Введение к работе
Моделирование течение жидкости и газа на ЭВМ дает сегодня информацию о течениях, доступную ранее только из эксперимента. К настоящему времени для численной аппроксимации уравнений движения жидкости и газа предложен ряд эффективных классов разностных схем сквозного счета: схемы центральных разностей, схемы односторонних разностей и схемы типа Годунова.
Схемы центральных разностей прости в реализации, имеют как правило второй порядок аппроксимации и позволяют моделировать любые физические явления. Для устойчивости счета к таким схемам добавляется определяемое методом проб и ошибок количество численной вязкости. Если в решаемой задаче имеется выделенное направление,то уместно использовать схемы направленных разностей, использующие информацию, текущую в выделенном направлении. К классу схем с направленными разностями принадлежат весьма успешные компактные (т.е. достигающие высокой точности на малом расчетном шаблоне) алгоритмы, основанные на аппроксимациях Паде (ТОЛСТЫХ 1973). однако большинство публикаций последний .двух десятков лет посвящено разработке и применению т. н. схем типа Годунова, отличительной особенностью которых является безусловная устойчивость счета при любых начальных данных и адекватный физическому характер распространения возмущений. Эти схемы сочетают положительные качества методов центральных и направленных разностей: наличие достаточной численной вязкости и адекватный выбор направления распространения возмущений, с помощью введения в алгоритм построения расчетной схемы этапа решения одномерной автомодельной задачи Ринана о распаде произвольного разрыва в начальных данных. Оправдавшие себя модификации схемы Годунова выразились в упрощениях процесса точного решения задачи Ринана и в замене точного решения задачи Римана приближенным (Русанов ідеї, РОУ 1981, ОШЕР 1982, ВАН ЛЕЕР 1979, СТЕГЕР И УОРМИНГ 1981).
Выражение, отвечающее за газодинамическое взаимодействие двух соседних расчетных ячеек, использует информацию из двух соседних
узлов расчетной сетки, и записывается в виде суммы арифметического среднего векторов газодинамических потоков в двух соседних узлах и члена, представляющего численную вязкость. Для определения последней привлекают физическую модель взаимодействия двух соседних узлов расчетной сетки. В одной из моделей соседние расчетные ячейки взаимодействуют посредством дискретных волн конечной интенсивности. другая модель основана на обмене фиктивными частицами между двуня соседними ячейками расчетной сетки. В любом случае речь идет о построение (приближенного) решения задачи Рипана о распаде разрыва в начальных данных.
Сложность реальных задач аэродинамики и наличие тонких структур исследуемого поля течения ставят высокие требования к численному алгоритму, применяемому к расчету таких течений. Ограниченность ресурсов памяти и быстродействия ЭВМ требуют использования схем высокой точности. Разностные схемы второго и выше порядков аппроксимации генерируют в окрестностях разрывов состояния газа нефяэичные осцилляции численного решения (ГОДУНОВ, 1959). Этого недостатка лишены схемы типа Годунова первого порядка аппроксимации. Поэтому для получения высококачественных численных решений в гладких областях течения и монотонных переходов газодинамических величин через разрывы используется концепция схем переменного порядка аппроксимации. В основной части, расчетной области течение является гладким и порядок аппроксимации схемы может быть достаточно высоким, а вблизи резких перепадов исследуемых функций используются схемы типа Годунова первого порядка аппроксимации.
В рамках модели конечных обЬемов существует два принципиальных подхода к построению схем переменного порядка аппроксимации: пост-и препроцессорный. Лля реализации постпроцессорной разностной схемы (ХАРТЕН 1983, ЧЛКРАВЛРТК 1985) сначала с помощью алгоритмов первого порядка аппроксимации определяются потоки на гранхцах расчетных ячеек, а затем эти потоки корректируются с помощью конечно- разностного выражения, включающего в себя логику разностей вверх по потоку. В рамках препроцессорного подхода (КРАЙКО И КОПЧЕНОЙ 1983, ВАН ЛЕЕР 1983, ВУДВОРД К КОЛЕЛЛА 1984) дискретные начальные данные представляются непрерывным внутри каждой расчетной ячейки распределением, а затем расчитывается
о — развитие этого распреяеленмя в течение короткого промежутка времени, с помощью уравнений гладкого мл» разрывного течения.
Лля повышения порядка аппроксимации по пространству препроцессорных схем с разностями вверх по потоку достаточно повысить точность восполнения данных на исходном слое по времени, которая дает значения газодинамических переменных на границах контрольных объемов.
Для этой цели используется также алгоритм решения неавтонодельной обобщенной задачи Римана о вздимодействии двух линейно распределенных состояний газа (МЕНЬШОВ 1990). К сожалению, подобные схемы слишком громоздки в практической реализации. В литературе последних лет все чаще появляются сообщении о существенно многомерных схемах, учитывающих наряду с информацией, доступной из решения одномерной задачи Римана, также и существенно мкогонеркые явления газовой динамики (Він ЛЕЕР 1992). Сложность и неоднозначность формулировки таких схем ограничивает область их применимости расчетами модельных задач газовой динамики. Подобные подходы к построения расчетных схем теряют стройность и точность при попытке учета реальных свойств ' газа, а также явлений молекулярного переноса, таких как вязкость и теплопроводность.
Поэтому задачу о построении наиболее приемлемой методики аппроксимации уравнений движения жидкости и газд можно поставить так: построить схему второго порядка аппроксимации, использующую по возможности простой и надежный алгоритм приближенного решения задачи Римана, легко обобщаемую на многомерный случай и имеющую достаточную гладкость, учитывая необходимость применения ее в рамках какого-либо из неявных численных алгоритмов.
Для получения стационарного решения уравнений обтекания временное интегрирование отделяется от пространственного. Полудискретная модель для геометрически сложной области получается посредством разделения ее на совокупность четырехугольников, и результирующая 'система обыкновенных дифференциальных уравнений решается посредством неявной по времени процедуры. В настоящей работе в качестве такой процедуры выбран метод Ньютона, с помощью которого решаются уравнения гидродинамики.
Из целого ряда эффективных неявных численных методов решения стационарных уравнений Эйлера и Навье-Стокса, наибольшее
->-
распространение имеют сегодня различные варианты метода приближенно» факторизации (БИМ и УОРИИНГ 197«), многосеточные итерационные методы (МЛЛДЕ 1985), релаксационные нефакторизованные алгоритмы (ИВАНОВ я КРУПЛ 1991), которые можно рассматривать как упрощения ортодоксального метода Ньютона. Чутки* к некорректностям постановки начальных и граничных условии, метод Ньютона позволяет достичь очень быстрой- квадратичной скорости сходимости решения.
Каждая из итераций метода Ньютона требует обращения большой разреженной (здесь не плотнее чем блочно- трянадцатидиагональной) матрицы глобальной линеаризации нелинейной сястены алгебраических уравненной (Якоби), выполняемого с помощью прямых или итерационкыех методов. Область применения прямых методов обращения таких матриц (даже после введения специальных алгоритмов перенумерации узлов расчетной сетки по методу "сложенных сечений" (ДЖОРДЖ 1973) ограничена двумерными задачами ввиду значительных затрат ресурсов ЭВМ, требуемых для их работы.. В противоположность прямым, итерационные методы обращения больших разреженных матриц (СЛАД я ШУЛЫ1 1988) в ряде случаев более выгодны для применения, по сравнение с прямыми.
Нелинейность решаемых уравнений и необходимость построения неявных алгоритмов требуют линеаризации уравнений движения. Некоторые приближенные линеаризации могут разрушить сходимость неявного алгоритма. В данной работе был выбран подход численного дифференцирования, дающий для любых схем аппроксимация их "точные" (с точностью до ошибок'округления) линеаризации.
Численные методы интегрирования уравнений Эйлера и Навье-Стокса с учетом диссипация и турбулентности требуют внимания к аппроксимации дополнительных уравнений и членов уравнений движения. При моделирования вязких течений вязкие потоки аппроксимируются центральными разностями а невязкие- с помощью схем типа Годунова повышенного порядка аппроксимации, в целях достижения ожиденого ускорения сходимости численного метода все уравнения движения рассматриваются "сцепленными".
С помощью схем типа Годунова можно решать задачи аэрогидродинамики, не принадлежащие к классу гиперболических законов сохранения, с помощью специальных процедур регуляризации уравнений движения. Примером является подход псевдосжимаемости
~т —
(ЧОРИН 1967) при моделировании установившихся течении несжимаемо! жидкости. Он позволяет успешно применять численные методики, отработанные для более простых физических моделе! обтекания.
Актуальность темы. Создание современных и перспективных летательных аппаратов требует увеличения обЬема предварительных исследований. Наряду с усовершенствованием экспериментальных и аналитических методов все большее значение приобретают расчетные исследования на современных ЭВМ.
В настоящее время численны! эксперимент является необходимым иструментом при прозктированнж летательных аппаратов и элементов их конструкции. Необходимость оперативного анализа характеристик разнообразных течений требует создания быстрых, точных и надежных численных методов и алгоритмов расчета этих течении, пригодных в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый за последнее время в методах численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса, существует потребность в их переосмыслении, обобщении и упрощении. Такие численные методы получают действительно широкое распространение.
Новые численные методы требуют длительной практической апробации прежде чем они станут общепринятыми. Поэтому для каждого численного метода требуется очертить круг задач, решаемых с его помощью.
Цель работы - разработка быстрых, точных и надежных дискретных методов и алгоритмов расчета установившихся течений различной природы в рамках метода последовательных приближений Ньютона, проверка их надежности и быстродействия по сравнению с более ранними методами, а также практическое исследование с их помощь» течений в сложной физической постановке вокруг модельных и реальных двумерных конфигураций.
Научная новизна полученных результатов:
Для численного моделирования многомерных течений жидкости и газа, описываемых уравнениями Эйлера и Навье-Стокса, в рамках метода последовательных приближений Ньютона, построен удобный и надежный метод ППВ (Полиномиально Представленная Вязкость) построения схем типа Годунова.
Метод ППВ позволяет на основе единой концепции и в рамках единого алгоритма строить большинство из известных на сегодняшний
-&-
день (полные схемы ППВ) а также создавать новые схемы тяпа Годунова (упрощенные схемы ППВ), наилучшим образом (с точек зрения экономии ресурсов ЭВМ и качества конечных результатов) подходящие для решения конкретных физических задач.
Метод ППВ использован для построения класса схем типа MUSCL (монотонязованные схемы типа Годунова повышенного порядка аппроксимации), включаетего в себя саму схему MUSCL (РОДИОНОВ 1987) и все классические линейные однородные схемы второго порядка аппроксимации (ЛЛКС и ВЕНДРОВ 1964. ФРОММ 1968. БИМ я УОРМИНГ 1974).
Для схем типа Годунова повышенного порядка аппроксимации
проведен сравнительный анализ нелинейных функций монотонизаторов,
позволивший выделить монотонизаторы, наиболее приспособленные для
решения сложных задач обтекания. Построено новое семейство
монотонизаторов, приводящее к схемам третьего порядка
аппроксимации, основанное на применении интерполяции дискретных начальных данных с помощью гипербол.
Метод ППВ построения дискретных схем типа Годунова внедрен в
метод Ньютона решения больших нелинейных систем алгебраических
уравнений. для решения одно- и двумерных уравнений
аэрогидродинамики. Показано, что на основе этой методики можно успешно рассчитывать: а: установившиеся вязкие и невязкие течения сжимаемого газа, б: х-сверхзвуковые стационарные течения невязкого газа, в: установившиеся течения вязкой несжимаемой жидкости с использованием подхода псевдосжякаемости. г: турбулентные течения вязкого теплопроводного сжимаемого газа с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.
Показано, что упрощенные схемы метода ППВ позволяют получить экономию операций ЭВМ порядка 30 процентов (по сравнению с исходный» (полными) схемами метода ППВ) на определенной и наиболее ресурсоемкой стадии решения физической задачя (стадия формирования матрицы Якоби) в рамках метода Ньютона. В явных двумерных расчетах экономия во времени ЭВМ, связанная с примененяен упрошенных схем метода ППВ. достигает 40Х.
Проведено систематическое апробирование схем метода ППВ на ряде модельных и практических задач механики жидкости и газа, в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха, которое подтвердило
-s-
высокую работоспособность схем метода ППВ, их экономичность, простоту и удобство в применении. Хачество результатов, получаемых с помощью упрошенных схем метода ППВ. в большинстве случаев не уступает таковому для лучших современных схем типа Годунова (РОУ 1981. ВАН ЛЕЕР 1982, СТЕГЕР и УОРНИНГ 1981).
использование упрощенных схем метода ППВ как правило приводит к более быстрой и гарантированной сходимости итераций метода Ньютона, по сравнению с полными схемами метода ППВ. В тех случаях, когда численное решение не удается получить с помощью полных схем ППВ, выбор в качестве начального приближения численного решения, полученного с помощью упрощенных схем ППВ, делает метод Ньютона сходящимся во всех случаях использования подобной методики.
Обоснованность н достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, определяются методическими сопоставлениями различных численных методов, с аналитическими решениями, сравнением полученных численных результатов с опубликованными расчетными экспериментальными данными.
Прантическая значимость результатов работы: Созданные алгоритмы и програмны могут быть использованы для массовых расчетов течений вокруг тел реалистичной конфигурации, с применением различных моделей диссипации и турбулентности, для оперативного и детального анализа их аэродинамических характеристик.
На основе библиотеки программ ALGEBRA НИО-8 ЦАГИ создана библиотека программ "PPV". реализующая схемы метода ППВ. Упрощенные схемы метода ППВ дают экономию ресурсов времени ЭВМ порядка ЗОУ. на наиболее дорогой стадии решения физической задачи в рамках метода Ньютона, без потери качества численных результатов по срванению с полными схемами. Экономия времени ЭВМ при использовании упрощенных схем метода ППВ в явных двумерных расчетах может достигать 40%, по сравнению с полными схемами.
Реализация результатов работы. Созданные алгоритмы и программы в настоящее время используются в НИО-I и НИО-8 ЦАГИ. С помощью таких программ выдаются практические рекомендации промышленности.
Апробация работы. Основные результаты проведенных исследований обсуждались и получили одобрение на Региональной Конференции
-ю-
"Методы приближений в вычислительной математике" (Новосибирск.
1991), Всесоюзной Конференции по методам численного решения
многомерных нестационарных задач математической физики
(Арзамас-16, 1991), Международной Школе-Семинаре ІМГИ "Механика жидкости и газа" (Володарка, 1992, руководитель-проф. , чл. -корр. РАН В. Я. Нейланд), 13-ой Международной Конференции по Численным Методам в Вычислительной гидродинамике (Рик, Италия, 1992), на семинарах: НИ0-1 11АГИ (1991, руководитель к. ф. м. н С. М. Босняков), НИ О-В І1АГИ (1991, К.ф.м.н. П. Я. Михайлов), НИО-20 ІМГИ (1991. к. ф. м. н. В. В. Сыч). І1ИАИ по вычислительным метопам (1991, проф., д. ф. м. н. А. Н. Крайко), им. К. И.Бабенко (1991, ИПМ им. Келдыша, д. ф. м. н. А.В.Забродин и Г. П. Прокопов), ВЦ РАН (1991, д. ф. к. к. А.И.Толстых), Отдела Вычислительной Математики РАН (1991, к. ф. м. н. А.Ю.Еремин), "Русское окно в науку" (май 1993, база ВВС США Райт-Паттерсон, Дейтон, Огайо. США, доктор Ф.Уэбстер).
Публикации. Результаты работы опубликованы в трех статьях, трех препринтах ЦАГИ, материалах двух всесоюзных и двух международных конференций.
Структура и обЬен диссертации. Диссертационная работа состоит
из введения, четырех глав, выводов, списка литературы из 190
наименований. Работа изложена на \Ч.(о листах машинописного текста и
содержит \Ь рисунка ( фигур). Общий юбЪвн диссертации
составляет lb2. страницы.