Введение к работе
Актуальность проблемы. Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию нелинейных стоячих двумерных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Рассматриваются свободные волны и параметрически возбуждаемые волны.
Исследование нелинейных стоячих гравитационных волн представляет собой более сложную задачу, чем исследование стационарных прогрессивных волн. До сих пор не проведено строгого математического доказательства существования решения даже простейших задач о нелинейных стоячих волнах. Интерес же к исследованию классических задач о свободных волновых движениях с каждым годом все нарастает. Так, уже получены приближенные решения в виде разложений в ряд по малому параметру для ряда задач о свободных стоячих волнах, например, о дву- и трехмерных волнах в жидкости конечной и бесконечной глубины; о составных волнах, в которых возможно существование волн двух (или более) мод с различными собственными частотами; о внутренних волнах на границах раздела двухслойной или стратифицированной жидкости. Решены задачи о параметрическом возбуждении волн в жидкости бесконечной и конечной глубины в случае, когда возбуждается одна мода, частота которой близка к половине частоты параметрического возбуждения; а также задача о возбуждении составных двухмодовых волн как в случае, когда частоты обеих мод близки к половине частоты параметрического возбуждения, так и в некоторых случаях кратных резонансов (например, одна из частот близка к половине, а другая—к 1/4 частоты параметрического возбуждения).
Для исследования первого объекта настоящей работы мы обращаемся к одной из фундаментальных задач о стоячих волнах — задаче о двумерном свободном волновом движении идеальной несжимаемой жидкости, заключенной в сосуд конечной глубины с точки зрения влияния конечности глубины на характер волновых движений.
Как известно, зависимость частоты пологих нелинейных стоячих волн от амплитуды записывается в виде ряда по четным степеням амплитуды
и>=ио + Фі(х)С7 + Фз{х)С*+---, где wo — частота линейной волны, С — амплитуда волны, х —
_4-
глубина жидкости, Фі(х), 0г(х)і — полиномы, зависящие от глубины жидкости и являющиеся первой, второй и т.д. поправками к частоте нелинейной волны. В рамках ранее построенной теории была определена лишь первая нелинейная поправка к частоте и обнаружено, что частота увеличивается с ростом амплитуды для глубин, меньших некоторого значения (когда фі(х) < 0), и уменьшается—для больших глубин, когда ф\{х) > 0. Оставался открытым вопрос, что будет происходить при глубинах жидкости, равных или близких к той, при которой
Фх(х) = 0.
Такую глубину будем называть критической. Заметим, что при критической глубине
ди>(С2)
Чтобы ответить на этот вопрос необходимо определить $2(х). т.е. вычислить более высокие приближения по малому параметру.
Другим объектом исследования является параметрически возбуждаемые стоячие волны. Как известно, к параметрическим относятся колебания, возбуждение которых происходит вследствие изменения во времени (а возможно и в пространстве) параметров колебательной системы. Такие колебания (или волны) изучались многими исследователями для механических и электрических систем с конечным числом степеней свободы, а также для распределенных систем, изучаемых в нелинейной оптике и акустике. В меньшей степени это явление исследовалось в гидродинамике.
Исследование параметрического возбуждения волн актуально для технических приложений: для задач транспортировки жидкостей, добычи нефти на шельфе, создании антивибрационных и антисейсмических установок, так называемых настраиваемых жидкостных гасителей колебаний (tuned liqued damper). Кроме того, параметрический способ возбуждения волн имеет некоторые преимущества по сравнению с другими в плане легкости и простоты сопоставления теории с результатами лабораторного моделирования.
Особый интерес представляет случай, когда при возбуждении поверхностных волн в однородной жидкости резонансная кривая (зависимость амплитуды волн от частоты возбуждения) может менять свой
наклон на противоположный при изменении глубины жидкости. Интересно знать: что будет происходить при глубинах жидкости, близких к критической, т.е. той, при которой и происходит это изменение наклона резонансной кривой. В рамках ранее построенной теории ответить на этот вопрос невозможно, так как первая нелинейная поправка к частоте обращается в нуль и амплитуда волн стремится к бесконечности, вследствие чего необходимо вычислять более высокие приближения по малому параметру. Этот случай представляет особый интерес, т.к. при этом, по-видимому, должны возбуждаться наиболее сильные волны.
Целью диссертационной работы является аналитическое и численное исследование влияния конечности глубины на характеристики волновых движений при свободном движении жидкости и при параметрическом возбуждении волн в жидкости, заключенной в вертикально колеблющийся сосуд.
При этом определяется зависимость частоты свободных стоячих поверхностных волн от амплитуды в жидкости конечной (в том числе и критической) глубины, изучаются свойства полученной зависимости; определяются режимы параметрического возбуждения волн, находится зависимость амплитуды возбуждаемых волн от частоты для глубин жидкости, близких к критической. Изучаются также профили волн; проводится сравнение полученных результатов с данными лабораторных экспериментов.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты: 93-013-17594, 94-01 -00793-а)
Методы исследования В основу исследования положены уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести, записанные в переменных Лагранжа. Для построения аналитических решений задач применялись асимптотические методы теории нелинейных волн, подобные методу Крылова—Боголюбова. В каждой задаче было построено пять приближений по малому параметру, выбор которого определялся из следующих соображений. В задаче о свободных :тоячих волнах малый параметр є вводился исходя из предположения, что крутизна волн есть величина порядка е. В задаче о параметрически возбуждаемых стоячих волнах малый параметр вводится так,
чтобы эффекты нелинейности и параметрического возбуждения имели одинаковый порядок. Для этого рассматривается соотношение между крутизной волн и перегрузкой: крутизна волн есть величина порядка є1Іл, а отношение амплитуды ускорения сосуда к ускорению силы тяжести (перегрузка) есть величина порядка є, то есть sQ2/g = с Аналитические выкладки проводились на компьютере с помощью специально разработанных процедур, написанных на языке системы символьных вычислений Maple. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие изменение во времени амплитуд и фаз главных гармоник волн анализировались методами качественной теории дифференциальных уравнений и с использованием системы символьных вычислений Maple, пакета программ Phaser; а также численно.
При построении численного решения указанных задач применяется процедура, подобная методу граничных элементов, согласно которой нахождение частного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений и граничных условий сводится к решению системы нелинейных трансцендентных уравнений, которая затем решается численно (метод Ньютона).
Научная новизна данной работы состоит в том, что получены асимптотические представления решений нелинейных задач о свободных стоячих поверхностных волнах для широкого диапазона глубин жидкости и о параметрическом возбуждении поверхностных волн в жидкости при глубинах сосуда, близких к критической; на основе метода граничных элементов разработана численно-аналитическая процедура построения численного решения краевых задач о стоячих нелинейных волнах (свободных и параметрически возбуждаемых). Проведено сравнение решений, полученных различными методами и объяснены случаи несовпадения этих решений.
Практическое значение. Полученные в работе результаты могут иметь технические приложения. Это относится к проблемам добычи нефти на океанском шельфе и ее транспортировки в танках; а также, к проблемам транспортировки жидкостей; процессам, возникающим при колебаниях резервуаров (нагрузки при землетрясениях, настраиваемые жидкостные гасители колебаний). Кроме того, исследовавшиеся
в работе гидродинамические системы могут моделировать нелинейные волновые процессы в плазме.
Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается корректностью математических постановок задач; соответствием полученных результатов экспериментальным; а также соответствием аналитических (в предельных случаях) и численных расчетов результатам, полученным другими авторами.
Апробация работы. Изложенные в работе материалы докладывались в Институте механики МГУ на семинаре под руководством член-корреспондента РАН А.Г. Куликовского и профессора А.А. Бармина; на семинаре кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ под руководством академика Д.Е. Охоцимского и профессора Ю.Ф. Голубева; в Институте проблем механики РАН на семинаре лаборатории волновых процессов в жидкости; на международной конференции "New Computer Technologies in Control Systems".
Публикации. Материалы диссертации изложены в работах [1-8].
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений, изложена на |3>С страницах, содержит 37 рисунков, 5 таблиц. В конце работы приведен список использованной литературы из 109 наименований.