Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача определения гидропроводности нефтяного пласта 10
1. Обзор литературы, посвященной вопросу определения фильтрационных параметров 10
2. Постановка задач 13
3. Особенность задачи определения гидропроводности 21
Глава 2. Оценка гидропроводности участка по замерам пластового.давления и дебита в скважинах . 24
1. Математическая постановка 24
2. Алгоритм решения задачи на основе аппроксимации полиномами 25
3. Тестирование алгоритма и выбор функции плотности отбора 40
4. Пример расчета среднего значения гидропроводности участка Бавлинского месторождения. 56
Глава 3. Численно-аналитический метод определения гидропроводности 61
1. Математическая постановка задачи 61
2. Метод решения 63
3. Численный пример 68
Глава 4. Идентификация гвдропроводности по "истории" разработки 72
1. Математическая постановка задачи 72
2. Алгоритм решения 74
3. Тестирование алгоритма идентификации 106
4. Регуляризация решения задачи идентификации 121
5. Сравнение с алгоритмом идентификации Чэна, Гаваласа, Шайнфелда и Вассермана 124
6. Расчет гидропроводности опытного участка Кармалинской площади Ромашкинского месторождения 134
Заключение 141
Литература 143
Приложения 155
- Особенность задачи определения гидропроводности
- Алгоритм решения задачи на основе аппроксимации полиномами
- Численный пример
- Сравнение с алгоритмом идентификации Чэна, Гаваласа, Шайнфелда и Вассермана
Введение к работе
Актуальность проблемы. Задачи по увеличению добычи нефти, намеченные ХХУІ съездом КПСС в Постановлении "Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года", требуют не только ввода в эксплуатацию новых месторождений, но ж совершенствования системы управления процессом разработки и системы разработки действующих месторождений.
Составной частью рациональной системы управления является использование математических моделей фильтрации, по которым могут быть выполнены численные расчеты по оценке и прогнозированию основных показателей разработки. Естественно, что эти модели должны учитывать те параметры, которые являются ведущими. Общеизвестно, что одним из таких фильтрационных параметров является гидропроводность. Тогда качество анализа и прогноза разработки пласта на основе выбранной математической модели будет находиться в прямой зависимости от качества определения гидропроводности для данной модели. Более того, отсутствие сведений о гидропроводности может вызывать недоверие к математической модели и к решению теоретических и практических задач на базе этой модели. В /26/ отмечается, что задача уточнения коллекторских свойств пласта - одна из основных задач анализа разработки пласта. Приведем также цитату из книги /2/ из главы, посвященной проблеме определения параметров пласта: "Процесс подгонки модели по истории разработки требует времени, иногда оказывается безрезультатным и обычно составляет значительную часть общей стоимости исследования. Подгонка по истории обычно производится вручную, корректированием данных методом проб и ошибок".
Следовательно, задача определения гидропроводности составляет важнейшую часть любого исследования, связанного с проектированием и разработкой нефтяных месторождений, что обуславливает актуальность темы диссертации Цель работы. Ввиду многообразия математических моделей •процесса фильтрации в пласте, большого дефицита информации (она имеется,в основном,по скважинам) и в зависимости от конкретной цели исследования задачу определения гидропроводности можно рассматривать в различных постановках. Поэтому основная цель заключается в разработке методов оценки и определения гидропроводности по данным технической документации, пригодных для решения практических задач.
Научная новизна. Предлагаемые в диссертационной работе методы в зависимости от имеющейся входной информации в скважинах и конкретной цели исследования позволяют: а) произвести оценку гидропроводности по отдельному участку; б) получить распределение гидропроводности по всей площади неоднородного пласта; в) учесть историю разработки месторождения.
Задача идентификации гидропроводности по данным истории разработки в двумерной постановке (детерминированный подход) ранее в отечественной практике решалась на электрических и гибридных (аналогово-цифровых) моделях. Разработанный в диссертации регулярный метод идентификации позволяет автоматизировать процесс вычислений с помощью ЭВМ при одновременном решении как прямой,так и обратной задач, то есть в результате идентификации восстанавливаются поле давления и поле гидропроводности.
Практическая ценность. Изложенные в диссертационной работе методы позволяют оценить гидропроводность реальных эксплуатируемых нефтяных пластов как по отдельным участкам,так и в целом по пласту. Они могут найти применение в задачах, связанных с анализом разработки, а также при создании автоматизированных систем машинного проектирования процессов разработки нефтяных месторождений.
Выполненные в работе расчеты по идентификации гидропро-водности опытного участка Еармалинской площади Ромашкинского месторождения переданы в ВШО "Союзнефтепромхим".
Алгоритм идентификации гидропроводности и программа использованы при разработке АСУТП нефтедобычи в СПКБ "Нефтехим-промавтоматика", которая сдана в промышленную эксплуатацию.
Программы, составленные для ЭВМ, могут являться частью пакета прикладных программ в составе математического обеспечения автоматизированных систем проектирования и анализа разработки.
Программа идентификации гидропроводности по данным истории разработки сдана в отраслевой фонд алгоритмов и программ Министерства нефтяной промышленности. Результаты работы могут использоваться во ВНИИ (г.Москва), ТатНИПИнефгь (г.Бугульма) и в других НШШнефгь.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, списка литературы и приложений. В первой главе дается обзор литературы, посвященной задаче определения фильтрационных параметров пласта (§1), анализируются параметры, являющиеся входной информацией, и приводится описательная постановка задач, рассматриваемых в диссертации (§2), отмечается особенность, которую необходимо учитывать при разработке методов решения (§ 3). Во второй главе решается задача оценки гидропроводности участка нефтяного пласта по замерам пластового давления и дебита в скважинах без применения карт изобар, которые содержат большую неустранимую погрешность в способе их построения. Пластовое давление и дебиты, в виде функции плотности отбора, представляются полиномами невысокой степени. На основе этого формулируется математическая постановка (§1).
Во втором параграфе излагается метод решения. Обоснование такого подхода к оценке гидропроводности осуществляется сравнением с решением модельной задачи и сопоставлением с результатами комплексных исследований для конкретного участка Бавлин-ского месторождения (§§ 3, 4).
В третьей главе рассматривается задача определения значений гидропроводности в скважинах с последующей интерполяцией их по пласту в предположении, что функция корень квадратный из гидропроводности вне скважин удовлетворяет условию наименьшей кривизны. Такой подход обусловлен использованием этого условия при решении некоторых практических задач, связанных с оптимизацией разработок нефтяных месторождений. В первом параграфе приводится формулировка задачи. Для вычисления гидропроводности применяется аналитическая зависимость между дебитами, забойным давлением и гидропроводностью. Строится итерационный процесс и указывается достаточное условие сходимости этого процесса независимо от выбора начального приближения (§2). Исследуется влияние ошибок в задании входной информации на точность определения гидропроводности (§3).
В четвертой главе задача определния гидропроводности рассматривается как задача идентификации по данным истории разработки нефтяного пласта. Идентификация по истории разработки заключается в согласовании всех параметров рассматриваемой модели пласта таким образом, чтобы результаты расчетов на некоторый период разработки были близки к фактическим, математичесё кая постановка формулируется как задача условной минимизации функционала уклонений дебитов (§1). Следуя процедуре решения таких задач, вводится функция и множитель Лагранжа, которые позволяют сформулированную задачу свести к задаче безусловной оптимизации и получить условие оптимальности. Далее предлагается алгоритм идентификации (§2).
В третьем параграфе иллюстрируется некорректность задачи определения гидропроводности, В четвертом параграфе осуществляется регуляризация решения наложением определенного условия гладкости на искомую функцию и применением сплайн-интерполяции. Алгоритм проверяется на точном решении модельной задачи и численно исследуется его устойчивость к вариациям во входных данных.
В пятом параграфе приводится сравнение с алгоритмом идентификации, предложенным американскими учеными Чэном, Гавала-сом, Шайнфелдом и Вассерманом в качестве стандартного метода. В шестом параграфе алгоритм, разработанный автором, применяется для индентификации гидропроводности опытного участка конкретного месторождения Татарии.
В заключении диссертации формулируются основные выводы по результатам работы. На защиту выносятся следующие основные положения: 1. Метод идентификации гидропроводности по данным истории разработки посредством минимизации функционала уклонения дебитов с регуляризацией промежуточного решения сплайн-интерполяцией. 2. Метод оценки гидропроводности участка нефтяного пласта на основе аппроксимации входной информации полиномами. 3. Численно-аналитический метод определения гидропроводности пласта с учетом условия наименьшей кривизны при интер поляции вычисленных значений гидропроводности в скважинах. Результаты диссертации опубликованы в статьях /16-21, 64-67/. По отдельным разделам работы делались доклады и сообщения, в том числе на У и УІ Всесоюзных семинарах по численным методам решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (г.Ташкент, 1980 г., г.Фрунзе, 1982 г.),на Всесоюзном семинаре "Методы эффективного извлечения нефти и газа" (г.Новосибирск, 1981 г.), на республиканской конференции молодых ученых (г.Вугулъма, 1981 г.), на I республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (г.Набережные Челны, 1982 г.), на республиканском научно-техническом семинаре "Проблемы автоматизации процессов разработки нефтяных месторождений" (г.Казань, 1983 г.).
Работа выполнена в проблемной лаборатории математического анализа и в лаборатории подземной гидромеханики НИИММ Казанского университета.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Булыгину Владимиру Яковлевичу за неоценимую помощь и поддержку, оказанные при выполнении и написании работы, искреннюю благодарность доценту Чекалину Анатолию Николаевичу за обсуждения и советы, которые автор использовал при выполнении работы, а также членам семинара "Численные методы задач фильтрации" и сотрудникам отдела и лаборатории подземной гидромеханики НИИММ КЕУ за внимание к результатам данной работы.
Особенность задачи определения гидропроводности
Задача определения гидропроводности, как видно из уравнения (1 2), является обратной коэффициентной задачей» Она принадлежит к такому классу математических задач, решение которых неустойчиво к малым изменениям исходных данных, то есть малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям в решении. Так как в практических задачах исходные данные известны приближенно, то неустойчивость может привести к "нефи-зичности" результатов решения, например, э становится отрицательной и не ясно, каким образом интерпретировать смысл полученного решения. Такое решение является следствием плохо поставленной задачи или, как называют, некорректно поставленной, а сама задача принадлежит к классу некорректно поставленных задач.
Понятие корректности постановки математической задачи было сформулировано французским математиком Адамаром /98, 99/. Задача называется корректно поставленной, если выполняются следующие условия: 1. Решение задачи существует. 2. Решение задачи единственно. 3. Решение задачи непрерывно зависит от входных данных. Адамаром были приведены примеры, решение которых не удовлетворяет условиям непрерывности. Он высказал мнение, что они не имеют физического смысла и нет необходимости рассматривать такие задачи. Однако оказалось, что некорректные задачи возникают в различных областях, связанных с приложениями, в частности, задача определения гидропроводности, и эта задача вполне реальна.:
А.Н.Тихоновым в работе /76/ были изложены принципы подхода к постановкам некорректных задач, естественных с точки зрения приложения. На основе этих принципов М.М.Лаврентьевым /50/ было введено понятие корректности по Тихонову. 1. Априори известно, что решение существует. 2. Решение единственно. 3. Решение задачи непрерывно зависит от входных данных. Некорректные задачи получили название условно-корректных задач. Как видно из определения, отличие классического понятия от корректности по Тихонову заключается в том, что при исследовании корректности задачи по Тихонову не доказывается теорема о существовании решения - существование решения предполагается априори из самой физической постановки. А;Н. Тихоновым была предложена теория регуляризации некорректных задач. Основная идея регуляризации заключается в том, что в условия задачи добавляется некоторая качественная информация о решении, например, что решение - достаточно гладкая функция, и из всех возможных решений отыскивается самое гладкое. Такой подход к решению обратных задач позволил принципиально решать обратные задачи. Дальнейшее развитие теория некорректных задач получила в работах ряда авторов /35, 46, 51, 52, 59/;
В задачах определения G из уравнения (I.I) некорректность проявляется в вычислении производной функции Р , так как давление в общем случае можно задать только таблично. При численном дифференцировании иногда приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Естественно, это приводит к тому, что исчезают первые значащие цифры и происходит потеря части достоверных знаков. Особенно это сказывается при вычислении производных высокого порядка. Одним из способов регуляризации операции дифференцирования является регуляризация по шагу, то есть можно найти такой оптимальный шаг, когда операция дифференцирования является корректной» Но величина этого шага может быть такой, что не позволит решать практические задачи. Другим способом регуляризации является дифференцирование предварительно сглаженной кривой. Роль параметра регуляризации играет отношение числа свободных параметров п. аппроксимирующей кривой к числу узлов д/ Для определения гидропровод-ности в постановке I применялся этот метод регуляризации. Также распространенным способом является метод, когда за решение берутся те значения искомой функции, которые доставляют минимум невязке исследуемого оператора или функционалу и удовлетворяют некоторым условиям гладкости. Решение может быть найдено на основе информации о гладкости искомой функции. Такой подход предложен для решения задачи в постановках 2 и 3.
Алгоритм решения задачи на основе аппроксимации полиномами
Окончательно, значение оС0 из (2.7) выражает среднеинтегральное значение гидропроводности участка Э ,/ Остановимся теперь на вопросе определения коэффициентов разложения в (2.3) и (2.4).
Для вычисления коэффициентов Де в разложении функции давления проведем некоторые рассуждения, которые помогут в решении этого вопроса.
Пусть имеем множество пунктов наблюдений М с координатами Хк , у м = /х ,у ,х=/ //1 , образующих некоторую область % , в которых известны значения признака LK(XK ик\ Возникает задача восстановления I fx,y) во всей области %) по дискретным значениям J. :fxMjyM) Естественно, не зная априори свойств признака, нельзя восстановить его однозначно. Поэтому для восстановления (х,у) необходимо предположение о принадлежности исследуемого признака к какому-то классу функций. Класс функций определяется самим исследователем на основе имеющейся априорной исходной информации. Будем считать, что класс функций определен. Тогда возникает следующий этап задачи восстановления: каким способом осуществится это восстановление. При этом возможны различные варианты, например, восстановить дискретно во всей интересующей нас области или же получить решение в виде приближенной формулы,- Если значение этой функции должно участвовать многократно в математических расчетах, то выз?одно иметь формулу. При получении этой формулы ситуация также неоднозначна. Можно функцию восстановить интерполяцией или аппроксимацией. Если значения восстанавливаемой функции определены неточно, из эксперимента, естественнее всего восстанавливать эту функцию не равномерно по точкам, а в среднем, то есть нужно осуществить аппроксимацию. Далее, будем считать, что исследуемый признак можно представить в виде где функции # линейно независимы. При решении таких задач встает вопрос об оптимальном числе членов в (2.9). Для выбора оптимального числа членов обычно поступают так: выбирается некоторое (определяется OL из (2.9),),каким-то образом вычисляется среднеквадратичное уклонение 5т и сравнивается с погрешностью замеров LK Если т »6 , то математическая погрешность аппроксимации много больше погрешности исходных данных, значит, числа членов недостаточно для описания іт , надо увеличить т . Если 6т хє , то старшие коэффициенты аппроксимации физически недостоверны и надо уменьшить rn . То есть, оптимальное число коэффициентов получается при 6т Е . Далее, если бы при замерах наблюдаемого признака не совершалось ошибок или они были малы настолько, что ими можно было пренебречь, то для нахождения е. можно было бы взять столько замеров, сколько неизвестных. Но величины LK , как было отмечено выше, известны неточно, и погрешности замеров войдут в решение задачи. Для того, чтобы сгладить эти ошибки, рекомендуется число замеров и, следовательно, число уравнений брать больше, чем число неизвестных. То есть, хорошее сглаживание ошибок эксперимента происходит при т « л// , Но если т слишком мало, то для описания поверхности коэффициентов может не хватить. Тогда окончательно можно сказать, что если єт Є и при этом т АМ , то вид аппроксимирующей функции выбран удачно. При гп л// получается система уравнений вида
Особенностью этой системы является то, что система несовместна. Невозможно подобрать такие значения &е $ чтобы выполнялись одновременно все уравнения системы (2.10). Следовательно, для каких-то значений a будем иметь где «5]е - невязка к-го уравнения. Из-за несовместности системы (2.10) возникает вопрос о способе решения полученной системы или о том, каким образом определить о Считая, что исходная информация замеряется с одинаковой достоверностью, для нахождения коэффициентов разложения ае можно применить принцип Ле-жандра /95/, который гласит: "... если дана система равноточных условных уравнений, то условимся искать неизвестные так, чтобы сумма квадратов невязок была наименьшей". Или, по-другому, коэффициенты & определяются при помощи метода наименьших квадратов. Значения неизвестных из этого условия получаются наиболее вероятными. Согласно этому принципу сумма квадратов невязок равна
Отсюда, для определения коэффициентов разложения (2.9) получается так называемая нормальная линейная алгебраическая система уравнений, в которой число неизвестных совпадает с числом уравнений
В виду того, что сумма квадратов невязок является квадратичной формой аргументов &е и положительна, существует минимум J , и- решение системы нормальных уравнений определяет этот минимум. Отнеся эти рассуждения к восстановлению пластового давления, коэффициенты /)е fi = 5 rn) из (2.3) можно определить по замерам пластового давления Рк в скважинах, зная их координаты хк , у , (к 4, 4] /-/ л/) . Составив систему, аналогичную (2.10), подставляя Хк ,J4- и Р/ в (2.3) для /r=/,V/ будем иметь
В предположении, что (2.12) является переопределенной, согласно (2.II) составим нормальную систему уравнений. Для этого необходимо минимизировать невязку функционала
Численный пример
Как видно из математической формулировки, задача восстановления гидропроводности рассматривается как задача УСЛОВНОЕ минимизации функционала Следуя процедуре решения таких задач, нужно получить условие оптимальности и построить алгоритм решения поставленной задачи. Для выбора условия оптимальности применим математический аппарат теории оптимального управления. Составим функцию Лагранжа задачи (4.1 - 4.3) /22/ где у - множитель лагранжа, v - символ двумерного градиента. Функция и множитель лагранжа позволяют получить условие оптимальности в задаче на условный экстремум как условие оптимальности безусловного экстремума.1 В силу того, что в оптимальной точке выполняется условие стационарности bL o , где 5L - вариация функции Лагранжа, представляющая собой линейную часть приращения этой функции, определим, каким условиям должен удовлетворять множитель Лагранжа в оптимальной точке. Для того, чтобы получить формулу вариации функции Лагранжа, необходимо записать вариацию выражений из правой части (4.5). Вариация искомой функции б на величину 56 повлечет изменение Р на ЬР . Тогда вариация 5Р будет определяться решением следующего уравнения
Следовательно, выполнение условий (4.10 - 4.14), накладываемых на множитель Лагравжа, влечет за собой равенство Ус -о , что является условием оптимальности в задаче (4.1 - 4.3). Таким образом, при помощи множителя Лагранжа - сопряженной функции - также выводится формула градиента нашего функционала, которая может использоваться для применения градиентного метода минимизации Как видно, для получения градиента функционала J при фиксированной о нужно решить две краевые задачи: сначала из (4 2), (4.3) определить Р , вычислить 9К по формуле (4.4), а затем найти У , решив задачу (4.10 - 4.13). Тогда, зная распределение Р и у , можно вычислить градиент. Для численного решения краевых задач обычно используют метод конечных разностей.
Как известно, этот метод остается одним из эффективных способов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Применение метода предполагает следующие действия:
Покрытие рассматриваемой области сеткой, то есть область непрерывного изменения заменяется областью дискретного изменения 2. Замена дифференциального оператора, краевых и начальных условий разностным аналогом.
Также надо заметить, что при замене необходимо учитывать особенности решаемой задачи: 1 Область многосвязна. 2; В окрестности каждой скважины существует воронка депрессии давления.
Следовательно, трудность применения метода сеток в решении задач (4.2 - 4.3) заключается: В малости внутренних границ Гк(к = / л/0 по сравнению с внешней Г . В учете особенности поведения давления в окрестности скважины.
Для получения разностных схем, как рекомендуется в /72/, необходимо исходить из уравнений баланса, записанных для элементарных ячеек сеточной области. Входящие в это уравнение баланса интегралы и производные заменяются приближенными разностными выражениями.
Покроем область квадратной сеткой со стороной Будем считатьг что скважины о координатами Хх, у к С к - /, vD попадают в узлы сетки (рис.3JL Для аппроксимации уравнения (4.2) определим шаблон(рис.4) (неявная схема).
Сравнение с алгоритмом идентификации Чэна, Гаваласа, Шайнфелда и Вассермана
Этот функционал носит название "функционал Тихонова". Задача минимизации функционала (4.59) при каждом п = 4,2,.. оказывается более "корректной", чем исходная для определенных значений d-п. , Соответствующее значение параметра регуляризации будет определяться согласованием со значением величины , характеризующей точность решения задачи минимизации. При решении практических задач приходится иметь дело не с точными значениями J и -Q , а их приближениями Jn. и -О. и , а = у72 . . функционал Тихонова в этом случае будет иметь вид тогда для того, чтобы последовательность { п\ минимизировала J(z) , необходимо обеспечить согласованное изменение четырех величин обг, бл» $п., Ят., являющихся параметрами метода: некоторая неотрицательная последовательность, стремящаяся к нулю и позволяющая согласовать погрешности в задании j со стабилизатором -& некоторая последовательность о ип / , которая при больших значениях S1 характеризует относительную погрешность в задании этого функционала.
Отсюда видно, что практическое применение метода стабилизации по Тихонову для решения некорректных задач минимизации является сложной задачей /22/. Поэтому предлагается следующий способ регуляризации (по существу он близок к регуляризации по Тихонову): на искомое решение накладывается определенное условие гладкости. Предположим, что гидропроводность удовлетворяет условию лУб=0 Из результатов предыдущего параграфа известно, что гидропроводность в области больших градиентов давления (преимущественно в окрестности скважин) восстанавливается достаточно, точно. Тогда можем считать, что гидропроводность в скважинах известна. И для определения гидропроводнооти по пласту возникает задача, аналогичная задаче из главы Ш. Решив эту задачу и получив распределение гидропроводности, используем это решение в ка-честве нулевого приближения для задачи идентификации. Далее, решая задачу идентификации, получим окончательное распределение гидропроводности и давления в пласте. Таким образом, гидропроводность в зоне малых градиентов давления будет удовлетворять условию ( Af?=o ), а в зоне больших градиентов - уточняться. Алгоритм идентификации с регуляризацией решения таков: 1. Задается начальное приближение гидропроводности бґо) . 2. Решается численно уравнение (4.2) с условиями (4.3) в интервале времени от і = і0 до і = Т по приближенным формулам (4.26 - 4.33). 3. По формуле (4.22) вычисляются значения он и оценивается функционал (4.1). При выполнении условия оценки функционала -переход к пункту 9, если нет, то к пункту 4. 4. Решается уравнение (4.10) с условиями (4.ІІ - 4.13) в интервале времени от і -Т до г =4 по формулам (4.34 --4.41). 5. Вычисляем градиент функционала по формулам (4.42 - 4.45). 6. Минимизируется функционал ( -) и определяется длина шага Г из (4.49). 7. Вычисляется 5Гп ; (п+4) - ое приближение по формуле (4.46). 8; Проверяется условие \бСп - Є 4 Если условие выполнено - переход к пункту 9. В противном случае - к пункту 2. 9. По полученным значениям $("+ ) в окрестности скважин вычисляется гидропроводность в скважинах как их среднее арифметическое. С использованием этих значений гидропроводности осуществляется сплайн-интерполяция по всему пласту по формулам (3.17-3.20). Принимая это распределение снова на нулевое приближение, переходим к пункту 2. Вторичное обращение к пункту 9 из пунктов 3 или 8 является признаком конца итерационного процесса в целом. Вычисленные значения гидропроводности принимаются за решение задачи.
В рамках входных данных и тех же условий из итераций, что _ и для решения задачи без регуляризации, по данному алгоритму проведен численный расчет. Результаты расчета иллюстрируют графики под номером 4 на рис.10 и II. Регуляризованное и точное решения совпадают практически с точностью до построения графиков. Средне-квадратичное отклонение приближенного решения от тoбГo составило 0.048 -1— При этом максимальная относительная погрешность равнялась 2$. Этот факт позволяет сделать предположение о сходимости предлагаемого алгоритма идентификации.