших нагрузках, градиентах скорости, температуры, малых временах процесса. В таких условиях материалы проявляют необычные свойства, о которых нет или мало числовых данных, качественных представлений, что ограничивает применение численных методов и вычислительных средств для исследования процессов, протекающих в узлах трения: точность, достигнутая применением численных методов, порой сводится на нет приближённым соответствием принятой модели реальному явлению.
Отсутствие понимания многих явлений в УТ, необходимость учета большого количества факторов, труднодоступность области контакта сильно осложняют не только теоретическое, но и экспериментальное исследование узлов трения. Многофакторность, отсутствие достаточного количества надежных критериев подобия и установленных закономерностей не позволяют адекватно переносить экспериментальные зависимости с одного узла трения на другой, а в рамках фиксированного УТ – с одного режима работа на другой.
Существующие инженерные методики расчета УТ, как правило, основаны на простейших геометрических и механических моделях и
используют различные эмпирические и полуэмпирические зависимости, диапазоны применимости которых либо очень ограничены, либо вовсе неизвестны. Поэтому этих методик совершенно недостаточно для расчета многих современных и, тем более, перспективных узлов трения.
Выход из данной ситуации видится в широком использовании комплексного (системного) подхода и математическом моделировании узлов трения. Весьма эффективными и целесообразными при моделировании узлов трения и других сложных объектов оказываются качественные, асимптотические и другие приближенные методы. Они помогают заметно продвинуться в понимании закономерностей явлений, наблюдаемых в узлах трения; выделить характерные режимы работы УТ, основные процессы, протекающие в них, и критерии подобия, их определяющие; получить приближенные функциональные зависимости, связывающие рабочие характеристики узла с условиями его эксплуатации.
Целью работы является разработка приближенных методов решения задач контактной гидродинамики, развитие инженерных методик расчета и оптимизации узлов трения на основе качественного и асимптотического анализа процессов, протекающих в УТ: течения вязкой несжимаемой жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела; контактного взаимодействия упругих тел по узкой области.
Научная новизна.
1. Получено согласованное по давлению и толщине смазочной пленки приближенное решение задачи о тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства. Обоснована диаграмма типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Найдены асимптотические диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.
2. Получена асимптотическая формула для центральной толщины
смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической
смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.
-
Предложен оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области.
-
Получены приближенные соотношения для определения несущей способности смазочной пленки радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша.
-
Обоснован метод гашения пульсаций выходного расхода с помощью свободно поворачивающейся пластинки при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника.
Практическая ценность.
-
Получены формулы для давления, толщины и формы смазочной пленки в тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Построены диаграммы типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра и жесткого основания. Указаны диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.
-
Получена асимптотическая формула для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.
-
Предложена эффективная методика расчета распределения давления в контакте упругих тел по узкой области, позволяющая оптимизировать форму контактирующих тел (например, выбирать параметры двухрадиусной образующей профилированного ролика в роликовом подшипнике). Получены приближенные формулы для интегральных характеристик
контакта ролика с кольцами роликового подшипника, которые могут быть использованы при силовом расчете роликового подшипника.
4. Предложена формула для подбора податливости упругого
достаточно жесткого вкладыша радиального гидродинамического
подшипника скольжения с частичным углом охвата. Получена оценка
толщины смазочной пленки на закритических режимах нагружения
подшипника.
-
Получена оценка характерного размера свободно поворачивающейся пластинки для эффективного разглаживания неоднородностей при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Получена оценка критического угла схода ленты.
-
Результаты работы вошли в учебные пособия [1, 2].
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Приближенное решение задачи о тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства. Обоснование диаграммы типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Асимптотические диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.
-
Асимптотическое выражение для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.
-
Оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области. Численный метод решения этого уравнения с помощью полиномов Лежандра. Приближенные формулы для интегральных характеристик контакта ролика и колец радиального роликового подшипника при наличии перекоса.
-
Асимптотические режимы смазки тяжело нагруженного радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша. Качественное и асимптотическое обоснование режима посадки вала на упругий вкладыш при приближении нагрузки к предельной несущей способности подшипника.
-
Обоснование метода разглаживания неоднородностей с помощью свободно поворачивающейся пластинки при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Приближенные выражения, связывающие неоднородность толщины наносимого покрытия с нестабильностью внешних факторов.
Обоснованность и достоверность.
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается использованием математических моделей, корректно описывающих рассматриваемые процессы, математической обоснованностью применяемых качественных и асимптотических методов анализа и вычислительных процедур, сравнением приближенных расчетов по асимптотической теории с результатами численных расчетов и, в свою очередь, сопоставлением результатов численного анализа с точными решениями, тестовыми задачами и экспериментальными данными.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной научно–технической конференции "Обеспечение надёжности узлов трения машин" (г. Ворошиловград, 1988); на III Международной научно-технической конференции "Авиадвигатели ХХI века" (г. Москва, ЦИАМ, декабрь 2010); на XXIII научно-технической конференции по аэродинамике (ЦАГИ, п. Володарского, март 2012); на 12, 13, 15, 53, 54, 55 научных конференциях Московского физико-технического института; на II Всесоюзном семинаре «Гидродинамика нанесения полимерных покрытий» (г. Переславль-Залесский, 1989); на научном семинаре ИМСС УрО РАН
(г. Пермь, январь 2011); на Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре имени С.М. Белоцерковского (г. Москва, 17 февраля 2011 года); на научном семинаре по механике сплошной среды имени Л.А. Галина (ИПМех РАН, г. Москва, 11 марта 2011 года); на научном семинаре кафедры физической механики МФТИ (июнь 2011); на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 23 печатные работы, из них 4 работы [16, 17, 22, 23] в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, двух приложений, списка литературы из 90 наименований. Объем диссертации составляет 225 страниц. Работа содержит 40 рисунков.
Контакт цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства при наличии смазки..
Рассмотрим плоскую стационарную задачу о качении с проскальзыванием бесконечного цилиндра радиуса R по жесткому неподвижному полупространству, на которое нанесена вязкая жидкость (см. рис. 1.1). Цилиндр движется со скоростью U относительно полупространства (справа налево в плоскости рисунка) и вращается с угловой скоростью относительно своей оси. К рассматриваемой задаче сводится задача о контакте бесконечных цилиндров при наличии смазки. С областью гидродинамического контакта цилиндра и полупространства свяжем прямоугольную декартову систему координат xyz (ось y направим вдоль оси цилиндра, ось z – перпендикулярно контакту, а ось x – в направлении, противоположном направлению качения цилиндра).
Поверхности цилиндра и полупространства разделяет смазочная пленка G = {(х, т) : 0 z h(x), а х с}, где h(x) - толщина пленки, х = а и х = с - входная и выходная границы области гидродинамического контакта в выбранной системе координат. Предполагается, что пленка тонкая, т.е. характерное значение толщины пленки Д много меньше характерного размера I области контакта (h «I), а сам этот размер много меньше радиуса цилиндра (І « R).
Внутри смазочной пленки плотность жидкости и составляющие скорости частицы жидкости и и w удовлетворяют уравнению где р(х) - контактное давление, отсчитываемое от атмосферного (поперек пленки давление не изменяется); = du/dz - касательное напряжение в смазочной пленке; - динамическая вязкость жидкости. Смазочную жидкость можно считать ньютоновской, если характерное время пребывания частицы жидкости внутри области контакта U-kfU много больше времени релаксации tr=/G, где G - модуль сдвига жидкости, и при этом не очень велики скорости сдвига [39]: tJdu/dz/«\. Возможность использования уравнения (1.2.) также обусловлена малостью производной dh/dx (тонкая смазочная пленка разделяет почти параллельные гладкие поверхности цилиндра и полупространства) и тем, что силы инерции, действующие на смазочный материал, малы по сравнению с силами вязкого трения, если так называемое приведенное число Рейнольдса Re = Ш2/(Л) много меньше единицы (Re «1). Уравнение энергии в приближении тонкой смазочной пленки принимает вид [39]: где cp – удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении; T абсолютная температура; k – коэффициент теплопроводности; – коэффициент объемного теплового расширения. Первое слагаемое в правой части уравнения энергии (1.3.) представляет собой тепловыделение за счет вязкой диссипации, второе слагаемое – тепловыделение от сжатия.
Вязкость смазочной жидкости сильно растет с увеличением давления p и значительно падает с ростом температуры T : = (p,T). Зависимость вязкости от давления обычно аппроксимируется экспонентой (закон Баруса) [39]: где = (T) – пьезокоэффициент вязкости, 0 = 0(T) – вязкость при p = 0 (напомним, что давление отсчитывается от атмосферного).
При высоких контактных давлениях проявляется сжимаемость жидкости – умеренный рост ее плотности с увеличением давления [77]: = (p). Поскольку коэффициент объемного теплового расширения жидкости мал, изменением плотности поперек смазочной пленки можно пренебречь.
Из уравнения неразрывности (1.1.) следует, что массовый расход жидкости m одинаков в каждом поперечном сечении: о В изотермическом приближении (которое и будет в дальнейшем рассматриваться) вязкость постоянна поперек смазочной пленки (вместе с давлением и плотностью). Последовательное интегрирование по z уравнения (1.2.) с учетом прилипания жидкости к поверхностям цилиндра и полупространства позволяет получить распределение продольной составляющей скорости по толщине пленки в рассматриваемой системе координат, связанной с областью гидродинамического контакта: ziz— h) dp , _ z т т и = \-{K—U)—\-и. (1.6.) 2 dx h Обозначим U0=(U+R)/2 полусумму скоростей поверхностей контактирующих тел относительно выбранной системы координат (заметим, что в случае чистого качения цилиндра (без проскальзывания) U0 = U= R). Тогда, подставляя (1.6.) в (1.5.), приходим к уравнению Рейнольдса для распределения давления в тонкой смазочной пленке: dp ._ U()h-m/ , /1 ,4 = I2—-—, хе(а,с). (! ) dx h Если плотность жидкости постоянна, что также будет предполагаться в дальнейшем, то уравнение Рейнольдса для несжимаемой жидкости принимает вид [39]:
При контактных давлениях, значительно превышающих (по модулю) возможные капиллярные давления и напряжение разрыва жидкости, граничные условия для уравнения Рейнольдса (1.8.) имеют вид: На выходной границе области нагруженного контакта дополнительно задается так называемое кавитационное [39], или рейнольдсово, условие: dp(c) которое вместе с условиями (1.9.) позволяет определить c и расходную толщину h0 , если величина a известна, а также обеспечивает неотрицательные давления в расходящейся части пленки. Если же задан (известен) расход m = U0h0 , то определению подлежат неизвестные границы a и c . Отметим, что согласно уравнению Рейнольдса (1.8.) кавитационное условие (1.10.) эквивалентно условию h(c) = h0 .
Цилиндр имеет упругое покрытие, поэтому деформация поверхности цилиндра пропорциональна локальному контактному давлению. Учитывая также малость ширины области контакта по сравнению с радиусом цилиндра, для толщины смазочной пленки получим (см. риc. 1.2.)
Влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки
Из проведенного анализа следует, что для уменьшения длиннопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия необходимо понижать низкочастотные (ниже пороговой частоты) колебания подаваемого расхода, натяжения и скорости движения ленты. Для уменьшения короткопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия следует демпфировать высокочастотные (выше пороговой частоты) колебания угла схода ленты, обусловленные воздействием переменного выходного натяжения на несколько провисающую ленту после выхода ее из зоны контакта с поливочным устройством. В частности, желательно исключить фрикционные автоколебания, которые возможны при скольжении в режиме сухого трения ленты по поверхности распределительного устройства вверх по движению за входную границу s-области течения G .
Как показали экспериментальные исследования, существенное снижение короткопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия достигается путем небольшого усовершенствования поливочной головки. Таким усовершенствованием является свободно поворачивающаяся тонкая плоская пластинка длины l , прикрепленная к выходной кромке поливочной головки (рис. 4.2), которая разглаживает указанные неоднородности. Рабочая поверхность распределительного устройства при этом увеличивается за счет пластинки; в выходной зоне появляется дополнительный участок: b s b+l , а выходная граница s = s+ области течения G оказывается расположенной на свободной (выходной) кромке пластины: s+ = b+l .
Оснащение поливочной головки свободно поворачивающейся пластинкой приводит к изменению картины течения жидкости лишь в выходной зоне. Безразмерная система уравнений, описывающая течение в выходной зоне в этом случае примет вид (ср. с (4.69.)): = 0,
Здесь длина 1 пластинки отнесена к характерному размеру выходной зоны st = Д(6Л / T ) l/3 (см. (4.66.)).
Для эффективного "разглаживания" неоднородностей толщины наносимого покрытия можно использовать небольшую пластинку. Достаточно, чтобы безразмерная длина пластинки удовлетворяла условию: \«1« s+/s +. При выполнении этого условия, что и будем предполагать в дальнейшем, вблизи обеих кромок пластины возникают погранслои, удаленные друг от друга на расстояние 1, а натяжение ленты практически не изменяется на длине пластинки: Т = Т+, є (0;/).
В месте крепления пластинки не должно быть излома ленты, а расход q, давление р, толщина h должны быть непрерывными при = 0 (условия сшивки): где п(0 - отнесенный к , = st/R = (h/R)(6U /Т ) 1 /3 угол поворота пластины, отсчитываемый в положительном направлении от касательной к поверхности распределительного устройства в точке крепления пластины (при = 0). И хоть теперь лента отходит от поверхности пластины в районе ее выходной кромки (при = 1), угол (/) схода ленты по-прежнему отсчитываем от касательной к поверхности распределительного устройства в точке крепления пластины (при = 0) и относим к = st/R.
На выходной кромке пластины граничные условия имеют вид (ср. с (4.71.)):
Решение системы (4.101.) должно удовлетворять условиям сращивания с центральной зоной по расходу и ограниченности давления при —» -:
Поскольку пластинка считается плоской, тонкой, жесткой, невесомой и свободно поворачивающейся в точке ее крепления к острой выходной кромке распределительного устройства, момент сил, действующих на пластинку относительно указанной точки крепления, должен равняться нулю: pd = 0. Данное условие отсутствия момента сил в точке крепления пластинки с учетом выражения (4.101.) для давления на промежутке (0;7) после однократного интегрирования по частям примет вид:
Условие отсутствия момента сил в точке крепления пластинки позволяет определять угол п(0 поворота пластины в зависимости от угла (/) схода ленты, скорости U(t) ее движения и выходного натяжения T+(t).
Как и ранее, при малых v+ (v+«l), умеренном выходном капиллярном давлении и угле схода ленты порядка единицы стационарная толщина h мало отличается от единицы в выходной зоне (h -1 = 0(v+)), благодаря чему на интервале (-;0) получаем асимптотическое решение задачи (4.106.) (ср. с (4.74.)):
Учитывая дополнительное предположение 1»1, на промежутке (0; 7) находим составное асимптотическое решение (ср. с (4.40.) и (4.107.)):
Из условий сшивки при = 0 и граничных условий при = l в рамках рассматриваемого приближения определяем постоянные (ср. с (4.75.)):
Видно, что свободно поворачивающаяся пластинка, прикрепленная к острой выходной кромке распределительного устройства, как бы прилипает к ленте и полностью отслеживает изменение угла схода ленты (п ), если
. При этом выходная граница будет фиксирована на выходной кромке (не будет отрыва ленты от выходной кромки) при изменении угла схода ленты в гораздо более широком диапазоне, чем в случае, когда пластина отсутствовала, поскольку благодаря пластинке выходной градиент давления заведомо отрицателен:
В точке = 0 крепления пластины к выходной кромке распределительного устройства с увеличением угла схода ленты давление (р(0) = А = (1 - )/3) падает, а градиент давления (dp(0)/d = -А=-1)/3) и толщина (Л(0) = 1-+A = \ + +( —1)/3) возрастают; при 1 давление положительно (р(0) 0), градиент давления отрицателен (ф(0)/а 0), а толщина меньше расходной (Л(0) 1); при 1 - наоборот: давление отрицательно (р(0) 0), градиент давления положителен (ф(0)/а 0), а толщина больше расходной (/?(0) 1).
Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия
В настоящей работе проведено теоретическое обоснование метода уменьшения пульсации выходного расхода [Ошибка! Источник ссылки не найден.]. Для приближенного описания гидродинамического процесса в рабочей части устройства физико-математическая модель [70, 71] дополнена соотношениями, учитывающими конструктивные особенности поливочной головки (рис. 4.1). Проведен приближенный анализ стационарного течения в рабочей зоне и исследован процесс распространения малых возмущений. С помощью асимптотических и численных методов исследовано течение жидкости между лентой и пластиной при колебаниях угла схода ленты.
Рассмотрим сначала подробно процесс нанесения покрытия по принципу ленточного подшипника в отсутствие свободно поворачивающейся пластинки (рис. 4.1). При составлении уравнений процесса примем следующие основные допущения.
1. Рабочая поверхность поливочной головки жесткая, гладкая и состоит из двух цилиндрических секторов одинакового радиуса R, смещенных друг относительно друга вдоль общей нормали на величину H в месте подачи жидкости (рис. 4.1).
2. Лента бесконечной ширины абсолютно гибкая, нерастяжимая, невесомая и гладкая.
3. Жидкость однородная, ньютоновская и несжимаемая.
4. Силы инерции и гравитации, действующие на жидкий материал покрытия, пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкого трения.
5. Щель, через которую подается жидкость, узкая, а слой жидкости (смазочная пленка), который разделяет ленту и поверхность поливочной головки, тонкий (т.е. ширина щели и толщина пленки много меньше любого другого линейного размера распределительного устройства).
Таким образом, рассматривается одномерный (плоский) случай. Введем криволинейную координату 5, отсчитываемую от места подачи жидкости вдоль поверхности распределительного устройства в направлении движения ленты. Область G, заполненная жидкостью и граничащая с поверхностями устройства и ленты, определится неравенствами:
G = {(s, z): 0 z h(s, t), s_ s s+ }, где 5_ и 5+ - соответственно входная и выходная границы области гидродинамического контакта ленты и поверхности устройства; z -координата, отсчитываемая по нормали к поверхности устройства; h(s,t) -толщина смазочной пленки (величина зазора), і - время. Жидкость из распределительного устройства подается в точке 5 = 0.
В соответствии с принятыми допущениями и с учетом того, что производная толщины пленки /dh/ds/« 1, в области G имеет место обобщенное течение Куэтта при наличии градиента давления. Для такого течения объемный расход q(s,t) жидкости, приходящийся на единицу ширины ленты, равен где U - скорость движения ленты (q = Uh0 /2, где Д, - расходное значение толщины пленки, соответствующее нулевому градиенту давления); p(s,t) -давление в смазочной пленке, отсчитываемое от атмосферного (поперек пленки давление не изменяется); - динамическая вязкость жидкости. Уравнение неразрывности жидкости имеет вид: где 7(5, /) - натяжение, приходящееся на единицу ширины ленты; (5,/) касательное напряжение, действующее на ленту со стороны жидкости,
в) скачкообразное изменение толщины смазочной пленки на высоту Н ступеньки, которую образуют сектора рабочей поверхности поливочной головки, смещеные друг относительно друга,
h/s =_0 = h/s = + 0 + Н. (4.9.)
Вверх по движению ленты за входную границу 5 = 5_ области течения G жидкость отсутствует (имеется только воздух), поскольку в некоторой точке левее 5 = 5_ лента достигает распределительного устройства, касаясь его поверхности, благодаря чему перед ступенькой образуется запирающий участок с возвратным течением, который направляет подаваемую жидкость вниз по движению ленты (в противном случае при положительной высоте ступеньки (Н О) жидкость вытекала бы из распределительного устройства вверх по движению ленты, а вниз по движению происходил бы почти сухой контакт ленты и поверхности поливочного устройства и никакого покрытия на ленту не наносилось бы). Это условие имеет вид: где р+к - выходное капиллярное давление (р 0); - угол схода ленты, отсчитываемый от касательной к поверхности распределительного устройства в точке схода (при s=s+). Угол положителен, если лента отходит от поверхности поливочной головки (рис. 4.1).
Система уравнений (4.1.) – (4.5.) вместе с условиями сшивки (4.6.) – (4.9.), входными (4.10.) – (4.13.) и выходными (4.14.), (4.15.) граничными условиями представляет собой математическую модель течения жидкости в области G . Неизвестными функциями координаты s и времени t в данной модели являются: расход q жидкости, толщина h смазочной пленки, давление p в ней, касательное напряжение на поверхности ленты и натяжение T ленты. Неизвестно и положение s- входной границы области G . Выходная граница s = s+ области G расположена на выходной острой кромке распределительного устройства s = b (см. рис. 4.1), если угол схода ленты не превышает некоторого своего критического значения кр . Это заведомо выполняется при отрицательном градиенте давления вблизи выходной границы. При кр выходная граница отходит от выходной кромки и становится неизвестной, а для ее определения требуются дополнительные условия.
Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия
Из проведенного анализа следует, что для уменьшения длиннопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия необходимо понижать низкочастотные (ниже пороговой частоты) колебания подаваемого расхода, натяжения и скорости движения ленты. Для уменьшения короткопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия следует демпфировать высокочастотные (выше пороговой частоты) колебания угла схода ленты, обусловленные воздействием переменного выходного натяжения на несколько провисающую ленту после выхода ее из зоны контакта с поливочным устройством. В частности, желательно исключить фрикционные автоколебания, которые возможны при скольжении в режиме сухого трения ленты по поверхности распределительного устройства вверх по движению за входную границу s-области течения G .
Как показали экспериментальные исследования, существенное снижение короткопериодической неоднородности толщины наносимого покрытия достигается путем небольшого усовершенствования поливочной головки. Таким усовершенствованием является свободно поворачивающаяся тонкая плоская пластинка длины l , прикрепленная к выходной кромке поливочной головки (рис. 4.2), которая разглаживает указанные неоднородности. Рабочая поверхность распределительного устройства при этом увеличивается за счет пластинки; в выходной зоне появляется дополнительный участок: b s b+l , а выходная граница s = s+ области течения G оказывается расположенной на свободной (выходной) кромке пластины: s+ = b+l .
Оснащение поливочной головки свободно поворачивающейся пластинкой приводит к изменению картины течения жидкости лишь в выходной зоне. Безразмерная система уравнений, описывающая течение в выходной зоне в этом случае примет вид (ср. с (4.69.)): = 0,
Здесь длина 1 пластинки отнесена к характерному размеру выходной зоны st = Д(6Л / T ) l/3 (см. (4.66.)).
Для эффективного "разглаживания" неоднородностей толщины наносимого покрытия можно использовать небольшую пластинку. Достаточно, чтобы безразмерная длина пластинки удовлетворяла условию: \«1« s+/s +. При выполнении этого условия, что и будем предполагать в дальнейшем, вблизи обеих кромок пластины возникают погранслои, удаленные друг от друга на расстояние 1, а натяжение ленты практически не изменяется на длине пластинки: Т = Т+, є (0;/).
В месте крепления пластинки не должно быть излома ленты, а расход q, давление р, толщина h должны быть непрерывными при = 0 (условия сшивки): где п(0 - отнесенный к , = st/R = (h/R)(6U /Т ) 1 /3 угол поворота пластины, отсчитываемый в положительном направлении от касательной к поверхности распределительного устройства в точке крепления пластины (при = 0). И хоть теперь лента отходит от поверхности пластины в районе ее выходной кромки (при = 1), угол (/) схода ленты по-прежнему отсчитываем от касательной к поверхности распределительного устройства в точке крепления пластины (при = 0) и относим к = st/R.
На выходной кромке пластины граничные условия имеют вид (ср. с (4.71.)):
Решение системы (4.101.) должно удовлетворять условиям сращивания с центральной зоной по расходу и ограниченности давления при
Поскольку пластинка считается плоской, тонкой, жесткой, невесомой и свободно поворачивающейся в точке ее крепления к острой выходной кромке распределительного устройства, момент сил, действующих на пластинку относительно указанной точки крепления, должен равняться нулю: pd = 0. Данное условие отсутствия момента сил в точке крепления пластинки с учетом выражения (4.101.) для давления на промежутке (0;7) после однократного интегрирования по частям примет вид: dh h/ !-h/ = . (4.105.) д , г\ = і Условие отсутствия момента сил в точке крепления пластинки позволяет определять угол п(0 поворота пластины в зависимости от угла (/) схода ленты, скорости U(t) ее движения и выходного натяжения T+(t).
Похожие диссертации на Асимптотические методы в конткатной гидродинамике
