Введение к работе
Актуальность проблемы.
В последнее время значительно возросло внимание к исследованиям в области неупорядоченных сред: гетероструктурные среды со случайным или периодическим расположением фаз, аморфные и композитные материалы, легированные полупроводники, жидкометаллические растворы, водоносные грунты. Это обусловлено широким применением таких материалов в различных областях техники, от микроэлектроники при создании приборов с необычными свойствами, до сельского хозяйства, когда необходимо учитывать характер распределения удобрений в различных фунтах. В ходе таких исследований естественным образом возникает ряд теоретических задач: о процессах диффузии и проводимости, о просачивании и фильтрации жидкостей, о движении электронов в случайном электромагнитном поле и т.п.
В предлагаемой работе исследуется класс задач фильтрации в средах, в которых процессы переноса частиц контролируются стохастическими характеристиками среды (случайные фрактальные среды), например, случайным коэффициентом диффузии. При изучении характера транспорта примесных частиц в таких средах возникает ряд проблем, которые до настоящего времени не получили окончательного решения. Это, прежде всего, получение базовых уравнений переноса, адекватно описывающих ту или физическую модель среды. Поскольку базовые уравнения содержат параметры, являющиеся случайными функциями, то концентрация примесных частиц, как функционал от этих параметров, - тоже случайная функция. Поэтому возникает другая проблема -построение регулярных и достаточно универсальных методов нахождения уравнения для средней концентрации. И, наконец, из полученных уравнений для средней концентрации необходимо извлечь практически важные следствия, обусловленные стохастическим характером среды, отыскать возможные классы решений.
Настоящая диссертация и посвящена построению математических моделей для некоторых типов случайных сред и разработке методов усреднения, соответствующих этим моделям уравнений.
Цель работы
Цель работы состоит в описании процесса переноса вещества в случайных средах. Достижение этой цели включает следующие этапы:
Формулировка основных уравнений, описывающих транспорт частиц в конкретных средах со случайными параметрами.
Развитие регулярных методов усреднения и получения замкнутой системы уравнений, описывающих диффузию частиц в стохастических средах.
Применение развитых методов к решению конкретных задач
Научная новизна результатов работы
Для пористых сред, в которых перенос примесных частиц происходит в носителе, содержащем хаотически распределенные зерна, получено уравнение диффузии, отличающееся от известных ранее зависимостью эффективного коэффициента диффузии от проницаемости
Получено новое уравнение для сред, в которых диффузия примесей осуществляется по тонким, случайным образом изогнутым трубкам.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА / 1
Разработана методика получения замкнутой системы уравнений для средних значений функциональных производных от концентрации по случайным параметрам среды.
Для пористых и трубчатых сред с гауссовым характером стохастичности параметров адаптирован метод последовательных приближений и диаграммная техника. Показано, что, суммируя определенный класс диаграмм можно получить решение в требуемом приближении.
Показано, что на пространственных масштабах, больших корреляционной длины случайного поля параметров и на временах, больших диффузионного времени, перенос примесей описывается уравнениями в дробных производных по времени.
Найдены решения в квадратурах для средней концентрации примесей. Показано, что для пористой и трубчатой сред имеет место эффект аномальной диффузии и перенормировка эффективного коэффициента диффузии.
В одномерном и трехмерном случаях получено уравнение в дробных производных по времени, описывающих транспорт частиц при наличии внешнего поля сил с гауссовым характером стохастичности потенциала. Выявлены эффекты аномальной (медленной) диффузии и перенормировки коэффициента диффузии.
Показано, что на пространственных масштабах, больших корреляционной длины и на временах, больших диффузионного времени, явный вид уравнений, описывающих эволюцию средней концентрации слабо зависит от вида корреляционной функции случайного поля.
Научная и практическая ценности работы.
Построены новые математические модели пористой и трубчатой сред. Предлагаемые модели адекватно описывают процессы диффузии в ряде реальных физических ситуаций В качестве примера можно привести процессы переноса примесей в грунтах с различными стохастическими свойствами и в жидкометаллических расплавах. Разработаны регулярные методы получения уравнений для средней концентрации. Эти методы могут быть применены к исследованию уравнений других типов, а не только к уравнениям диффузии в пористой и трубчатой средах, как это сделано в диссертации Выявлены эффекты перенормировки коэффициента диффузии и аномальной диффузии, что радикально меняет характер распределения примесей по сравнению с обычными, то есть не случайными средами.
Апробация диссертации.
Основные результаты диссертации отражены в 12 публикациях (из них 6 статей и 6 тезисов докладов) и были представлены автором на следующих конференциях:
International Conference Topical Problems of Nonlinear Physics NPW-3, Nizhniy Novgorod, 2003;
VIM международная конференция Кограф-2003, Н.Новгород, НГТУ, 2003;
VI International Congress of Mathematical Modeling, Nizhniy Novgorod, 2004;
International Conference "Fractional Calculus and Applications (FDA04)", Bordeaux, France, 2004;
XXI International Congress off Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM04), Warsaw, Poland;
ENOC-2005, Eindhoven, Netherlands, 7-12 August 2005.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 107 страниц, включая 24 рисунка и список литературы из 60 наименований.