Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дисперсионные свойства краевых волн 13
1.1 Основные уравнения 14
1.2 Структура и дисперсионное соотношение краевых волн в океане переменной глубины 19
1.2.1 Бесконечный откос 19
1.2.2 Шельф-ступенька 25
1.2.3 Вогнутый экспоненциальный шельф 32
1.3 Наблюдения краевых волн 36
1.4 Дисперсионные эффекты и формирование аномальных краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом 46
1.5 Выводы 67
Глава 2. Слабонелинейные периодические краевые волны 68
2.1 Нелинейные краевые волны Стокса с различной модальной структурой 69
2.2 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей краевых волн Стокса с различной модальной структурой 82
2.3 Модуляционная неустойчивость краевых волн Стокса 87
2.4 Нелинейно дисперсионная фокусировка краевых волн 94
2.5 Выводы 102
Глава 3. Нелинейные резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн
3.1 Вывод коэффициентов нелинейных трехволновых взаимодействий краевых волн 104
3.2 Трехволновые взаимодействия краевых волн над откосом постоянного уклона . 108
3.3 Трехволновые взаимодействия краевых волн над шельфом-ступенькой 119
3.4 Трехволновые взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом 132
3.5 Выводы 142
Заключение 143
Список литературы
- Структура и дисперсионное соотношение краевых волн в океане переменной глубины
- Дисперсионные эффекты и формирование аномальных краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом
- Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей краевых волн Стокса с различной модальной структурой
- Трехволновые взаимодействия краевых волн над откосом постоянного уклона
Введение к работе
Зона шельфа - континентального склона приобретает все большее значение в последние десятилетия. Навигация, рыболовство, добыча нефти, газа и других полезных ископаемых, строительство портовых сооружений требуют детального знания гидрофизических процессов, протекающих в этой зоне. Как известно, перепады глубины океана в прибрежной области способствуют захвату (концентрации) волновой энергии в ограниченных по протяженности областях и приводят к существенной трансформации длинных волн, вызывая особые типы волновых движений, распространяющихся в основном вдоль берега (захваченные волны), которые самым существенным образом определяют динамику этой зоны. Вблизи берега на захваченные волны приходится 95 - 98 % энергии, которая может передаваться вдоль берега на большие расстояния без существенных потерь. До сих пор остается открытым вопрос о причине гораздо более высокой энергонасыщенности захваченных волн по сравнению с волнами открытого океана, несмотря на то обстоятельство, что область захвата волн, как правило, занимает лишь 5 - 10 % площади океана [Munk et al, 1964].
Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Краевыми волнами называются относительно высокочастотные волны, которые распространяются вдоль берега, и фактически не чувствуют вращения Земли. Они достигают максимальной амплитуды на границе с сушей, быстро спадая с удалением от берега. Вся энергия этих волн сосредоточена в узкой прибрежной зоне и фактически не может передаваться в открытый океан, так что происходит своеобразный "захват" волновой энергии. Захват краевых волн определяется в основном эффектом изменения глубины бассейна. Краевые волны, даже в длинноволновом пределе, обладают сильной дисперсией, обусловленной изменением рельефа в направлении, перпендикулярном движению волны.
В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих существование краевых волн в волновом поле прибрежной зоны океана (см., например, [Huntley & Bo-wen, 1973; Huntley et al, 1981; Bowen & Huntley, 1984; Bryan et al, 1998]). Краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как перенос осадочного материала, формирование структуры береговой линии и прибрежного рельефа, прибойные биения [Bowen, 1969; Bowen & Inman, 1969; Bowen & Inman, 1971; Gallagher, 1971; Huntley & Bowen, 1978; Huntley, 1980; Bauer & Greenwood, 1990; Ле Блон и Майсек, 1981; Holman & Bowen, 1982; Bowen & Huntley, 1984; Holman & Bowen, 1984; Рабинович, 1993; Masselink, 1999; Aagaard, 2004] и часто рассматриваются как оп-
Рис. 0.1 Береговые формы, которые образуются под воздействием краевых волн
ределяющий фактор эволюции береговой линии при формировании ритмических форм рельефа, таких как серповидные бары и фестоны (см., например, [Dolan & Ferm, 1968; Guza & Inman, 1975; Holman & Bowen, 1982; Masselink et al, 2004]). В книге [Komar, 1998] приведены несколько превосходных изображений структуры прибрежной линии, вызванной краевыми волнами (одно из них приведено на рис. 0.1). Лабораторные эксперименты и грубые оценки характерных масштабов находятся в хорошем соответствии с реальным наблюдением прибрежных особенностей морфологии. Краевые волны, движущиеся вдоль побережья, могут в прилегающих заливах и бухтах вызывать собственные колебания с той же частотой [Lemon, 1975; Tintore et al, 1988; Monserrat et al, 1991a; Monserrat et al, 1991b; Gomis et al, 1992]. Взаимодействие краевых волн с волнами зыби и прибоем приводит к образованию разрывных течений [Bowen, 1969; Bowen & Inman, 1969]. Существованием длинных краевых волн объясняется неравномерный характер распределения высот волн цунами вдоль береговой линии [Ishii & Abe, 1980; Пелинов-ский, 1996]. В целом до 70% энергии волн цунами переносится вдоль Курильских островов в виде краевых волн [Файн и др., 1983]. Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии [Tang & Grimshaw, 1995]. Коротко-масштабные краевые волны обычно генерируются набегающими ветровыми волнами вследствие сильной нелинейности поля ветровых волн [Guza & Davis, 1974; Foda & Mei, 1981; Agnon & Mei, 1988; Miles, 1990; Blondeaux & Vittori, 1995].
Теоретическое исследование краевых волн в океане проводится с использованием методов механики жидкости. Линейная теория краевых волн разработана к настоящему времени достаточно хорошо. Впервые аналитические решения линейных уравнений Эйлера над прямым наклонным дном были получены Стоксом в 1846 г. [Stokes, 1846] и соответствующее решение получило название краевой волны Стокса. Классическая краевая волна Стокса может распространяться в обоих направлениях вдоль побережья и экспоненциально затухает в сторону открытого океана. Примерно столетием позже Эккарт [Eckart, 1951] показал в рамках теории длинных волн, что краевая волна Стокса является одной из волн среди бесконечного множества мод, энергия которых захватывается берегом. Краевые волны имеют характер прогрессивных колебаний в направлении вдоль шельфа и стоячих - поперек него. С увеличением частоты их фазовая скорость уменьшается. Урселл [Ursell, 1952] развил точную теорию краевых волн, не обращаясь к длинноволновой аппроксимации; в частности, он показал, что существует конечное множество мод краевых волн, и это число увеличивается с уменьшением наклона дна. В дальнейшем теория краевых волн для различных профилей глубины была развита в работах [Ball, 1967; Munk et al, 1970; Buchwald & de Szoeke, 1973] и др. Фактически в этих работах используется приближение длинных волн, когда для монохроматической волны исходные уравнения идеальной несжимаемой и нестратифицированной жидкости сводятся к задаче Штурма-Лиувилля, решение которой определяют структуру и дисперсионное соотношение краевых волн для различных форм потенциала, определяемого профилем дна. В книгах [Ефимов и др., 1985; Ле Блон и Майсек, 1981; Рабинович, 1993] изучаются общие свойства решений данной задачи Штурма-Лиувилля и приводятся различные аналитические и численные решения, дающие представление о структуре краевых волн над неровным дном при различных условиях и кинематических свойствах этих волн, связанных с их дисперсионными соотношениями. Краевые волны в более полной постановке, учитывающей вращение Земли и стратификацию жидкости по плотности, исследовались в [Одуло, 1974; Музылев и Одуло, 1980]. Следует отметить, что большинство теоретических работ, посвященных изучению краевых волн, рассматривают бассейны с цилиндрической геометрией дна, т.е. случай, когда глубина жидкости является только функцией поперечной к берегу координаты. Реальная же ситуация более сложная, так как нужно учитывать двумерную изменчивость глубины жидкости, и этому посвящено только несколько работ. Например, в работе [Stoker & Johnson, 1991] изучается захват и рассеяние топографических волн устьями рек и мысами, а в работе [Baquerizo et al, 2002] были рассмотрены рассеяние краевых волн проницаемыми прибрежными структурами, которые
расположены перпендикулярно к береговой линии. Кроме того, в работах [Chen & Guza, 1998; Chen & Guza, 1999] изучено резонансное рассеяние прогрессивных краевых волн вдольбереговой периодической топографией. Недавно, в работе [Kurkin & Pelinovsky, 2003] краевые волны в жидкости с двумерной топографией, когда глубина медленно изменяется во вдольбереговом направлении, были изучены для различных форм подводного рельефа. Следует также отметить работу [Liu et al, 1998] по эволюции начального импульсного возмущения, показывающего формирование отдельных диспергирующих цугов и слабодисперсионную модель краевых волн, развитую в [Sheremet & Guza, 1999J.
Нелинейные аспекты теории краевых волн даже для простой геометрии бассейна изучены еще недостаточно и все имеющиеся аналитические результаты получены для случая откоса постоянного уклона. Впервые нелинейная теория краевых волн была развита в работе [Whitham, 1976], в которой было получено нелинейное дисперсионное соотношение для низшей моды. Позднее в работе [Akylas, 1983] было выведено уравнение Шредингера, описывающее динамику модуляционной неустойчивости краевых волн Стокса низшей моды. Свойства нелинейных краевых волн теоретически и экспериментально изучались в работе [Yeh, 1985] в рамках нелинейного уравнения Шредингера. Недавно были получены некоторые точные решения полных нелинейных уравнений гидродинамики, описывающие волны в невращающемся океане над шельфом с постоянным уклоном [Constantin, 2001]. Однако исследование нелинейных свойств краевых волн высших мод до настоящего времени проведено не было. В настоящей диссертации получено нелинейное дисперсионное соотношение для краевых волн старших мод, распространяющихся над плоским откосом, а также показана возможность образования краевых волн большой амплитуды в результате совместного действия эффектов модуляционной неустойчивости и дисперсионного сжатия.
При учете нелинейных членов в уравнениях движения происходит перераспределение энергии в спектре волны, что в случае резонансного взаимодействия может привести к достаточно сильному росту отдельных мод и рассматриваться как дополнительный механизм усиления краевых волн в дальней зоне. Резонансные нелинейные взаимодействия краевых волн в рамках теории слабо нелинейных волновых взаимодействий рассматривались в работах [Кочергин и Пелиновский, 1989; Kirby et al, 1995], где было показано существование резонансных триад для линейного откоса и вычислены коэффициенты взаимодействия для некоторых конкретных триад. Причем, коэффициенты, вычисленные в работе [Kirby et al, 1995] для краевых волн, распространяющиеся в одном направлении, оказались равными нулю. Поэтому возможные нелинейные эффекты при
взаимодействии триад краевых волн оставались до конца неясными. В работах [Кочер-гин, 1989; Galletta & Vittori, 2004] анализировались условия резонансного взаимодействия для профилей глубины сложной формы, однако коэффициенты нелинейного взаимодействия не вычислялись. Следует отметить, что теория слабо нелинейных волновых взаимодействий ранее применялась в работах [Guza & Davis, 1974; Fuller & Mysak, 1977; Воляк и др., 1986] для рассмотрения механизма генерации краевых волн, при котором в отвечающей условиям синхронизма взаимодействующей триаде происходил обмен энергией между краевыми и приходящими из глубокой воды волнами.
Актуальность работы
Настоящее исследование посвящено изучению нелинейных аспектов динамики краевых волн. Естественно, что в первую очередь важно понимание интенсивных волн, содержащих значительную энергию. В связи с этим огромный интерес представляют краевые волны большой амплитуды, которые являются неотъемлемой частью волнового режима прибрежной зоны. В силу нелинейных эффектов их поведение может быть достаточно сложным.
Исследование краевых волн большой амплитуды необходимо для разработки прогностических моделей аномальных волн, в частности для объяснения кратковременных затоплений прибрежной зоны (аналога волн-убийц), оценки перестройки прибрежного и донного рельефа, объяснения структуры и изменчивости вдольбереговых течений. Предложенная в работе гидродинамическая теория для описания нелинейной динамики краевых волн может применяться для изучения природных явлений и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Поэтому исследование краевых волн большой амплитуды представляется актуальным и практически значимым.
Цели диссертации
Основной целью диссертации является изучение нелинейных эффектов в поле краевых волн в рамках длинноволновых моделей гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. В частности, предполагается:
Изучить дисперсионные эффекты, приводящие к образованию аномально больших краевых волн, распространяющихся над цилиндрическим рельефом. Исследовать влияние частотной отсечки в дисперсионном соотношении для краевых волн высших мод на процесс дисперсионного сжатия.
Вычислить нелинейные поправки к дисперсионному соотношению для краевых волн старших мод над плоским откосом. Исследовать процессы появления краевых "волн-
убийц" в результате действия эффектов дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции в рамках нелинейного уравнения Шредингера. 3. Определить условия резонансного трехволнового взаимодействия и вычислить коэффициенты нелинейного взаимодействия краевых волн для различных профилей шельфов. Исследовать пространственно-временную динамику резонансных триад краевых волн и оценить характерные масштабы нелинейного взаимодействия краевых волн на реальных шельфах.
Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды - «краевых волн-убийц». Этот процесс продемонстрирован для краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом.
Вычислены нелинейные поправки для первых восемнадцати мод краевых волн Сто-кса в рамках теории возмущений. Показано, что в отличие от наинизшей моды волны старших мод имеют более несинусоидальную форму. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевых волн Стокса высших мод. Показано, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды.
Численно исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), и она находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.
Определена структура коэффициентов нелинейного трехволнового взаимодействия для произвольного профиля дна. Детальные вычисления даны для краевых волн, распространяющихся над откосом постоянного уклона, шельфом-ступенькой и вогнутым экспоненциальным откосом.
Подтверждено, что для некоторых из триад краевых волн, распространяющихся в попутном направлении над откосом постоянного уклона, коэффициенты взаимодействия оказываются равными нулю, однако этот вывод не распространяется на все по-
путные волны, как это можно было заключить из предыдущих работ. Коэффициенты резонансного трехволнового взаимодействия определяются степенными функциями частоты и угла наклона; для фиксированной частоты они возрастают с уменьшением угла наклона откоса. 6, Определены условия резонансного взаимодействия и вычислены коэффициенты нелинейного взаимодействия краевых волн для шельфа-ступеньки и вогнутого экспоненциального шельфа. Показано, что наиболее сильная нерегулярность поля появляется для шельфа - ступеньки, так как поле по существу не ослабляется на мелководной части шельфа.
Практическая значимость результатов работы
Полученные теоретические результаты, показывающие возможность образования аномально больших краевых волн, могут быть использованы для прогнозирования появления больших краевых волн в океане, которые могут интенсифицировать процессы перераспределения донньгх наносов и изменения береговой линии, а также приводить к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне. Ряд исследованных здесь эффектов (нелинейная самомодуляция, дисперсионное сжатие) должен проявляться в механике сжимаемого газа в приложении к динамике атмосферы в силу общности математических моделей механики жидкости и газа.
Полученные результаты используются в российских и международных исследовательских проектах (РФФИ, ИНТАС, и др.), выполняемых с участием автора диссертации.
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на следующих международных конференциях: XXXI - ХХХПІ Международных летних школах «Современные проблемы механики» (Санкт Петербург, Россия, 2003 - 2005); XIII и XIV зимних школах по механике сплошных сред (Екатеринбург, Россия, 2003, 2005); Международной конференции «Потоки и структуры в жидкости» (Санкт Петербург, Россия, 2003); Шестом международном симпозиуме по прибрежной механике, Владивосток, Россия, 2004; Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2003, 2004; Вена, Австрия, 2005); Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Н. Новгород, Россия, 2003; Совместной ассамблеи геофизических обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конфе-
ренции «Будущее технической науки», Н. Новгород, Россия, 2004, 2005; Международной научно-технической конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию» (Москва, Россия, 2003). Результаты диссертации докладывались также на семинарах Института прикладной физики РАН и Нижегородского государственного технического университета.
Диссертант является лауреатом стипендии Правительства РФ (2004, 2005), стипендии им. академика Г.А, Разуваева (2004) и победителем конкурса грантов Министерства образования для аспирантов (№ А04 - 2.13 - 388) 2004 г.
Список публикаций
Основные положения диссертации представлены в статьях:
Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Фокусировка краевых волн на шельфе моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39. № 6. С. 839 - 848.
Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Слабонелинейные периодические краевые волны Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. №4. С. 525-530.
Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейная динамика краевых волн над линейно наклонным дном // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41. №2. С. 124-128.
Бацына Е.К., Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейные резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Известия Академии инженерных наук им. А.М. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2005. Т. 13. С. 86-99.
Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2006. Т. 42. (в печати).
Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. О нелинейных взаимодействиях в триадах краевых волн на шельфе моря // Океанология. 2006. Т. 46. (в печати)
трудах конференций:
Dubinina V.A., Kurkin А,А., Poloukhina О.Е. Nonlinear properties of long edge waves abovea cylindrical shelf II Proceedings of Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium. Vladivostok. Russia. 2004. P. 157 - 162.
Pelinovsky E., Lechuga A., Poloukhina 0., Kurkin A., Dubinina V. Freak edge waves // Proceedings of Int. Conf. "Waves-2005". 2005. P. 1 - 9.
а также в тезисах конференций:
Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Захваченные волны над наклонной прибрежной отмелью при наличии вращения // Сборник тезисов докладов 13 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН. 2003. С. 141.
Poloukhina О., Kurkin A., Dubinina V. Focusing of large-amplitude edge and Rossby waves II Geophysical Research Abstracts. 2003. V. 5. P. 1504.
Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Coastal trapped waves in a rotating ocean II XXXI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. St. Petersburg. Russia. 2003. P. 37 - 38.
Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Anomalous high trapped waves above a concave exponential beach II International Conference on Fluxes and Structures in Fluids. Abstracts. St. Petersburg. 2003. P. 46 - 48.
Dubinina V.A., Kurkin A.A., Poloukhina O.E. Weakly nonlinear periodic Stokes edge waves II Proceedings of International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics". Nizhny Novgorod. Russia. 2003. P. 331 - 332.
Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина O.E. Краевые волны над шельфом: нелинейная теория // В сб. Молодые ученые - 2003 / Материалы международной научно-технической конференции "Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию". 1 - 4 октября 2003 г., г. Москва. - М.: МИРЭА, 2003. С. 225 -227.
15. Poloukhina О., Pelinovsky Е., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear instability of edge waves
II Geophysical Research Abstracts. 2004. V. 6. P. 634.
Poloukhina 0., Kurkin A., Dubinina V. Extreme Edge Waves Above a Cylindrical Shelf// Eos. Trans. AGU, 85 (17), Joint Assembly Suppl., Abstract OS33B-06, 2004.
Pelinovsky E.N., Poloukhina О. E., Kurkin A.A., Dubinina V.A. Nonlinear Dynamics of Stokes Edge Waves II Eos. Trans. AGU, 84 (52), Ocean Sci. Meet. Suppl., Abstract OS21F-02, 2004.
Бацына E.K., Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина О.Е. Нелинейные взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Сборник тезисов докладов 14 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН, 2005, С. 28.
Poloukhina О., Pelinovsky Е., Kurkin A., Dubinina V, Nonlinear interactions of edge waves above a uniform beach II Geophysical Research Abstracts. 2005, V. 7. P. 192.
Личный вклад автора
В совместных работах научному руководителю доц. Куркину А.А. и проф. Пелиновскому Е.Н. принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов, доц. Полухиной О.Е. - выбор методов исследования. Во всех работах автору принадлежит выполнение большинства аналитических и численных расчетов, а также непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. В вычислениях, описанных в статье [4], принимала участие студ. Бацына Е.К.
Автор выражает благодарность научному руководителю доценту Куркину А.А., профессору, лауреату Государственной премии России Пелиновскому Е.Н. и доценту Полухиной О.Е. за их большую помощь и безграничное терпение, проявленные ими при обсуждении настоящей диссертации.
Также автор благодарит коллектив кафедры «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета, проф. Петрухина Н.С, проф. Митякова С.Н., проф. Потапова А.И., Листопада Е.Ф. за создание благожелательной, творческой атмосферы на кафедре, позволившей автору закончить диссертацию.
Структура и дисперсионное соотношение краевых волн в океане переменной глубины
В случае цилиндрического рельефа дна h = h(y) частным решением уравнения (1.3) являются волны, распространяющиеся вдоль берега и периодические по координате х и времени, что позволяет разделить переменные:
Здесь to - частота, к — волновое число, F(y), U(y), V(y) - комплексные функции, описывающие распределение волновых полей по поперечной к берегу координате (сіруктура моды), Re - знак вещественной части получаемых выражений. Уравнение (1.3) с учетом (1.8) принимает вид и означает отсутствие потока массы через береговую границу, а на бесконечности - условие (1.5), которое приобретает вид ограничена для излученых волн, у — оо, (1.11) — 0 для захваченных волн, у - оо.
Захваченным волнам соответствует дискретный набор отдельных гармонических мод, распространяющихся параллельно береі у и экспоненциально затухающих в сторону открытого океана. Излученным соответствует непрерывный спектр волн, падающих на шельф и отражающихся от него в открытый океан. Мы будем рассматривать в диссертации только дискретный спектр задачи, соответствующий краевым волнам, поэтому далее будем использовать условие убывания решения на бесконечности.
Компоненты скорости с учетом (hi) можно записать следующим образом: Уравнение (1.9) содержит квадрат вдольберегового волнового числа к, поэтому оно описывает два решения, отвечающие гравитационным волнам, распространяющихся в противоположных направлениях. Эти решения полностью симметричны.
Заметим, что это справедливо только тогда, когда не учитывается вращение Земли. Вращение вносит асимметрию в волновые движения. В этом случае уравнение, определяющее краевую задачу, аналогичную (1.9), приобретает вид (подробный вывод можно найти в [Ле Влон и Майсек, 1981; Ефимов и др., 1985]) параметр Кориолиса. Гравитационные волны становятся несимметричными: волны, распространяющиеся в положительном направлении (к 0), т.е. имеющие меньшую глубину (берег) слева бегут быстрее, чем те, которые распространяются в противоположном направлении. При со »/это различие становится пренебрежимо мало. Частоты краевых волн всегда много больше, чем инерционная частота/, поэтому их свойства слабо зависят от вращения Земли (см., например, [Reid, 1958; Johns, 1965]). Следовательно, при рассмотрении краевых волн из уравнений можно исключить члены, связанные с вращением Земли, поэтому нами в дальнейшем будет применяться теория мелкой воды на невращающейся Земле, и основное уравнение для структуры краевой волны будет использоваться в форме (1.9). 1.2 Структура и дисперсионное соотношение краевых волн в океане переменной глубины
Среди различных аналитических форм аппроксимации рельефа в зоне шельфа -континентального склона три модели получили наибольшее распространение: бесконечный откос, шельф-ступенька и вогнутый экспоненциальный шельф (см., например, [Ле Блон и Майсек, 1981; Ефимов и др., 1985; Рабинович, 1993] и цитируемую там литературу). Обсудим структуру и дисперсионное соотношение краевых волн для различных аппроксимаций берегового рельефа
Решение (1.17) краевой задачи (1.15) представляет дискретный набор отдельных мод из бесконечного множества мод краевых волн. Номер моды соответствует числу нулей функции F(y) в направлении поперек берега. Поперечная структура (1.17) краевых волн для нескольких первых мод представлена на рис. 1.4. Таким образом, краевые волны имеют дискретный характер и представляют собой бесконечный набор волновых решений, стоячих в направлении поперек шельфа и прогрессивных - вдоль шельфа (берега). При удалении от берега энергия этих волн быстро затухает. Отметим, что формально далеко от берега глубина всегда превышает длину волны, так что формально приводимые решения, полученные в рамках мелкой воды, несправедливы. Однако в этой зоне энергия краевых в.олн становится экспоненциально малой, так что с физической точки зрения в этой зоне «правильное» решение может быть игнорировано.
Краевые волны могут существовать при любом к 0. Случай к = 0 (волна, нормально падающая на берег) является особым. Уравнение (1.15) в этом случае имеет вид +I +flF=0, dyz У dy у (1.22) и его решение можно представить в виде [Ламб, 1947] F(y) = AJ0(2a4y), (1.23) где функция Бесселя нулевого порядка. При больших у (т.е. на большом удалении от берега) можно записать где А = (па)тА. Следовательно, решение уравнения (1.19) представляет собой стоячую волну, имеющую бесконечное число узловых линий, амплитуда которой медленно затухает при удалении от берега (пропорционально у""4). Это решение играет важную роль при изучении наката волны на берег [Пелиновский, 1982; Пелиновский, 1996]. Однако наша цель - это краевые волны, и мы в дальнейшем будем рассматривать не нулевые значения вдольберегового числа.
Краевые волны над линейно наклонным дном принято называть краевыми волнами Стокса, так как впервые решение для гравитационных поверхностных волн на бесконечном откосе было получено в 1846 г. Стоксом [Stokes, 1846] без использования приближения длинных волн.
Дисперсионные эффекты и формирование аномальных краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом
Присутствие краевых волн с периодами порядка 3-9 мин было также косвенным образом обнаружено по сейшам, возбуждаемым волнами, в прибрежных заливах. Краевые волны, движущиеся вдоль побережья, могут в прилегающих заливах и бухтах вызывать собственные колебания с той же частотой. Это явление на основе данных прямых наблюдений и теоретических расчетов было исследовано в работах [Lemon, 1975; Tintore et al, 1988; Monserrat et al, 1991a; Monserrat et al, 1991b; Gomis et al, 1992; Yanuma et al, 1992].
Анализ пространственной структуры волнового поля у побережья Великобритании в Ирландском море [Huntley et al, 1981] показал, что в спектрах потока присутствует дискретный набор максимумов, интенсивность которых быстро убывает с удалением от берега. Характер их изменений соответствует теоретическому для четырех низших мод краевых волн; взаимный спектральный анализ отдельных компонент подтвердил предположение о том, что эти максимумы обусловлены краевыми волнами.
Еще один эффективный натурный эксперимент, проведенный в работе [Huntley et al, 1981] в районе Ла-Хольи (Калифорния) показал, что в диапазоне 30 - 300 с волновое поле вдольбереговой компоненты течений формируется преимущественно нулевой и первой модами краевых волн. При этом спектр практически симметричен относительно к = 0, т.е. примерно одинаковая доля энергии распространяется на юг и север. Полосы, образованные максимумами спектра волновых чисел, находятся в поразительно хорошем соответствии с теоретическими дисперсионными кривыми краевых волн, рассчитанными численно для реального шельфа.
По результатам исследований, проведенных [Oltman-Shey & Guza, 1987] в прибрежной зоне Калифорнии около 70% общей волновой энергии вдольбереговых течений приходится на низшие моды краевых волн (л 2), причем доминирует нулевая мода, а с ростом номера моды их относительная роль уменьшается. Авторы работы [Oltman-Shey & Guza, 1987] предположили, что именно присутствием краевых волн объясняется столь большая разница в энергетическом уровне спектров длинных волн в открытом океане и на шельфе.
В работах [Gallagher, 1971; Guza & Davis, 1974; Guza & Bowen, 1975; Guza & Bo-wen, 1976; Bowen & Guza, 1978; Holman, 1981] как с помощью лабораторных экспериментов, так и с помощью теоретических расчетов было установлено, что в прибрежной зоне может наблюдаться резонансное возбуждение краевых волн в результате нелинейного взаимодействия ветровых волн, падающих на берег. Лабораторные эксперименты, описанные в [Bowen & Inman, 1969], показали, что краевые волны, образующиеся при падении ветровых волн на береговой откос, приводят к его эрозии, активно перемещают осадочный материал и тем самым могут породить различные ритмические формы рельефа в прибрежной зоне, такие как фестоны или пляжные остроконечные мысы (beach cusps), серповидные бары (crescentic bars) и пр. Авторы работ [Bowen & Inman, 1969] и [Guza & Inman, 1975] разработали теоретические модели генерации соответственно серповидных баров и береговых фестонов. Их расчеты и данные лабораторного моделирования свидетельствуют, что эти структурные образования имеют общий источник формирования - стоячие краевые волны. В целом теория краевых волн позволила объяснить многие особенности реальной структуры и изменчивости береговых форм рельефа [Dolan & Perm, 1968; Short, 1975; Holman & Bowen, 1982] и др. Пример натурного подтверждения связи фестонов с краевыми волнами можно найти в работе [Huntley & Bowen, 1978]. Проводя измерения на побережье Атлантики у полуострова Новая Шотландия (Канада), авторы этой работы зарегистрировали краевые волны с периодом 13,8 с и длиной 12,0 м (нулевая мода), вызванные сильным ветровым волнением с вдвое меньшим периодом (6,9 с). Немедленно вслед за этим образовались береговые фестоны с характерным пространственным размером 12,7 м.
Хорошо установлено, что длинные волны, вызванные землетрясениями (цунами), падающие из открытого океана на континентальный шельф или зону откоса, могут тоже вызывать краевые волны [Aida, 1967; Fuller & Mysak, 1977] и др. Так, например, интенсивность и поведение в прибрежной зоне океана Камчатского цунами 4 октября 1952 г. [Ishii & Abe, 1980] и цунами 25 апреля 1992 г. с эпицентром около мыса Мендосино (Западное побережье США) [Gonzalez et al, 1995] нельзя объяснить без привлечения теории захваченных волн. В целом, примерно до 70% волновой энергии цунами распространяется вдоль Курильских островов в виде захваченных краевых волн [Файн и др., 1983].
Краевые волны большой амплитуды могут приводить к аномальным наводнениям локального характера. В литературе известны описания подобных событий. Вот одно из описаний наводнения такого типа, происшедшего в 1959 г. на восточном берегу Керченского пролива в Черном море [Никонов, 2001а]: «При полном штиле вдруг по мелководью к берегу пошла волна, увеличиваясь в размерах и, возвысившись до буруна, она выплеснулась на отлогий берег и разлилась по нему. Затем вода ушла к прежнему уровню». Приведем еще одно описание того же автора; «На северном берегу Керченского полуострова на берегу бухты Золотое Восточное 2 августа 1990 г. при полном штиле наблюдалось необычное движение воды. Группа людей находилась на песчаном пляже при Рис. 1.15 Проявление аномальных краевых волн в прибрежной зоне мерно в 7 м от уреза. При совсем спокойном море они внезапно оказались по щиколотку в воде. После этого по всему пляжу отчетливо была видна оставленная набегом воды мокрая полоса песка на удалении 8-10 м от нормальной линии уреза» [Никонов, 20016]. Приведем также описание, где имеется количественная оценка времени наводнения. Дословно: «Во второй половине июля 2000 г. в утренние часы при абсолютно тихой погоде и спокойном море несколько человек, находившихся на пляже между мысами Панагия и Железный Рог (юго-запад Таманского полуострова), заметили внезапный уход воды от берега. Дно обнажилось и по нему вслед за уходящей водой бежали струйки - ручейки. Вода отошла от линии берега метров на 10, если не более, через некоторое время снова поднялась до обычного положения. Это продолжалось, по оценкам, около 3 минут (+ 1 мин), причем уровень опускался на 0,4 - 0,5 м («по колено»). Было и второе отступление воды, но на меньшую величину» [Никонов, 20016]. Источники этих наводнений неизвестны и связываются автором с цунами. Поскольку наводнения случились во время полного штиля и нет информации о землетрясении, то вряд ли эти события связаны с ветровыми волнами и волнами цунами.
Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей краевых волн Стокса с различной модальной структурой
Коэффициенты б и а уравнения (2.51) характеризуют, соответственно, дисперсию и нелинейность; они определяются волновым числом и модой краевой волны. Отметим, что здесь мы получили нелинейное уравнение Шредингера эвристически. Разумеется, мы можем вывести его также с помощью асимптотического метода, как это было сделано в работе [Akylas, 1983] для нулевой моды краевых волн, но результат очевиден, и поэтому мы здесь использовали более простой подход. Уравнение (2.51) удобно записать в безразмерной форме, положив
Уравнение (2.53) не содержит информации о моде, она оказалась записанной в нормировке (2.52). Уравнение (2.51) или (2.53) описывает только вдольбереговую динамику одной (каждой) моды краевой волны. «Поперек-береговая» структура трехмерных волн записывается с помощью (2.48). Таким образом, физически трехмерное поле краевых волн описывается одномерным нелинейным эволюционным уравнением, что резко упрощает задачу.
Как уже было отмечено, соответствие знаков при дисперсионном и нелинейном слагаемых соответствует случаю самофокусирующего нелинейного уравнения Шредингера. Уравнение НУШ впервые появилось в работе [Таланов, 1965]. Такое уравнение было получено для различных нелинейных процессов в физически разных диспергирующих средах (в нелинейной оптике, плазме, гидродинамике и т.д.) и сейчас является классическим универсальным уравнением. Для свободных волн на поверхности воды оно выводилось в [Захаров, 1968; Hasimoto & Опо, 1972; Yuen & Lake, 1975], а для краевых захваченных волн [Akylas, 1983; Yen, 1985]. Огромным его достоинством является свойство интегрируемости методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) [Захаров и др., 1980], и связанное с этим существование бесконечного числа сохраняющихся интегралов и упруго взаимодействующих солитонов. Решение НУШ (2.51) с помощью МОЗР было по строєно Захаровым и Шабатом [Захаров и Шабат, 1971] после пионерской работы по интегрированию уравнения Кортевега - де Вриза [Gardner et al, 1967]. Авторы работы [Захаров и Шабат, 1971] показали, что любой начальный волновой пакет со временем распадается на ряд солитонов и дисперсионный осциллирующий "хвост". Основная энергия содержится в солитонах, которые ее сохраняют в процессах взаимодействия с другими солитонами и дисперсионным хвостом, проявляя свойства частиц. Знаки коэффициентов в уравнении (2.51) определяют его тип. В нашем случае, когда знаки коэффициентов совпадают (оба отрицательны) уравнение (2.51) соответствует фокусирующему типу, и в нем существуют солитоны огибающей, представляющие собой нелинейные волновые пакеты. Существование солитонов, и, в частности, солитонов огибающей наблюдалось неоднократно в экспериментах и натурных наблюдениях. Так, свободные поверхностные волны на достаточно глубокой воде в результате действия модуляционной неустойчивости разбиваются на долгоживущие пакеты волн, соответствующие в модели НУШ соли-тонам огибающей.
Существование регулярных методов анализа решений НУШ делает его чрезвычайно удобным для рассмотрения нелинейных волновых процессов. Тем не менее, сложность аналитических подходов часто приводит к большей эффективности применения численных методов решения НУШ. Численное интегрирование НУШ используется давно (например, [Lake et al, 1977]), обзор численных схем можно найти в [Taha & Ablowitz, 1984]. Несмотря на это, существование модуляционной неустойчивости делает вычисление некоторого рода задач чрезвычайно чувствительным к методу дискретизации уравнения, см. [Ablowitz & Herbst, 1990].
Численное моделирование нелинейного уравнения Шредингера (2.53) в наших исследованиях проводилось на основе псевдо-спектрального метода [Fornberg, 1998], он не требует дискретной записи производной от поля по пространству и содержит конечно-разностную производную по времени. Для контроля результатов моделирования отслеживались три первых интеграла уравнения НУШ (см. [Ньюэлл, 1989]), а также дублирующее моделирование с использованием большего числа разрешающих точек в пространстве и меньшего временного шага.
В заключение скажем, что полное физическое поле краевых волн представляет собой суперпозицию мод. В линейной теории эти моды независимы, и по существу можно использовать суперпозицию незавимых уравнений (2.53). В нелинейной теории волны различных мод взаимодействуют между собой. Вопрос межмодового взаимодействия краевых волн оказывается нетривиальным и допускает различные решения в зависимо В предыдущем параграфе на основе дисперсионного соотношения с нелинейной поправкой для случая бесконечного откоса нами было записано динамическое уравнение - нелинейное уравнение Шредингера (2.51) с коэффициентами, зависящими от волнового числа несущей и номера моды краевой волны Стокса.
Как уже отмечалось, его коэффициенты а и б одного знака. Классическим эффектом, описываемым таким уравнением, является неустойчивость длинных модуляционных. возмущений плоских волн APW = AQ expjmdj f), (2.54) которые являются простейшим решением уравнения НУШ (2.51). В физических переменных оно описывает однородные волны амплитуды $AQ (Ад є Щ, Наличие фазового набега в (2.54) отвечает различию в групповой и фазовой скоростях таких волн. Рассмотрим особенности модуляционной неустойчивости в отношении захваченных краевых волн - критерий неустойчивости и динамику процессов.
Исследование волны (2.54) на модуляционную устойчивость легко проводится стандартными методами [Ньюэлл, 1989; Островский и Потапов, 2003], для этого решение ищется в виде гармонического возмущения плоской волны (2.54). Мнимые частоты дисперсионного соотношения для возмущения отвечают случаю неустойчивости, которая реализуется при выполнении условия на волновое число возмущения К
Трехволновые взаимодействия краевых волн над откосом постоянного уклона
Нелинейное взаимодействие между распространяющимися вдоль берега (как в положительном, так и в отрицательном направлении оси х) модами краевых волн сначала рассмотрим для рельефа в виде склона с линейно изменяющейся глубиной h = ay (см. параграф 1.2). Основное преимущество данной модели дна - возможность аналитического вычисления коэффициентов нелинейного взаимодействия, определяемых громоздкими выражениями (3.12).
Рассмотрим одну резонансную триаду волн с волновыми числами к\ь кг, къ {кг =к] + к{), соответствующих модам щ, пг, «з- Уравнения связи кг и к\, для краевых волн, распространяющихся в одном направлении, обеспечивающие выполнение условия синхронизма частот были выписаны в работах [Кочергин и Пелиновский, 1989; Кочергин, 1989] и имеют вид
Важно отметить, что резонансное условие (3.14) не зависит от угла наклона откоса, поэтому одно из волновых чисел, например, к\, можно использовать, как параметр для обезразмеривания соответствующих величин, и далее на рисунках мы будем пользоваться относительными единицами.
Подчеркнем также, что для положительных волновых чисел, в зависимости от соотношения между номерами мод в триаде возможен один или два пути энергетического обмена (см. рис. 3.1). В статье [Кочергин и Пелиновский, 1989] рассматривался пример нелинейного взаимодействия краевых волн в триаде на самых низших модах: щ =\,пг = О, «з = 1 и приведены коэффициенты взаимодействия в этой триаде. Однако в более поздней работе [Kirby et al, 1998] было показано, что волны, распространяющиеся в одном направлении, в этой триаде не взаимодействуют: коэффициенты взаимодействия оказались равными нулю, отсутствие энергетического обмена подтвердили также прямые численные расчеты. На основании этого в работе [Kirby et al, 1998] был сделан вывод о том, что краевые волны, распространяющиеся в одном направлении над линейным откосом, не взаимодействуют, однако этот вывод не был доказан для произвольных номеров мод.
Мы рассмотрели взаимодействия в триадах с участием волн четырех низших мод, поскольку высшие моды имеют большую частоту и должны быстро затухать. Расчеты коэффициентов нелинейного взаимодействия для триад краевых волн, распространяющихся над линейным откосом, проведенные нами с использованием пакета символьных вычислений Maple V7, показали, что выводы [Kirby et al, 1998] оказались частично верными: лишь для узкого класса триад волн, бегущих в одну сторону, коэффициенты взаимодействия обращаются в ноль.
Геометрическая интерпретация условий синхронизма триад краевых волн, принадлежащих четырем низшим модам с щ = 0. Значками показаны точки, удовлетворяющие условиям синхронизма; при этом кружками отмечены те, для которых коэффициенты взаимодействия обращаются в ноль, а треугольниками - те, где коэффициенты взаимодействия ненулевые.
2) табл. 3.1, показывающая возможности взаимодействия в триадах краевых волн с положительными волновыми числами, принадлежащих четырем низшим модам. В ней отмечены триады с нулевыми коэффициентами взаимодействия: Здесь можно заметить закономерность расположения таких триад в таблице - по диагонали, которая с увеличением номера щ смещается вниз и влево. Другими словами, если известны номера мод (N\, N2, Л3) триады, коэффициенты нелинейного взаимодействия для которой обращаются в ноль, то следующие такие триады будут существовать на модах с номерами .
3) табл. 3.2, в которой приведены зависимости кг от к\, обеспечивающие выполнение условия (3.13) для допускаемых триад на четырех нижних модах, а также выражения для коэффициентов взаимодействия в системе уравнений где Aj - амплитуда волны моды щ, " " - обозначает комплексное сопряжение, мнимая единица. Система уравнений (3.15) получается из системы (3.11), когда волновое поле (3.8) представлено только одной триадой резонансно взаимодействующих волн.
Система (3.15) является классической [Виноградова и др., 1959] и, как известно, имеет два интеграла и полностью интегрируется в эллиптических функциях Якоби; см., например, [Камке, 1976; Абрамович и Стиган, 1979].
Процессы, описываемые подобными системами уравнений, активно исследуются в нелинейной оптике, где измеряемой величиной является интенсивность поля \А\ . В океанологии измеряемыми величинами является поле скоростей и смещения, которые в данном случае зависят от двух горизонтальных координат. В результате даже при наличии одной резонансной триады должна возникать сложная интерференционная структура волнового поля.
Здесь К - произвольное число, на которое можно обезразмерить волновые числа, частоты и коэффициенты взаимодействия. Устойчивое состояние равновесия в системе (3.15) соответствует триаде с постоянными амплитудами: Для указанной триады "001" волновое поле, нормированное на амплитуду А, в безразмерных переменных Л-AJC, у = Ку, т- -JagKT имеет вид
Рисунок 3.3 демонстрирует волновое поле в разные моменты времени, когда амплитуды разных мод находятся в равновесии и их амплитуды,удовлетворяют условию (3.18). Видно, что поле, несмотря на равновесие волновых амплитуд, обладает достаточно сильной временной изменчивостью, и форма его существенно зависит от расстояния от берега. Так, из-за затухания вдали от берега представлена только вторая волна (с наименьшим волновым числом), и волновое поле там практически синусоидально по вдольбереговой координате.
Волновое поле, отвечающее нестационарному решению системы (3.15) с начальными условиями А\(0) = Az(0) = 1, Аз(0) = 0 содержит еще больше вихрей и более нерегулярно. Его структура показана на рис. 3.4.
Оценим возможность нелинейного взаимодействия реальных краевых волн. Для этого достаточно оценить масштабы нелинейности (что должно показать, возможно ли эффективное взаимодействие мод краевых волн на шельфе конечной протяженности), поэтому вместо точных решений рассмотрим приближенные соотношения, следующие из (3.15). Заменяя производные в нем на отношение амплитуда/время взаимодействие, получаем следующую оценку
