Математические методы и модели в проблеме распространения примесей в температурно-стратифицированной атмосфере Семенчин, Евгений Андреевич

Введение к работе

Актуальность проблемы и направление научных исследований

Атмосфера представляет собой чрезвычайно сложный объект как для физических исследований, так и для математического моделирования различных процессов, протекающих в ней. Она очень неоднородна в пространстве и весьма изменчива во времени. Физические процессы, протекающие в атмосфере, как правило, нестационарны, неустойчивы, что затрудняет их изучение. Существенное влияние на эти процессы оказывают приток тепла в атмосферу, распределение температуры воздуха по высоте. Поэтому при изучении атмосферных процессов учитывается (прямо или косвенно) температурная стратификация атмосферы.

Несмотря на указанные сложности, в настоящее время исследованию физических процессов, протекающих в атмосфере, посвящено значительное число работ (монографий, журнальных статей). В физике оформились целые разделы, в рамках которых проводится целенаправленное изучение различных атмосферных явлений: физика атмосферы (общая метеорология), синоптическая метеорология (учение о закономерностях изменения погоды, методах ее предсказания для различных регионов Земли), климатология (учение о формировании и изменении климата в различных регионах Земли).

Масштабность изучения различных процессов, протекающих в температурно-стратифицированной атмосфере, обусловлена их огромным влиянием на хозяйственную деятельность и здоровье людей, на состояние животного и растительного мира. Стихийные бедствия, вызванные атмосферными процессами (засухи, ливни, градовые явления) наносят ощутимый урон экономике каждого государства, приводят к человеческим жертвам. В настоящее время во всевозрастающем масштабе наблюдается, к сожалению, еще одно негативное явление. В результате хозяйственной деятельности человечества в атмосферу выбрасывается значительное количество веществ, приносящих вред как здоровью людей, так и округкающей среде: со второй половины 80-х годов ежегодно выбрасывается более 300 млн. т оксида углерода, 120 млн. т золы, 50 млн. т всевозможных углеводородов I! т.д. Турбулентными потоками эти вещества разносятся на значительные

расстояния, осаждаясь на земную поверхность и загрязняя ее. При этом содержание примесей в атмосфере зависит не только от объема промышленных выбросов, но, в значительной мере, и от метеорологических условий (скорости ветра, распределения температуры по высоте и т.д.).

Для описания и прогноза различных явлений, протекающих в атмосфере, в настоящее время все чаще прибегают к методам математического моделирования этих процессов. Проблемам математического моделирования различных процессов, протекающих в температурност-ратифицированном пограничном слое атмосферы, и особенно проблеме моделирования процесса рассеяния загрязнений в этом слое, посвящены также исследования, результаты которых изложены в диссертации и данном автореферате диссертации. Несмотря на значительное число научных работ в этом направлении, до настоящего времени не существует стройных теорий и математических моделей, результаты и выводы из которых всегда достаточно хорошо согласовывались бы с экспериментальными данными. Поэтому тема диссертационной работы "Математические методы и модели в проблеме распространения примесей в температурно-стратифицированной атмосфере" является актуальной. Полученные результаты представляют значительный интерес как для дальнейших теоретических исследований в этом направлении, так и для практического их применения.

Цель работ

1. Указать эффективные способы определения (вычисления) и прогноза всех параметров в математической модели пограничного слоя атмосферы, представляющей собой замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных, которой удовлетворяют основные характеристики пограничного слоя: горизонтальные составляющие скорости ветра, потенциальная температура, средняя кинетическая энергия и масштаб турбулентности, коэффициент обмена и средняя скорость диссипации турбулентной энергии.

2. Найти аналитические решения задачи, описывающей в наиболее общей постановке изменения по высоте температуры воздуха.

3. Найти аналитические и приближенные решения задач, описывающих рассеяние различного рода примесей (легких, тяжелых, час-

тиц среднего размера) в температурно-стратифицированной атмосфере при как можно наименьшем числе различных ограничений в рассматриваемой задаче (на коэффициенты уравнения, на начальные и граничные условия).

4. Применить найденные аналитические и приближенные решения задач, описывающих рассеяние различного рода примесей (легких, тяжелых, частиц среднего размера) при исследовании некоторых конкретных задач экологии.

5. Построить и исследовать математическую модель блуждания частицы примеси в нестационарном пограничном слое атмосфере, позволяющую определять различные статистические моменты пространственных координат этой частицы.

Научная новизна результатов работы

1. Впервые предложен метод статистического прогноза параметров математической модели пограничного слоя атмосферы Лайхтма-на-Зилитинкевича.

2. Найдены аналитические решения различных обобщений задачи вертикального распространения тепла в атмосфере, в которых: а) учитываются нестационарные притоки тепла в атмосферу, б) вертикальная составляющая коэффициента обмена линейно зависит от высоты z и является периодической функцией времени t, в) температура на границе атмосфера-подстилающая поверхность задана ограниченной непрерывной (в частности периодической) функцией времени t.

3. Обобщены известные результаты аналитического реиешчя задачи, описывающей изменения средних значений концентрации примеси в температурно-стратифицированной атмосфере. Данная задача исследовалась многими авторами (ввиду ее значимости для практики). Однако в явном аналитическом виде она была решена лишь в самых простейших случаях: в стационарном режиме, в случае, когда все коэффициенты полуэмпирического уравнения являются константами, в случае, когда полуэмпирическое уравнение описывает лишь процесс вертикальной диффузии. При этом этом учитывались источники самого простого вида: мгновенный точечный, линейный бесконечной длины. В диссертации, при решении указанной задачи, предполагалось, чгс в полуэмпирическом уравнении:

а) только компоненты скорости Еетра и, зависящие от них, коэффициента горизонтальной диффузии являются постоянными, коэффициент вертикальной диффузии задан в виде степенной функции аргумента (высоты) Z;

0) коэффициент

в) коэффициент w_q, характеризующий скорость осаждения частиц
примеси под воздействием гравитационных сил, может быть как рав
ным нулю (легкие частицы), так и отличным от нуля (тяжелые и
среднего размера частицы);

г) функция, описывающая источник примеси, может соответство
вать источнику любого типа, реально встречающемуся на практике
(точечному , линейному, плоскому, объемному мгновенного или неп
рерывного действия), лишь бы только не нарушались условия сущест
вования и единственности решения рассматриваемой задачи.

При построении с помощью метода расщепления асимптотических приближений решения данной задачи указанные в пункте а) ограничения значительно ослаблены (при сохранении требований о существовании и единственности решения задачи): допускается, что скорость ветра вдоль оси 02 является непрерывной функцией аргумента z, растущей на (О, ) не быстрее линейной функции.

4. Найденные аналитические решения задач рассеяния примеси в турбулентной атмосфере использованы для подробного исследования: задачи краткосрочного прогноза загрязнения приземного слоя промышленными выбросами; обратной задачи для источника примеси в полуэмпирическом уравнении турбулентной диффузии; для построения и изучения математических моделей: оценки количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность за заданное время, рассеяния примеси от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне.

5. Предложена математическая модель блуждания частицы примеси в турбулентной атмосфере, основанная на результатах теории стохастических дифференциальных уравнений. Подробно исследованы, возникающие в рамках этой модели, некоторые задачи оптимальной фильтрами случайных помех (шумов) в наблюдаемом процессе. Исследована задача построения оптимального линейного фильтра в случае вырождения матрицы ковариаций случайных шумов в наблюдаемом слу-

чайном процессе. Построена оценка сверху для почти оптимального линейного фильтра. Построены асимптотические оценки для нелинейного оптимального фильтра.

Научная и практическая значимость работ/

1. На основании предложенного метода статистического прогноза параметров замкнутой математической модели пограничного слоя атмосферы можно осуществлять прогноз значений физических характеристик этого слоя (горизонтальных составляющих скорости ветра, потенциальной температуры и т.д.), прогноз средних значений концентрации примеси в этом слое.

2. Хорово известно, что многие процессы, протекающие в атмосфере, существенно зависят от температуры окружающего, воздуха и ее изменений по высоте. Поэтому полученные аналитические формулы, описывающие (близко к реальной действительности) изменения температуры воздуха во времени и по высоте, представляют несомненный практический интерес.

3. В настоящее время вычислительная математика имеет большие достижения в вопросах численного решения различного рода краевых задач. Поэтому решение задачи, описывающей рассеяние ппимеси в турбулентной атмосфере, численными методами не представляет большого труда. Однако аналитические решения этой задачи не утратили своего значения до настоящего времени: они более обозримы, более удобны для практического применения, чем численные решения, позволяют сделать глубокие выводы о характере зависимости их значений от параметров задачи, от начальных и краевых условий.

4. Бурное развитие промышленности в индустриально развитых странах, приводящее к интенсивному выбросу в атмосферу различных отходов производства, поставило перед государственными органами этих странпроблему защиты окружающей среды от вредного воздействия промышленных выбросов, приносящих ощутимый вред здоровью людей, значительный ущеро экологически значимым зонам. В настоящее время в каждой промышленно развитой стране остро стоят вопросы об оценке степени загрязнения атмосферы и подстилающей поверхности промышленными выбросами, о размещении промышленных предприятий в экологически значимых зонах таким образом, чтобы вредное влияние

выбросов этих предприятий на окружающую среду -было минимальным. Результаты исследований задачи краткосрочного поогноза загрязнения приземного слоя атмосферы, обратной задачи для источника примеси, предлагаемые математические модели оценки количества примеси, выпадающей на подстилающую поверхность, рассеяния примеси от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне могут быть использованы для решения данных экологически значимых задач.

5. Математическая модель блуждания частицы примеси в турбулентной атмосфере позволяет определять (вычислять) статистические моменты координат этой частицы, не прибегая 'к полуэмпирическим методам, часто используемым в настоящее время, в прикладных исследованиях.

Одной из важных задач, возникающей при. построении математической модели блуаданйя частицы в турбулентной атмосфере, является задача оптимальной фильтрации пространственных координат этой частицы от случайных помех. Связанная с ней задача построения оптимального линейного фильтра в случае вырождения матрицы ковариа-ций шумов в наблюдаемом процессе изучалась во многих работах. Однако для прикладных исследований полученные результаты во многих случаях оказываются малопригодными, т.к. во всех известных работах по данной проблеме при выводе оптимального фильтра используется операция дифференцирования вектора наблюдений. Операция численного дифференцирования является некорректной, что приводит в реальной ситуации к грубым искажениям значений оптимальной оценки ненаблюдаемого процесса (пространственных координат частицы). Прелагаемый в диссертации оптимальный линейный фильтр не предполагает использования операции дифференцирования вектора наблюдений, имеет простой вид и логко реализуем на практике.

В рассматриваемом случае вырождения матрицы ковариаций шумов в наблюдаемом процессе предложена оценка сверху для решения задачи о почти оптимальном линейном фильтре.

Исключительно сложной является задача построения оптимального нелинейного фильтра. В настоящее время данная проблема находится в стадии изучения и разработки различных методов ее решения. Полученные в этом направлении результаты еще далеки до окончательного решения этой проблемы, тем более до их.широкого применения в прикладных исследованиях. Построенные и приведенные в

диссертации асимптотические соотношения для оптимальной в средне-квадратическом смысле оценки ненаблюдаемых компонент случайного процесса по результатам измерений наблюдаемых компонент этого процесса позволяют решить задачу нелинейной фильтрации, не прибегая ни к построению громоздких уравнений,' которым должна удовлетворять оптимальная, оценка, ни к различным способам упрощения (например, линеаризации) рассматриваемой системы стохастических дифференциальных уравнений.

Указанные результаты - по оптимальной фильтрации случайных процессов можно использовать не только для фильтрации значений пространственных координат блуждающей в турбулентной атмосфере частицы, ' но. и при изучении различных задач оптимального управления стохастическими объектами.

Положения, выносимые на защиту.

5. Методики дискретного и непрерывного статистического прогноза значений параметров математической модели пограничного слоя Лайхтмана-Зилитинкевича,. позволяющие осуществлять оперативный вероятностный прогноз значений основных характеристик пограничного слоя температурно-стратифицированной атмосферы.

6. Результаты исследований аналитическими методами (с применением метода- преобразования координат) нестационарных задач, описывающих, суточные изменения температуры воздуха вдоль оси Oz в турбулентном пограничном слое атмосферы, с непрерывно зависящими от времени и высоты.(в частности, периодически изменяющимися к> времени) функцией источников притока тепла в атмосферу, функциями из начального и.граничного условий, с линейно зависящим от высоты и периодически изменяющимся с течением времени коэффициентом турбулентного, обмена. -

7. Результаты исследований аналитическими методами задач рассеяния примеси при постоянной скорости ветра в температурно- стратифицированной атмосфере, учитывающих процессы распада л. взаимодействия частиц примеси с частицами и молекулами окружающей среды, процесс осаждения частиц примеси на подстилающую поверхность под воздействием гравитационных сил, источники примеси самого различного вида, реально встречающиеся на практике (точеч-

ные, линейные, плоские, объемные мгновенного и непрерывного действия).

4. Результаты исследований по асимптотическим методам решения задач рассеяния примеси в температурно-стратифицированной атмосфере с непрерывно изменяющейся по высоте скоростью ветра, основанные на редукции (на каждом достаточно малом временном интервале) исходной задачи в трехмерном пространстве к нескольким одномерным и последующему применению к полученным задачам аналитических (а не численных, как обычно) методов решения.

5. Математические модели, построенные на основе найденных аналитических и приближенных решений задач рассеяния примеси в температурно стратифицированной атмосфере, экологически значимых задач: краткосрочного прогноза загрязнения приземного слоя промышленными выбросами, обратной задачи для источника примеси, определения (расчета) значений количества примеси, выпадающей из атмосферы на подстилающую поверхность за заданное время, определения (расчета) значений концентрации примеси в пограничном слое атмосферы от криволинейного источника, оптимального размещения источника примеси в экологически значимой зоне.

6. Математическая модель блуждания частицы примеси в турбулентной атмосфере, представляющая собой систему стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, которым удовлетворяют координаты блуждающей частицы, и позволяющая: установить связь между данными стохастическими уравнениями и полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии, указать эффективный способ вычисления статистических моментов блуждающей частицы, учесть (через коэффициенты системы) влияние вертикальных изменений температуры воздуха на положение частицы в пространстве.

7. Результьтаты исследований по оптимальной линейной и нелинейной фильтрации случайных процессов в п-мерном евклидовом пространстве, полученные в результате изучения предложенной математической модели блуждания частицы примеси в атмосфере и позво-ляляющие: построить оптимальный линейный фильтр в задаче, линейной фильтрации случайных процессов при вырождении матрицы ковариаций шума в наблюдаемом процессе без дополнительных требований диффе-ренцируемости компонент вектора наблюдений, найти .(постоить) оценку сверху для решения почти оптимального линейного фильтра, построить в задаче нелинейной фильтрации случайных процессов

асимптотические соотношения для оптимальной в среднеквадратичес-ком смысле оценки ненаблюдаемых компонент случайного процесса по наблюдаемым компонентам.

Апробация работ

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на 1 Всесоюзной конференции "Корреляционно-экстремальные системы управления" (Томск, 1979), на 1 Всесоюзной конференции "Оптими&а-ция динамических систем" (Минск, 1980), на Всесоюзном совещании-семинаре "Проблемы оптимизации и управления динамическими системами в машино-и приборостроении" (Москва, 1987), на 1 Международной конференции "Математика, компьютер, управление и инвестиции" (Москва, 1993), на 2 Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1995), на 1 Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1995), . на Международной школе-семинаре "Передача, обработка и отображение информации" (Теберда, 1995), на 2 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Москва, 1995), на 4 Всероссийской конференции "Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования" (Тамбов, 1995), на Международной конференции "12 th International conference on Clouds and Precipitation" (Zurich, Switzerland, 1996), на 4 Международной конференции "Циклы природы и общества" (Ставрополь, 1996), на межвузовской конференции "Лейбниц - мыслитель, философ, человек" (Ставрополь, 1996), на 3 Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Москва, 1996), на научных конференциях Ставропольского государственного технического университета (Ставрополь, 1989, 1992, 1994, 1995, 1996).

По теме диссертации опубликовано 36 научных работ. Среди них 2 монографии, 2 научных отчета.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, восьми глав, заключения и списка литературы; она изложена на 356 страницах машинописного текста.