Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическое моделирование процессов переноса влаги в почвогрунтах 11
1.1. Современное состояние исследований в области моделирования процессов переноса влаги в почвогрунтах...11
1.1.1 .Задачи математического моделирования 11
1.1.2 . Математические соотношения теории влагопереноса в средах с неполным насыщением 15
1.1.3.Методы расчета процессов фильтрации и влагоперенооа в почвогрунтах .21
1.2. Математические модели процессов влагопереноса и фильтрации при орошении, промывках и осушении земель на фоне дренажа 25
1.2.1 . Математическая формулировка задач при работе систематического горизонтального дренажа .26
1.2.2 .Постановка задач о перераспределении влаги при работе вертикальной скважины ..31
Выводы по первой главе...32
Глава 2. Построение расчетной методики решения задач фильтрации и влагопереноса . 34
2.1. Построение разностных схем для стационарных и нестационарных задач фильтрации и влагопереноса 34
2.2 Основные положения попеременно-треугольного итерационного метода 46
2.3. Оценки ускоряющих параметров ПТМ для смешанных краевых задач...50
2.3.1 .Третья краевая задача. 50
2.3.2.Смешанные краевые задачи..59
2.4. Получение априорной информации ПТМ для разностной задачи Неймана 61
2.4.1.Исходный вариант ПТМ...62
2.4.2.Модифицированный вариант ПТМ.. 66
2.5. Результаты вычислительного эксперимента по решению тестовых задач. 70
2.5.1.Стационарные задачи...71
2.5.2.Задача влагопереноса. .74
Выводы по второй главе... ...84
Глава 3. Следование особенностей перераспределения влаги при орошении» промывках и осушении почвогрунтов на фоне дренажа 86
3.1. Особенности программного обеспечения. 86
3.2. Исследование особенностей перераспределения влаги в почвогрунтах при орошении.
3.3. Расчет напорной фильтрации при промывке насыщенного грунта на фоне систематического горизонтального дренажа . 105
3.4. Перераспределение влаги в почвогрунтах при осушении с помощью дренажа 121
Выводы по третьей главе.....136
Литература 138
Приложение. .151
- Математические соотношения теории влагопереноса в средах с неполным насыщением
- Математическая формулировка задач при работе систематического горизонтального дренажа
- Построение разностных схем для стационарных и нестационарных задач фильтрации и влагопереноса
- Расчет напорной фильтрации при промывке насыщенного грунта на фоне систематического горизонтального дренажа
Введение к работе
Главная задача XI пятилетки, как это определено на ХХУІ съезде КПСС, состоит в обеспечении дальнейшего роста благосостояния советских людей на основе устойчивого, поступательного развития народного хозяйства, ускорения научно-технического прогресса и перевода экономики на интенсивный путь развития, более рационального использования производственного потенциала страны, всемерной экономии всех видов ресурсов и улучшения качества работы.
Все шире развертывается всенародная борьба за реализацию Продовольственной программы СССР, принятой на майском /1982 г./ Пленуме ЦК КПСС и знаменующей собой качественно новый этап в дальнейшем развитии ленинской аграрной политики партии. Впервые Продовольственная программа решается с позиций всего агропромышленного комплекса, важнейшим звеном которого является мелиорация земель. В Продовольственной программе ставится задача ввести в Украинской ССР в эксплуатацию за десятилетие /І98І-І990 гг./ не менее I млн. га орошаемых земель, осушить 1,3 млн. га переувлажненных земель, завершить строительство Дунай-Днестровской, Каховской и начать сооружение первой очереди Приазовской оросительных систем.
Из практики проектирования, строительства и эксплуатации мелиоративных систем известно, что одним из мощных факторов, позволяющих активно влиять на гидрогеолого-мелиоративную обстановку является дренаж. Назначение дренажа - обеспечить оптимальный водно-воздушный режим на осушаемой территории. Причем, в отдельных случаях дренаж не только понижает уровни грунтовых вод, но и в засушливые периоды служит источником подпочвенного увлажнения. Подпочвенное увлажнение предусматривает повышение, замедление или полное прекращение снижения уровня грунтовых вод путем создания подпоров
воды в осушительной сети за счет стока с собственного водосбора или за счет подачи воды извне.
При проектировании новых оросительных систем, выборе рациональных режимов полива, промывок и осушения важное значение имеют априорные сведения о перераспределении влаги в почвогрунтах в зависимости от типа грунта, его гидродинамических характеристик, а также от типа дренажа. Получение таких сведений опытным путем весьма затруднительно, дорогостояще и трудоемко. Поэтому особый интерес представляют методы математического моделирования, которые дают возможность прогнозировать процессы фильтрации и влагопереноса в почвогрунтах при минимальных затратах времени и средств на экспериментальные исследования.
На современном этапе развития науки, научной основой математического моделирования является вычислительный эксперимент /797, который служит мощным инструментом, позволяющим не только существенно удешевить и ускорить научные разработки, но и расширить и углубить наши представления об исследуемом физическом явлении. В настоящее время объектом изучения методами вычислительного эксперимента стали явления, которые описываются сложными системами нелинейных дифференциальных уравнений. Одним из таких объектов является процесс влагопереноса.
Процессы фильтрации и влагопереноса в пористых средах происходят в неоднородно-анизотропных насыщенно-ненасыщенных почвогрунтах и описываются в зоне аэрации нелинейным параболическим уравнением, а в зоне полного насыщения - линейным эллиптическим уравнением с сильноизменяющимися коэффициентами и неизвестной границей раздела зон. При разработке методики решения таких сложных задач предъявляются особые требования к экономичности и точности вычислений.
Для решения задач фильтрации и влагопереноса в многослойных
— б *"
анизотропных грунтах особенно эффективны численные методы, наиболее распространенным из которых является метод конечных разностей /МКР/. При разрешении разностных задач применяют в основном итерационные методы, которые в большинстве случаев медленно сходятся для сеточных уравнений с сильноизменяющимися коэффициентами.
Поэтому разработка расчетной методики решения задач фильтрации и влагопереноса, наиболее полно учитывающей гидрофизические особенности движения влаги в насыщенно-ненасыщенных почвогрунтах -и специфику работы гидромелиоративных систем, предназначенных для полива, промывки и осушения сельскохозяйственных угодий, представляет теоретический и практический интерес.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка и обоснование расчетного метода исследования нестационарных процессов фильтрации и влагопереноса в неоднородно-анизотропных почвогрунтах при работе гидромелиоративных сооружений; создание программного обеспечения для решения типовых задач перераспределения влаги при орошении, промывках и осушении земель и его использование для исследования влагопереноса при работе систематического го-, ризонтального и вертикального дренажа.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем: , - разработана расчетная методика решения многомерных задач фильтрации и влагопереноса в анизотропно-слоистых почвогрунтах, отличающаяся единообразным характером счета в зоне аэрации и полного насыщения, использованием эффективного попеременно-треугольного метода Літм/ для решения систем сеточных уравнений;
получены оценки ускоряющих параметров ПТМ применительно к разностным аналогам типовых задач расчета влагопереноса в почвогрунтах при работе горизонтального дренажа и вертикальных скважин;
методом вычислительного эксперимента исследованы особенное-
-7 т
ти движения влаги в многослойных почвогрунтах.
Практическая значимость работы заключается в том, что на основе предложенной расчетной методики и разработанного программного обеспечения может быть осуществлен прогноз процессов фильтрации и влагопереноса при орошении засушливых, промывках засоленных и осушении переувлажненных земель с помощью систематического горизонтального и вертикального дренажа, что позволит более обоснованно выбирать параметры дренажа и режим его работы с учетом свойств почвогрунта.
Работа выполнена в Киевском ордена Ленина государственном университете им. Т.Г.Шевченко. Тема диссертации согласуется с планом основных научно-исследовательских работ кафедры вычислительной математики "Разработать и сдать в Государственный Республиканский и Отраслевой фонды пакет прикладных программ по расчету и прогнозу подземного массопереноса влаги и солей в зоне полного и неполного насыщения с учетом мелиоративных и народнохозяйственных мероприятий" /Постановление ГКНТ СМ СССР № 180 от 3.05.1979 г., номер государственной регистрации 79076470/ и целевой комплексной научно-технической программы 0.Ц.034, задание 07.03.04.НЗ "Разработать математические модели и пакет прикладных программ для управления режимом дренажа при орошении и осушении земель" /Постановление ГКНТ СМ СССР, Госплана СССР № 527/261 от 22.12.1980 іу, номер государственной регистрации 0І8220І9544/.
Алгоритмы и программы по расчету задач фильтрации и влагопереноса в почвогрунтах на фоне дренажа, разработанные в диссертационной работе, вошли в состав пакета прикладных программ "ФСП-ОС" /52, 5Sl7, который передан в УкрРФАП /г. Киев, ЙК АН УССР, инв, № 5965/, зарегистрирован в Государственном фонде алгоритмов и программ /& П005555 от I июня 1982 г./ и используются для расчетов
- з -в Укргипроводхозе /г.Киев/ и Институте гидромеханики АН УССР /г. Киев/.
Перейдем к краткому изложению содержания всех разделов диссертационной работы.
Первая глава посвящена общей характеристике рассматриваемых в работе процессов переноса влаги в почвогрунтах.
В І.І описываются задачи, возникающие при изучении процессов фильтрации и влагопереноса в насыщенно-ненасыщенных грунтах при орошении засушливых, промывках засоленных и осушении переувлажненных земель с помощью дренажа и анализируется современное состояние математического моделирования рассматриваемых процессов. Сформулирована математическая модель, позволяющая исследовать движение влаги в грунтах без явного выделения границы раздела зоны аэрации и зоны полного насыщения. Приводятся основные типы начальных и граничных условий.
Во втором параграфе выписаны краевые задачи, описывающие процессы фильтрации и влагопереноса в почвогрунтах при работе вертикального и горизонтального систематического дренажа.
Вторая глава посвящена описанию предлагаемой расчетной методики решения задач фильтрации и влагопереноса*
Параграф 2.1. посвящен построению разностных схем для рассматриваемых задач фильтрации и влагопереноса. Для разрешения нелинейных систем сеточных уравнений предлагается использовать итерационный метод, на каждой итерации которого получается система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Нахождение решения линейной разностной задачи осуществляется экономичным и эффективным попеременно-треугольным итерационным методом. Изложению основных положений ПТМ посвящен 2,2.
В параграфе 2.3. описывается нахождение ускоряющих параметров
J 9 -
попеременно-треугольного метода, необходимых для решения разностных смешанных краевых задач с переменными коэффициентами на неравномерной сетке. Случай сеточной задачи Неймана рассмотрен в 2.4. Параграф 2.5 посвящен решению тестовых задач фильтрации и влагопереноса, демонстрирующих эффективность применения попеременно-треугольного метода.
В третьей главе изгалаются результаты численных расчетов по решению задач фильтрации и влагопереноса в почвогрунтах при работе дренажа.
Характеристике особенностей разработанного программного обеспечения решения задач фильтрации и влагопереноса посвящен параграф 3.1. Результаты исследований движения влаги при насыщении ненасыщенного грунта излагаются в 3.2. В параграфе 3.3 рассматриваются задачи напорной фильтрации о промывке неоднородного грунта на фоне дренажа. Исследованию процессов осушения полностью или частично насыщенного почвогрунта с помощью вертикального или систематического горизонтального дренажа посвящен 3.4.
На защиту выносится:
Расчетная методика решения нестационарных задач фильтрации и влагопереноса в насыщенных и ненасыщенных неоднородно-анизотропных почвогрунтах.
Оценки ускоряющих параметров попеременно-треугольного метода для решения сеточных смешанных краевых задач с переменными коэффициентами. Применение ПТМ к решению разностной задачи Неймана.
Результаты расчетов типовых задач фильтрации и влагопереноса в неоднородно-анизотропных грунтах при работе систематического горизонтального дренажа и вертикальной скважины. Достоверность полученных результатов подтверждена численными экспериментами по решению тестовых задач фильтрации и влагопереноса.
- 10 -Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании-семинаре "Краевые задачи теории фильтрации" /г. Ровно, 1979/, на Ш Республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям /г.Одесса, 1982/, на Всесоюзном научном семинаре "Теория и методы расчета фильтрации" /г. Киев, 1982/, на научном семинаре "Математическое моделирование физико-химических явлений в сплошных средах" /г. Канев, 1983/, на семинаре отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР /г.Новосибирск, 1983/, а также на семинарах кафедры вычислительной математики факультета кибернетики КГУ /1982, 1983/.
* II
Математические соотношения теории влагопереноса в средах с неполным насыщением
Одним из основных факторов, влияющих на увеличение объема сельскохозяйственной продукции, является поливное земледелие. В зонах недостаточного увлажнения, охватывающего обширные территории Средней Азии, юга РСФСР и Украины, использование орошения позволяет ввести в сельскохозяйственный оборот новые, ранее не использованные земельные участки, повысить урожайность сельскохозяйственных культур и добиться получения устойчивых, гарантированных урожаев. Создание оросительных систем на крупных территориях требует решения целого ряда сложных научно-технических задач, связанных с проектированием оросительных каналов и дренажных систем, с разработкой методов борьбы с неблагоприятными последствиями орошения. К числу последних следует, прежде всего, отнести засоление ранее плодородных земель и выход их из сельскохозяйственного оборота. При повышении уровня минерализованных грунтовых вод увеличивается их связь с грунтани в зоне аэрации. В результате интенсивного испарения влаги в зоне аэрации концентрация солей в водных растворах повышается вплоть до насыщенного состояния, происходит переход солей в кристаллическую фазу, что в конечном итоге и обуславливает засоление плодородного слоя грунта. В связи с этим организация рационального землепользования в районах орошения должна предусматривать комплекс мероприятий, связанных с проектированием гидромелиоративных систем и разработкой правильной технологии поливов орошаемых земель, реализация которых позволила бы гарантировать высокую урожайность и исключить засоление плодородных земель.
Другой важной задачей является рассоление почв, засоление которых происходило ранее в естественных условиях. Промывка почв, являющаяся основным видом оорьоы с засолением, предъявляет целый ряд требований к режиму промывки и системе дренирования грунтов, обеспечивающих требуемый гидрохимический состав почвогрунтов при минимальных затратах на строительство дренажных систем и расхода воды, используемой для промывки. При проведении гидромелиоративных мероприятий по рассолению почв на обширных территориях требуется также учитывать то влияние, которое они могут оказывать на экологическую обстановку в регионе.
Для увеличения производства сельскохозяйственной продукции большое значение имеет также осушение переувлажненных земель. Требования к осушительному д ействию дренажа сводятся к поддержанию на орошаемом массиве и прилегающих к нему землях уровня грунтовых вод на такой глубине /норна осушения/, при которой не ощущается отрицательное влияние грунтовых вод на почвообразовательный процесс /при сельскохозяйственном использовании земель/. Норму осушения принимают с таким расчетом, чтобы создавалась необходимая толща для промывки» испарение снизилось до нуля и обеспечивалась зона аэрации, исключающая вторичные процессы засоления. При назначении нормы осушения необходимо также предусмотреть, чтобы через зону аэрации и зону полного насыщения с помощью дренажных систем создавались такие скорости движения воды, при которых соли растворялись бы в воде и выносились в намеченном количестве в заданный срок при минимальной промывной норме. Кроме того, при назначении нормы осушения следует иметь в виду, что значительное снижение уровня грунтовых вод дренажными устройствами может затруднять условия рассоления земель. На плохо фильтрующих грунтах покровного слоя может не создаться достаточного промывного тока, а на легко фильтрующих грунтах, наоборот, возможно такое положение, когда через зону аэрации промывные воды будут быстро просачиваться, а соли оставаться в почве.
Таким образом, решение многих народнохозяйственных задач, связанных с повышением /сохранением/ плодородия почв и обеспечением гарантированной урожайности, должно опираться на количественную оценку гидродинамических и гидрохимических процессов, протекающих в почвогрунтах при поливах, промывках и осушении сельскохозяйственных угодий.
Гидродинамические процессы, протекающие в почвогрунтах при проведении указанных мероприятий, как правило, осуществляются в режиме неполного насыщения грунта или взаимодействия насыщенной и ненасыщенной зон.
Влагоперенос и фильтрация в насыщенных и ненасыщенных почвогрунтах характеризуются сложной динамикой, обусловленной существенной нестационарностью движения влаги, цикличностью гидромелиоративных воздействий, и протекают в сложных гидрогеологических условиях.
К числу последних относится многослойное строение почвогрунтов с переменными, а в ряде случаев и анизотропными гидрофизическими характеристиками.
Получение априорной информации о перераспределении влаги в многослойных почвогрунтах с учетом указанных особенностей экспериментальным путем дорого и трудоемко. Поэтому особый интерес представляют методы математического моделирования, которые дают возможность прогнозировать процессы фильтрации и влагопереноса в почвогрунтах при минимальных затратах времени и средств на полевые исследования.
В качестве первого физического приближения для количественной оценки движения влаги могут быть использованы модели напорной и безнапорной фильтрации в полностью насыщенных грунтах,, теория которых в настоящее время разработана достаточно хорошо /наиболее полный обзор решенных задач фильтрации изложен в коллективном труде "Развитие исследований по теории фильтрации в СССР /і917-1967/" под общей редакцией академика П.Я.Полубариновой-Кочиной 5а7/. Так, например, если при промывках засоленных грунтов пренебречь нестационарной стадией продвижения фронта насыщения в ненасыщенный грунт и рассматривать лишь стационарную стадию процесса в полностью насыщенном грунте, то задача определения напора и скорости фильтрации сводится к задаче напорной фильтрации. Исследованию процессов фильтрации в, таком приближении посвящено множество работ, из которых отметим А-7, 21, 22, 38, 61, 62 , 66, 827, основанные на аналитическом или приближенно-аналитическом решении возникающих задач.
Математическая формулировка задач при работе систематического горизонтального дренажа
Из-за сложности задач фильтрации и влагопереноса в насыщенных и ненасыщенных грунтах аналитическое их решение найти не удается. Приближенное решение стало возможным получать только в последнее время, после появления быстродействующей вычислительной техники. Решению одномерных задач влагопереноса посвящены работы Ф.Б.Абуталиева и Ш.Бердикулова /І7, А.В.Гладкого, Н.И.Ляшко и Г.Е..Мистецкого &ъ]\ И.И.Кулабухрвой и П.Я.Полуоариновой-Кочиной АіД Л.Лукнера и В.М.Шестаковв Аб7, У.М.Мамоетова и П.ХДоайдул-лаева /Ьч7, Н.Н.Муромцева, М.Й.Ромащенко. и В.Т.Черновала SsJ, Л.М.Рекса,. И.Е.Рекса и А.М.Якиревича, Зо] , С.Т.Рыоаковрй и. В.И.Са-бинина /7ZJ\ tt asidu,, г/. &сиьоуь &97,Н.&ъ Sktna Л057 ,1.РЬЩ Ніг!, С. Тгї,торои,о6 /ш7 и другие. Исследованием процессов продвижения влаги в насыщенных и ненасыщенных пористых средах в двух- и трехмерной постановке занимались многие отечественные и зарубежные ученые. По типу применяемых подходов существующие методы решения задач влагопереноса можно классифицировать следующим образом: і/ приближенно-аналитические методы; 2/ методы моделирования на АВМ; Проанализируем работы, использующие эти методы. Приближенно-аналитические методы применяют для сравнительно простых задач. В работе С.НоНовосельского и Д.Ф.Шульгина /во7 рассмотрены задачи увлажнения при капельном и внутрипочвенном орошении. Используя подстановки типа Кирхгофа, интегральное преобразование Лапласа и комплексные преобразования Фурье, авторы получали решение в виде интегралов от специальных функций, применение которых для практических расчетов требует использования ЭВМ. Кроме того, С.Н Новосель-ский и. Д.Ф.Шульгин записывают исходное дифференциальное уравнение /13уЗ/ относительно влажности 9 , а не напора Н , являющегося потенциальной функцией, что приводит к появлению в его эллиптической части члена с производной коэффициента влагопроводности по пространству Ъ\С/дх . В этом случае дифференциальный эллиптический оператор теряет важное свойство самосопряженности и использование этого подхода невозможно при решении задач в слоистых средах. К этим исследованиям примыкают и работы &9, 1037.
Решением задач фильтрации и влагопереноса на АВМ с. нелинейными блоками занимаются А.Б.Ситников и В.А.Журавлев /Зб7. В этом случае точность полученных решений ограничена приборной точностью, что может вносить большую погрешность при вычислении одной из главных характеристик фильтрационного потока - скорости фильтрации. Кроме того, при решении нестационарных задач на АВМ требуется много ручного труда по съему данных и перенастройке блоков.
Наиболее часто для решения задач фильтрации и влагопереноса применяют численные методы - метод конечных разностей и метод конечных элементов.
В.й.Сабинин в работах /75, 16І решил стационарые задачи для горизонтального систематического дренажа. С.Т.Рыбакова и В.й.Сабинин Въ1 рассмотрели задачу фильтрации и влагопереноса в насыщенно-ненасыщенном почвогрунте при работе систематического горизонтального дренажа. В этих работах авторы решали задачи расчета фильтрации и влагопереноса только для слоистых по вертикали грунтов и для разрешения квазилинейных разностных задач применяли итерационный метод, использующий идеи метода неполной факторизации Лб,277, который требует значительного числа итераций для сеточных уравнений с сильноменяющимися коэффициентами. Для решения нестационарной задачи в. зонах полного и неполного насыщения С.Т.Рыбакова и В.И.Сабинин бъ7 использовали метод смены стационарных состояний.
Особенностью рассматриваемой В.В.Бадовым и А.А.Киселевым &, 9І модели просачивания влаги в перемычках или из каналов является условие невырождаемости параболического дифференциального уравнения влагопереноса в эллиптическое. В зоне полного насыщения авторы считают и,(н)= / о 7 Ръо , где - коэффициент упругоемкости пласта /бб7. Для линеаризации системы квазилинейных разностных уравнений В.В.Бадов и А.А.Киселев применяют метод итераций 3&7. Решение линеаризованной системы уравнений осуществляется методом релаксации Ло7, скорость сходимости которого невысока.
В работах J.&u,6in, /І7І.ДІ5, шТ&А.Зллеъе 7987,V. Пошило, /шД ТЖ. Жалаліткоьь /І07-ІІо7 двух- и трехмерные задачи фильтрации и влагопереноса решаются для открытого горизонтального дренажа и перемычек в однородных грунтах. Системы линейных разностных уравнений разрешались методом Писмена-Рэкфорда или симметричной верхней релаксации Цб9 , 8l7, скорость сходимости которых невысока для уравнений с сильноизменяющимися коэффициентами сравнивали решение задачи фильтрации и влагопереноса для открытого систематического горизонтального дренажа,полученное из решения уравнения влагопереноса, с решением уравнения Буссинеска в однородном грунте. Для разрешения нелинейной нестационарной краевой задачи использовался явный конечно-разностный метод /69, 7б7. В этом случае вычислительный алгоритм упрощается, но на шаг сетки по времени накладываются жесткие ограничения. Авторы статьи /ЇІ77 проводили численные расчеты с шагами по времени 0,015 часа и 0,05 часа.
Плоская задача влагопереноса о симметричном распространении влаги из канала прямоугольного сечения рассмотрена в работе О.Е.Приходченко и Ш.М.Шлафмана Ё&чУ. Для численной реализации задачи использовался метод конечных разностей. Аналогичная задача влагопереноса при бороздковых поливах решается в работе /Їі7 методом конечных элементов /ЇЗ, 37, 83/.
Построение разностных схем для стационарных и нестационарных задач фильтрации и влагопереноса
Проблема исследования процессов фильтрации и влагопереноса при орошении засушливых, промывках засоленных и осушении пере-увлажненных насыщенно-ненасыщенных почвогрунтов при работе вертикального и горизонтального дренажа является актуальной народнохозяйственной задачей.
Анализ типовых народнохозяйственных задач и современного состояния математического моделирования процессов фильтрации и влагопереноса свидетельствует о том, что для адекватного описания гидродинамических процессов в зоне действия гидромелиоративных сооружений необходимо использовать математические модели, учитывающие многослойное строение почвогрунтов с переменными и анизотропными гидрофизическими характеристиками, сложную нелинейную зависимость влажности и коэффициента влагопроводности от всасывающего давления.
Приведены формулировки типовых задач фильтрации и влаго-переноса при орошении, промывках и осушении почвогрунтов на фоне систематического горизонтального дренажа, а также при работе вертикальной скважины,
При разработке метода численного решения задач влагопере-носа необходимо предусматривать следующие основные свойства вычислительного алгоритма: единообразный характер вычислений в зоне аэрации и в зоне полного насыщения, без явного выделения границы раздела зон; широкие возможности вариации граничных условий; использование экономичных, по памяти ЭВМ и времени счета, быстросхо-дящихся итерационных методов, скорость сходимости которых слабо зависит от неоднородности среды.
Настоящая глава посвящена разработке методики решения задач фильтрации и влагопереноса в неоднородно-анизотропных почвогрун-тах при работе дренажа /горизонтального и вертикального/. Первым ее этапом является построение разностных схем, аппроксимирующих линейные и нелинейные уравнения движения жидкости в пористых средах с различными типами граничных условий / 2.і/. Для решения сеточных уравнений используется эффективный поперененно« треуголь-ный метод, основные положения которого излагаются в параграфе 2.2. Выводу оценок для ускоряющих параметров ПТМ для решения стационарных задач фильтрации с типовыми вариантами граничных условий посвящен 2.3. Особо рассмотрен случай разностной задачи Неймана, когда на каждой стороне области течения /в том числе на дрене/ заданы потоки влаги / 2Л/, Разработанная методика и построение ускоряющих параметров попеременно-треугольного метода в параграфе 2.5 проверяется на тестовых задачах фильтрации и влагопереноса. для стационарных и нестационарных задач фильтрации и влагопереноса Методика решения краевых задач, описывающих процессы фильтрации и влагопереноса, состоит в следующем. Исходное дифференциальное уравнение с начальным и граничными условиями аппроксимируется нелинейной неявной разностной схемой. На произвольный момент времени решение разностной задачи находится с помощью метода итерации, на каждом шаге которого разрешается линейная разностная задача стационарной фильтрации. Итерационный процесс завершается при удовлетворении условия тлл где S - номер шага в методе итераций, є - требуемая точность сходимости итераций. Максимум берется по всем узлам пространственной сетки.
Как отмечалось в первой главе, уравнение влагопереноса/Л .2.і/ или /І.2.І4-// в насыщенных грунтах превращается в линейное дифференциальное уравнение эллиптического типа. В предлагаемой методике решения краевых задач эта особенность учитывается с помощью члена tt(W \{s+ /в" в разностном операторе, где б" - шаг временной сетки. В зоне аэрации он принимает ненулевые значения для каждого узла пространственной сетки, а в зоне полного насыщения приведенный член равен нулю.
При рассмотрении процессов фильтрации и влагопереноса в неоднородно-анизотропных почвогрунтах коэффициенты получающихся линейных сеточных уравнений могут быть сильноменяющимися функциями и иметь разрывы 1-го рода в пределах области течения. В связи с этим, для решения разностных задач на каждой итерации по нелинейности S для произвольного момента времени, применяется быстро-сходящийся попеременно- треугольный итерационный метод.
Так как основная трудность в реализации предлагаемой методики состоит в определении решения линейных краевых задач, то сначала построим разностные схемы для линейных стационарных и нестационарных задач . фильтрации, а затем будут рассмотрены исходные квазилинейные уравнения влагопереноса в декартовой и цилиндрической системах координат.
Расчет напорной фильтрации при промывке насыщенного грунта на фоне систематического горизонтального дренажа
Для решения операторного уравнения /2,1.22/ чаще всего исполь зуют итерационные методы, имеющие высокую скорость сходимости /І0, 16, 27, 42-44, 50, 69, 77, 78, 8l7, которые представляются в виде неявной двухслойной итерационной схемы где D= В 0 - некоторый оператор, 2?к.+4 - итерационные параметры. Так как при решении фильтрационных задач, особенно в нена-сыщенной зоне, коэффициенты и, ж \СА могут изменяться на несколько порядков в пределах области течения & , то желательно пользоваться методами, скорость сходимости которых слабо зависит от этого фактора. Кроме того, при рассмотрении процессов фильтрации и влагопереноса в почвогрунтах существует изменяющаяся во времени неизвестная граница раздела зон полного и неполного насыщения. В зоне аэрации движение влаги моделируется нелинейным параболическим уравнением, а в насыщенном почвогрунте - линейным эллиптическим уравнением. Для решения таких разностных краевых задач целесообразно применять итерационные методы, позволяющие единообразно вести счет в зонах полного и неполного насыщения без явного выделения границы раздела зон. С этих позиций с самой наилучшей стороны зарекомендовал себя попеременно-треугольный итерационный метод /ШЭД/ /42-44, 77, 78, 817.
В попеременно-треугольном итерационном методе, предложенном в 1964 году А.А.Самарским /?7/, оператор Ь в схеме /2.1.27/ выбирается в факторизованном виде Пусть заданы оператор Л в виде /2.2.2/ и оператор В , оп ределенный по формуле /2.2.1/, и выполнены условия при этом Пусть операторы А и В представляются соответственно в виде /2.2.2/ и /2.2.1 / и выполняются неравенства /2.2.3/, /2.2.4/ Тогда в попеременно-треугольном методе /2.1.27/, /2.2.1/, /2.2.5/ параметры определяются формулами с учетом /2.2..6/, гдву ,іс» ,8К =[а«-х " й }-специальным образом упорядоченное множество корней полинома Чебыше-ва первого, рода степени П0 . Если „, = Jfn. - tt - погрешность метода, то для выполнения неравенства llz ll КгоЛэ достаточно гс,0 итераций, где В работах $3,.44-, 78,, 8l/показано., что, для. попеременно-треугольного метода /2.1.27/, /2.2Л/, чество итераций Yl0 /2.2.8/, требующееся для определения ик с заданной точностью в , зависит от равномерности шагов сетки по пространству и от экстремальных характеристик коэффициентов решаемой разностной задачи /2.1.22/, что требует при использовании неравномерной сетки и сильноменяющихся коэффициентов увеличения объема вычислительной работы. Поэтому оказалось необходимым модифицировать попеременно-треугольный метод за счет введения в состав В еще одного оператора од-8} 0 который должен выбираться из соображений минимума итераций и экономичности каждой итерации. В связи с этим А.Б.Кучеров и Е.С.Николаев предложили /5з, 447 выбирать оператор В в виде и подчинить выбор оператора $ требованию, чтобы отношение 7="д" было максимальным,, где. постоянные 5" и А задаются из неравенств, аналогичных /2.2.3/ и /2.2.4/: Тогда справедливы все формулы /2.2.5/ - /2.2.8/. Обычно предполагают, что оператору Ь соответствует диагональная матрица # = dcoc) и , dcx) o. Этой модификацией попеременно-треугольного метода целесообразно пользоваться при сильноменяющихся коэффициентах в уравнении /2.1.22/ #2-44, 8l7. Таким образом, для использования. ПТМ необходимо найти постоянные & и Л из неравенств /2.2 ЛО/, /2.2.П/ и построить функцию dCz) . Все остальные требующиеся параметры определяются согласн формулам /2.2.5/- /2.2.8/. В настоящей диссертационной работе для решения задач фильтрации и влагопереноса, представленных в виде опараторного уравнения /2Л.22/, в основном, применяется попеременно-треугольный метод с оператором В вида /2.2.9/. Случай использования оператора в форме /2.2.1/ будет особо оговорен. Для определения J/ic+4 » при заданном Цк , в соответствии с выражениями /2.1.Зі/ и /2.2 9/ используется следующий алгоритм: а/ вычисление невязки - г . = А Ц - ; б/ определение вспомогательной функции f ic из решения системы уравнений с треугольной матрицей - (Sb uo0A )vuK- ґКі в/ нахождение вспомогательной функции " іс из решения системы уравнений с треугольной матрицей - 6+«овЛл}#?=«$# ; г/ вычисление нового приближения д/если +1- , то полагают у = у» и переходят к пункту а/. Вычисления прекращаются, если во всех узлах сетки W выполняется неравенство ly + -j/« . » или если произведено наперед заданное число итераций п,0 /2.2 б/. Нахождению постоянных 5 , Д и функции ct fa:) для задачи Дирихле для сеточных эллиптических уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами посвящены работы $2-44, 78, 8l7. Случай задания граничных условий второго рода на параллельных сторонах прямоугольной области, когда на двух других сторонах выполняются условия первого и третьего рода, рассмотрен в диссертации А.Б.Кучеро-ва А27. Априорная информация попеременно-треугольного метода, т.е. постоянные 5" , д и функция (& , для третьей краевой задачи путем сведения ее к задаче Дирихле получена в монографии
Если на части границы области фильтрации задан поток влаги, а не условия третьего рода, то такую смешанную краевую задачу свести к задаче Дирихла не удается, т.к. тогда коэффициенты уравнения вырождаются в ноль, В 1.2 приведены, рассматриваемые в работе, типовые задачи фильтрации и влагопереноса при работе дренажа. Особенностью этих задач является многослойность среды и сложный набор смешанных граничных условий 1-го, 2-го, 3-го рода, и как частный случай возможна задача Неймана. В отмеченных выше работах по оценке априорной информации ПТМ не охвачены все варианты граничных условий, что требует дополнительных исследований по оценке параметров попеременно-треугольного метода для смешанных краевых задач.
Этому вопросу посвящены работы автора диссертации /5, 47-49, 5l7. Результаты этих исследований излагаются в последующих разделах настоящей работы.
