Введение к работе
Актуальность тепы. Теория нелинейных длинных волн на свободной поверхности тонкого слоя идеальной жидкости (на "мелкой воде") хорошо разработана. Однако переход от модели идеальной жидкости к модели вязкой жидкости приводит к увеличению порядка исходной системы уравнений гидродинамики и, следовательно, к увеличению числа граничных условий. Последнее обстоятельство не позволяет формально распространить процедуру вывода нелинейных волновых уравнений для мелкой воды непосредственно на случай тонких слоев вязкой жидкости. Дополнительные трудности возникают при учете зависимости плотности слоя от температуры, поскольку применяемое обычно в данной ситуации приближение Обербека- Буссиноска (ОБ) представляет собой физически разумное, но не всегда строго обоснованное упрощение исходных уравнений Навье-Стокса. Когда влияние нелинейных, дисперсионных и диссипативных эффектов в тонком' слое вязкой жидкости оказывается скомпенсированным, по поверхности жидкости могут распространяться нелинейные волны, сохраняющие свою форму. Практический интерес к исследованию таких волн связан, в частности, с возможностью определения параметров жидкости посредством измерения амплитуды и скорости уединенной волны, создания изображений на жидких пленках, разработкой ноеых технологий получения материалов на Земле и в космосе и т.д.
Таким образом, актуальность темы определяется необходимостью аналитического описания нелинейных волн на поверхности вязкой жидкости, сохраняющих свою форму, и определения условий их существования, создания методики вывода соответствующих модельных нелинейных волновых уравнений и получения их решений без учета ряда упрощающих гипотез. Цель работы:
разработка процедуры вывода нелинейных волновых уравнений для описания возмущений свободной поверхности, обладающих решениями в виде волны, сохраняющей свою форму;
исследование пригодности приближения ОБ[
получение точных решений выведенных нелинейных уравнений.
Научная новизна работы. В работе предложена методика вывода модельного квазигиперболического нелинейного уравнения, описывающего распространение волн на поверхности тонкого слоя вязкой неоднородной жидкости. Показано, что существуют такие условия подогрева слоя, при которых влияние конвекции и вязкости скомпенсировано, диссипация исчезает и в качестве модельного уравнения возникает уравнение Буссинеска или Кортевега- де Вриза (КдВ). Исследована устойчивость бегущей кноидальной волны по отношению к дис-сипативным возмущешіям, появляющимся при нарушении данного условия. Показано, что приближение ОБ непригодно для описания эволюции длинных нєлинєйнііх поверхностных волн. Приведена новая постановка задачи, осноьанная на полной системе уравнений Навье-Стокса. Выведена обобщенная система уравнений для нелинейных поверхностных волн, пригодная для описания распространения нелиней-ных поверхностных волн при отказе от приближения ОБ во всем диапазоне допустимых значений параметров задачи. Найден ряд точных решений этих уравнений в виде бегущих периодической и уединенной волн, определены условия, при выполнении которых из выведенной системы уравнений возникают в качестве модельных уравнения КдВ, Кортевега-де Вриза- Бюргерса и Бюргерса и, следовательно, могут существовать нелинейные волны, описываемые этими уравнениями. Найдены отличия в параметрах решения, возникающие вследствие отказа от приближения ОБ. .Предложено приложение полученных результатов для определения температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения путем оценки параметров уединенных поверхностных волн.
Практическая значимость диссертации определяется найденными аналитически условиями существования уединенных волн различной формы, а также зависимостями.их'параметров от физических свойств жидкости и условий ее подогрева. Эти соотношения могут представлять интерес для разработки процедуры определения неизвестных физических характеристик жидкости по измеренным параметрам уединенной полны, а также для развития метода получения изображениий на кидкик пленках.
Основные положения, выносимые на защиту.
- Вывод нелинейного квазигиперболического уравнения с дисперсией
и диссипацией для описания распространения длинных поверхностных
волн на тонком слое вязкой неоднородной жидкости в рамках прибли
жения Обербека-Буссинеска. Определение условий существования по
верхностных кноидальных волн, уединенных волн колоколосбразнсй
формы и в форме кинка. Исследование устойчивости кноидалыюй вол
ны к малым диссипативным возмущениям. Приложение получешшх ре
зультатов для определения температурной зависимости коэффициента
поверхностного натяжения по известным параметрам уединенной вол
ны.
Анализ применимости приближения Обербека-Буссинеска для описания длинных нелинейных поверхностных волн на тонком слое вязкой неоднородной жидкости. Постановка задачи и вывод нелинейного уравнения с дисперсией и линейной диссипацией для их описания вне рамок этого приближения и без учета сил поверхностного натяжения. Исследование отличий в решений задачи, вызванных отказом от приближения Обербека-Буссинеска.
Вывод обобщенной системы уравнений, содержащей как линейные,так и нелинейные диссипативные слагаемые и пригодной для описания распространения нелинейных поверхностных волн при отказе от приближения ОБ во всем диапазоне допустимых значений параметров задачи. Определение условий, при которых из этих уравнений могут быть получены уравнения Кортевега-де Вриза, Бюргерса и Кортевега-де Вриза-Бюргерса.
Получение новых точных решений в виде бегущей уединенной и периодической волн для ряда неинтегрируемых нелинейных волновых уравнений с дисперсией и диссипацией.
Апробация работы.
Материалы, составляющие содержание .диссертации, докладывались на 10-ой Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь,19Э5), Международной конференции "КдВ -95"(Амстердам,1995), 13-ой Международной школе по моделям механики сплошных сред (Санкт-Петербург, 1995), 2-ой Европейской конференции по механике жидкости (Варшава,
1994), Международном симпозиуме "Нелинейные волны, колебания и вихри в жидкости"(Санкт-Петербург,1994), Седьмом съезде по механике (Москва,1991), 2-ой Всесоюзной конференции по математическому моделированию (Звенигород,1990), а также на семинарах ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, ПО МИ им. В.А. Стеклова РАН(Санкт-Петербург), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева РАН (Новосибирск), Университета Страткл8йд (Глазго, Великобритания).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 научных работ.
Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, 7-ми рисунков. Список литературы включает 100 наименований. Общий объем работы - 126 страниц.