Численное исследование турбулентных течений в открытых каналах и руслах на основе модели мелкой воды Чуруксаева Владислава Васильевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Обзор литературы по проблеме численного моделирования речных потоков 11

1.1 Задачи численного моделирования речных потоков 11

1.2 Основные уравнения и краевые условия 15

1.3 Моделирование турбулентности 26

1.5 Моделирование распространения загрязнений 34

1.6 Моделирование наводнений в период весеннего паводка (подходы и основные результаты) 37

1.7 Численные методы решения уравнений гидродинамики 44

2 Постановка задачи о течении и переносе примеси в турбулентных речных потоках 48

2.1 Физическая постановка задачи 48

2.2 Математическая постановка задачи 48

2.3 Модель турбулентности 51

2.4 Граничные условия 53

3 Численный метод решения задачи и результаты моделирования 56

3.1 Численный метод 56

3.2 Результаты тестирования 65

3.3 Расчет течений в турбулентных речных потоках 92

4 Численное моделирование двухфазного турбулентного течения смеси «вода – легкие частицы» в открытых каналах и реках 113

4.1 Описание проблемы и обоснование выбора области исследования 113

4.2 Физическая постановка задачи 114

4.3 Математическая постановка задачи 115

4.4 Численный метод решения уравнений гидродинамики 126

4.5 Результаты тестирования 128

4.6 Моделирование локального подтопления прибрежных населенных пунктов во время весеннего ледохода 137

Заключение 143

Список литературы 146

• Моделирование турбулентности
• Численные методы решения уравнений гидродинамики
• Математическая постановка задачи
• Численный метод решения уравнений гидродинамики

Введение к работе

Актуальность работы. Поведение водного объекта оказывает

существенное влияние на жизнь и деятельность человека. Ухудшение качества воды в реке в связи со сбросом сточных вод от промышленных предприятий и крупных городов, затопление прибрежных территорий во время локальных весенних паводков, деформации русла реки, угрожающие постройкам, значительно влияют на жизнь города. Экспериментальное исследование водоемов сопряжено с рядом экономических и технологических трудностей и требует проведения большого объема измерений на протяженном отрезке времени для выявления тенденций, в то время как математическое моделирование позволяет получить картину течения и дает возможность оценить последствия хозяйственной деятельности. Математические модели, сочетающие детальность описания течения с приемлемой для решения практических задач вычислительной сложностью, очень востребованы при изучении процессов, происходящих в окружающей среде.

В настоящее время чистая пресная вода становится одним из дефицитных ресурсов. Большинство крупных городов и промышленных центров расположено на берегах рек. Математическое моделирование распространения загрязняющих веществ, попавших в реку в результате деятельности человека, позволяет решать задачи оптимизации расположения сбросов в реку сточных вод, оценки необходимой степени их очистки перед сбросом в водоем, а также определения участков накопления примесей в реке, где водоем не может использоваться в рекреационных целях.

Намного менее изученной проблемой является применение

математического моделирования для прогноза появления и оценки последствий локальных наводнений, зачастую вызываемых загромождением льдинами речного русла во время ледохода. Особое внимание в данной задаче заслуживает построение модели движущихся в потоке ледяных частиц. Вопросы моделирования двухфазных течений жидкости с твердыми частицами возникают во многих задачах, связанных с моделированием течений в окружающей среде.

Большой вклад в моделирование гидродинамики естественных водоемов внесли А.В. Караушев, О.Ф. Васильев, В.А. Шлычков, В.В. Беликов, А.Т. Зиновьев, И.И. Потапов, В.И. Кузин, Е.А. Цветова, В.И. Квон, П.Ю. Пушистов, С.С. Храпов, А.Л. Чикин, В.М. Белолипецкий и другие отечественные исследователи. А также зарубежные ученые X. Wang, H.T. Shen, W. Rodi, M.-E. Vasques-Cendon, L. Yu, S. Beltaos, S. Kang, A.N. Sukhodolov, W. Wu.

При построении моделей следует учитывать, что корректное

моделирование течения в водоеме невозможно без адекватного описания турбулентного переноса и перемешивания. Модель турбулентности при этом должна сочетать относительную простоту, позволяющую применять ее для расчетов течений с подвижной границей в областях с нерегулярной геометрией, и учитывать наиболее существенные факторы, определяющие структуру потока.

Целью диссертационной работы является разработка гидростатических математических моделей и численных методов для исследования однофазных и двухфазных изотермических турбулентных течений несжимаемой жидкости в открытых каналах и руслах рек.

Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка мезомасштабных математических моделей однофазных и двухфазных турбулентных изотермических течений воды в открытых каналах или речных руслах в гидростатическом приближении.

2. Разработка эффективных численных методов, опирающихся на использование структурированных сеток, явных и неявных разностных схем высокого порядка аппроксимации.

3. Апробация разработанных численных моделей с помощью проведения расчетов течений в открытых каналах, верификация результатов сравнением с существующими результатами экспериментальных исследований, расчетами с использованием ANSYS Fluent и расчетами других авторов.

4. Проведение методических расчетов для выявления параметров, оказывающих наибольшее влияние на структуру однофазных и двухфазных турбулентных течений в открытых каналах.

5. Моделирование распространения загрязняющих веществ на участке р. Томь около г. Томска с использованием модели Стритера-Фелпса самоочищения воды. Проведение вычислительных экспериментов по оценке возможности применения модели для прогнозирования локальных наводнений во время весеннего паводка.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

6. Построена мезомасштабная математическая модель стационарного турбулентного изотермического течения в открытом русле реки с применением двухпараметрической модели турбулентности и с учетом влияния на поток донного трения и силы Кориолиса. Разработан новый численный метод решения уравнений модели на основе неявной разностной схемы второго порядка точности и оригинальной модификации итерационной процедуры получения согласованного решения уравнений модели, заключающейся в учете изменения глубины потока в уравнениях модели.

7. С помощью построенной математической модели, дополненной модификацией модели Стритера–Фелпса, впервые получены результаты численных расчетов течения в реке Томь около г. Томска и распространения примеси в ней с учетом турбулентности речного течения. Смоделировано распространение примеси от стационарных и мгновенных источников с учетом реальных морфометрических и гидрологических данных. Показано определяющее влияние турбулентности на формирование областей рециркуляции течения и распределение примеси в речном потоке.

8. Разработана новая математическая модель нестационарного турбулентного двухфазного изотермического движения смеси «вода – ледяные частицы», являющегося приближенным представлением потока в русле реки во время весеннего ледохода. Модель учитывает скоростное скольжение фаз, соударение частиц между собой, влияние турбулентной структуры несущего

частицы потока, трение жидкости и частиц о дно канала и прибрежные отмели, предсказывает положение границ водоема при изменении уровня воды.

Разработан новый численный метод решения уравнений модели нестационарного двухфазного течения на основе явно-неявных разностных схем. Метод позволяет проводить расчеты для неоднородного распределения частиц вплоть до их отсутствия.

4. На основе разработанных модели и метода впервые численно было показано, что на характер двухфазного течения в большей мере оказывают влияние резкое изменение рельефа дна канала и форма частиц, чем поворот потока. Вычислительные эксперименты показали возможность применения такого подхода для предсказания локальных наводнений за счет переуплотнения ледяных частиц.

Теоретическая значимость полученных результатов выражается в развитии математических моделей механики взаимодействующих взаимопроникающих континуумов, а именно, в построении математической модели нестационарного изотермического двухфазного течения смеси «вода -ледяные частицы» и в развитии численных методов решения уравнений гидродинамики.

Практическая значимость проведенных исследований заключается в создании комплекса гидродинамических моделей и вычислительных программ на их основе, позволяющих моделировать мезомасштабные течения в открытых речных потоках с точностью, достаточной для решения таких задач как расчет пространственного распространения примеси и предсказание формирования ледовых заторов и вызванных ими локальных затоплений во время весеннего ледохода.

Полученные новые численные результаты могут быть использованы для прогнозирования поведения водного объекта при различных атмосферных и гидрологических условиях, а также антропогенном вмешательстве.

Методология и методы исследования. Моделирование турбулентного течения со свободной поверхностью проводится с помощью численного решения уравнений математических моделей в приближении «мелкой воды», описывающих речное течение с частицами льда или без них. Численные аппроксимации уравнений модели строятся с помощью метода конечного объема.

Основные положения, выносимые на защиту:

9. Мезомасштабная математическая модель стационарного турбулентного изотермического течения в открытом русле реки, замкнутая с помощью двухпараметрической к-е модели турбулентности и учитывающая влияние на поток донного трения и силы Кориолиса. Новый численный метод получения согласованного решения уравнений модели.

10. Новые результаты численных расчетов течения и качества воды в реке Томь, показывающие определяющее влияние турбулентности на формирование областей рециркуляции течения и распределение примеси в речном потоке.

11. Математическая модель нестационарного турбулентного двухфазного изотермического движения смеси «вода - ледяные частицы» в

гидростатическом приближении и численный метод решения уравнений модели на основе явно-неявных разностных схем.

4. Новые результаты численных расчетов двухфазного течения воды с легкими частицами в открытых каналах, демонстрирующие зависимость структуры потока от параметров дисперсной фазы. Результаты расчетов течения в реке Томь во время весеннего ледохода.

Достоверность полученных результатов исследования следует из
применения при построении математических моделей фундаментальных
законов механики жидкости и механики взаимодействующих

взаимопроникающих континуумов, использования при разработке численных методов устойчивых сходящихся разностных схем, и подтверждается согласованием с экспериментальными результатами, расчетами, полученными с помощью лицензированного пакета программ ANSYS Fluent, а также с результатами теоретических исследований других авторов.

Личный вклад автора. При работе по теме диссертации автор принимал участие в постановке задач, построении математических моделей и численных методов для исследуемых течений, осуществлял тестирование построенных численных моделей, участвовал в получении основных результатов диссертационной работы, провел их обработку и обоснование.

Апробация работы. Полученные фундаментальные и прикладные результаты были представлены на 14 конференциях различного уровня среди которых: международная конференция «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (Новосибирск, 2014, 2015), «VIII Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям» (Томск, 2015), 4^th International Young Scientists Conference (Athens, Greece, 2015), International Conference «Mathematical and Information Technologies, MIT-2016», (Vrnjacka Banja, Serbia – Budva, Montenegro, 2016), IX всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2016), XVII Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2016).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, из них 3 статьи в научных журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (в том числе 1 статья в журнале, индексируемом Web of Science), 8 публикаций в сборниках международных и всероссийских научных конференций (из них 1 зарубежная конференция). Общий объём публикаций – 2,71 п.л., авторский вклад – 1,36 п.л.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 135 наименований. Общий объем работы составляет 159 страниц, включая 52 рисунка и 5 таблиц.

Моделирование турбулентности

Одной из первых попыток моделирования крупномасштабных течений можно назвать модель речного бассейна Stanford Watershed Model (SWM), разработанную в Стэндфордском университете, которая была впервые опубликована в 1962, а затем в 1966 [15]. С помощью SWM модели исследовались такие проблемы как: перенос радионуклидов, перенос наносов, накопление и таяние снега, моделирование качества воды и др. Модель относится к классу имитационных моделей, для вычисления характеристик течения используются эмпирические соотношения, полученные на основе экспериментальных данных.

По мере развития математических моделей и численных методов со второй половины XX в. математическое моделирование все шире применяется для исследования различных процессов, протекающих в естественных водоемах. Наиболее часто возникающие на практике задачи, связанные с необходимостью моделирования течения в русле реки с определенной точностью – это моделирование деформаций русла под воздействием потока и хозяйственной деятельности человека, моделирование распространения примеси, попавшей в водоем в результате аварийного сброса или постоянно поступающей в результате деятельности промышленных предприятий, и моделирование затопления прибрежных территорий в результате прорыва плотин и чрезвычайных ситуаций на технологических сооружениях. Намного менее изученной проблемой является применение математического моделирования для прогноза возникновения и оценки последствий локальных наводнений, возникающих во время ледохода.

Большинство крупных городов и промышленных центров расположено на берегах рек. Реки зачастую одновременно служат источником питьевой воды, местом сброса сточных вод промышленных предприятий и ливневой канализации города и местом отдыха горожан. Из-за увеличения численности населения в городах, развития промышленности, внедрения большого количества химических веществ в сельскохозяйственной деятельности антропогенная нагрузка на реки возрастает. Из-за сброса загрязняющих веществ исчезают многие виды рыб и растений, нарушается кислородный баланс водоема, что приводит к «цветению» воды, повышает содержание азота фосфора и хлорсодержащих веществ. Многие из этих веществ в силу особенностей сферы применения и несовершенства систем водоочистки стоков попадают в реки без какой-либо очистки и содержат значительное количество органических веществ. Для малых рек, протекающих по населенным пунктам, существенной проблемой является сброс бытового и промышленного мусора. Даже химически нейтральные примеси оказывают существенное влияние на качество воды, уменьшая ее прозрачность и образовывая донные отложения. Математическое моделирование таких процессов, как правило, осуществляется с использованием различных моделей конвекции-диффузии.

Деформации русла рек и транспорт наносов Водные потоки в реках несут большое количество твердых частиц-наносов, которые, осаждаясь на дно, оказывают существенное влияние на формирование русла реки. Задача о движении наносов состоит в моделировании двух основных процессов: изменения толщины наносов за счет оседания и поднятия примесей, определяющего массообмен между потоком и дном, и движение активного слоя наносов под действием касательного напряжения, вызываемого потоком. Математические модели переноса наносов строятся на основе обширных знаний речной гидравлики и эмпирических соображений. Важнейшими факторами, определяющими формирование русла, являются расход воды в реке, уклон речного русла, соотношения пропускной способности потока и количества твердых частиц (наносов), которые поступают с потоком и поперечные течения, возникающие под влиянием силы Кориолиса, при воздействии впадающих притоков, а так же в силу извилистости русла. Таким образом, точность решения задачи о формировании речного русла существенно зависит от гидродинамической модели течения реки. Это делает, изучение формирования русла невозможным без учета турбулентности речного потока, существенно влияющей на осаждение тяжелой примеси. Затопление территорий в пойме реки во время весеннего ледохода

При вскрытии северных рек наблюдается такое явление как ледоход. Процессы замерзания и вскрытия рек, а также формирования заторов из крупных льдин сложно поддаются прогнозированию из-за трудности выполнения полевых исследований и потому весенние паводки, связанные с таянием снега и вскрытием реки ото льда часто являются причиной чрезвычайных ситуаций связанных с наводнениями в городах и особенно небольших поселках.

Ледовый затор – это скопление льдин в русле реки во время ледохода, вызывающее стеснение водного сечения и связанный с этим подъем уровня воды. Заторы обычно образуются в местах сужения рек, излучинах и на отмелях, где проход льдин затруднен в силу небольшой площади живого сечения реки, большого сопротивления берегов или низкой скорости потока. Образование ледового затора приводит к уменьшению свободного сечения реки и, следовательно, к увеличению скорости потока, что в свою очередь приводит к размыву дна, особенно, если русло сложено рыхлыми породами. При внезапном разрушении ледового затора, вода и лед большой массы начинают быстро двигаться, размывая и деформируя берега и пойму и нанося урон инфраструктуре. Существующие методы борьбы с ледовыми заторами и вызываемыми ими наводнениями (расчистка русла, берегоукрепительные работы, отвод воды, искусственное ослабление льда) широко применяются на практике, однако требуют научного обоснования и прогнозирования возможных последствий для конкретной реки [16].

Численные методы решения уравнений гидродинамики

Рассматривается стационарное турбулентное изотермическое движение несжимаемой ньютоновской жидкости, несущей инертную примесь, в области сложной геометрии. Область представляет собой участок открытого речного русла с островами и нерегулярным дном. Характеристики течения незначительно меняются со временем, и потому течение считается стационарным. Движение воды в реке определяется силами гравитации и трения. Кроме того учитывается влияние на течение силы Кориолиса. Предполагается, что распределение давления является гидростатическим, горизонтальные размеры области существенно превосходят вертикальные и средние характеристики течения слабо меняются в вертикальном направлении. Теплофизические свойства воды (вязкость, плотность, диффузия) считаются постоянными.

Опишем теперь математическую модель течения и переноса примеси в открытом канале или реке. В условиях сделанных ранее предположений представление о течении в русле реки можно получить, решая двумерные уравнения для осредненных по глубине гидродинамических величин, которые получаются из уравнений Рейнольдса интегрированием по глубине h (см. главу 1). Математическая модель включает уравнение неразрывности д(Ш) d(hv) _ дх ду уравнения движения d(hu2) d(huv) ,d(zh+h) \d(hx ) 1 д(Их) (x ) _(x ) дх ду дх p дх p ду p d(huv) d(hv2) d(zb+h) \d{hxyx) \ d{hxyy) (тД {xyz) y + = -ghJi + + + yzs yzD -hF дх ду ду p дх p ду p

Здесь h(x,y) - глубина,й(х,у), v(x,y) - осредненные по глубине значения компонент вектора скорости w = (и, v); zb(x,y) - рельеф дна; р - плотность воды, g = 9.81м/с2 - ускорение свободного падения; т ,т ,т ,т - осредненные по глубине компоненты тензора вязких напряжений и напряжений Рейнольдса; (Txz)sXTxz)bXT )sXT z)b – трение на поверхности воды и дне, соответственно. Предполагаем, что в рассматриваемом случае ветровое трение не оказывает на речные течения значительного влияния и потому не учитывается в модели. Осредненные по глубине компоненты силы Кориолиса Fx,Fy определяются следующим образом: Fx = -4тг / xsin(lat)v; Fy=4n/xsin(lat)u. lot - географическая широта, т - продолжительность суток в секундах.

Для расчета распространения загрязняющих веществ, скорость движения которых совпадает со скоростью речного потока и концентрация которых в воде относительно невелика, в работе используется следующее уравнение переноса концентрации примеси дх ду дх ду u z,s v z,b} где с - осредненная по глубине концентрация примеси; qx,q - диффузионные и турбулентные потоки массы; S - источник примеси; (qz)s,(qz)b - потоки примеси на поверхности и дне (осаждение) соответственно.

В силу того, что в данной работе моделируется распространение примеси относительно небольшой массы (в сравнении с массой текущей воды), поступающей в реку с низкой скоростью, предполагается, что вблизи выброса не возникает существенных трехмерных турбулентных эффектов. Кроме того, предполагается, что примесь не осаждается и не поступает через поверхность воды, т. е. потоки массы на поверхности и дне водоема равны 0 ((?,).=0, Ы,=0). Для получения неизвестных значений компонент тензора напряжений f в уравнениях модели используются соотношения Буссинеска [104]: т d ) т _Зм 2 - TW , _4dv 2у =(v + v,)[ —+ —, = 2(v + v,)— --k, = 2(v + vt)— --2 , (2.1) р ду дх V чг " j р "дх 3 р ду где v - молекулярная кинематическая вязкость воды, v, - турбулентная вязкость, к - кинетическая энергия турбулентности, 5гу - символ Кронекера. Потоки массы примеси определяются из соотношений, подобных V V + соотношениям Буссинеска: qi KSc SctJ де дх хі = х,у; Sc, Sct - молекулярное и турбулентное числа Шмидта [104]. Подставляя (2.1) в уравнения движения, получим: д дх 2d(hk) д Т + vJi V Tx З дх ду V д ду ди dv — + — ду дх dv} ду + 2 v /г v /2 dhu dhv + = 0; d(zb + h) дх + 2 дх ду д{Ш2) d(huv) + -gh ду 7Г дх CO xzb + 4-s{n(lat)vh; P x d(huv) d(hv2) ,d(z,+h) д + = -2h + — дх ду ду дх yz -4—sin(lat)uh; р х ди dv — + — ду дх J 2dhk зфГ д(кйс) d(hvc) д + = — дх ду дх Трение ЛГ — v эфф дх о V + д ду иг ду дно + Sh. определяется как где c эмпирический (z„)b=pc (u2+V2)\( )b=pcfv(u2+V2)\ коэффициент трения, зависящий от физических характеристик русла или канала [105], v v V Sc Sc эфФ=У + чпГэфф = 2.3 Модель турбулентности Для учета переноса, генерации, диффузии и диссипации турбулентных вихрей в данной работе для замыкания уравнений мелкой воды применяется к-е модель турбулентности, построенная Растоги и Роди [69] из оригинальной к-г модели Лаундера и Сполдинга [55] для замыкания уравнений Рейнольдса. Уравнения для осредненных по глубине значений турбулентной вязкости v,, кинетической энергии турбулентности к и диссипации є имеют вид:

Математическая постановка задачи

Заметим, что при записи обобщенного уравнения «конвекции-диффузии» источниковый член имеет вид S = S0+SoO, т.е. используется «линеаризованная» форма для его записи, причем S0 и S0 формируются таким образом, чтобы, по возможности, достичь выполнения условий S0 0, S0 0. Такой способ представления источника в случае использования для решения системы уравнений гидродинамики неявных разностных схем обеспечивает «усиление» условия строгого диагонального преобладания матрицы системы сеточных уравнений, что, безусловно, повлияет на скорость сходимости используемых для решения итерационных методов релаксации или явного метода Н. И. Булеева [111].

Алгоритм решения сеточных уравнений Получим сначала формулы итерационного алгоритма. Предположим, что начальное приближение для компонент вектора скорости u(x,y),v(x,y) (здесь и далее черту, обозначающую осреднение, опускаем) и глубины потока h(x,y) известно из физических соображений. Уточнение значений этих характеристик, удовлетворяющих соответствующим уравнениям мелкой воды, будем проводить с помощью итерационной процедуры. Используя полученные на предыдущей итерации «/» значения глубины потока, рассчитаем компоненты скорости из следующих сеточных аналогов уравнений движения [102]:

При решении данных уравнений И принимается в качестве приближенного решения. Далее уравнения (3.1) и (3.2) решаются методом нижней релаксации (а = 0.2-0.5). Полученные в результате значения и У являются приближенными и не удовлетворяют в общем случае разностному уравнению неразрывности. Потребуем, чтобы на следующей итерации «/+1» все уравнения выполнялись точно, т. е. «+1 = Х Х" + (Г -№)+%, (3.3) пЬ +1=1, ь-С+ Гя№-К+1) + Ь: (3.4) пЪ и вычтем из полученных уравнений (3.3), (3.4) соответствующие уравнения (3.1) и (3.2). {С - ) = ь{ -Kb) + d:(hf -ИЕ-К;1 +КР\ (3.5) пЪ ( 1-v )=z ( 1- )+ ( 1- - 1+Ai). (3.6) пЪ Обозначим разность между «точным» (hp+1) и заданным приближенно (Нр) значениями глубины в заданной точке сетки hp = hp1-hp, назовем ее поправкой глубины по аналогии с авторским обозначением из [102].

Далее, в соответствии с идеей авторов алгоритма SIMPLE, отбросим слагаемые aunb\ii -unb\ (v 1 -v 6\ В противном случае уравнения для пЪ пЪ определения компонент скорости содержали бы значения скорости потока во всех точках сетки, что существенно усложнило бы вычисления, значительно не влияя при этом на результат.

Граничные условия Для полученного сеточного уравнения используются следующие граничные условия: на входе в область исследования и на боковых границах, где известно значение нормальной компоненты скорости, используются простые градиентные условия для поправки глубины (равенство нулю дискретной производной на границе). На выходе из рассматриваемой области считается, что значение глубины потока не меняется, т. е. hout = 0. Полученная СЛАУ v n n + + + { И d" hi du h d: hi d Axauw Axaue Ay a] Ay avn hp + %-%-h + hw + h + -hi =- u + u - Г+ Г Axa u e E Axa u ww Ay a v n N Ay a] s Ax e Ax w Ay n Ay s решается методом неполной факторизации (явный метод Н. И. Булеева) [112]. Метод неполной факторизации опирается на идею построения метода прогонки и выполняется в 2 этапа. На первом этапе вычисляются прогоночные коэффициенты (в применяемом варианте алгоритма обход матрицы осуществляется по столбцам от левого нижнего угла), на втором этапе вычисляются искомые значения в узлах сетки (обход по строкам от верхнего правого угла матрицы). Условием устойчивости метода является диагональное преобладание элементов матрицы СЛАУ.

Таким образом, предлагаемый алгоритм итерационного уточнения неизвестных сеточных значений компонент скорости и глубины руслового потока можно представить следующим образом [113]: Предложенный метод отличается от известных модификаций SIMPLE-алгоритма тем, что в уравнении неразрывности учитывается изменчивость h , в то время как в [35,68,36] учет изменения h осуществляется только при аппроксимации производных в первых членах правой части уравнений движения

Учет изменения глубины потока в уравнении неразрывности позволяет существенно сократить число глобальных итераций и повысить качество предсказания. Сравнение результатов расчетов для тестового случая 2 (канал с плавным поворотом) (см. п. 3.2) с помощью предложенного итерационного алгоритма и метода, изложенного в [68] не выявило заметных отличий, однако, предложенный в данной работе алгоритм позволил сократить количество итераций на 8 %. 3.2 Результаты тестирования

С помощью разработанной модели и численного метода были проведены расчеты некоторых тестовых сценариев, иллюстрирующих различные режимы течений в открытых каналах, влияние на течения трения и рельефа дна. Для оценки полученных результатов приведено сравнение расчетов с экспериментальными данными, а также расчетами, представленными в [36,77]. Сравнение позволяет судить о том, насколько точно расчеты в приближении мелкой воды отражают картину течения, полученную экспериментально и рассчитанную с помощью трехмерной модели, построенной с помощью ANSYS Fluent.

Расчеты турбулентного течения в лабораторных установках Моделирование течений в открытых каналах является одним из самых распространенных приложений двумерной модели мелкой воды. При резком изменении геометрии канала происходит отрыв течения и образование области рециркуляции течения. При моделировании речных течений такие ситуации возникают вблизи обтекаемых препятствий (волнорезов, островов). В [24] отмечается, что рециркуляции течения оказывают существенное влияние на распределение загрязняющих веществ в потоке, аккумулируя их. Кроме того, резкое изменение направления течения или наличие боковых притоков может вызывать проявление трехмерного характера турбулентности, и, соответственно, ухудшить достоверность численного прогноза с использованием осредненных по глубине уравнений.

Численный метод решения уравнений гидродинамики

Сравнение графиков на рисунке 3.30 показывает, что хотя все схемы хорошо предсказывают положение максимального значения концентрации, однако схемы более высоких порядков аппроксимации (MLU, MUSCL) фиксируют более резкое уменьшение концентрации примеси вдоль рассматриваемой границы области. При этом рассчитанные с использованием схем MLU и MUSCL значения для моделируемого случая почти совпадают. Противопотоковая схема первого порядка максимальные значения схемной вязкости проявляет в областях течения, где вектор скорости направлен под углом 45 градусов к линиям сетки [102], и поэтому приводит к существенному сглаживанию поперечных профилей концентрации в области рециркуляционного течения. 3.3 Расчет течений в турбулентных речных потоках

Как следует из обзора, приведенного в главе 1, наибольшее влияние на деформации русла, перенос загрязнения и движение льда во время ледохода оказывают изгибы, разветвления речного русла и острова.

Разработанные математическая модель и численный метод были применены к исследованию стационарного турбулентного течения в небольшой неглубокой реке, русло которой резко изменяет направление. Данный расчетный случай представляет интерес, так как моделирует течение в значительно большем масштабе, чем показывают тестовые расчеты в лабораторных условиях. Для исследования был выбран участок реки Доммель длиной около 250 м, расположенный в 3 км от границы Бельгии и Нидерландов. Русло реки на данном участке имеет два поворота с прямым участком между ними, что предполагает формирование крупных двумерных турбулентных структур, а также прямых входного и выходного участков длинны, достаточной для стабилизации течения, что облегчает задание граничных условий [118]. Ширина русла на исследуемом участке приблизительно равна 6м. Река Доммель имеет практически ровное на прямых участках и слегка деформированное на поворотах песчаное дно и отвесные берега. В [119] отмечается, что на небольшом участке рядом с сечением 30 имеется выступ берега. Учитывая описанные характеристики русла, коэффициент Маннинга для данного расчетного случая задавался равным 0,02 [105]. Кроме того, в расчетах учитывалось влияние силы Кориолиса на широте 50.

Построение цифровой модели рельефа дна реки, а также валидация полученных результатов расчетов выполнялась с помощью данных измерений, проведенных H. J. de Vriend, H. J. Geldof и представленных в [119]. Измерения отметок дна проводились в 52 поперечных сечениях (рисунок 3.31) реки и содержат величины приблизительно для 20 точек в каждом из них. Для 23 сечений кроме этого были измерены уровни свободной поверхности, а также скорость потока в направлении, перпендикулярном линии сечения. Значения скорости измерялись в течение 30 с (и далее осреднялись) в точках, расположенных на равноотстоящих вертикальных линиях. В каждой из точек проводились измерения скорости на различной глубине приблизительно через 0,1 разности между уровнем дна и свободной поверхности в данной точке. Для сравнения с результатами расчетов полученные из отчета [119] значения скоростей были осреднены по глубине следующим образом: Чх,У)=Ых,У,:)± ±«х,У,:) + «х,У, ») , где zb, zb =1 ZS1 отметки дна и свободной поверхности соответственно; u(x,y,zt), u(x,y,zi+1) - измеренные скорости в двух соседних по глубине точках; di - расстояние по глубине между соседними точками с измерениями, п - количество измерений по глубине для данной точки. Согласно [119], во время измерений скорость на входе в рассматриваемый участок равнялась 0,85м/с, средняя глубина потока составляла около 0,5м, что соответствует расходу 2,5м3/ с, Re = 425000, Fr = 0,384.

Построение цифровой модели рельефа дна реки на основе данных измерений осуществлялось по следующему алгоритму: 1. По левым и правым границам отрезков, вдоль которых проводились измерения, первому и последнему поперечному сечению строится расчетная область (участок реки). 2. Согласно идее метода фиктивных областей, построенная область вписывается в прямоугольник, который покрывается структурированной прямоугольной сеткой. 3. Для каждого узла сетки x определяется его принадлежность рассматриваемой области течения (реке): а) если x лежит вне границ реки, высотная отметка задается равной 30 м, что заведомо больше измеренных данных для свободной поверхности. б) Если узел сетки x попадает в границы реки: 1) Определяются номера ближайших сечений (i, i+1), между которыми располагается узел x. 2) Пусть ґє[0;і] - параметр, определяющий положение узла на сечении. Строится семейство отрезков 1(f) такое, что их границы лежат на сечениях / и /+1 и делят их в одинаковой пропорции. Т. е. t=0 соответствует точке, лежащей на левой границе реки, t=1 - точке на правой границе реки. На данном шаге определяется t, такое, что узел сетки х попадает на отрезок 1(f). 3) Определяются ближайшие к концу отрезка точки, содержащие измерения высотных отметок, и значения из них линейно интерполируются в конец отрезка. 4) Высотная отметка в узле сетки получается линейной интерполяцией значений на границах отрезка l(t). Для расчета течения на описанном участке р. Доммель использовалась равномерная структурированная сетка, содержащая 887x401 узлов. Расчеты, проведенные на более грубой сетке, не отражают особенностей течения на поворотных участках, а дальнейшее измельчение сетки не дает существенного улучшения результатов, повышая при этом трудоемкость расчета. На рисунке 3.33 представлены измеренные и рассчитанные распределения поперек потока осредненной по глубине скорости и рельеф дна в некоторых из указанных на рисунке 3.31 сечений.