Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обзор литературы и анализ состояния вопроса 11
Выводы по главе 1 24
Глава 2 Уравнения движения вязкого газа 25
2.1 Анализ характеристик уравнений Навье-Стокса, Эйлера и Грэда 25
2.2 Нормировка уравнений, переход к обобщенной криволинейной системе координат 42
Выводы по главе 2 47
Глава 3 Разностные схемы для уравнений движения вязкого газа 48
3.1 Общий подход к построению схем 48
3.2 Расчетная сетка 64
3.3 Граничные условия 77
Выводы по главе 3 79
Глава 4 Проверка достоверности разработанного метода 80
4.1 Программная реализация 80
4.2 Результаты расчетов 81
4.2.1 Пограничный слой на пластине. Профиль Блазиуса 82
4.2.2 Течение в плоском канале 87
4.2.3 Обтекание кругового цилиндра. Кривая сопротивления 90
4.2.4 Обтекание цилиндра с разделительной пластиной 104
4.2.5 Ламинарное обтекание профиля NACA0012 107
Выводы по главе 4 110
Заключение 111
Библиографический список использованной литературы 115
- Нормировка уравнений, переход к обобщенной криволинейной системе координат
- Пограничный слой на пластине. Профиль Блазиуса
- Обтекание кругового цилиндра. Кривая сопротивления
- Ламинарное обтекание профиля NACA0012
Введение к работе
В последние годы в области вычислительной гидродинамики интенсивно развиваются исследования по моделированию нестационарных течений вязкого теплопроводного газа без использования каких-либо моделей турбулентности. Изучение этого класса течений имеет большую самостоятельную научную ценность, поскольку позволяет разобраться в физических механизмах переходных процессов внутри газовых потоков. В свою очередь, знание этих механизмов может быть использовано в других областях динамики газа и жидкости, например, при создании новых математических моделей турбулентности. К таким течениям можно отнести формирование потока около неподвижного тела, качественное изменение характера течения за телом с образованием упорядоченного движения, имеющего периодический характер, разрушение нестационарного периодического движения и т.п. Ситуации, при которых происходят качественные изменения характера течений, определяются пока недостаточно точно, а достоверность получаемых результатов вызывает сомнения, когда речь идет, к примеру, об образовании вторичных вихревых структур в периодических нестационарных потоках.
Интерес в этой области стимулируется значительной практической потребностью, а также существенным прогрессом в создании быстродействующих компьютеров. В связи с этим ведутся разработки новых физико-математических моделей, пригодных для описания этого класса течений, а также новых подходов к их численному решению. В аэрогидромеханике эти модели основаны на системах дифференциальных уравнений в частных производных. Как правило, более глубокие модели приводят к более сложным системам уравнений. Иногда возникают ситуации, когда отсутствуют методы численного решения таких уравнений. Примером могут служить 13-ти моментные уравнения Г. Грэда [1]. Применение методов, основанных на использовании центрально-разностных
5 аппроксимаций производных, входящих в эту систему [2], сопровождается нежелательными численными осцилляциями решения, что во многих случаях приводит к численной неустойчивости. Применение же противопоточных аппроксимаций не может быть реализовано на основе известных методов решения [3].
Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена потребностью в методах, позволяющих численно моделировать физические процессы, протекающие в быстро изменяющихся течениях вязкого газа, на основе более глубоких физико-математических моделей.
Цель диссертационной работы заключается в создании новых численных методов решения систем моментных уравнений, сравнительном моделировании плоских нестационарных потоков вязкого теплопроводного газа на основе численного решения уравнений Навье-Стокса и систем моментных уравнений и установлении зависимостей интегральных и локальных характеристик от критериальных параметров.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать обобщенный метод численного решения систем моментных уравнений;
Разработать различные способы перехода от дифференциального уравнения к разностному аналогу в рамках разработанного метода и исследовать свойства полученных разностных схем;
Установить связь разработанного метода с известными методами численного решения уравнений газовой динамики и определить пределы его применимости;
В рамках общего метода моментов и метода Грэда обосновать новую 10-ти моментную систему "макроскопических" уравнений, сохраняющую большую часть характерных особенностей 13-ти моментной системы уравнений;
Создать комплекс программ для расчета плоских течений вязкого газа на основе уравнений Навье-Стокса и 10-ти моментной системы уравнений и провести проверку достоверности разработанного метода и созданного комплекса программ;
Провести численное исследование ряда плоских течений вязкого газа на основе разработанного метода и созданного комплекса программ;
На основе сравнительного анализа решений уравнений Навье-Стокса и 10-ти моментной системы уравнений выяснить причины и механизмы возникновения отрывных нестационарных течений.
Структура работы соответствует поставленным в ней цели и задачам. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе рассмотрены различные уровни описания газовых потоков. Подробно рассмотрены кинетический, основанный на уравнении Больцмана, и газодинамический, основанный на уравнениях Навье-Стокса, уровни описания. Показано, каким образом при использовании асимптотических методов решения уравнения Больцмана из него могут быть получены уравнения Навье-Стокса, а при использовании моментных методов - уравнения Грэда. Дан анализ существующих методов численного интегрирования уравнений Больцмана и Навье-Стокса. Описаны новые модели и разностные методы, построенные для гидродинамического уровня на основе уравнения Больцмана или его моделей. Отмечены некоторые существенные особенности, возникающие при использовании уравнений Навье-Стокса для описания газовых потоков в сравнении с уравнениями Грэда. Показана необходимость использования систем моментных уравнений в случае быстро изменяющихся течений.
Во второй главе дан подробный анализ характеристик уравнений Навье-Стокса и Грэда. Этот анализ подтверждает выводы Грэда о том, что диффузия типа Навье-Стокса маскирует конечную скорость распространения слабых возмущений. Обосновано новое 10-ти моментное приближение,
7 полученное замыканием последовательности моментных уравнений на основе метода Грэда и закона Фурье. В конце этой главы приведены различные формы записи используемых уравнений в безразмерном виде и обобщенных координатах.
В третьей главе описан общий подход к построению разностных схем, основанный на линейном преобразовании систем дифференциальных уравнений в частных производных к соотношениям между полными производными от искомых макроскопических переменных, т.е. фактически -к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью этого метода построено семейство разностных схем различного порядка аппроксимации (от 1-го до 3-го) для 10-ти моментной системы уравнений. Показана принципиальная неприменимость для решения этих уравнений других известных методов. Описаны способы построения расчетных сеток со сгущением узлов в заданных областях пространства и реализации граничных условий непротекания, прилипания и физического скольжения.
В четвертой главе описана структура созданного программного комплекса решения уравнений Навье-Стокса и 10-ти моментной системы уравнений. Приведены результаты решения ряда плоских задач, подтверждающие достоверность разработанного метода и работоспособность созданного комплекса программ. Впервые обнаружен ряд физических закономерностей, имеющих место при возникновении периодических нестационарных потоков, характерных только для 10-ти моментных уравнений. Приведены результаты решения задачи о снижении сопротивления и подъемной силы цилиндра при размещении в его кормовой части разделительной пластины. На основе созданного комплекса программ определены аэродинамические характеристики профиля NACA0012 в ламинарном дозвуковом потоке газа.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.
Разработан обобщенный метод решения гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных, характеристическая форма которых является многочленом более чем четвертой степени. В основу метода положена аппроксимация соотношений между полными производными от искомых макроскопических переменных.
Обосновано новое 10-ти моментное приближение, сохраняющее многие характерные особенности 13-ти моментного приближения Грэда, но отличающееся большей простотой.
Разработанный метод применен к решению 10-ти моментной системы уравнений.
Моделирование ряда плоских задач (течение Блазиуса, течение в плоском канале, обтекание цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса ю < Re < 500, обтекание цилиндра с разделительной пластиной, обтекание крылового профиля) впервые осуществлено на основе 10-ти моментной системы уравнений.
Обнаружено взаимодействие вихрей, расположенных в кормовой части цилиндра, при режимах течения предшествующих возникновению периодического движения, характерное только 10-ти моментным уравнениям. Высказано предположение об отсутствии бифуркаций в решеНИЯХ 10-ТИ МОМеНТНОЙ СИСТеМЫ При ЧИСЛаХ РеЙНОЛЬДСа Re <500.
Воспроизведен эффект локального увеличения коэффициента сопротивления цилиндра Сх при Re-100.
Достоверность разработанного метода подтверждается всесторонним тестированием созданного комплекса программ, сравнением результатов с численными решениями уравнений Навье-Стокса на основе близких численных методов при одинаковых граничных условиях, на одних и тех же расчетных сетках, а также с теорией или экспериментом.
Теоретическая значимость диссертации состоит в том, что исследование физических закономерностей, имеющих место при
9 возникновении периодических нестационарных потоков, вносит определенный вклад в теорию устойчивости движения вязкого теплопроводного газа. Результаты настоящей работы могут найти широкое применение в области численного моделирования течений разреженного газа и теории разностных схем.
Практическая ценность работы: на основе разработанного метода создан исследовательский комплекс программ для решения 10-ти моментной системы уравнений на языке Фортран-90; на основе близкого разностного метода созданный комплекс дополнен программами для решения уравнений Навье-Стокса; комплекс позволяет моделировать плоские внутренние и внешние течения около тел простых геометрических форм с криволинейной границей (эллиптический цилиндр, аэродинамический профиль и т.п.); комплекс позволяет определять аэродинамические характеристики описанных тел, благодаря чему его можно использовать при проведении исследовательских и проектных работ; эффективность и экономичность алгоритма позволяют использовать его на персональных компьютерах, все модули комплекса независимы и имеют единую структуру представления данных.
Численные расчеты проводились на персональном компьютере с процессором Intel Pentium 4, 2.4 ГГц.
Апробация результатов диссертации.
Основное содержание диссертации опубликовано в трех научных статьях и двух тезисах докладов. Кроме этого, материалы диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку: 1. на 4-ой международной конференции "Авиация и космонавтика-2005", посвященной 75-летию МАИ (Москва, МАИ, 2005 г.);
10 на объединенном семинаре кафедр аэродинамики летательных аппаратов и вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (Москва, МАИ, 2006 г.); на семинаре Вычислительного центра имени А.А. Дородницына Российской академии наук (Москва, ВЦ РАН, 2006 г.); на семинаре профессора Г.А. Тирского (Москва, Институт механики МГУ, 2006 г.); на международной научно-технической конференции "Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества", посвященной 35-летию МГТУ ГА (Москва, МГТУ ГА, 2006 г.).
Нормировка уравнений, переход к обобщенной криволинейной системе координат
Прежде чем перейти к следующему разделу, посвященному описанию разностных методов решения систем (2.1.7) и (2.1.18), заметим, что они представлены в размерном виде и в декартовой системе координат. Использование уравнений в размерном виде крайне неудобно, поскольку все аэродинамические характеристики являются функциями безразмерных критериев подобия, чисел Маха М, Рейнольдса Re, Прандтля Рг и др. Приведем систему уравнений (2.1.7) к безразмерному виду, пренебрегая действием внешних массовых сил / = о. Координаты точек физического пространства х ,у = х,у/ь отнесем к характерной длине тела L. Время / /(L/COO) нормируем на характерное время Ыс , где сю - скорость звука в набегающем потоке. Плотность и скорость отнесем к параметрам невозмущенного потока на бесконечности р = р/роо, v ,v = v,v/cM. Давление и температуру на некоторые комплексы, выраженные в тех же единицах измерения, что и сами параметры / = / /(Р«) ), т = т/[с /сРх), сРа -теплоемкость при постоянном давлении. Так же поступим и с коэффициентами вязкости и теплопроводности ц ц/цда, х = х/Хоо, с р=ср/сРа). Первое уравнение системы, описывающее перенос массы, при этом полностью обезразмерится РосС системы, описывающие перенос количества движения, после нормировки множителем Иоо «) BMSB-=1L где _ скорость набегающего потоке. Последнее уравнение, описывающее перенос энергии, после нормировки после сокращения одинаковых сомножителей, получим /? =—с р Г.
Для краткости далее штрихи у безразмерных переменных и индекс бесконечности у критериев подобия будем опускать. Тогда в системе уравнений (2.1.7) свой вид изменит только вектор правых частей уравнения Аналогичным образом может быть нормирована и 10-ти моментная система уравнений (2.1.18). Для конвективных членов этой системы практически все выводы сохраняют свою силу, особенности возникают лишь при обезразмеривании релаксационных членов, в частности, параметра g(2)= p ддЯ слагаемых правых частей системы, в которые входит этот член, имеем ш_—г оо со = — = — где Кп _ число Кнудсена. Далее все то же самое, компоненты вектора Q и элементы матриц А И В обезразмерятся, но вид их останется прежним. Вектор н правых частей системы (2.1.18) дополнится сомножителями, состоящими из критериев подобия Решение задач аэродинамики численными методами в декартовой системе координат имеет ряд достоинств, но в то время содержит один большой недостаток - низкую точность расчетов. Точность во многом зависит от качества представления поверхности тела. На этом мы остановимся более подробно в третьей главе в разделе "Расчетная сетка". Пока же ограничимся записью основных систем уравнений (2.1.7) и (2.1.18) в обобщенной криволинейной системе координат \ = ъ,{х,у), ті = гі(;с,.у). Сделать это достаточно просто, необходимо лишь воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и привести подобные слагаемые.
В этих новых координатах обе системы уравнений могут быть также записаны в едином общем виде Вектор независимых переменных и матрицы коэффициентов для системы уравнений Навье-Стокса выглядят как где для краткости нижним индексом обозначены частные производные по старым и новым независимым переменным. Аналогично для 10-ти моментной системы уравнений (2.1.18) будем иметь: Система уравнений Навье-Стокса и 10-ти моментная система были записаны в так называемой недивергентной форме. В дальнейшем нам потребуется еще одна форма записи системы уравнений (2.2.3) Такая форма записи уравнений, являющаяся почти строго дивергентной, используется обычно при расчете течений с ударными волнами сложной пространственной структуры. Для уравнений Навье-Стокса она может быть получена с использованием некоторых дифференциальных метрических тождеств, при этом вектора независимых переменных и потоков равны
Пограничный слой на пластине. Профиль Блазиуса
Несмотря на кажущуюся простоту, эта задача содержит несколько скрытых особенностей, которые проявят себя, если вспомнить ее классическую постановку. Длина пластины была принята бесконечной, а поскольку скорость стационарного течения должна быть постоянной, то давление р должно быть также постоянно -7- = 0] вдоль пластины. Но бесконечно протяженных пластин не бывает, у всех пластин имеется начало и конец. Чтобы воспроизвести эти условия в численном эксперименте, необходимо таким образом задать расчетную область, чтобы по возможности избежать влияния передней кромки пластины на профиль течения внутри пограничного слоя. Однако полностью устранить это влияние не представляется возможным. Область расчетов зададим как показано на рис. 4.2.1. Длину L пластины, расположенной вдоль линии ВС, примем равной единице. Помимо уже рассмотренных в параграфе 3.3 условий, в этой задаче задаются дополнительные граничные условия на линиях АВ, DE, ЕА и CD. На АВ ставятся условия симметрии — = о, где f = (р,и,р,ру), компонента v = o, эти же условия задаются на линии DE. На ЕА для компонент вектора / = (р,и,у) задаются условия в невозмущенном потоке, а давление и касательные Наконец, на CD ставятся полностью "мягкие" граничные условия —- = о, дх2 f = (p,u,v,p,pjj). На поверхности пластины ВС задаются условия прилипания или скольжения потока. В невозмущенном потоке число Маха м = о.з, а число Рейнольдса, подсчитанное по длине пластины Re = iooo. В расчетах использовалась прямолинейная расчетная сетка со сгущением сеточных узлов. Разрешение сетки задавалось исходя из условия малости изменения результатов расчетов при дальнейшем ее измельчении. Сгущение сеточных узлов проводилось в окрестности носика пластины и около ее поверхности. Законы сгущения узлов приведены в параграфе 3.2. Длина и высота расчетной области равны 8Z,.
Перейдем к результатам расчетов. Им соответствует расчетная сетка с разрешением 101x101 узлов. Сгущение узлов в поперечном направлении было выбрано таким, чтобы в исследуемом сечении обеспечить разрешение вязкого слоя газа не менее чем на 30-ти узлах расчетной сетки. На рис. 4.2.2 и 4.2.3 приведены профили горизонтальной и{у) и вертикальной v(y) компонент вектора скорости, определенные из решений уравнений Навье-Стокса -сплошная линия и 10-ти моментной системы уравнений - штриховая линия, для двух описанных типов граничных условий на поверхности пластины. Ромбики соответствуют распределению скоростей по Блазиусу, решение построено на основе таблиц численного интегрирования уравнения для безразмерной функции тока, приведенных в [69]. Видно хорошее согласие между всеми приведенными результатами. Профили взяты на расстоянии 0.563Z. от передней кромки пластины.
Скорость скольжения имеет столь малое значение uw -0.002, что практически не заметна на рис. 4.2.3, а влияние ее на профиль скорости ничтожно мало. Взятое из теории пограничного слоя решение для распределения скоростей легко позволяет вычислить и сопротивление трения. Согласно [69] местный коэффициент трения равен Cf = 0.664 , где Rex - число Рейнольдса, определенное по расстоянию х от передней кромки пластины. Из рис. 4.2.4 и Как и следовало ожидать, при установившемся течении 10-ти моментные уравнения дают близкие с уравнениями Навье-Стокса и теорией пограничного слоя результаты, что подтверждает работоспособность и достоверность как метода TD, так и созданных программных модулей. Дополнительно было обнаружено, что повышение порядка аппроксимации численного дифференцирования до третьего делает решения, полученные на основе 10-ти моментной системы уравнений, еще более монотонными и более близкими к решениям, полученным на основе уравнений Навье-Стокса. Погрешность в балансе расхода газа в расчетах не превышала 2%. Разностные схемы, используемые при решении 10-ти моментной системы и уравнений Навье-Стокса, были исследованы на сходимость и порядок аппроксимации при Re = io, м = 0.1. Для этого был проведен расчет течения на пластине с различными сетками, но до одного и того же физического момента времени. Были использованы расчетные сетки в 51, 101, 201 и 401 узлов поперек потока. Распределение сеточных узлов поперек потока задавалось равномерным, а вдоль потока узлы сетки сгущались в окрестности носика пластины. Были построены зависимости величин продольной скорости и напряжения трения в фиксированных точках, взятых в потоке и на поверхности пластины, в зависимости от шага сетки А. По характеру поведения этих зависимостей при приближении шага сетки к нулю можно судить о порядке аппроксимации разностных схем. Из рис. 4.2.6 видно, что кривые сходимости имеют нелинейный характер, а при уменьшении шага сетки в два раза погрешность расчетов, например, на основе уравнений Навье-Стокса снижается примерно в четыре раза. Следовательно, используемые в расчете разностные схемы имеют второй и более высокий порядок аппроксимации.
Обтекание кругового цилиндра. Кривая сопротивления
Для проверки достоверности разработанного метода проведем численное моделирование течения около кругового цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса o.i Re soo (Re = Pco" , D- диаметр цилиндра) и при этом Цоо особое внимание уделим периодическому отрывному течению [70]. Большое число работ посвящено экспериментальному изучению явлений периодического схода вихрей, которое называют "дорожкой Кармана" [71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78]. Результаты многочисленных экспериментальных исследований обтекания цилиндра представлены в [79]. Численное решение задачи о периодическом течении вокруг цилиндра можно найти в работах [80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87]. Полученные различными авторами результаты свидетельствуют о том, что частоту схода вихрей или число Струхаля можно достаточно точно определить даже на относительно грубых сетках [81]. Сопротивление цилиндра в диапазоне низких чисел Рейнольдса Re 200 в целом удовлетворительно согласуется с экспериментом. Однако тонкий эффект, полученного в опытах местного увеличения сопротивления при числе Re юо, в численных расчетах практически не воспроизводится [80, 86, 87]. Детальный расчет в следе за цилиндром требует построения адаптивных сеток с максимальным количеством узлов вблизи поверхности цилиндра и в области следа за ним [49, 80, 84, 85]. В настоящей работе задача о моделировании течения около кругового цилиндра решалась с использованием адаптивных криволинейных расчетных сеток О-типа, построение которых описано в параграфе 3.2.
Большинство расчетов было выполнено на сетках с разрешением 151x91 узлов; дополнительно для контроля сходимости результатов были выполнены расчеты при числах Re = 200 и зоо на сетке с разрешением 151x121 узлов. Отличие результатов при этом составило менее 1.5%. Внешняя граница расчетной области располагалась на расстоянии ae=be \5D (рис. 3.2.1) от цилиндра, где о = 1. Узлы расчетной сетки сгущались к поверхности цилиндра таким образом, что вязкий слой газа разрешался не менее чем 30-ю узлами. На внешней границе расчетной области поток полагался неизменным, на поверхности цилиндра реализовывались условия прилипания, см. параграф 3.3. Перечень всех расчетных режимов приведен в таблице 4.2.1. Помимо режимов в этой таблице приведены средние по времени значения безразмерного коэффициента силы сопротивления цилиндра Сх, полученные при решении задачи на основе уравнений Навье-Стокса (Navier_S) и 10-ти моментной системы уравнений (Grad_10). Отсутствие некоторых значений в столбцах этой таблицы свидетельствует о том, что расчеты при указанных параметрах не проводились. Коэффициент силы сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса изменяется немонотонно, что свидетельствует о сложных и многообразных процессах, протекающих в потоке. Приведенные в таблице 4.2.1 результаты были наложены на обобщенную экспериментальную кривую [88] (см. рис. 4.2.24). Когда число Рейнольдса Re очень мало, поток стационарен, скорость в любой его точке постоянна, и он плавно обтекает цилиндр. Однако ни распределение скорости, ни распределение давления не похожи на эти распределения в потенциальном потоке. Давление, к примеру, при Re = o.i изменяется по линейному закону.
Вязкий поток увлекает за собой цилиндр (см. рис. 4.2.23 случаи (а) и (Ь)), величина коэффициента сопротивления при этом очень велика (см. рис. 4.2.24 Re = o.i и Re = 0.4). Видно, что оба уравнения дают близкие результаты. Если немного увеличить скорость потока, так, чтобы число Рейнольдса стало больше четырех, происходит качественное изменение потока: за цилиндром возникнут вихри. Картины линий тока на фоне полей скорости и давления для исследуемых уравнений, приведены на рис. 4.2.11 и 4.2.12. В правой части этих рисунков приведены результаты решения 10-ти моментной системы уравнений. Из них видно, что полученные решения опять полностью совпадают. На рис. 4.2.13 приведено распределение коэффициента давления ср вдоль поверхности цилиндра в сравнении с данными экспериментов [79]. Расчетные зависимости лежат где-то между экспериментальными кривыми для чисел Re = 9.0 И Re = 11.2. Небольшое расхождение свидетельствует о наличии некоторых переходных процессов в потоке, но в целом совпадение с данными экспериментов можно считать весьма неплохим. Таким образом, приведенные результаты расчетов подтверждают достоверность разработанного нами метода и работоспособность созданного комплекса программ. Интересно заметить, что программный модуль Grad_2D.f90 содержит примерно в 3.5 раз больше операторов, чем модуль NavieS_2.f90. Более детальная картина линий тока в кормовой части цилиндра при Re = ю.5 представлена на рис. 4.2.14. В решении, полученном на основе 10-ти моментной системы уравнений, заметно наличие механизма взаимодействия вихрей, который в решениях уравнений Навье-Стокса полностью отсутствует. наблюдалось, что свидетельствует о малости потоков перечисленных величин. Из экспериментов хорошо известно, что при числах Re 40, характер движения претерпевает кардинальное изменение. При превышении этого порогового значения скорость в любой точке потока изменяется со временем, а стационарное решение отсутствует. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью; при этом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Эти вихри поочередно отходят то с одной, то с другой стороны цилиндра, и в какой-то момент поток выглядит приблизительно так, как показано на рис. 4.2.23(d). За цилиндром образуется вихревая дорожка Кармана. Точки в пространстве параметров задачи, при которых происходят качественные изменения характера решений, получили название точек бифуркации, а соответствующие им значения параметров -критических значений.
Ламинарное обтекание профиля NACA0012
Для проверки достоверности разработанного метода проведем численное моделирование течения около кругового цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса o.i Re soo (Re = Pco" , D- диаметр цилиндра) и при этом Цоо особое внимание уделим периодическому отрывному течению [70]. Большое число работ посвящено экспериментальному изучению явлений периодического схода вихрей, которое называют "дорожкой Кармана" [71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78]. Результаты многочисленных экспериментальных исследований обтекания цилиндра представлены в [79]. Численное решение задачи о периодическом течении вокруг цилиндра можно найти в работах [80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87]. Полученные различными авторами результаты свидетельствуют о том, что частоту схода вихрей или число Струхаля можно достаточно точно определить даже на относительно грубых сетках [81]. Сопротивление цилиндра в диапазоне низких чисел Рейнольдса Re 200 в целом удовлетворительно согласуется с экспериментом. Однако тонкий эффект, полученного в опытах местного увеличения сопротивления при числе Re юо, в численных расчетах практически не воспроизводится [80, 86, 87]. Детальный расчет в следе за цилиндром требует построения адаптивных сеток с максимальным количеством узлов вблизи поверхности цилиндра и в области следа за ним [49, 80, 84, 85]. В настоящей работе задача о моделировании течения около кругового цилиндра решалась с использованием адаптивных криволинейных расчетных сеток О-типа, построение которых описано в параграфе 3.2. Большинство расчетов было выполнено на сетках с разрешением 151x91 узлов; дополнительно для контроля сходимости результатов были выполнены расчеты при числах Re = 200 и зоо на сетке с разрешением 151x121 узлов. Отличие результатов при этом составило менее 1.5%.
Внешняя граница расчетной области располагалась на расстоянии ae=be \5D (рис. 3.2.1) от цилиндра, где о = 1. Узлы расчетной сетки сгущались к поверхности цилиндра таким образом, что вязкий слой газа разрешался не менее чем 30-ю узлами. На внешней границе расчетной области поток полагался неизменным, на поверхности цилиндра реализовывались условия прилипания, см. параграф 3.3. Перечень всех расчетных режимов приведен в таблице 4.2.1. Помимо режимов в этой таблице приведены средние по времени значения безразмерного коэффициента силы сопротивления цилиндра Сх, полученные при решении задачи на основе уравнений Навье-Стокса (Navier_S) и 10-ти моментной системы уравнений (Grad_10). Отсутствие некоторых значений в столбцах этой таблицы свидетельствует о том, что расчеты при указанных параметрах не проводились. Коэффициент силы сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса изменяется немонотонно, что свидетельствует о сложных и многообразных процессах, протекающих в потоке. Приведенные в таблице 4.2.1 результаты были наложены на обобщенную экспериментальную кривую [88] (см. рис. 4.2.24). Когда число Рейнольдса Re очень мало, поток стационарен, скорость в любой его точке постоянна, и он плавно обтекает цилиндр.
Однако ни распределение скорости, ни распределение давления не похожи на эти распределения в потенциальном потоке. Давление, к примеру, при Re = o.i изменяется по линейному закону. Вязкий поток увлекает за собой цилиндр (см. рис. 4.2.23 случаи (а) и (Ь)), величина коэффициента сопротивления при этом очень велика (см. рис. 4.2.24 Re = o.i и Re = 0.4). Видно, что оба уравнения дают близкие результаты. Если немного увеличить скорость потока, так, чтобы число Рейнольдса стало больше четырех, происходит качественное изменение потока: за цилиндром возникнут вихри. Картины линий тока на фоне полей скорости и давления для исследуемых уравнений, приведены на рис. 4.2.11 и 4.2.12. В правой части этих рисунков приведены результаты решения 10-ти моментной системы уравнений. Из них видно, что полученные решения опять полностью совпадают. На рис. 4.2.13 приведено распределение коэффициента давления ср вдоль поверхности цилиндра в сравнении с данными экспериментов [79]. Расчетные зависимости лежат где-то между экспериментальными кривыми для чисел Re = 9.0 И Re = 11.2. Небольшое расхождение свидетельствует о наличии некоторых переходных процессов в потоке, но в целом совпадение с данными экспериментов можно считать весьма неплохим. Таким образом, приведенные результаты расчетов подтверждают достоверность разработанного нами метода и работоспособность созданного комплекса программ. Интересно заметить, что программный модуль Grad_2D.f90 содержит примерно в 3.5 раз больше операторов, чем модуль NavieS_2.f90. Более детальная картина линий тока в кормовой части цилиндра при Re = ю.5 представлена на рис. 4.2.14. В решении, полученном на основе 10-ти моментной системы уравнений, заметно наличие механизма взаимодействия вихрей, который в решениях уравнений Навье-Стокса полностью отсутствует. наблюдалось, что свидетельствует о малости потоков перечисленных величин. Из экспериментов хорошо известно, что при числах Re 40, характер движения претерпевает кардинальное изменение. При превышении этого порогового значения скорость в любой точке потока изменяется со временем, а стационарное решение отсутствует. Один из вихрей за цилиндром становится настолько длинным, что отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью; при этом жидкость за цилиндром снова закручивается и возникает новый вихрь. Эти вихри поочередно отходят то с одной, то с другой стороны цилиндра, и в какой-то момент поток выглядит приблизительно так, как показано на рис. 4.2.23(d). За цилиндром образуется вихревая дорожка Кармана. Точки в пространстве параметров задачи, при которых происходят качественные изменения характера решений, получили название точек бифуркации, а соответствующие им значения параметров -критических значений.
Похожие диссертации на Разработка метода численного решения систем моментных уравнений
