Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 10
1.1. Общие вопросы гидродинамики 1С
1.2. Естественная конвекция в замкнутых полостях 14
1.3. Методы моделирования фазовых переходов
1.4. Процессы замерзания - плавления в круглых и кольцевых полостях 20
1.5. Фазовые переходы в прямоугольных полостях 25
1.6. Фазовые переходы в пористых средах, металлах и их сплавах, фазовые превращения с образованием дендритов 27
1.7. Различные задачи замерзания плавления 30
2. Постановка задачи 35
3. Описание численных методов 41
3.1. Описание алгоритма SIMPLER 41
3.2. Математическое обоснование алгоритма SIMPLE 45
3.3. Моделирование фазового перехода 54
4. Тестирование численного метода 61
4.1. Процесс плавления в прямоугольной полости 61
4.2. Задача о плавлении льда вокруг горизонтального цилиндра 67
5. Равномерное охлаждение 72
6. Несимметричное охлаждение 80
Заключение 87
Литература 89
- Естественная конвекция в замкнутых полостях
- Фазовые переходы в пористых средах, металлах и их сплавах, фазовые превращения с образованием дендритов
- Математическое обоснование алгоритма SIMPLE
- Задача о плавлении льда вокруг горизонтального цилиндра
Введение к работе
Актуальность темы. В некоторых инженерных приложениях возникает задача об исследовании теплообмена при фазовых переходах между жидкой и твёрдой фазами (разработка и обеспечение надёжной работы теплообменников и элементов теплоцентралей, проблемы аккумулирования тепловой энергии, вопросы литья и сварки металлов и т.д.). Особенно важны такие исследования для проектирования и обслуживания технических устройств (трубопроводы, теплообменники и т.д.), работающих в условиях, когда фазовые переходы играют определяющею роль.
Теоретические и экспериментальные исследования фазовых переходов проводятся давно; однако изучение подобного рода задач затрудненно т.к. в математическом отношении они относятся к классу краевых задач с подвижными границами (на фронте замерзания должно выполняться условие Стефана.). Также в большинстве случаев необходимо рассматривать такие задачи с учетом наличия свободноконвективных течений и, вообще говоря, нелинейной зависимости теплофизических параметров теплоносителя от температуры и давления. Например, в последнее время большое внимание уделяется задачам, в которых рассматривается нелинейная зависимость плотности воды от температуры (т.н. аномалия плотности воды). Это приводит к тому, что получение аналитического решения таких задач становится невозможным, и, поэтому, единственными методами исследования является эксперимент и численные методы.
Существует большое количество численных методов для численного решения задач гидродинамики и для моделирования фазового перехода. В связи с быстрым развитием вычислительной техники возникают новые численные схемы и вследствие этого возникает вопрос о выборе наиболее приемлемого алгоритма для решения конкретного класса задач. Целью работы являлось численное моделировании процесса замерзания чистой воды внутри круглой полости с учетом естественной конвекции; анализ влияния свободноконвектиакого течения и граничных условий на процесс замерзания; создание необходимого программного обеспечения и выбор оптимальных методов для решения задач замерзания - плавления. В работе защищаются результаты исследования следующих процессов:
Естественной конвекции воды вблизи точки экстремума плотности в круглой ячейке.
Охлаждения воды в круглой полости, в интервале температур, включающем точку экстремума плотности.
Замерзание воды в круглой ячейке.
Во всех исследованных системах процессы естественной конвекции и фазового перехода происходили за счет начальной температуры воды (она выше температуры инверсии плотности воды) и температуры окружающей среды (она ниже температуры замерзания воды). Научная новизна работы заключается в следующем:
Исследована задача о замерзании
На основе метода контрольного объема и метода энтальпии создана программа, позволяющая моделировать фазовые переходы при наличии естественной конвекции в жидкой фазе в круглых полостях. Предложена модификация метода энтальпии и алгоритма SIMPLER для численного решения задач замерзания - плавления.
Проведено исследование влияния аномалии плотности на естественноконвективный теплообмен в полости.
Рассмотрен вопрос о влиянии свободноконвективных течений на процесс замерзания и теплообмен внутри круглой полости.
Установлено, что в рамках используемых параметров процесс замерзания всегда начинается в нижней части полости; рассмотрение данной задачи в половине полости (для симметричного охлаждения) и пренебрежение конвекцией приводит к некорректным результатам. Научное и практическое значение:
Создан комплекс программ для решения задач с фазовыми переходами с учетом конвекции и диффузии. Предложен конкретный численный метод для решения задачи замерзании чистой воды в круглой полости при теплообмене поверхности полости с окружающей средой по закону Ньютона-Рихмана при разных коэффициентах теплоотдачи, начальной температуре, температуре окружающей среды и радиусе трубы. Для указанной задачи установлены времена начала и конца процесса замерзания, а также область образования льда. Знание этих характеристик актуально при разработке различных технологических установок.
Достоверность результатов данной работы обусловлена использованием фундаментальных физических законов, корректностью математической постановки, а также подтверждается тестовыми расчетами для проверки используемого программного обеспечения. В качестве тестов рассматривались экспериментальные и численные работы других авторов. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на окружной конференции молодых ученых и специалистов ХМАО (Сургут, 2000), на окружной конференции молодых ученых ХМАО (Сургут, 2001) , на Advances in Thermal Engineering and Sciences for Cold regions (Seoul, Korea 2001) , на Восьмом Всероссийском Съезде по Теоретической и Прикладной Механике (Пермь 2001) и на Третьей Российской Национальной Конференции по Теплообмену (Москва, 2002).
Обсуждение результатов проводилось на семинаре кафедры Физической механики Московского физико-технического института под руководством профессора Э.Е. Сона (МФТИ), на семинаре Московского энергетического института под руководством профессора Г.Г. Янькова (Москва) и на семинарах Лаборатории математического моделирования
Сургутского государственного университета под, руководством профессора
П.Т. Зубкова (Сургут).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых представлен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 97 страниц, включая 29 рисунков, 3 таблицы и библиографию, содержащую 87 наименований.
Естественная конвекция в замкнутых полостях
При анализе задач с фазовыми переходами, как будет показано далее, существенное влияние оказывает свободноконвективные течения. Поэтому возникновение и развитие конвекции в полостях представляет особый интерес т.к. процесс замерзания - плавления во многом определяется предысторией конвективного движения. В обзорной статье [19] рассмотрены задачи естественной конвекции воды, здесь же приведена классификация таких задач на внешнею и внутреннею. Утверждается, что рассмотрение внутренних задач представляет большие сложности нежели внешних, т.к. для внешних задач теория пограничного слоя существенно упрощает математическую постановку задачи. Приведено несколько подходов к моделированию естественной конвекции в горизонтальном цилиндре, рассмотрен вопрос влияния аспектного отношения (т.е. отношения высоты к ширине) прямоугольной полости на развитие конвекции. В работе [20] рассматривается вопрос о корректности приближения Буссинеска, в частности рассматривается полиномиальные зависимости плотности, вязкости, теплопроводности и теплоемкости от температуры и давления (для плотности). Здесь же показано, что вблизи температуры инверсии плотности воды необходимо применять указанные выше зависимости. В работе [21] рассмотрена задача течения жидкости по трубе, с кольцевым сечением. В этом случае, помимо вынужденной конвекции (возникающей за счет перепада давления на концах трубы), присутствует естественная конвекция, возникающая вследствие разности плотностей (здесь использовалось приближение Буссинеска).
Внешняя поверхность полости теплоизолированная, внутренняя поддерживается при постоянной температуре, отличной от температуры входного потока. Влияние свободной конвекции, как отмечается в указанной работе, приводит к образованию вторичного течения в верхней части полости, вследствие чего увеличивается интенсивность теплопереноса и перепад давления. Рассматривается влияние числа Прандтля и выяснен диапазон, в которых число Прандтля не играет особой роли. В [22] рассмотрена задача охлаждения воды в цилиндре до точки замерзания. Проблема изучается как численно, с помощью теории пограничного слоя (выделяется отдельно пограничный слой и ядро), так и экспериментально. При охлаждении воды от температуры, превышающей температуру инверсии плотности до температуры замерзания выявлено 5 режимов: начало конвекции, квазистационарный режим, переходный (при достижении температуры инверсии плотности), квазистационарный и собственно процесс замерзания. Показано допустимое соответствие теоретической модели пограничного слоя с экспериментом. Экспериментальная работа [23] посвящена влиянию инверсии плотности на структуру течения в кольцевой полости с изотермическими стенками. Число Грасгофа в данной задаче менялось от 3.2x10і до 2.7x10Э. В данном диапазоне чисел Грасгофа получены стационарные и симметричные решения. Здесь также выявлено влияние инверсии плотности на характер течения и его усложнение с ростом числа Грасгофа. В работе [24] рассмотрена задача естественной конвекции воды между двумя цилиндрами (кольцевая полость) при постоянном тепловом потоке через внутреннею поверхность полости и постоянной температуре внешней поверхности. Данная задача рассмотрена в симметричной постановке (т.е. в области 0 ф я). При изменении числа Рэлея от 5x10J до 10б выявлено значительное усложнение структуры течения. В [25] рассмотрена задача естественной конвекции чистой воды в кольце. Получены результаты в полной постановке задачи (т.е. не делалось предположений о возможной симметрии в задаче) для девяти чисел Грасгофа: 2-Ю1, 2-Ю2, 2-Ю3, 2-Ю4, 3-Ю4, 4-Ю4, 5-Ю4, 7-Ю4, 2-Ю5. Рассмотрены диапазоны чисел Грасгофа, в которых реализуются стационарные симметричные (симметричные относительно вертикальной линии, проходящей через центр области), стационарные несимметричные и автоколебательные решения. Обнаружена неединственность решения рассматриваемой задачи в диапазоне чисел Грасгофа от 2-10 до 5-10 , при этом отмечается появление эффекта «гистерезиса». Как правило, в задачах в постановке которых можно выделить линию или линии симметрии делается предположение о симметричности решения и задача рассматривается не во всей области, однако в [26] численно решена задача свободной конвекции воды вблизи точки инверсии плотности в квадрате, и показано, что в случае симметричных начальных и граничных условий возможно существование как симметричных, так и несимметричных решений. В работе [27] рассмотрены колебательные решения, получение которых с использованием допущения существования симметрии становится вовсе невозможным. описан т.н. метод энтальпии, и совместно с конечно-разностной схемой проведен численный расчет задачи затвердевания в квадратном сосуде с конвективным охлаждением в широком диапазоне чисел Стефана. В этой же работе проводится классификация методов, моделирующих фазовый переход по количеству зависимых переменных.
К первой группе относятся методы у которых зависимой переменной является температура, а уравнения сохранения рассматриваются отдельно для твердой и жидкой фазы, что требует предварительного определения поверхности раздела фаз. Во второй группе в качестве зависимой переменной, помимо температуры, рассматривается энтальпия, что позволяет исключить из рассмотрения поверхности раздела фаз и свести задачу к задаче нелинейной теплопроводности. Вторая группа методов носш название метод энтальпии, что всюду в дальнейшим и будет под этим пониматься. Показано, что метод энтальпии эквивалентен обычным уравнениям сохранения, записанным для твердой и жидких фаз, а также щи поверхности раздела фаз. В этой работе сделано предположение о равенств плотностей в твердой и жидких фазах, однако остальные тештофизические свойства могут отличаться и зависеть от температуры. Более подробно этот метод разобран в гл. 3. В [29] исследовалась задача быстрого плавления и затвердевания мишени, однако в отличии от работы [28] здесь температура
Фазовые переходы в пористых средах, металлах и их сплавах, фазовые превращения с образованием дендритов
В статье [62] как и в [36] рассмотрен вопрос о процессе замерзания на микроуровне. Рассматривается две задачи: процесс фазового перехода в бинарной пористой среде и замерзание жидкости с образованием дендритов. Однако в отличии от [36] в данной работе анализируется влияние конвекции. Здесь, как и в [36], основным инструментом для моделирования фазового перехода является осреднение по объему. Модель сравнивается с течением Стокса (поток жидкости через массив цилиндров). В обзорной работе [63] представлен исчерпывающий доклад о кристаллах, в частности о льде. Рассмотрены задачи строения кристаллов, видов льда и особенности их эволюции. Предложено несколько численных.методов для роста кристаллов в случае анизотропной среды. На примере нескольких задач в работе [64] проводится анализ процесса замерзания на микро -, мезо - и макроуровнях. Отмечается, что применение теории размерности и подобия к таким задачам не всегда оправдано и может служить одной из причиной несоответствия теории и эксперимента так как не всегда удается выдержать равенство критериев подобия в численном и экспериментальном исследовании. В [65] проведено численное изучение задачи замерзания, галлия с учетом анизотропности коэффициента теплопроводности в твердой фазе и свободной конвекции в жидкой фазе. На примере задачи замерзания галлия в прямоугольной полости с изотермическими вертикальными и адиабатическими горизонтальными стенками выполнено сравнение с экспериментальной работой. Показано, что анизотропность коэффициента теплопроводности приводит к изменению формы фронта замерзания (он приобретает S - форму); на поле течения влияет форма поверхности раздела фаз в ранние моменты времени, на что, в свою очередь, оказывает влияние теплопроводность в твердой фазе. В [66] экспериментально рассматривается задача развития дендритов во времени. Процесс эволюции разделяется на два этапа: линейный и нелинейный рост, причем нелинейное развитие связано с специфической длинноволновой нестабильностью (поверхность дендрита имеет отчасти периодическую структуру). В работе [67] численно исследуется проблема развития дендритов (анализируются такие параметры как направления роста, анизотропичность процесса и т.д.). Как отмечается в работе, все ранее полученные результаты численных исследований не учитывали конвекцию, которая в данной работе учитывалась и анализировалась степень ее влияния.
Показано влияние конвекции на изменение поверхности раздела фаз. В [68] предложен конечно-элементный подход к моделированию замерзания с образованием дендритов. В численном исследовании [69] проводится сравнение с экспериментом Mephisto - 4, заключающимся в замерзании бинарного. сплава при микрогравитации (т.е. в условиях космоса вблизи Земли). Фазовый переход моделировался методом энтальпии [28], но в модифицированном варианте, исключающим характерные осцилляции температуры вблизи поверхности раздела фаз. В [70] численно изучается задача образования кристаллов вследствие замерзания в присутствии микрогравитации и с учетом эффекта Марангони (т.е. в условиях космоса на Земной орбите). Показано, что эффект Марангони оказывает существенное влияние на процесс замерзания, при этом отмечается что в обычных условиях этим эффектом можно пренебречь. В обзорной статье [71] рассмотрены задачи плавления - замерзания металлов и сплавов. Отмечается, что задачи с фазовыми переходами для металлов и сплавов образуют особый класс в таких задачах. Это связано главным образом с тем, что температура плавления есть функция от локальных концентраций состава смеси, и поэтому дополнительно необходимо рассматривать балансные соотношения для концентраций. Также подобного рода задачи осложняются возможной анизотропией твердого вещества и разными сценариями замерзания - плавления ( с образованием дендритов, гранул и т.д.). Проводится классификация, с указанием теоретических и экспериментальных работ. В работе [72] описан метод моделирования фазового перехода в сплавах. Одной из основных трудностей в таких случаях, помимо фазового перехода, является многокомпонентность сплава и проблема его плавления - замерзания. Рассмотрено несколько тестовых заданий и отмечается удовлетворительное совпадение результатов. В [73] на примере замерзания жидкости в квадрате с изотермическими вертикальными и адиабатическими горизонтальными стенками показано применение одного из подходов к моделированию фазового перехода в неоднородных средах (смесях). Как уже упоминалось ранее (см. [71] ) фазовые переходы в многокомпонентных смесях осложнены в основном двумя факторами: температура плавления суть функция локальных концентраций, в силу этого необходимо еще рассматривать массообмен в системе. Проведено три тестовых расчета, качественно согласующихся с физическим явлением. На основе модели энтальпия - пористость [31] в работе [74] численно исследуется задача плавления - замерзания в прямоугольной полости с изотермическим вертикальными и адиабатическими горизонтальными стенками. Как уже отмечалось (см. [71] ) такие задачи относятся к особому классу задач.
В этой работе особое внимание уделяется естественной конвекции, возникающей вследствие процесса плавления. Приводится сравнение с ранее выполненными работами, также обсуждается корректность пренебрежения силами вязкости в уравнении движения для жидкой фазы для малых чисел Прандтля (что соответствует некоторым жидким металлам) и показано, что разница не превышает 10 %. В [75] численно, на основе алгоритма SIMPLEC [18] и Т-метода [32], решена задача замерзания чистого метала в прямоугольной полости с изотермическими вертикальными и адиабатическими горизонтальными стенками. Проводится сравнение с экспериментальными и теоретическими работами. Сделаны следующие выводы: на начальном этапе на процесс теплопереноса в полости влияет, главным образом, теплопроводность, однако конвекция в течение всего процесса замерзания оказывает существенное влияние, и, как результат, это приводит к возникновению течения с одним вихревым образованием. В [76] численно решена задача замерзания воды в однородной пористой среде (грунте). Для моделирования фазового перехода применяется подход [32]. Приводится сравнение с задачей замерзания воды в грунте вокруг трубы с отрицательной температурой поверхности. В работе [77] численно и экспериментально изучается задача замерзания перегретой воды, содержащей пузырьки воздуха, в прямоугольной полости, содержащей пористый материал (т.е. модель замерзания воды в грунте). Исследуется влияние степени перегретости воды, пористости материала и эффекта аномалии плотности на развитие процесса. Показано, что влияние конвекции приводит к изменению фронта замерзания (в случае отсутствия конвекции эта форма плоская), интенсивность замерзания воды больше в верхней, чем в нижней части полости.
Математическое обоснование алгоритма SIMPLE
SIMPLE Т.к. в 3.1 представлено качественное описание алгоритма SIMPLER, открытыми остаются вопросы его устойчивости, аппроксимации и консервативности (это необходимые требования, предъявляемые к любому численному методу для решения дифференциальных уравнений). Однако сразу же можно заметить, что схема является консервативной по построению (это одна из отличительных черт метода контрольного объема). Порядок аппроксимации по пространственным переменным (и отчасти её сходимость) зависит от конкретной схемы, применяемой для аппроксимации конвективных или диффузионных членов (схема вверх по потоку, экспоненциальная схема, схема степенного закона). В данной работе выбрана схема степенного закона, обеспечивающая второй порядок аппроксимации и устойчивость для широкого диапазона чисел Рейнольдса (неустойчивость схемы может быть вызвана некорректной аппроксимацией конвективного члена, число Рейнольдса характеризует отношение интенсивности сил инерции к силам вязкости). Отдельно стоит вопрос о сходимости всего алгоритма в целом, т.е. для решения всех уравнений в системе дифференциальных уравнений. Рассмотрим этот вопрос. Для того, чтобы замкнуть систему (3.17) - (3.19) (здесь N - размерность задачи, n+N+2 неизвестных и п+N+l уравнений) дополнительно используется уравнение состояния: - здесь р заданная функция. Здесь: р - плотность, V - скорость, t - время, р - давление, ц. -вязкость(динамическая), S, S;. - источниковые члены в уравнениях (3.18), (3.19). При решении данной системы возникает два принципиальных вопроса: 1. Нелинейность уравнения (3.18) из-за члена V (pw); 2. Неизвестное распределение давления; с математической точки зрения, функция р должна быть такой, что, если скорость V удовлетворяет уравнениям (3.18), (3.19), то она должна удовлетворять (при заданном поле давления р) и уравнению неразрывности (3.17). Для решения данных вопросов предложен эффективный алгоритм SIMPLE [17].
Однако, для данного метода остается открытым вопрос корректности, т.е. устойчивость метода, порядок аппроксимации, консервативность схемы и т.д. Часть этих вопросов рассматривается в данном пункте. Замечание 1: Далее будем считать, что решение следующего дифференциального уравнения: для функции Ф с заданными граничными и начальными условиями нам известно. Здесь р, V, Г, S, - заданные функции. Численное решение уравнения (3.24) можно найти в любой книге по вычислительной гидродинамике, например, в [11], [13]. Определение 2: Если плотность жидкости р = Д?\/, р,Ф.) явно зависит от давления р, то такую жидкость будем называть сжимаемой, в противном случае - несжимаемой. Случай (А): несэмшаемая э/сидкостъ Т.к. задача (3.17) - (3.23) является нестационарной, то решение рассматривается на временном интервале [О, Т], Т со в силу численной реализации. Разобьём этот интервал на к частей, вообще говоря, неравномерных, но max Л. = max \t.. 1= А/ є, и рассмотрим переход \ i k \ i k /_1 с (i-l)-ro временного слоя на i-ый, при условии, что на (і-І)-ом временном слое распределение V, р, ФІ нам известно. Такой взгляд на решение задачи (3.17)-(3.23) является корректным, т.к. при i=l начальное распределение V, ФІ нам известно из условий (3.21), (3.22), давление р определим из уравнение (3.18), применив к нему оператор . дивергенции. Тогда начальное распределение давления найдем из уравнения Пуассона, где правая часть это заданная функция.
Итак, рассмотрим переход с (i-l)-ro временного слоя на i-ый: Мы знаем некоторое вполне хорошее приближение давления р на новом ( і-ом слое), как точное для старого. Также нам известно точное значение скорости на старом временном слое V = V r,r. J- V. . Проинтегрируем уравнение количества движения (3.18) по временному интервалу А[. Ищем решение в виде: . Здесь V, - поправка скорости, р. - поправка давления, а V удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению (в силу замечания 1 эта функция известна):
Задача о плавлении льда вокруг горизонтального цилиндра
Вывод: На основе полученных мною данных и сопоставлении с ранее полученными можно сделать вывод о качественном их совпадении. Рассмотрим полученные результаты при четырех чисел Грасгофа, а именно время появления льда в области и конечное время замерзания. В таб. 5.1 представлена зависимость начального и конечного времени замерзания от числа Грасгофа. Необходимо отметить, что в силу применяемого обезразмеривания данная зависимость имеет обратно пропорциональный характер, в случае размерных величин эта зависимость также нелинейная, но возрастающая (при этом с увеличением числа Грасгофа время замерзания растёт быстрее). На рис. 5.1 а-б изображены некоторые из интегральных характеристик. Из представленных данных видно, что замерзание происходит монотонно, хотя и нелинейно, что и следовало ожидать в данной постановке задачи. Рассмотрим описание каждого выполненного варианта задачи. (a) Gr=L55106 Для данного числа Грасгофа характерно наличие симметрии (лишь в самом начале при т=2.01875 существует несимметрия см. (рис. 5.2 а, б )) и отсутствие каких либо осцилляции.
Процесс протекает предсказуемо: первоначальная конфигурация системы представляет два вихря (рис. 5.2 а), при этом правый вращается по часовой, а левый против часовой стрелки. Замерзание начинается снизу, там же образуются еще два вихря (Рис. 5.2 б), вращающихся по и против часовой стрелки соответственно для левого и правого нижнего вихрей. В дальнейшем происходит их расширение (Рис. 5.2 в) с сохранением структуры. Зависимость локального числа Нуссельта от угла имеет прямолинейный участок для определенных промежутков времени (рис. 5.3 а). Этот участок (и весь график) симметричен относительно (р=71, что отражает симметричное поведение полученного решения. С течением времен система перестраивается в двухвихревую конфигурацию, перенимающую форму нижних вихрей, которая с течением времени стягивается в геометрический центр. Поле течения перестраивается во времени: направление вихрей меняется на противоположное (рис 5.2 г). =7.6S75E-01 Рис. 5.3 Зависимость локального числа Нуссельта от угла Наблюдаемая несимметрия в самом начале процесса (рис. 5.2 б) несущественна, и, таким образом, можно сделать предположение, что рассмотрение задач в неполной постановке (т.е. в полукруге) корректно для Gr 2.00-106 (b) Gr=1.24107 Для этого случая характерно присутствие осцилляции и появление несимметрии (которая имеет место с самого начала). Вначале вверху образуется четыре вихря (Рис 5.4 а): вращение показано на рисунке, малые левый и правый вихри вращаются соответственно по и против часовой стрелки. Однако с течением времени картина течения меняется (Рис 5.4 б), при этом его структура усложняется: внизу появляются дополнительно четыре вихря (это связано с процессом замерзания, который также начинается снизу): самый левый нижний вращается по часовой стрелке, а тот, который расположен ближе к центру - против часовой стрелки, структура правых вихрей противоположна левой конфигурации. Далее система меняет направление вращения основных вихрей (как и в п.(а)) на противоположное (рис. 5.4 в), при этом внизу остаются два вихря, имеющие противоположное вращение по отношению к основным.
Подобная конфигурация (два основных и два нижних вихря) изменяется с течением времени (рис. 5.4 в - д) таким образом, что система имеет два основных вихря и третий несимметричный вихрь в нижней области трубы. Другими словами, система колеблется относительно основной формы - два основных вихря, причем левый вращается по часовой стрелки, а правый - против часовой стрелки (в дальнейшем под основной формой будет пониматься именно это определение). Однако с течением времени система переходит в основную форму, и далее процесс протекает монотонно (Рис 5.4 е). Несимметричность полученного решения также наблюдается при анализе зависимости локального числа Нуссельта от угла. Вначале поведение Нуссельта аналогично поведению в п.(а): здесь также образуется прямолинейный участок, однако с течением времени он усложняется, что связано с усложнившейся структурой течения. В дальнейшем зависимость теплового потока от угла имеет несимметричную структуру, что связано с несиметричным течением в эти моменты времени.
