Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Современное состояние вопроса об исследовании силового взаимодействия движущегося тела с внутренними волнами 8
1.1. Волны в неоднородной жидкости. Первые исследования внутренних волн 8
1.2. Физические модели неоднородной среды 12
1.3. Модели с непрерывной стратификацией 17
1.4. Моделирование резкого пикноютина поверхностью раздела плотностей 20
1.5. Плоские линейные задачи с границей раздела жидкостей 23
1.6. Нелинейные задачи поверхностных и внутренних волн 28
1.7. Разрушение волн 33
1.8. Численные методы моделирования волновых задач 38
1.9. Проблемы вычислительных методов вихрей 43
1.10. Заключение 47
Глава II. Математическая модель взаимодействия резкого пикноклина с движущимся телом 49
2.1. Формулировка модели 49
2.2. Постановка нелинейной задачи 53
2.3. Вихревые слои 57
2.4. Вывод условия на границе раздела жидкостей 60
2.5. Определение гидродинамических реакций 64
2.6. Определение деформации слоя скачка плотности 67
2.7. Линейная задача гидродинамики тела вблизи резкого пикноютина 69
2.8. Метод учета пространственное задачи 82
Глава III. Численный метод решения нестационарной задачи о взаимодействии крылового профиля с нелинейными внутренними волнами 86
3.1. Основные упрощающие предположения численного метода.. „86
3.2. Аппроксимация вихревых слоев 88
3.3. Соотношения для сеточных функций 90
3.4. Выражения для коэффициентов в уравнениях дискретной численной модели 94
3.5. Расчет давлений и сил 96
3.6. Интегрирование уравнений эволюции, сглаживание 98
3.7. Алгоритм расчета 100
3.8. Некоторые особенности численного моделирования движения крыла конечного размаха 102
Глава IV. Анализ результатов численного моделирования вихреволнового гидродинамического взаимодействия твердого тела с резким пикноклином 104
4.1. Тестирование численной модели 104
4.2. Описание проведенных расчетов 109
4.3. Влияние границы раздела сред на гидродинамические характеристики крыла 111
4.4. Нелинейные эффекты при взаимодействии крыла с резким пикноклином 119
4.5. Влияние нестационарности на интегральные характеристики крыла 123
4.6. Основные выводы 126
Заключение 127
Литература 128
- Моделирование резкого пикноютина поверхностью раздела плотностей
- Линейная задача гидродинамики тела вблизи резкого пикноютина
- Выражения для коэффициентов в уравнениях дискретной численной модели
- Нелинейные эффекты при взаимодействии крыла с резким пикноклином
Введение к работе
Вода морей и океанов при решении многих практических задач принимается как однородная по плотности среда, однако это лишь физическое допущение. В природе морская вода является сугубо стратифицированной (неоднородной по плотности) средой. Типичным для океанической стратификации является наличие на некоторой глубине слоя быстрого изменения температуры. Ниже этого слоя температура по вертикали монотонно уменьшается или не изменяется, а выше, в перемешанной (квазиоднородной) области, практически постоянна. Часто в этом же слое резко изменяется соленость, при этом выше располагаются менее соленые воды, а ниже - более соленые. Встречаются состояния воды, когда верхние слои более соленые или холодные, но такая стратификация неустойчива. Градиенты температуры или солености являются причиной существования в морях и океанах слоев воды с градиентом плотности - так называемых пикноклинов.
В резких пикноклинах слой скачка плотности может быть относительно тонок, а перепад плотности значителен, тогда образуется своеобразный «жидкий грунт». В других случаях пикноклин размыт, градиент плотности невелик, но, тем не менее, слой скачка плотности отчетливо выделяется.
В слое скачка плотности под действием приложенных внешних сил могут возникать колебания жидкости, находящейся в поле силы тяжести, относительно положения равновесия. Так как жидкость является сплошной средой, эти колебания будут распространяться в пространстве с определенной скоростью, то есть возникнут гравитационные волны. Волны, возникающие в слое скачка плотности, называют бароклинными или внутренними волнами.
Амплитуды внутренних волн значительно превосходят амплитуды поверхностных волн. Регистрируемые в океане внутренние волны имеют высоту 5-20 м, иногда устойчивые волны достигают высоты 100-150 м, хотя при этом отношение высот внутренних волн к их длинам является небольшой величиной (1/20-^1/100). Кроме этого внутренние волны по сравнению с поверхностными волнами имеют большие периоды, меньшие фазовые скорости и незначительную динамическую устойчивость.
С точки зрения оценки влияния внутренних волн на гидродинамику движущихся тел интерес представляют высокочастотные короткопериодные (с периодом 5-20 минут) гравитационные внутренние волны или просто «короткие» внутренние волны. При этом важно отметить, что вероятность появления коротких внутренних волн тем выше, чем резче градиент плотности и чем меньше толщина пикноклина. Именно такая стратификация характерна для областей российского арктического шельфа, которые в последнее время осваиваются в связи с разработкой морских месторождений нефти и газа.
Разработка морских месторождений полезных ископаемых связана с развитием различных средств освоения океана (буровых платформ, подводных нефтехранилищ, исследовательских и эксплуатационных подводных аппаратов), буксируемых и автономных. Проектирование и эксплуатация всех этих конструкций ставит задачи выбора оптимальных режимов их движения на различных этапах использования, как с точки зрения экономичности, так и с точки зрения безопасности.
Решения прикладных задач при освоении арктического шельфа должны учитывать влияние внутренних волн на гидродинамику погруженных сооружений и подводных аппаратов. В связи с этим задачи гидродинамики тел с учетом резкого пикноклина и внутренних волн являются актуальными и могут иметь конкретное практическое применение.
В первой главе представляемой работы приведен обзор литературы, посвященной задачам динамики тела вблизи резкого пикноклина.
Во второй главе изложена постановка плоской нелинейной задачи о нестационарном движении крыла бесконечного размаха и сходящего с его задней кромки вихревого следа вблизи поверхности раздела двух весомых жидкостей с близкими плотностями.
Такая постановка позволяет, в отличие от линейных моделей, выявить режимы движения тела, при которых происходит разрушение поверхности раздела, а также учесть взаимодействие поверхности раздела и вихревого следа при вычислении гидродинамических характеристик.
Для выявления особенностей применяемого метода решения нелинейной задачи в этой же главе представлена постановка аналогичной линейной стационарной задачи. Краткое описание классического метода решения линейной задачи с использованием метода функций Грина приведено там же. Там же, в заключительном разделе, приведено сравнение двух методов и выделены принципиальные различия.
В третьей главе приведено описание численного метода и алгоритма расчета. Суть применяемого метода имеет в своей основе прямое численное решение системы уравнений задачи, поэтому описанию принципов численного решения задачи отведена отдельная глава.
Четвертая глава работы содержит описание проведенных расчетов и анализ полученных результатов. Глава также содержит сравнение результатов расчетов, полученных по нелинейной теории, с результатами расчетов, полученных при решении линейной задачи, а также с результатами экспериментов и аналитическим решением для тестового расчета.
В заключении формулируются основные результаты проведенной работы.
Моделирование резкого пикноютина поверхностью раздела плотностей
Как уже упоминалось в разделе 1.2, в океане часто встречается такой вид стратификации, при котором плотность жидкости достаточно резко меняется в пределах сравнительно тонкого слоя жидкости, вне этого слоя плотность меняется мало или остается постоянной. Такой вид стратификации называют резким пикиоклином.
Традиционной физической моделью для описания резкого пикноклина является модель двухслойной жидкости с границей раздела между слоями жидкости различной (но близкой по величине) плотности. Фактически при этом происходит замена натурного пикноклина малой, но конечной, толщины бесконечно тонкой границей раздела.
Эта модель удобна тем, что в ней в обобщенном виде используется аппарат расчета поверхностных волн. Такой подход упрощает расчеты и позволяет для многих задач получить решение в аналитическом виде.
Теоретические основы взаимодействия тела с границей раздела жидкостей разных плотностей заложены Н.Е.Кочиным, Я.И.Войткунским, Л.Н.Сретенским. Большое количество исследований в этой области проведено также И.В.Стуровой и В.В.Васильевой.
Для решения задач о взаимодействии тел с границей раздела жидкостей, так же как и для жидкости с непрерывной стратификацией, очень часто используется метод замены тела гидродинамическими особенностями, распределенными по его поверхности или по оси тела (в случае осесимметричного течения). Основой для решения этих задач является определение потенциала вызванных скоростей различных единичных гидродинамических особенностей, движущихся вблизи границы раздела сред с учетом (или без учета) наличия дна или свободной поверхности жидкости [46-49].
При изучении взаимодействия тел конечных размеров с границей раздела сред были получены следующие результаты для гидродинамических сил. При поступательном движении тела с пересечением свободной поверхности вблизи поверхности раздела [50] (или с пересечением поверхности раздела), коэффициент сопротивления, вызванный ВВ, может достигать величин от 0,5 до 1 от максимальной величины Сх, вызванного поверхностными волнами. При этом результаты расчетов показывают, что наиболее сильное взаимодействие тела с вынужденными ВВ происходит при значительно меньших относительных скоростях Fr = U/y[gL, чем с поверхностными волнами. Если для поверхностных волн максимум Сх достигается при Fr«0.5-H).8, то для ВВ -при Fr»0,1-0,2 [50-52].
Вынужденные ВВ также значительно влияют на величину коэффициента подъемной силы. На малых числах Фруда влияние ВВ вызывает резкое изменение величины Су, причем в малом диапазоне чисел Фруда Су резко возрастает по сравнению с Су в безграничной жидкости, и столь же резко падает [53].
При изучении влияния границы раздела жидкостей на гидродинамические характеристики нестационарно движущегося тела (на примере разгоняющейся сферы), было выяснено, что влияние границы раздела приводит к появлению дополнительных присоединенных масс. Однако, величина этих дополнительных присоединенных масс для границы раздела жидкостей близких плотностей (pi/p2=0,97-0,98) редко достигает значений 1-1,5% от величины присоединенных масс в безграничной жидкости [54]. Гораздо более интересные результаты дали исследования другого вида нестационарного движения - колебания тела в вертикальной или горизонтальной плоскости при поступательном движении тела вдоль границы раздела жидкостей [55-57]. Было обнаружено, что колебательные движения тела при определенных условиях (сочетание определенной частоты и амплитуды колебаний со скоростью поступательного движения и отношением плотностей жидкостей) могут уменьшать коэффициент волнового сопротивления практически до нуля. Этот эффект весьма интересен и может иметь практическое применение.
Для учета взаимодействия границы раздела жидкостей с произвольно движущимся телом теоретическая основа заложена В.В.Васильевой в работах [58,59], однако численные решения отсутствуют.
Интересное применение теория взаимодействия границы раздела жидкостей с движущимися телами получила в связи с изучением механизма взаимодействия айсбергов с резким сезонным пикноклином в Арктике. Исследования показали, что при имеющихся в Арктике природных условиях айсберги могут являться генераторами ВВ в резком пикноклине [60, 61].
Во всех перечисленных работах перепад плотности жидкости малой, но конечной толщины заменяется бесконечно тонкой поверхностью разрыва плотности. При этом вопрос влияния такой замены на величину силовых характеристик движущегося тела до последнего времени не рассматривался.
Решение этого вопроса было получено только в 1991г. Эксперимент [44], проведенный для сферы, буксируемой вблизи резкого термоклина, в стратифицированном бассейне ИПФ РАН, выявил следующий факт: если тело движется вне резкого пикноклина, то на его гидродинамические характеристики существенно влияет только первая мода ВВ. Остальные моды могут значительно влиять только на тело, движущееся внутри пикноклипа. Тот факт, что на движущееся тело, не пересекающее пикноклин, действует только первая волновая мода, дает научное обоснование возможности замены резкого пикноклипа поверхностью раздела жидкостей и позволяет в этом случае пренебрегать толщиной пикноклина.
При решении пространственных задач о взаимодействии тел с границей раздела жидкостей численные результаты получены в основном для осесимметричных тел (сфера, удлиненные тела вращения) или для тонких судов типа Митчела. Это связано со сложностью математического описания и численных расчетов при решении задач о пространственном движении тел более сложной формы.
В связи с этим особый интерес представляет решение задач плоскопараллельного движения жидкости (плоских задач), так как в этой постановке легче проанализировать качественное влияние границы раздела жидкостей различной плотности на гидродинамические характеристики тел различной формы, в том числе и крыловых профилей.
Линейная задача гидродинамики тела вблизи резкого пикноютина
При движении тела в несжимаемой вязкой жидкости на границах формируются сдвиговые слои (слои резкого изменения касательной составляющей скорости): пограничный слой на теле и слой на границе раздела жидкостей. Кроме этого, пограничный слой, сходящий с острой кромки профиля, сносится потоком и формирует след также в виде сдвигового слоя. Будем полагать, что толщина сдвиговых слоев пренебрежимо мала по сравнению с характерными геометрическими размерами течения. Это предположение позволяет заменить конечные сдвиговые слои бесконечно тонкими границами разрыва тангенциальной скорости. Вне сдвиговых слоев движение жидкости хорошо описывается моделью идеальной жидкости. Поэтому будем считать жидкость вне тела, границы раздела и следа невязкой.
Для получения качественной оценки взаимодействия крыла с внутренними волнами, вызванными его движением, возможна замена крыла большого размаха на крыло бесконечного размаха со сведением задачи к плоскопараллельному течению.
Задача ставится в двух вариантах. Один вариант — линейная задача о движении крыла под слоем перепада плотности с постоянной скоростью. Другой вариант - нелинейная постановка той же задачи.
Нелинейный вариант ставится как нестационарная задача о старте тела из состояния покоя с дальнейшим его движением с постоянной скоростью. При постановке нестационарной задачи учитывается вихревой след, сходящий с острой задней кромки крыла. Такая постановка нелинейной задачи позволяет получить решение для установившегося движения крыла при тех величинах параметров движения тела, при которых волны не разрушаются. Это решение получается при выходе нестационарной задачи на установившийся режим при больших значениях времени, прошедшего с момента старта тела. Таким образом, несмотря на различную постановку линейной и нелинейной задач, сравнение результатов по интегральным характеристикам является обоснованным.
Для тех параметров движения крыла, при которых нелинейные волны разрушаются, решение нестационарной задачи не выйдет на установившийся режим из-за их разрушения, но появится возможность получить картины разрушающейся границы раздела жидкостей близких плотностей, исследование которых также может дать интересные результаты.
Итак, основные упрощающие допущения, принятые для постановки данной задачи, следующие: 1. Полем внешних массовых сил является однородное поле силы тяжести. 2. Пикноклин моделируется границей раздела двух жидкостей близких плотностей и заменяется вихревым слоем. 3. Вне пикноклина жидкость однородна по плотности. 4. Пограничный слой на теле, граница раздела жидкостей и след заменяются поверхностями разрыва тангенциальной скорости. 5. Жидкость несжимаемая и вне тела, границы раздела и следа невязкая. 6. Течение жидкости плоскопараллельное, что позволяет рассматривать задачу только в одной плоскости. С учетом вышеизложенных упрощений задача нахождения вектора гидродинамической силы R-iRx + jRy действующей на движущийся контур, в любой момент времени t определяется характерным размером тела b (хорда профиля), расстоянием от профиля до границы раздела жидкостей h, скоростью движения профиля О у плотностями верхней pi и нижней р2 жидкостей и ускорением силы тяжести g. Решается нелинейная нестационарная задача. Также для верификации расчетной схемы решена линейная стационарная задача и проведено сравнение с известными теоретическими и экспериментальными результатами. Рассмотрим формулировку математической модели для нелинейной задачи о горизонтальном движении крыла бесконечного размаха под границей раздела жидкостей близких плотностей. В двумерном пространстве R будем рассматривать области D\ и D2i разделенные тонкой границей Е: DjUD2u=R2, заполненные идеальными несжимаемыми жидкостями с плотностями Р2 рь находящимися под действием силы тяжести напряженностью g (рис. 4). В области І)? из состояния покоя мгновенно разгоняется и движется горизонтально и поступательно с постоянной скоростью О твердый недеформируемый контур S (крыловой профиль), при этом в любой рассматриваемый момент времени поверхность тела S и граница раздела жидкостей не имеют общих точек. С задней кромки профиля сходит вихревой след а. В начальный момент времени профиль S неподвижен, граница раздела жидкостей Zимеет вид горизонтальной прямой, жидкости D} и D2 покоятся. Принимаем за t=0 момент старта контура. Введем неподвижную систему координат (,, ц) так, что ось f совпадает с невозмущенной границей L и направлена в сторону, противоположную направлению движения контура, ось г} направлена вертикально вверх. Подвижная система координат (х, у) жестко связана с контуром S и движется горизонтально и поступательно со скоростью U относительно системы (В,, Г}), причем направления осей и х, Г} и у совпадают. Если в областях D\ и D2 вектор скорости движения жидкости V = (Vx,Vy), массовые плотности жидкостей pj и р2, гидродинамическое давление р являются непрерывными функциями координат х,у и времени t, то законы сохранения количества движения, массы и объема, справедливые в этих областях жидкости, можно свести к системе дифференциальных уравнений, которые в векторной форме записываются Принятые в предыдущем параграфе допущения позволяют сформулировать основные уравнения краевой кусочно-потенциальной задачи, которая является обычной внешней краевой задачей Неймана для каждой области Д. Так как жидкости в областях Д идеальны и несжимаемы, имеют постоянную плотность и находятся в потенциальном поле силы тяжести, то движение жидкостей в D] и D2 вне границ S, ,о (см. рис. 4) будет потенциальным.
Выражения для коэффициентов в уравнениях дискретной численной модели
При разработке численного метода необходимо учесть некоторые условия, позволяющие реализовать дальнейшую численную реализацию задачи.
Для введения дополнительных упрощающих предположений, примем следующие обозначения: решение поставленной задачи определяется в N+1 точках на поверхности тела S, в М+1 точках на поверхности раздела жидкостей Еп в L точках на вихревой пелене а. Принимаемые упрощающие предположения имеют следующий вид: 1) поверхность тела S и поверхность раздела- Е состоят из прямолинейных вихревых панелей, между узловыми точками на S и Е\ 2) на поверхностях S и Е интенсивности присоединенных вихревых слоев в узловых точках принимают искомые значения fs (i=l,...,N+l) и f% (j=l,...,M+I), а между узловыми точками изменяются по линейному закону; 3) на вихревой пелене а распределенная интенсивность свободного вихревого слоя аппроксимируется совокупностью 5-функций дуговой координаты s: где s a- дуговая координата узловой точки вихревого слоя, для 1=1 нижний предел интеграла s! a изменится на sa=0, что соответствует задней кромке профиля; 4) квадрат скорости перемещения границы раздела жидкостей Е и квадрат интенсивности присоединенного вихревого слоя границы раздела )?а изменяются между узловыми точками линейно; 5) изменение всех характеристик во времени происходит линейно. При этом интегралы, входящие в условие непротекания на поверхности тела (17), условие постоянства циркуляции (19) и условие на границе раздела (27) алгебраически будут выражены через интенсивности вихревых слоев, то есть через величины Уд /Б а в виде их линейной суперпозиции. Эти соотношения используются для нахождения интенсивностей вихревых слоев /5, fz в узловых точках, а также положения (х & уст) и циркуляции Ге дискретного вихря, сошедшего в поток в данный момент времени. При этом положения вихревых систем на профиле S и поверхности раздела , а также L-1 дискретных вихрей следа а и их циркуляции Iіа (1=1,...,1-1) считаем известными в данный момент времени. Прежде всего, рассмотрим аппроксимацию границы раздела жидкостей. На границе раздела выберем М+1 узловую точку с координатами (x s УД (i=l,...,M+l). Аналогично на твердом контуре S выберем N+1 узловую точку (х & y s), (i=l,...,N+l)t причем точка Л(х s=x + s, y s s) - точка на хвостике профиля. Узловые точки на свободной вихревой пелене следа ст. (х а у a), (i=l, ...,L). Аппроксимируем границу раздела жидкостей I и поверхность твердого контура S совокупностями панелей 2 ={/ д i=l,...,M} и S ={lls,i=l,...,N}, последовательно соединяющих узловые точки следующим образом: Iі {(х Бу1 ), (Х +1БУ ЧІ)}, /$={( Я/У), (x 4s,y1+}s))-Свободный вихревой слой пелены следа заменим совокупностью точечных вихрей У ={р1а,1=1,...,Ь), совпадающих с узловыми точками пелены Р стНх оУ а). Распределение вихревых особенностей интенсивностью ys(s) на поверхности тела заменим непрерывным распределением вихревых особенностей на S с линейным распределением интенсивности между узловыми точками и интенсив ностями fsy (i-l,...,N+l) в узловых точках S . То же самое можно проделать и на границе раздела жидкостей. При этом ys(s) на границе раздела будет заменена непрерывным кусочно-линейным распределением вихревых особенностей с интенсивностями fz, (j=l, ...,М+У) в узловых точках Z (рис.8). Распределенную интенсивность свободного вихревого слоя пелены а будем аппроксимировать совокупностью -функций дуговой координаты: где s а- дуговая координата узловой точки вихревого слоя. Для /=1 нижний предел интеграла s !а изменится на sa=0, что соответствует хвостику профиля. Таким образом, вихревые слои твердого контура S и границы раздела жидкостей моделируются системами прямолинейных вихревых панелей 5 иРс кусочно-линейным распределением интенсивности и значениями интенсивности вихревого слоя в узловых точках УЙ i l,...tN+l и fb j=l,...,M+l- Свободный вихревой слой следа т моделируется системой дискретных вихрей сг , с циркуляциями.
Нелинейные эффекты при взаимодействии крыла с резким пикноклином
Тестирование расчетной программы проводилось по двум направлениям: проверка получаемых интефальных гидродинамических характеристик (коэффициентов сопротивления и подъемной силы) и амплитудно-частотных характеристик нелинейных вынужденных волн.
Для оценки интефальных гидродинамических характеристик, полученных в данной работе по нелинейной теории, были выполнены расчеты по линейной теории, основанные на применении функции Грина. Математическая модель, исходя из которой составлен расчетный метод для линейной задачи, изложен в п.2.7.
В качестве объекта сравнительного исследования результатов линейной и нелинейной теории был выбран симметричный профиль Жуковского, движущийся с углом атаки 5 на расстоянии в одну хорду под фаницей раздела жидкостей близких плотностей (отношение плотностей верхней и нижней жидкостей р/р2=0.97). Расчетные зависимости Cx(Fr) и Cy(Fr) для нелинейной задачи сравнивались также с результатами расчетов Горелова и Горлова [65], полученные при решении линейной задачи. Результаты, полученные по линейной модели, практически полностью совпадают с результатами [65]. Сравнение результатов линейной и нелинейной моделей по интефальным гидродинамическим характеристикам приведено на рис.15.
Сравнение показывает хорошее согласование результатов расчетов по величинам максимального коэффициента сопротивления и минимального коэффициента подъемной силы по линейной и нелинейной теории. Особенностью результатов, полученных с учетом нелинейности внутренних волн, является более острый пик сопротивления и значительно более быстрое убывание сопротивления при увеличении скорости движения крыла. Сравнение результатов расчетов для коэффициента подъемной силы также показывает наличие более резкого изменения подъемной силы в ограниченном диапазоне чисел Фруда при учете нелинейности вынужденных волн.
В настоящее время в литературе отсутствуют экспериментальные результаты, позволяющие оценить влияние границы раздела жидкостей близких плотностей на гидродинамические характеристики крыла. Поэтому по предложенному в данной работе методу решения нелинейной задачи были определены гидродинамические характеристики крыла, движущегося под свободной поверхностью. Это решение получается как предельное, если плотность верхней жидкости устремить к нулю. Для этого случая расчета интегральных характеристик по нелинейной теории проведено сравнение с экспериментальными данными [111]. На рис. 16 приведены зависимости отношения коэффициента подъемной силы, возникающего при движении под свободной поверхностью воды, к значению коэффициента подъемной силы при движении крыла в безграничной жидкости (Су/Су№) от числа Фруда. Сравнение проводилось для крыла сегментного профиля 5% толщины, движущегося под поверхностью воды на глубине в одну хорду с углом атаки 6. Экспериментальные данные приведены для крыла судлинением Х=ЗЛ.
Графики, приведенные на рис.16, показывают хорошее качественное совпадение результатов расчетов с экспериментом. Превышение расчетных значений коэффициента подъемной силы над экспериментальными данными можно объяснить разным размахом рассматриваемых крыльев и неучтенным влиянием вязкости.
Для сравнения амплитудно-частотных характеристик нелинейных вынужденных волн, полученных из расчета, с аналитическим решением, проводился численный эксперимент для вихря единичной циркуляции, движущегося на глубине h=l под свободной поверхностью воды. Результаты расчета сравнивались с решением В.М.Келдыша [112], полученного путем выполнения нелинейного граничного условия на невозмущенной поверхности. В отличие от этого теоретического решения, в тестовом расчете нелинейное граничное условие выполнялось на возмущенной поверхности, то есть нелинейность учитывалась более полно. Сравнение вида волновой поверхности в ближнем течении за вихрем с теоретическим решением приведено на рис.17.
Из рисунка видно, что результаты расчета хорошо согласуются с аналитическим решением по длинам и амплитудам волн. Отличие расчетных результатов объясняется более полным учетом нелинейности, что проявляется в наличии более пологих волновых впадин и более остром гребне, а также в большей крутизне переднего склона волны.
Амплитуды нелинейных волн, полученные расчетным путем, сравнивались также с результатами эксперимента и расчетом по линейной теории, проведенным В.И.Букреевым для симметричного профиля, движущегося без угла атаки под поверхностью раздела жидкостей близких плотностей [67] (рис. 18). На графике приведены результаты расчетов по линейной теории (сплошная линия), результаты эксперимента (квадраты) и результаты расчета по нелинейной теории (круги).