Содержание к диссертации
Введение
2 Современные проблемы теории пограничного слоя 6
2.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики 6
2.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя 11
2.3 Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях 14
3 Конкретные приложения 16
3.1 Скрытые инварианты в задачах о двумерных и трехмерных пристенных струях 16
3.1.1 Двумерная струя, описываемая в рамках уравнений пограничного слоя Прандтля 16
3.1.2 Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений пограничного слоя Прандтля 24
3.1.3 Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений параболизованного Навье-Стокса 31
3.1.4 Пристенные струи в реологических жидкостях 35
3.2 Периодический пограничный слой при большой амплитуде внешних возмущений типа бегущей волны 39
3.2.1 Формулировка задачи 39
3.2.2 Численный метод решения 42
3.2.3 Исследование предотрывных характеристик 46
3.2.4 Результаты численного расчета 47
3.3 Распространение возмущений в трехмерных вязких гиперзвуковых течениях 56
3.3.1 Трехмерный пограничный слой 56
3.3.2 Трехмерные течения, описываемые параболизованными уравнениями Навье-Стокса 61
3.3.3 Численный анализ 63
4 Заключение 70
4.1 Автомодельность и анализ уравнений математической физики 70
4.2 Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя 71
4.3 Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях 72
5 Приложения 73
- Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя
- Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях
- Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений пограничного слоя Прандтля
- Трехмерные течения, описываемые параболизованными уравнениями Навье-Стокса
Введение к работе
Концепция и теория пограничного слоя была развита Людвигом Прандтлем и представлена в исторической работе [46] в 1904 году. К тому времени теория невязких течений уже достигла достаточного развития, чтобы позволить расчет распределения давления на аеродинамическом профиле. Однако эта теория имела несколько существенных недостатков: отсутствие сопротивления и предсказание подъемной силы только при постулировании циркуляции, то есть не говоря ничего о ее происхождении. Эти проблемы были устранены теорией пограничного слоя Праидтля, согласно которой решение для невязкого внешнего течения и решение для пограничного слоя определяются независимо и сращиваются. Первое решение приводит к распределению давления и подъемной силе, в то время как решение в пограничном слое дает распределение трения.
Теория пограничного слоя Прандтля имела и имеет значительный эффект на развитие аерогидродинамики, а также привела к созданию математического аппарата - метода снгулярных возмущений и метода сращиваемых асимптотических разложений, связанных в частности с именами Каплун [27], Лагерстром [27], Ван Дайк [55].
Фундаментальным свойством теории пограничного слоя Прандтля является образование сингулярности в точке обнуления трения, что не позволяет продолжить решение за эту точку [16]. Однако независимое развитие идеи взаимодействия пограничного слоя и внешнего течения Стюартсоном [51], Нейландом [40] и Месситером [38] привело к созданию multi-deck теории, позволяющей продолжить решение за сингулярность Гольдштейна.
Несмотря на вышеупомянутый успех асимптотического подхода в теории пограничного слоя, математическое обоснование далеко от своего завершения. Например,
Насколько оправдано рассмотрение пограничного слоя как ламинарной структуры, если приближение пограничного слоя справедливо при Re = оо?
Что раньше возникает в пограничном слое: неустойчивость или сингулярность?
Ввиду того, что сегодня являются широко доступными компьютерные коды для расчета полных уравнений Навье-Стокса, естественным является вопрос о целесообразности дальнейшего развития теории пограничного слоя:
Структура пограничного слоя есть не просто математическая концепция, но эффективное описание физической сути явления.
Определяющая система уравнений, будучи значительно проще уравнений Навье-Стокса, не зависит от числа Рейнольдса, поэтому достаточен только один расчет.
Несмотря на успех данной теории, уравнения пограничного слоя оставляют много нерешенных фундаментальных задач, как точные решения различных краевых задач; существование и устойчивость решений при большом уровне внешних возмущений; корректная формулировка краевых нестационарных задач, что например связано с определением зон зависимости и влияния.
Можно существенно расширить круг проблем, но мы ограничили наше внимание только вышеперечисленными.
2 СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Нелинейная устойчивость периодического пограничного слоя
Нестационарный пограничный слой (ПС) при большой амплитуде Л возмущений во внешнем течении был рассмотрен во многих работах исследователей, но, в основном, задачи сводились к возмущениям типа стоячей волны [2, 21] или к наложению стоячей волны на равномерный поток [22]. Даже в случае Л 1 при внешнем граничном условии типа У = Ue(l + \cosLot) было обнаружено [22] появление рециркуляционных зон на некотором расстоянии от носка пластины в течение периода колебаний Т = 2ж/ш. На сформулированную в названии проблему существует несколько противоречивых точек зрения. В пользу отрыва ПС говорит, например, энергетическое рассмотрение в работе [34], согласно которому в случае бегущей волны, распространяющейся в направлении основного движения, напряжение Рейнольдса способствует переходу энергии от основного течения к возмущенному. В то же время существует задача о нестационарном ПС на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания [33], постановка которой аналогична рассматриваемой в плане периодичности внешних граничных условий по продольной координате х. Решение этой задачи говорит о возможности затягивания отрыва потока в зависимости от амплитуды и частоты колебаний цилиндра. Целью этого исследования было объединение свойств периодичности внешнего течения по продольной координате и по времени для определения влияния возмущений внешнего течения типа затухающих при х — +оо бегущих волн и бегущих волн постоянной амплитуды на течение внутри ПС.
Используемая ниже постановка задачи существенно опирается на результаты недавних экспериментальных исследований в области пограничного слоя при повышенной амплитуде внешних возмущений. Известно, что возникновение турбулентности в ПС происходит посредством механизма Толлмина-Шлихтинга (Т-Ш) до уровня турбулентости внешнего потока, равного 0,45% [5]. Эксперименты [29] с возбуждением на внешней границе ПС возмущений фиксированных частот, создаваемых вибрирующей лентой, расположенной выше плоскости пластины с тем, чтобы область наиболее интенсивных колебаний проходила мимо передней кромки минимизируя ее эффект (кромки), свидетельствуют об отсутствии генерации волн Т-Ш. Результаты этих экспериментов качественно согласуются с теоретическим исследованием Роглера и Решотко [47].
Таким образом, влияние внешней турбулентности на переход в ПС может проявляться путем установления некоторой начальной амплитуды воли Т-Ш, генерируемых внешними возмущениями либо в окрестности передней кромки, либо в развитом ПС около локальной неоднородности. Также, следует отметить, что эксперименты [29] показали важную роль поперечной компоненты пульсаций скорости в случае возбуждения волн Т-Ш вихрями внешнего потока. Устранение v-компоненты пульсаций в набегающем возмущении приводило к исчезновению механизма преобразования возмущения в волну Т-Ш.
Аналогично С. Тэм [52], модернизировавший свою теорию возбуждения волн Т-Ш звуковым полем применительно к случаю внешней турбулентности, получил, что внешняя турбулентность может возбудить волны Т-Ш только нормальной к пластине компонентой пульсационной скорости, в то время как и-компонента не влияет на данный процесс.
Что касается передней кромки, то качественно преобразование внешних возмущений в ее районе можно представить [29] как результат сгущения линий тока возмущенного движения, т.е. увеличения амплитуды v-компоненты, и резкого поворота линий тока вокруг передней кромки, т.е. образования локального вихря. Роль u-компоненты при этом невелика. Также решающая роль v-компоненты в процессе преобразования внешних возмущений в районе передней кромки была показана в численных экспериментах [29]. Итак, выше было приведено обоснование постановки задачи в рамках ПС в силу следующих особенностей: большой амплитуды возмущения, отсутствия -компоненты возмущения.
Таким образом можно резюмировать основополагающее предположение об отсутствии механизма Т-Ш. Поэтому при больших амплитудах возмущения, в асимптотическом смысле, постановка задачи в рамках ПС Прандтля вполне корректна и носит существенно нелинейный характер. В математическом смысле задачу можно трактовать как проблему устойчивости решения относительно источника возмущения в правой части, описывающего поведение давления и относительно возмущения верхнего граничного условия.
Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях
Распространение и развитие возмущений является составной частью проблемы гидродинамической устойчивости. Кроме того, анализ распространения возмущений необходим для формулирования корректных постановок задач и для построения адекватных вычислительных моделей.
Общая задача об обтекании тела вязким теплопроводным газом описывается уравнениями Навье-Стокса, которые являются эллиптическими. Поэтому возмущения, возникающие в какой-либо точке потока, по крайней мере в принципе, достигают всех других точек. При больших числах Re общепринятым методом решения задач аэродинамики является использование уравнений Эйлера кроме некоторых областей, где существенен учет вязкости - пограничные слои, уравнения для которых оказываются параболическими (Прандтль, 1904 г.). При фиксированных краевых условиях изменение их в области, расположенной вниз по течению не влияет на решение в области, лежащей вверх по течению. Поэтому долгое время считалось, что при сверхзвуковом обтекании тел и отсутствии отрыва возмущения не передаются вверх по течению.
Однако в ряде задач краевые условия не только для пограничного слоя, но и для внешнего течения оказываются неизвестными и подлежат определению при совместном решении, проводящемся одновременно для обеих областей течения (течения со "свободным", "сильным" взаимодействием). В задачах такого типа информация в краевых условиях, заданных вниз по течению, должна учитываться в области, лежащей вверх по течению. Краевое условие, которое приходится определять по ходу решения уравнений, носит интегральный характер, и задача но существу становится интегро-дифференциальной.
Известно, что характеристиками уравнений пограничного слоя являются линии, перпендикулярные обтекаемой поверхности [61, 62]. Этот вид характеристик связан со старшими производными, описывающими процессы диффузии, которые характеризуются бесконечными скоростями распространения возмущений в направлении, перпендикулярном к поверхности. Для того, чтобы описать процессы распространения возмущений в плоскостях, параллельных обтекаемой поверхности, необходимо анализировать субхарактеристики, т.е. характеристики системы уравнений пограничного слоя без старших производных.
Для проблем, где распределение давления не известно заранее и должно определяться в результате решения, существует дополнительный механизм распространения возмущений, связанный с распространением волны (волн) давления. Возможность распространения такой волны вверх по потоку в сверхзвуковых и в гиперзвуковых пограничных слоях обусловлена существованием области дозвукового течения вблизи поверхности.
Исследование затухания решения на бесконечности при представляет сомостоятельный интерес, так как в ряде случаев дает возможность выделить из всех решений задачи на собственные значения единственное, удовлетворяющее условиям сращивания. Вопросу о поведении на бесконечности поля скоростей несжимаемой жидкости посвящено много работ (см. [20] и библиографию там же). В [20] авторы с помощью простых интегральных тождеств, которым обязаны удовлетворять решения уравнений Навье-Стокса, получили простой способ получения оценок сверху на скорость затухания на бесконечности поля скоростей, но не смогли ответить на вопрос, как описать поля скоростей, убывающие быстрее любой степени и сослались на то, что "... не удалось найти в литературе ни одного примера таких потоков". Итак, рассматривается задача на собственные значения вида (она получается из (3.2) заменой / —» (1 — k) lf)
В качестве локальной системы координат на продолжении є00 выберем Xj, ulju fc, где если г = 1 (и1 = и), и т.д. Поэтому г 1 в силу уравнения неразрывности. Методом индукции из первого и третьего уравнений системы (3.26) можно показать, что ( i, / есть функции только координат Xj, следствием чего является зависимость (рз = y z(xj,u%). Тогда единственное решение (3.4) дано
Предполагая положительность профилей продольной скорости Д и Ф7/ получаем, что к в силу положительности всех входящих в уравнение интегралов. В двумерном случае к = , так как интегралы в правой части равны нулю, что доказывает единственность решения соответствующей задачи на собственные значения. Возможный спектр собственных значений к,
Следует отметить, что множество и структура законов сохранения существенно изменяется при упрощении задачи в рамках уравнений (3.23). Иллюстрацией этого служит следующий пример. Пример трехмерной струи, описывающейся в рамках двумерных уравнений Представим начальное условие по временоподобной координате в следующем виде и = щ{0, у, z), w = fo{z)u0{0: у, z). (3.39) Такое представление влечет за собой отсутствие вторичных течений, что позволяет искать решение общей задачи в форме
Трехмерная струя, описываемая в рамках трехмерных уравнений пограничного слоя Прандтля
При равном нулю коеффициенте затухания решение задачи (3.67) определяется только двумя безразмерными параметрами - а, Л. Нашей целью является определение области изменения указанных параметров, в которой течение внутри ПС остается ламинарным. Критерием отрыва в нестационарном случае может служить так называемый критерий MRS [39, 48]: Нестационарный отрыв потока происходит внутри ПС в точке одновременного обращения в нуль величин трения и продольной составляющей вектора скорости в системе координат, связанной с этой точкой (точкой разрушения ПС). Однако, в отличие от стационарного течения, эта точка лежит внутри ПС, а не па обтекаемой поверхности. Мы же для анализа предотрывных характеристик течения в ПС пользовались критериями Goldstein a и Wang a.
Критерий Goldstein a
Согласно данному критерию отрыв нестационарного ПС происходит при появлении особенности в распределении газодинамических функций внутри ПС, например, при обращении вертикальной составляющей скорости в бесконечность в окрестности внешней границы ПС. В соответствии с 3.2.1 отношение вертикальной составляющей скорости и амплитуды продольной имеет вид:
Справедливость приближения ПС нарушается, когда є 1. Поэтому будем считать пограничный слой разрушенным при выполнении этого условия.
Этот критерий был построен на основании аналогии трехмерного стационарного ПС двумерному нестационарному [63j. Согласно Wang y отрыв ПС происходит при появлении предельных "линий тока" в плоскости (ж, ), которые описываются уравнением:
Для случая к = 0, соответствующего стоячим волнам, наложенным на равномерный поток, основные результаты были получены в работе [22]. Во-первых, существует точка на оси х, отстоящая от передней кромки на некотором расстоянии хс, в которой впервые трение на пластине обращается в нуль. Соответственно при х хс течение является возвратным. Во-вторых, увеличение амплитуды Л приводит к уменьшению хс и, кроме того, амплитуда скорости возвратного течения в данной точке х увеличивается.
В случае не равного нулю волнового числа к нами были рассмотрены следующие ситуации возмущений внешнего граничного условия:
Бегущие волны постоянной амплитуды: tp71 = 1 + Aocos А, а. = 1, AQ = 0.75. На Рис. 7 изображены графики профилей скорости для моментов времени: t0 = 0, h = Г/4, t2 = Т/2, i3 = ЗГ/4, где Т = 2тг при а = 0 в точке — 1.31, а на Рис. 8 - при а = 1 в той же точке = 1.31. Рис. 9 иллюстрирует, на примере профилей продольной скорости, расслоение структуры пограничного слоя при удалении от носка пластины ( = 5.15). Также для иллюстрации трения на поверхности пластины в случае а = 1 на Рис. 10 изображен график зависимости трения ірщ\ =0 от продольной координаты и времени, и на Рис. 11 его проекция на плоскость (x,t). Вычисление трения производилось по формуле повышенного порядка точности:
На Рис. 6 изображены линии тока, свидетельствующие о наличии рециркуляционных зон при си = 1, Ао = 0.75. Рассчеты показали полное отсутствие зон возвратных течений при амплитуде возмущения около 0.6 для а — 1 по сравнению со случаем а = 0. Затухающие бегущие волны: $ц = 1 + Aoe bxcos А, а = 1, /3 = 1, Ао = 0.5. На Рис. 12 показано распределение трения на поверхности пластины, а на Рис. 13 проекция последнего графика на плоскость (x,t). Предотрывпые характеристики
В соответствии с 3.2.3 получен график Рис. 14, определяющий область изменения параметров (а, А), в которой течение внутри ПС остается ламинарным. Свидетельством ламинарности течения в случае а — 1, До = 0.75 служит график, изображенный на Рис. 15 согласно критерию Wang a, а Рис. 16-17 демонстрируют переход от ламинарного состояния ПС к предотрывному (AQ = 0.75), при котором образуются предельные линии тока. Как видно из графика а(\) (Рис. 14), при уменьшении длины волны (увеличении волнового числа к) для фиксированного ш отрыв ПС происходит при меньших амплитудах Д. Аналогичный эффект проявляется при увеличении и для фиксированного к. Также подтверждается очевидная несимметрия уравнения (1.2) относительно преобразования а — —а при его конечных значениях и симметрия при \а\ — +оо.
Изложение было бы неполным без проведения связи с результатами, полученными в случае малых амплитуд возмущений. Как известно, нелинейное уравнение для возмущения имеет вид (давление исключено):
Трехмерные течения, описываемые параболизованными уравнениями Навье-Стокса
Понятие законов сохранения, здесь используемое, ассоциируется с уравнениями, описывающими физическое явление, но не с самим явлением как таковым. По этой причине может случиться, что различные уравнения, описывающие ту же самую физическую ситуацию, имеют различные группы законов сохранения. Например, подходы Эйлера и Лагранжа к той же самой непрерывной среде могут приводить к различным множествам законов сохранения, поскольку переход от координат Эйлера к координатам Лагранжа является нелокальным преобразованием. Также еще раз необходимо отметить, что результаты 3.1 были получены в рамках теории локальных законов сохранения. Однако, рассмотрение различных типов нелокальностей может, в принципе, породить новые сохраняющиеся токи согласно гипотезе [58, 59] о существовании полного набора нелокальных законов сохранения в достаточно малой окресности любой регулярной точки уравнений в частных производных. Мы можем дать следующее неформальное обоснование этого предложения. Рассмотрим эволюционную систему уравнений в частных производных
Если область 17 конечна и нелинейных оператор L(x, U) не содержит сингулярностей, то можно применить метод Галеркина, сходимость которого была исследована Келдышем [31] и позднее другими авторами, что приводит к бесконечно-мерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим обрубание этой системы, так что и принадлежит некоторому множеству Ы в m-мерном Евклидовом пространстве. Показано [6], что существует окресность регулярной точки и, такая что обрубленная система имеет т 1 функционально независимых первых интегралов, которые называются локальными первыми интегралами. Вспоминая, что в случае ортогонального базиса v?n(x), мы можем заключить о нелокальности соответствующих законов сохранения для исходного вектора решения U. Сходимость метода Галеркипа позволяет взять предел га — оо. В этом случае множество законов сохранения счетно. Но в случае (полу)бесконечной области О, можно ожидать "непрерывный" и "дискретный" спектр законов сохранения.
В дополнение, следует упомянуть другой открытый вопрос о соответствии множества решений, полученных путем определения скрытых инвариантов, множеству решений ассоциированной задачи на собственные значения.
Предметом исследования являлось периодическое течение в двумерном нестационарном пограничном слое в несжимаемой жидкости на полубесконечной пластине при большой амплитуде возмущения типа бегущей волны во внешнем потенциальном потоке. Решение определялось с помощью численного метода, аналогичного [22]. Исследованы общие свойства данного типа течений и, в частности, получен график устойчивости в плоскости
С точки зрения классической теории гидродинамической устойчивости, найденные решения представляют собой основные состояния системы, инфинитезимальная устойчивость которых должна быть дополнительно исследована в зависимости от числа Рейнольдса - бифуркационного параметра, отсутствующего в постановке пограничного слоя Прандтля. В этом плане необходимым является применение теории Флоке подобно [9, 10].
Роль эффектов распространения возмущений может быть важной в задачах восприимчивости и устойчивости, в традиционном анализе которых указанные эффекты обычно не принимаются во внимание. Возмущения давления могут приводить к изменению характеристик исходного пограничного слоя. Полученные результаты показывают, что при численном моделировании гиперзвуковых течений вязкого газа важно правильно воспроизводить не только течение в основной части пограничного слоя, но и в дозвуковом подслое, в котором собственно и распространяются возмущения.
Проведенный анализ основан на раздельном анализе характеристик и субхарактеристик уравнений пограничного слоя и параболизованного Навье-Стокса. Анализ же истинных характеристик указанных уравнений крайне затруднен в силу существенной нелинейности последних, хотя в этом направлении делаются определенные попытки. Аналогичный анализ, в плане исследования распространения возмущений, проводится В.М. Тешуковым [53] в рамках приближения мелкой воды и т.д. Общими чертами обоих классов задач являются завихренность, наличие нелинейного конвективного оператора, приближение тонкого слоя и интегродифференциальный характер задач. Аналогом взаимодействия в случае длинных волн в баротропной жидкости является уравнение поперечного импульса ру = —р. Получаемое характеристическое условие имеет аналогичный комплекс в знаменателе под знаком интеграла (и — а)2, что подтверждает физическую аналогию рассматриваемых явлений.
