Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Метод статистических моментов. Уравнения турбулентного переноса импульса, тепла и вещества 15
1. Статистические моменты и кумулянты 15
2. Подход Рейнолъдса, уравнения для моментов в приближении Буссинеска 18
3. Модельные представления для корреляций с пульсациями давления л, 22
4. Модельные представления для корреляций с пульсациями давления KQI и nri 24
5. Тензор скорости диссипации 25
6. Турбулентная диффузия 30
7. Метод замыкания высших моментов 31
8. Алгебраические модели тройных корреляций 36
9. Алгебраическая модель тензора Рейнольдсовых напряжений и вектора потока, тепла и вещества 46
10. Модели турбулентности третьего порядка замыкания 49
11. Модель кумулянтов четвертого порядка 50
Глава 2 Верификация моделей турбулентного переноса импульса и вещества второго порядка замыкания 58
1 Моделирование бессдвигового слоя смешения 58
2 Моделирование диффузии пассивной примеси от линейного источника в поле однородной турбулентности 68
3 Верификация E-l uE-Z моделей турбулентности нейтрального горизонтально неоднородного ППС. 85
Глава 3. Моделирование турбулентного переноса импульса тепла и вещества в конвективном ППС. Модель второго порядка замыкания 101
1 Моделирование эволюции конвективного ППС. 105
2 Моделирование распространения пассивной примеси в конвективном ППС . 128
Глава 4. Моделирование эволюции конвективного ППС сиспользованием модели третьего порядка замыкания 143
Глава 5. Моделирование распространения примеси в конвективном ППС 161
Заключение 178
Выводы 181
Литература 184
- Подход Рейнолъдса, уравнения для моментов в приближении Буссинеска
- Турбулентная диффузия
- Моделирование диффузии пассивной примеси от линейного источника в поле однородной турбулентности
- Моделирование распространения пассивной примеси в конвективном ППС
Введение к работе
Последние годы были отмечены повышенным вниманием мировой общественности к проблеме устойчивого развития, обеспечивающего баланс между решением социально-экономических задач и сохранением окружающей среды (конференция ООН по окружающей среде и развитию, Рио-де-Жанейро 1992 г.). Необходимым условием дальнейшего технологического развития человеческого общества стала способность находить компромисс между экономической выгодой и экологической безопасностью. Перед научным сообществом встала задача прогноза последствий антропогенной деятельности человека на окружающую природную среду. Разрабатываются системы информационного математического обеспечения экологического мониторинга, экспертных оценок и прогноза последствий как планируемых выбросов в окружающую природную среду, так и выбросов при чрезвычайных ситуациях. Базисом таких систем являются физико-математические модели, способные предсказывать сценарии эволюции природной среды в зависимости от степени антропогенной нагрузки. В частности, для описания процессов в окружающей атмосфере используется модель распространения вредных и опасных (химических и радиоактивных) примесей в планетарном пограничном слое (ППС) от различных источников.
Распространение загрязняющих веществ в атмосфере определятся двумя процессами: конвективным переносом вследствие осредненного движения среды и турбулентной диффузией. Поэтому математическая модель должна правильно описывать как поле средних скоростей, так и статистическую структуру турбулентности (Smith & Carson, 1977). Основное требование к таким моделям заключается в том чтобы они совмещали в себе вычислительную эффективность с достоверностью получаемых результатов, достаточной для задач аэрофизики окружающей среды.
Активно развивающиеся последние 20 лет методы описания турбулентных течений, основанные на решении системы точных уравнений,
описывающих во времени все детали эволюции поля скорости и скалярных полей (DNS-метод) (Orzag & Patterson, 1972; Rozhdestvensky & Si-makin, 1984; Lesieur, 1997) или решении уравнений крупномасштабного движения в рамках моделирования надсеточной турбулентности (LES-метод) (Smagorinsky et all., 1965; Ferziger, 1977; Lesieur, 1997)для большинства задач аэрофизики окружающей среды слишком трудоемки, поскольку реализуются в рамках трехмерной нестационарной задачи с разрешением диапазона масштабов пропорционального Re9'4 (Кольман, 1984; Курбацкий 1988; Lesieur, 1997) и предполагают получение ансамбля мгновенных реализаций искомых полей для дальнейшего статистического анализа. В настоящее время существует единственный экономически оправданный подход, основанный на решении уравнений для осредненных по Рейнольдсу полей скорости, температуры и концентрации (Zeman, 1981). Эти уравнения содержат члены турбулентного переноса. Для замыкания система уравнений должны быть дополнена моделью турбулентности.
Используемые на практике модели турбулентного переноса в ППС, основанные на К-теории (см., например, работы (Глушко & Орданович, 1978; Yordanov et all., 1983) или гауссовой модели облака примеси ,(см. например, работы (Вызова, 1974; Берлянд, 1975; Pielke & Mahrer, 1975), согласно оценкам Пэскуила обычно дают правильный результат с точностью до коэффициента 2. Последние оценки стандартных моделей Агентства по охране окружающей среды США, показали, что при расчетах средних часовых концентраций в фиксированной точке согласование характеризуется скорее коэффициентом 3-4 и даже более. Если процесс турбулентного переноса характеризуется более чем одним механизмом переноса, т.е. несколькими масштабами длины и скорости (как, например, в стратифицированном ППС), то указанные модели оказываются полностью несостоятельными. Некоторые примеры такого рода приведены в работе Tennekes & Lumley (1972). Последние годы активно разрабатывается ме-
тод моделирования ППС, основанный на решении дифференциальных уравнений турбулентного переноса моментов второго порядка (Launder et all., 1975; Lumley, 1979; Кольман, 1984). Модель турбулентности второго порядка (типа модели Колмогорова (Колмогоров, 1942)) впервые была численно реализована Глушко Г.С. в 1965 г. для расчета течения в турбулентном пограничном слое (Глушко, 1965). Современные модификации моделей второго порядка во многих случаях позволяют описать распределение первых и вторых моментов в ППС (см., например, Sun & Ogura 1980, Moeng & Wyngaard 1989, Enger 1986). Однако и они оказываются слишком грубыми для описания динамики конвективного ППС (Lamb, 1981; Кольман, 1984). В моделировании структуры конвективного ППС не были должным образом использованы новые знания в области моделирования турбулентности. Изучение ППС все еще базируется, в основном, на материалах наблюдений или на теоретических исследованиях приземного слоя. В моделях турбулентности традиционно используется параметризация линейного масштаба турбулентности (Andre et all., 1978; Sun & Ogura 1980; Enger 1986). Это приводит к введению в модель эмпирической функции, которая заранее предписывает структуру турбулентности ППС. Сконструированный таким образом масштаб турбулентности должен удовлетворять законам подобия и зависеть от стратификации ППС, а также учитывать горизонтальную неоднородность подстилающей поверхности. Как правило, это приводит к использованию сложных видов параметризаций, включающих в себя большое количество эмпирической информации (см., например, Enger 1986).
Моделирование распространения пассивной примеси в конвективном ППС в рамках модели турбулентного переноса второго порядка замыкания (Enger 1986, Sun 1989) показало, что для описания поведения облака примеси необходимо учитывать эффект влияния крупномасштабных конвективных вихревых структур (Виниченко и др., 1976), под влиянием
которых турбулентный перенос в приземном слое носит котрградинтный характер.
Большие времена жизни крупномасштабных вихревых структур (КВС) приводят к тому, что частицы жидкости (примеси), попадая в поле течения КВС могут переноситься на большие расстояния практически без изменения направления движения. Это не согласуется с постулатами эйлеровой К-теории (Corrsin, 1974). Согласно этой теории турбулентная диффузия рассматривается как аналог броуновского движения, т.е. процесса случайных блужданий. При этом частица может пройти большое расстояние только в результате многократных случайных по направлению перемещений. Поэтому для описания турбулентного переноса в стратифицированных течениях модели градиентной диффузии оказываются недостаточными (Deardorff, 1966).
Как заметил Земан (Zeman, 1981), первые значительные успехи приложения замыканий второго порядка к инженерным задачам привели к иногда недостаточно обоснованному использованию того же метода в исследованиях геофизических течений. В литературе можно найти множество различных моделей, основанных как на обычных гипотезах замыкания, разработанных для нестратифицированных течений со сдвигом скорости, так и на приближенных вариантах замыкания второго порядка, специально адаптированных к условиям, когда порождение турбулентности определяется в первую очередь силами плавучести. Однако, все модели турбулентности второго порядка с использованием параметризаций градиентного типа для тройных корреляций в этом случае дают качественно неверное поведение вертикального потока энергии.
В работах (Lumley & Zeman 1978, Andre et all 1981, Курбацкий 1988) для описания структуры конвективного ППС использовалась модель турбулентности третьего порядка замыкания, основанная на гипотезе Миллионщикова (Миллионщиков, 1941) для параметризации корреляций
четвертого порядка . Однако, такая модель оказалась неустойчивой; в процессе ее численной реализации генерировались "паразитные" волны. В работе (Moeng & Randall 1984) было показано, что указанные волны не обусловлены эффектом численного моделирования, а являются решением используемой математической модели. В работах (Lumley & Zeman 1978, Курбацкий 1988) алгоритм численного моделирования был организован, таким образом, чтобы временной шаг интегрирования модели был постоянным и обратным по величине частоте этих осцилляции. Подавление "паразитных" волн в работе (Andre et al., 1978) достигалось путем добавления в численный алгоритм процедуры искусственного "обрезания" величины тройных корреляций на основе проверки выполнения неравенств Шварца "clipping approximation" (Andre et al., 1976), а в работе (Moeng and Randall 1984) уравнения дополнялись диффузионными слагаемыми. Отметим, что неустойчивость моделей турбулентности третьего порядка, основанных на использовании гипотезы квазинормальности Миллионщико-ва является их общим свойством, которое проявляется и в других типах течений (см. работы Deardorff 1978, Craft et all 1997). Как и в работе (Moeng and Randall 1984), уравнения моделей (Deardorff 1978, Craft et all 1997) дополнялись диффузионными слагаемыми, для демпфирования роста тройных корреляций.
Известно, что применение гипотезы квазинормальности в ряде случаев приводит к противоречащим законам физики результатам (Монин & Яглом 1967), например, к появлению отрицательных участков спектра кинетической энергии турбулентности (Ogura 1962, Хазен 1963). Последнее обстоятельство является следствием того, что при заданных вторых и третьих моментах распределение вероятностей с равными нулю кумулянтами четвертого порядка (как это предполагает гипотеза квазинормальности Миллионщикова) может и не существовать, оно тесно связано с недо-
Отметим, что измерения (см., например, Pries, 1970) не подтверждают выполнение гипотезы квазинормальности в ППС.
пустимостыо произвольного обрывания ряда Тейлора для логарифма характеристического функционала.
Очевидно, что все указанные выше процедуры подавления "паразитных" осцилляции в моделях турбулентности третьего порядка замыкания физически некорректны, а сами эти модели слишком громоздки и неэффективны для численной реализации.
Цель настоящей работы - разработать и апробировать модель турбулентности для описания нелокальных свойств вертикального переноса импульса, тепла и вещества в конвективном ППС
В первой главе диссертации выписаны уравнения турбулентного переноса импульса, тепла и вещества в ППС. Анализируются два подхода моделирования структуры ППС - с использованием алгебраического выражения для линейного масштаба турбулентности и модель, включающая уравнение для спектрального потока энергии турбулентности. Формулируется физико-математическая модель турбулентного переноса в ППС второго порядка, модель с алгебраическими уравнениями для турбулентных потоков полученными в неравновесном приближении из соответствующих дифференциальных уравнений.
Формулируется новый подход замыкания высших моментов в моделях турбулентности, основанный на использовании уравнений переноса для кумулянтов. На его основе получены алгебраические модели тройных корреляций, учитывающие эффекты среднего сдвига скорости, закрутки и стратификации. Получены уравнения переноса для кумулянтов четвертого порядка замыкания и их алгебраическая версия для использования в моделях турбулентности третьего порядка замыкания. Сформулирована модель турбулентности третьего порядка замыкания не предполагающая привлечения гипотезы квазинормальности Миллионщикова для параметризаций четвертых моментов.
Структура исследований и выполненных задач представленных в настоящей работе показана на рисунке:
Новая модель турбулентного перепоен импульсу и тепли втором) порядка замыкания в конвективном III 1С
{моделирование эволюции конвективного ППС)
Новая модель переноса примеси в конвективном ППС
{моделированиераспространения примеси)
Разработка новых аппроксимаций
,.
йтгаиных корреляций па основе
анализа вычисленного оаланса .. уравнений переноса
Модель турбулентного переноса импульса и тепла
третьего порядка замыкания в конвективном ППС
(моделирование эволюции конвективного ППС)
Метод восстановления ФПВ и'поля скорости когерентных структур""I ::rio" вычисленным моментам распределения
Метол замыкания'-высших моментов
Модель турбулентного переноса импульса, тепла и вещества второю порядка чамыкания в конвективном ППС {моделирование эволюции конвективного ППС и процесса распространения примеси)
Применение модели H-L для тройных корреляций
Применение алгебраическеш аппроксимации для диссипации скаляра
Применение уравнения переноса
для диссипации
энергии турбулентности
Апробация моделей турбулентной
диффузии (тройных корреляций)
моделирование бессдвигового слоя смешения)
Апробация моделей турбулентной
диффузии и диссипации скаляра
[моделирование тер. иичеекого следа
в однородном турбулентном потоке)
Апробация модели диссипации энергии
турбулентности
[моделирование горизонтально-неоднородного ППС)
Структура представленных в работе исследований и выполненных задач
Во второй главе диссертации представлены результаты верификации моделей турбулентной диффузии, а также моделей диссипации кинетической энергии турбулентности и деструкции пульсаций пассивного скаляра
В первом параграфе главы 2 апробировались три алгебраические параметризации тройных корреляций в бессдвиговом слое смешения между однородными изотропными турбулентными полями. В отличие от сдвиговых потоков, это течении характеризующемся отсутствием в балансе энергии турбулентности доминирующего влияния генерации средним сдвигом. Процесс развития бессдвигового слоя смешения определяет механизм турбулентного перемешивания, описывающейся тройными корреляциями. Сопоставление результатов моделирования о скорости роста слоя смешения с данными лабораторных измерений позволило оценить прогностическую способность моделей тройных корреляций.
Во втором параграфе главы 2 апробировались четыре модели турбулентного переноса пассивной примеси в течении о развитии термического следа в поле однородной турбулентности. Сопоставление результатов моделирования по указанным четырем моделям с данными измерений позволило определить наиболее приемлемую модель для описания процесса распространения примесей в ППС. В частности, показано, что для источников размер которых много больше колмогоровского микромасштаба длинны, модель с использованием алгебраической параметризации процессов деструкции пульсаций скаляра наиболее близко к данным лабораторного эксперимента описывает процесс развития термического следа в поле однородной турбулентности. Поскольку большинство источников примесей в ППС имеют размер не меньше линейных масштабов инерционной подобласти спектра турбулентных пульсаций, эта модель может считаться вполне пригодной для моделирования геофизических ситуаций.
В третьем параграфе главы 2 на основе моделирования нейтрально-стратифицированного ППС на скачке шероховатости подстилающей поверхности оценивалась прогностическая способность є -уравнения вместо часто используемого в практике вычислений эмпирической параметризации линейного масштаба турбулентности. Результаты сопоставления двух указанных подходов и данных измерений показали, что модель включающая є-уравнение дает реалистические результаты и потому она может рассматриваться, как более предпочтительная, чем модель включающая параметризацию линейного масштаба, особенно тогда когда структура ППС заранее не известна (в частности для стратифицированного ППС).
В главе 3 представлены результаты моделирования структуры конвективного ППС и процесса распространения в нем пассивной примеси.
В параграфе 1 главы 3 представлены результаты моделирования эволюции конвективного ППС. Использовалась модель турбулентности второго порядка замыкания, построенная с учетом результатов, полученных в главе 2: параметризации процессов турбулентной диффузии (третьих моментов), процессов деструкции температурных флуктуации и процессов диссипации. Сопоставление результатов расчета с данными измерений показали, что модель корректно описывает поведение первых и вторых моментов в конвективном ППС.
В параграфе 2 главы 3 представлены результаты моделирования распространения пассивной примеси от точечного источника в конвективном ППС (использовались результаты моделирования представленные в параграфе 1 главы 3 о распределении термодинамических характеристик турвулентности на 15 часов суточного времени). Рассматривались ситуации с наземным источником примеси и источником, расположенным в середине перемешанного слоя. Результаты моделирования показали, что модель описывает поведение струи примеси в перемешанном слое ППС в согласии с данными измерений: для поднятого над поверхностью источника, - опускание до подстилающей поверхности с последующим подъе-
мом в перемешанный слой, для наземного - параллельное поверхности распространение и ее подъем в перемешанный слой. Тем не менее вычисленные значения наземной концентрации для поднятого источника оказались сильно завышенными. Этот дефект модели обусловлен неправильным описанием распределений тройных корреляций в приземном слое ППС.
В главе 4 на основе сформулированного в главе 1 метода замыкания высших моментов, получена и апробирована модель турбулентного переноса импульса и тепла в конвективном ППС третьего порядка замыкания. Модель позволяет в полном согласии с данными измерений описать распределение как вторых так и третьих моментов термодинамических полей в конвективном ППС. В отличие от работ других авторов модель не предполагает равенство нулю кумулянтов четвертого порядка (гипотеза квазинормальности Миллионщикова) и, как следствие, не включает в себя физически некорректные процедуры демпфирования тройных корреляций. Однако модель третьего порядка замыкания слишком громоздка и неэффективна для использования при моделировании геофизических ситуаций. На основе анализа вычисленного вклада статей баланса в уравнениях для тройных корреляций, для них были получены новые алгебраические параметризации. Их применение в модели второго порядка замыкания позволило в согласии с данными измерений описать распределение как вторых так и собственно третьих моментов термодинамических полей в конвективном ППС. Отличительными особенностями этой модели является ее численная эффективность, а также полнота и достоверность получае-мых*с ее помощью результатов. Полученные с ее помощью распределения статистических характеристик конвективного ППС были использованы при моделировании процесса распространения пассивной примеси, в гл. 5.
В главе 5 разработан и апробирован новый подход моделирования турбулентного переноса примеси в конвективном ППС. Подход основан на выделении переноса крупномасштабными вихревыми структурами
(когерентными) и его учета в уравнении для концентрации примеси, напрямую, - в адвективных членах. В отличие от VLES-метода, в котором также выделяется перенос обусловленный когерентными структурами на основе представления мгновенной скорости в виде тройной декомпозиции (средней, когерентной и стохастической составляющих), в предложенном методе это выделение основано на предположении о слабой статистической зависимости турбулентных пульсаций инерционного интервала спектра и основного вейвлета длинноволновой области спектра, соответствующего крупномасштабным вихревым структурам. Представление ФПВ пульсаций вертикальных скорости в виде произведения ФПВ, соответствующих когерентным структурам и фоновой (мелкомасштабной) турбулентности, позволило восстановить по вычисленным в гл. 4 распределениям первых трех моментов ФПВ вертикальной скорости в когерентных структурах, а затем и само поле скорости в горизонтально однородном ППС. Учет последнего в уравнении для концентрации в виде дополнительного адвективного члена, позволил в согласии с данными измерений описать поведение струи примеси в конвективном ППС от наземного и поднятого над поверхностью источника как внутри перемешанного слоя, так и на подстилающей поверхности.
Подход Рейнолъдса, уравнения для моментов в приближении Буссинеска
Для полного статистического описания полей гидродинамических характеристик турбулентного потока требуется задать все многомерные совместные распределения вероятности для значений этих характеристик на всевозможных множествах точек пространства-времени. Однако определение таких многомерных распределений является весьма сложной задачей, кроме того, сами эти распределения часто оказываются мало удобными для приложений в силу своей громоздкости. Поэтому на практике чаще всего ограничиваются рассмотрением лишь некоторых более простых статистических параметров, описывающих те или иные частные свойства потока. Наиболее важными из таких параметров распределений вероятности являются моменты и некоторые их комбинации: ufu7?ul - моменты, а,і = uj l, - дисперсии, Sj = — -т, коэффициенты асимметрии 8,j - — - 3 - коэффициенты эксцесса, О; где и І - вектор турбулентных пульсаций скорости (г = 1,2,3), угловые скобки обозначают осреднение. Два последних коэффициента (зависящие от величины высших моментов) характеризуют отклонение функции плотности вероятности (ФПВ) от нормального (гауссового) распределения (см. рис. 1). Распределение с ненулевой асимметрией (S 0 ) соответствует течению в котором интенсивные, но редкие потоки в положительном направлении чередуются с медленными, но более вероятными потоками в Ь 0 05 отрицательном направлении S 0 - - ," Gaussian function (или наоборот, при S 0). По ложительное значение эксцес са показывает, что распреде ление является "менее пло ским", чем нормальное - вели чина концентрируется в облас тях очень больших или очень / \ малых значений. Течения с та ким распределением пульса 00 -—- -"-- " --- -—-- ций характеризуются чередо -4-2024 ванием длительных периодов Рис.1 Распределения со значительными коэффи относительного покоя (в тече циентами асимметрии и эксцесса в сравнении с v равновесным (гауссовым) распределением. нии которых пульсации малы) с периодами повышенной активности (с турбулентными пульсациями).
Такую статистическую структуру течения называют "пятнистой" . Вблизи нуля логарифм характеристической функции (фурье-образа ФПВ) может быть представлен в виде ряда Тейлора: lnx(q)=Yc,i(-± - + o(qr), (1.2) 1,-=0 где X(q) = P(u)eiq"dv R Коэффициенты разложения (1.2) называются кумулянтами (семиинвариантами). Они более удобны в использовании для статистических характеристик распределений, чем моменты, поскольку кумулянты Такая статистическая структура пульсаций характерна для мелкомасштабной турбулентности (Монин & Яглом, 1967), а также для устойчиво стратифицированных турбулентных течений (см. ниже).. порядка выше второго описывают степень негаусовости (неравновесности) распределения пульсаций, а также в силу их инвариантных свойств. Первые четыре кумулянта имеют вид: С- = щ , C jА - UjUj , (1.3) Сф = UjUjU/, , Су/,-/ = UjUjUfrU/ - UjUj Uf.Uf - UjUfr U,:U\ - UjUf UjU]t. . Из (1.2) следует, что для описания турбулентного режима течения достаточно определить кумулянты указанного разложения. Однако, в силу теоремы Марсинкевича (Marcinkiewicz., 1939), разложение (1.3) может быть либо полиномом степени 2 (нормальное распределение ), либо бесконечным рядом. Представляется совершенно безнадежным определение полного (бесконечного) набора коэффициентов (1.3). Бесконечная цепочка уравнений переноса для кумулянтов (моментов), должна быть оборвана и замкнута с привлечением каких-либо моделей. Прежде чем перейти к рассмотрению таких моделей, заметим, что такое обрывание может привести к физически некорректным результатам (получению отрицательных значений положительно определенных величин (Ogura 1962, Хазен 1963): ФПВ, дисперсий, энергии, диссипации). Последнее обстоятельство является следствием того, что при задании конечного числа кумулянтов (моментов) распределение вероятности может и не существовать. Оно 2 Нормальное распределение турбулентных пульсаций предполагает их изотропность и однородность. По-видимому, единственным течением, в котором с хорошей точностью выполняются указанные условия, является турбулентный поток за решеткой. В подавляющем большинстве прикладных задач внешние воздействия на турбулентный поток анизотропны (стратификация, твердая граница). В таких течениях эксперимент фиксирует значительные по величине коэффициенты асимметрии и эксцесса (характеристики, отражающие отклонение ФПВ от нормальной). Для описания статистической структуры анизотропной турбулентности приближение гауссовой ФПВ оказывается недостаточным. тесно связано с недопустимостью произвольного обрывания ряда Тейлора характеристической функции3. 2. Подход Рейнолъдса, уравнения для моментов в приближении Буссине ска В основе теории ППС лежит система уравнений, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости во вращающейся системе координат. Исследуемые величины представляются в виде суммы среднего значения и флуктуации, следуя процедуре, введенной Рейнольдсом (Рейнольде 1936): где ,-,9,7, - мгновенные, Uj,,C,P - осредненные, uhQ,c,p - пульса-ционные значения вектора скорости, потенциальной температуры, концентрации, давления, соответственно (і = 1,2,3). Тогда, в приближении Буссинеска, уравнения движения жидкости имеют вид (Businger, 1982): уравнения для средних величин: уравнения моментов второго порядка: Q.j - вектор угловой скорости вращения Земли, р - плотность, р = 2/0 -коэффициент объемного расширения, g.j - вектор ускорения силы тяжести, v - коэффициент кинематической вязкости, у - коэффициент температуропроводности, D - коэффициент молекулярной диффузии, е.-ф -символ Леви-Чивита, а слагаемые в правых частях уравнений описывают: турбулентную диффузию: Dy, Dgh Dgg, Dci, Dcc, Dcg; диффузию давлением: Dy, Dgj, Dci; 9 9 9 9 9 9 молекулярную диффузию: Djj, Dgh Dgg, Dc/h D"co D g; генерацию средним сдвигом: Рц, Pgj, PQQ, Pci, PCC, Pcg; генерацию плавучестью: Gy, GQJ, Gcj; корреляции с пульсациями давления: %у, TIQJ, 7tc.,;; диссипацию: Zy, Zgh Zg, zci, zc, zcg; эффект Кориолиса: Wy, ТБд-п тлсі. Из уравнения (1.9) при і = j следует уравнение для кинетической энергии турбулентности Е = l/2{ujU,j): описывают турбулентную диффузию, диффузию давления, молекулярную диффузию, генерацию средним сдвигом, генерацию плавучестью и диссипацию, соответственно. Система уравнений (1.5-1.15) имеет незамкнутый вид. Члены, описывающие диффузию, механизмы перераспределения и диссипацию, являются неизвестными функциями. 3. Модельные представления для корреляций с пульсациями давления п,ц.
Сравнивая уравнения (1.9) и (1.15) видно, что корреляция с пульсациями давления 7 не входит в уравнение (1.15) для кинетической энергии турбулентности. Из этого можно сделать вывод, что она отвечает за описание механизма обмена энергией между компонентами тензора Рейнольдсовых напряжений. С учетом представления (1.4) из уравнений Навье-Стокса получим уравнения для пульсаций давления: (1.16) Записывая решение уравнения Пуассона (1.16) в виде интеграла по объему и умножив его на величину duafdxy , получим выражение для корреляции тсу/і.: где Sap - поверхностный интеграл, который отличен от нуля только тогда, когда берется по поверхности вблизи твердой стенки4. Согласно (1.17) в корреляцию Щ]. вносят вклад три отдельных слагаемых: первое описывает процессы, обусловленные только пульсациями скорости, второе - пуль 4 Учет влияния твердой стенки в модели корреляции Щ]. можно найти, например, в работе (Gibson & Launder, 1978) сациями скорости и тензором средних деформаций, третье учитывает воздействие стенки. Видно, что выражение (1.17) включает в себя двухточечные корреляции. Любые попытки вывода уравнений для двухточечных корреляций приводят к появлению новых неизвестных. Поэтому для замыкания уравнений (1.9) используются модельные представления тензора Ttjj., описывающие основные механизмы его влияния на процесс эволюции Рейнольдсовых напряжений. Первое модельное представление для nir. было предложено Ротта в 1951 г. Оно имеет вид (Rotta 1951): UjfUj. , 4j= ci —by, bi;j UM,; І U. _5_. Va (1.18) где &ap - тензор анизотропии турбулентных пульсаций, с} - численный коэффициент ( — 1,5 + 1,8, его величина определяется эмпирически). Модельное выражение (1.18) обладает свойством тензорной инвариантности, просто по своей структуре и отражает физический механизм действия поля пульсаций давления. За последние 20 лет было предложено ряд уточнений модельного представления (1.18), учитывающих влияние поля средних деформаций, плавучести, твердой стенки5 . Все эти уточнения носят эмпирический характер и включает в себя дополнительные коэффициенты. Наиболее часто используется параметризация вида (Launder, 1975): ) где со « 0.6, со « 0.55 эмпирический коэффициент. Аналогичные члены используются и в более сложной модели Нэйота (Naot et all, 1973). Вклю
Турбулентная диффузия
К настоящему времени выполнено лишь незначительное число расчетов с использованием (1.37), поскольку в отсутствии внешнего анизотропного воздействия на турбулентные пульсации это слагаемое совместно с корреляцией п,ц. описывает процесс стремления турбулентности к изотропному состоянию, который параметризуется модельным выражением (1.18) или (1.19). Поэтому в подавляющем большинстве работ влияние диффузии давлением не учитывается. О влиянии корреляции (1.37) на баланс уравнений для тензора рейнольдсовых напряжений в конвективном ППС см. в работах (Wyngaard & Cote, 1974; Mac Bean G. A. & Elliott, 1975) Анализируя диффузионные слагаемые в уравнениях переноса (1.9)-(1.14), мы, также, ограничимся рассмотрением только высших моментов (применительно к уравнениям (1.9)-(1.14) тройными корреляциями). 7. Метод замыкания высших моментов Из уравнений Навье-Стокса с использованием операции осреднения, могут быть получены уравнения переноса для моментов произвольного порядка.
В силу нелинейности уравнений гидромеханики, любое из полученных уравнений будет включать в себя неизвестные функции, для которых, конечно, так же могут быть получены соответствующие уравнения переноса. Однако, система будет оставаться незамкнутой, - получение новых уравнений, приводит к тому, что число неизвестных функций при этом будет расти быстрее числа уравнений. Таким образом, точная модель турбулентности включает в себя бесконечное число уравнений переноса. В настоящее время не существует никаких общих методов решения бесконечных систем уравнений в частных производных, поэтому нахождение точных решений системы уравнений для моментов всевозможных поряд ков пока представляется безнадежным делом. Замкнуть рассматриваемую систему уравнений в строгом математическом смысле невозможно. На практике активно используются модели турбулентности, полученные в результате использования методов замыкания первого и второго порядков . Во многих случаях такие модели дают всю необходимую информацию о статистической структуре исследуемого течения и вряд ли целесообразно использовать модели более высокого порядка замыкания для описания течений к которым применимы модели второго порядка. Однако в ряде случаев последние оказываются недостаточными. В настоящей работе сформулирован метод замыкания, который может быть использован как для модели второго, так и более высокого порядка. Предполагается, что такие задачи, которые не описываются моделями п-го порядка, -могут быть решены с помощью моделей л+7 псрпдка, поскольку в них-используются уравнения для п+] моментов и м :с:жзмы, ответственные: за генерацию этих моментов вычисляются точно.
Это предположение подтверждается практикой. Общий подход, стратегии замыкания может быть сформулирован в следующим виде (Ilyushin, 2001 а): кумулянты порядка 7,.../7 вычисляются из дифференциальных уравнений переноса, кумулянты порядка п+1, описывающие процессы турбулентной диффузии в уравнениях для кумулянтов порядка п; вычисляются из приближенных алгебраических выражений, полученных из соответствующих дифференциальных уравнений переноса в стационарном случае (см. ниже), а кумулянты порядка п+2 полагаются равными нулю (см. рис. 2). Данный подход является достаточно общим при используемых методов замыкания. Принципиальным в нем является применение в качестве искомых величин кумулянтов, а не моментов. О преимуществе такого подхода свидетельствуют результаты анализа (Монин & Яглом,1967) прогностической способности моделей турбулентности, основанных на обрывании цепочек уравнений для моментов и кумулянтов (см., например, работу (Keller L., Friedmann, A., 1924)), а также тот факт, что в силу разложения ФПВ в виде сходящегося ряда (1.2 (1.33)
Моделирование диффузии пассивной примеси от линейного источника в поле однородной турбулентности
С фундаментальной точки зрения проблема моделирования диффузии пассивной примеси (скаляра) в турбулентном потоке еще не получила решения даже в том случае, когда поле скорости полностью задано. Главную трудность составляет наличие в таком течении двух взаимодействующих полей скаляра и импульса с разными характерными масштабами времени и длины. В одноточечных схемах замыкания важную роль играет параметр отношения характерных масштабов времени "динамических" и "скалярных" турбулентных вихрей 7-2щ = т/тб =(E/E)/( 8 )/2Q] (см. (1.34)). Если в классе сдвиговых течений этот параметр имеет приблизительно универсальное значение, близкое к 2,0 (Beguier et all., 1978), то в классе однородно затухающих течений за решеткой (Warhaft & Lumley, 1978) эксперимент фиксирует его изменение в довольно широком диапа V ния (Eswaran & Pope, 1988), поле скаляра с различными начальными линейными масштабами диффундирует таким образом, что через время равное четырем оборотам вихря (1/и ), параметр 7 стремится к асимптотическому предельному значению равному, примерно, 2,15 (см. рис. 12), что не очень сильно отличается от экспериментального 7= 2.0 .
Для преодоления неуниверсальности параметра 7 было предложено дополнить систему уравнений переноса уравнением для диссипации поля скаляра s0 (Lamley & Khajen-Nouri, 1974), хотя достигается это ценой нарушения принципа суперпозиции полей (Pope, 1983). В (Lamley & Cruyninger, 1983) показано, что испытания такой модели с фоновым термическим полем иного масштаба в целом удовлетворительны в том смысле, что отсутствие формальной суперпозиции полей не столь серьезно, когда масштабы времени двух температурных полей различны, но первоначально сами поля не коррелированы. и х/М л ф диффузии примеси в ППС (характерный размер факела примеси, поведение которого необходимо вычислять, находится внутри инерционного интервала масштабов турбулентности ППС), выбрать наиболее приемлемую для практических расчетов. Термический след, образующийся вниз по потоку за нагретой проволокой, помещенной в поле затухающей турбулентности за решеткой (рис. 13), фундаментально важное течение для развития теории турбулентной диффузии. Попытки использовать представления К-теории в рамках двухпараметрической К-г модели турбулентного переноса дают качественно неверные результаты (Anand & Pope, 1983): завышенной оказывается скорость расширения следа на начальном участке (рис. 14). Вниз по потоку от источника можно выделить три области развития теплового следа (Anand & Pope, 1983; Warhaft, 1984), характеризующиеся разной динамикой переноса, а, следовательно, разной скоростью расширения следа (см. рис. 14).
Первая, близкая к источнику область, - область меандрирования, где отношение размера мгновенного факела (порядка диаметра проволоки d) к колмогоровскому микромасштабу турбулентности г) мало (d «ті). Здесь расширение следа происходит, в основном, за счет молекулярной диффузии; он начинает "разбалтываться" динамическими турбулентными вихрями как единое целое, почти не расширяясь. Коэффициент перемежаемости в этой области отличен от единицы даже на оси следа. Области II (ч » d » /) и III (с/ » (.) соответствуют участку эволюции следа, где молекулярная диффузия пренебрежимо мала и след расширяется за счет механизма турбулентного переноса. На рис.15 представлены фотографии мгновенного облака примеси (дыма) в однородной затухающей турбулентности на разных расстояниях от источника (Stapountizis et all., 1986). В ближней области следа облако примеси однородно. Однако, ниже по потоку, по мере того как отношение линейных масштабов вихрей ljl т/те ( т л- - в однородной затухающей турбулентности) приближается к асимптотическому значению (см. рис.12), рост термического следа становится линейным по х (область II 194) ная нерегулярная мик роструктура облака (см. рис. 15 срез С-С). Как следствие, линейный масштаб корреляции концентрации будет существенно меньше линейного размера облака, а, следовательно, изменяется закон расширения термического следа (см. рис. 14). Значение параметра 7 достигает своего асимптотического значения и далее вниз по потку почти не меняется.
На этой стадии эволюции механизм турбулентного переноса примеси обусловлен мелкомасштабными вихрями и удовлетворительно описывается Л -є моделью (Anand & Pope, 1983). Экспериментально тепловой след в однородном турбулентном потоке создавался в рабочей части аэродинамической трубы (рис. 13). Перед линейным источником тепла помещался "решетчатый" турбулизатор. Таким образом, вниз по потоку в однородном затухающем турбулентном течении формировался диффузионный тепловой след (Anand & Pope, 1983). Рис. 17. Поперечные профили дисперсии турбулентных пульсаций температуры, измеренные в работе (Warhaft, 1984): а) - х0/М = 20 ; б) -х0/М - 52 Характерной особенностью такого течения является образование двух пиков на профиле дисперсии 9 ). Результаты численных экспериментов с использованием тензорно-инвариантной модели Ламли (Lamley & Khajen-Nouri, 1974), удовлетворяющей условию реализуемости, указывают на зависимость их величины от значения параметра 7 в начальном сечении. Так, если в начальных данных 7 = 1, то вниз по потоку профиль дисперсии имеет одномодовый вид (рис. 16). Если 7 1 профиль эволюционирует от одномодового (в начальном сечении) к двухмодовому. В экспериментах (Warhaft, 1984), источник помещался на разных расстояниях от решетки х0/М -20; 52. Как следствие, изменялось значение параметра 7 в ближней области следа, т.к. в решетчатой турбулентности временной масштаб т линейно растет с растсоянием вниз от решетки (т .г), а временной масштаб поля скаляра xQ d/U (d - размер источника), не зависит от .}.„. На рис. 17 показаны профили из (Warhaft, 1984) при х0/М = 20 и .г0/М = 52 . Видно, что и в эксперименте величина максимумов профиля (6 ) зависит от отношения временных масштабов в ближней области следа. Поведение средней температуры и дисперсии температурных пульсаций (затухание вниз по потоку, ширина облака) на ранней стадии развития (область меандрирования) факела не воспроизводится моделью второго порядка. Модификация модели за счет включения эффектов молеку
Моделирование распространения пассивной примеси в конвективном ППС
В данном параграфе представлены результаты моделирования распространение пассивной примеси от точечного источника (наземного и поднятого над подстилающей поверхностью) в конвективном ППС в рамках модели турбулентного переноса второго порядка замыкания. В главе 3 1 отмечалось, что характерной особенностью конвективного ППС является его "ячейковая" структура (см. рис. 36). В этих условиях значительную роль в процессе турбулентного переноса играет асимметрия вертикшіьньїх движений и традиционными методами (К-модель (см. например, работы (Берлянд, 1975; Nieuwstadt & Van Ulden, 1978), гауссова модель факела (Ulden, 1978; Briggs, 1982)) распределение примеси описывается неадекватно (Lewellen & Teske, 1976). В частности, под влиянием асимметричного механизма вертикального турбулентного переноса струя примеси выпущенное из наземного источника поднимается (Willis & Deardorff, 1981) (см. рис. 49), а примесь выпущенная из источника, поднятого над поверхностью (Deardorff & Willis, 1975, 1978), опускается, достигая подстилающей поверхности с последующим "отскоком" от нее и подъемом в перемешанный слой ППС (см. рис. 50). В главе 3 1 представлены результаты численного моделирования динамики конвективного ППС с использованием модели турбулентности второго порядка. Показано, что такая модель, в целом, адекватно опытным данным описывает эволюцию первых и вторых моментов.
Привлекаемые MFn для вычисления третьих моментов оказываются в состоянии воспроизвести асимметрию механизма турбулентного переноса, отклонение ФПВ от гауссова распределения, согласующееся с данными натурных измерений. В связи с этим, оказывается возможным, используя вычисленные в главе 3 ] термодинамические характеристики конвективного ППС, вычислить распределение концентрации примеси от точечного источника по модели турбулентного переноса вещества второго порядка. Рассматривается задача моделирования распространения пассивной примеси от точечного источника в конвективном пограничном слое атмосферы на основе эйлеровой диффузионной модели для средней концентрации примеси (1.8): где Г . V, ТГ - компоненты скорости среднего ветра в направлении осей координат .г. у, г, соответственно, С - средняя концентрация примеси. (иг), (се), (wc) - компоненты вектора турбулентного потока примеси. Уравнение (3.2.1) для средней концентрации берется проинтегрированным по поперечной координате у. Предполагается также, что продольная турбулентная диффузия примеси д(ис)/д.г много меньше продольной адвекции U дС/дх. Интегрирование уравнения (3.2.1) в условиях горизонтальной однородности подстилающей поверхности дает: Для получения замкнутой диффузионной модели привлекаются уравнения для проинтегрированных поперек среднего ветра вертикального турбулентного потока примеси (wc) и корреляции (с0) (с и 8 - турбулентные флуктуации полей концентрации и потенциальной температуры, соответственно). Уравнение баланса для турбулентного потока примеси (wc) записывается на основе наиболее простых модельных представлений для отдельных его статей баланса в предположении больших турбулентных чисел Рейнольдса, т.е. в пренебрежении членами молекулярной диффузии. Кроме того, предполагается, что продольная турбулентная диффузия по тока (wc), т.е. член d(uwc)/dx, много меньше соответствующего адвективного члена Г d(wc)/dx, а для вертикальной турбулентной диффузии используется тензорно-инвариантная МГП (см. модель (1.57)):
Похожие диссертации на Моделирование турбулентного переноса импульса, тепла и вещества в пограничном слое атмосферы
