Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Структура и эволюция низкочастотных и высокочастотных возмущений в стационарно неравновесных газах 18
1.1 Общее уравнение акустики релаксирующей среды и его низкочастотная и высокочастотная предельные формы 18
1.2 Методика численного счета эволюции низкочастотных и высокочастотных акустических возмущений 23
1.3 Эволюция низкочастотного локализованного возмущения. Форма и спектр стационарных импульсов 30
1.4 Эволюция высокочастотного периодического возмущения. Стационарные волны 36
Глава 2. Стационарные решения одномерных уравнений газодинамики невязкой среды с экспоненциальной моделью релаксации 43
2.1 Ударные волны в релаксирующей среде при S = 0 43
2.2 Ударные адиабаты в стационарно неравновесном газе 45
2.3 Стационарные структуры в среде с отрицательной дисперсией 59
Глава 3. Аналитическое описание структуры газодинамических возмущений в акустическом приближении 74
3.1 Аналитические решения 74
3.2 Влияние сдвиговой вязкости и теплопроводности на структуру слабых ударных волн в стационарно неравновесном газе 85
Глава 4. Эволюция акустического возмущения в стационарно неравновесном газе. Численное моделирование 92
4.1 Методика численного счёта 92
4.2 Эволюция начального возмущения типа ступеньки в газах с положительным коэффициентом нелинейности 94
4.3 Эволюция начального возмущения типа ступеньки в газах с отрицательным коэффициентом нелинейности 101
Заключение 106
Приложение 108
Список литературы
- Методика численного счета эволюции низкочастотных и высокочастотных акустических возмущений
- Эволюция низкочастотного локализованного возмущения. Форма и спектр стационарных импульсов
- Ударные адиабаты в стационарно неравновесном газе
- Влияние сдвиговой вязкости и теплопроводности на структуру слабых ударных волн в стационарно неравновесном газе
Введение к работе
Волновая динамика термодинамически неравновесных сред, таких как колебательно возбуждённый газ, неизотермическая плазма, химически активные смеси, среды с неравновесным состоянием фаз и тому подобных, должна существенно отличаться от динамики равновесных сред. Это связано, во-первых, с тем, что в неравновесных средах коэффициент второй (объёмной вязкости) ; и акустическая дисперсия могут быть отрицательными: < 0, с0>са> [1-27]. Здесь, с0, ст —равновесная (низкочастотная) и замороженная (высокочастотная) скорости звука, соответственно. Среды с отрицательной вязкостью являются акустически активными. Кроме того, коэффициент газодинамической нелинейности является сложной функцией стационарной степени неравновесности. При некоторых степенях неравновесности он может быть даже отрицательным. Эти новые акустические свойства неравновесных сред следует принимать во внимание при исследовании различных газодинамических явлений.
Многочисленные эксперименты, проведённые в неравновесных средах, свидетельствуют о существенной перестройке структуры газодинамического возмущения. В частности, в неравновесных газоплазменных и химически активных средах наблюдается расщепление фронта ударной волны, изменение её скорости, амплитуды и ширины фронта, образование предвестников [28-35].
Теория этих явлений до сих пор не создана. Одна группа авторов пытается объяснить все наблюдаемые явления неоднородностью среды и вызываемой этой неоднородностью искривлением волнового фронта [35-37]. Другая группа авторов утверждает, что подобные явления наблюдаются и в квазистационарных неравновесных средах, где отсутствие температурной неоднородности и искривления фронта строго контролировалось в ходе экспериментов. На рис. 1 представлены результаты одного из таких экспериментов [38]. В нем исследовалось изменение профиля плотности в плоской ударной волне при ее прохож- дении через область поперечного газового разряда в воздухе. При этом наблюдалось расщепление переднего фронта волны, образование предвестника, уши-рение ударного скачка уплотнения.
Следовательно, сама неравновесность среды может в какой-то степени изменять структуру ударной волны [39-45]. В [46] была высказана гипотеза, что совокупность указанных выше новых дисперсионно-вязкостных свойств неравновесной среды, качественно изменяющая её акустические свойства, должна привести к существованию стационарных структур, существенно отличных от получаемых в равновесных средах.
До сих пор теоретическое исследование стационарных газодинамических структур малой, но конечной амплитуды, в неравновесных средах проводилось на основе нелинейных уравнений, полученных во втором или третьем газодинамическом приближении отдельно для низкочастотных и высокочастотных возмущений [2,47-55]. На их основе нельзя описать ни эволюцию, ни стационарную структуру возмущений с произвольным спектром, в том числе структуру ударной волны в релаксирующей среде.
Таким образом, актуальность работы определяется необходимостью определения степени влияния неравновесности среды на эволюцию и стационарную структуру газодинамических возмущений конечной амплитуды, имеющих широкий спектр.
Простейшей моделью, демонстрирующей новые дисперсионно-вязкостные свойства неравновесных сред, является модель колебательно-возбуждённого газа с экспоненциальной моделью релаксации. В этой модели система газодинамических уравнений дополнена релаксационным уравнением вида: dE Е-Е — е dt т(Г,р) где Е — колебательная энергия в расчёте на одну молекулу, Ее - её равновесное Q, (o.i)
Дрх10"17см р20=6,68
Рю=4,Ю
Рис. 1. Изменение формы плоской ударной волны в импульсном поперечном газовом разряде на различных расстояниях от входа в плазму: 1 - 5 см; 2 - 7,5 см; 3-10 см. значение, х - время колебательной релаксации, Q, - мощность источника накачки (в расчёте на одну молекулу), р, Т — плотность и температура среды. Если Q -ф 0, то такую среду принято называть стационарно неравновесной со степенью неравновесности S = Qr IТ. Ниже полагается, что среда однородная, а мощности источника накачки и теплоотвода не зависят от температуры и плотности среды. На основе этой модели легко продемонстрировать качественное изменение вязкостно-дисперсионных свойств в зависимости от степени неравновесности среды, которое необходимо принимать во внимание и в более сложных системах.
После линеаризации исходной системы получается простой закон дисперсии [6]
Т0к2 _ Cv _ 1
Ма2 Ср у(со) с комплексными теплоємкостями следующего вида: (0.2)
С J^L\ -Г J\ -CVQ-i03XvCv< СгЛдТ)г-Сг-+{зг)г- l-tox0 ' \дТ)р \дТ)р 1-иот0
Очень важно, что низкочастотные теплоемкости Сго, СР0 зависят от степени неравновесности среды 5 и ее релаксационных свойств: CF0 = СГс0 + LK + отг,
Сро ~Ср +СК +SyzT —xpJ, где s^&o т = ZL2L г =22.—
Т0 ' т ЧдТ' р т05р'
Полученное дисперсионное отношение (0.2) позволяет определить акустический декремент а и скорость звука cs в простой форме: a = k* = где <її0 = Тоу/СроСуо/С^Су^ , а
Р 1С2 ^їЧ<0) = -Т2Т-2- со Q0 + ш т0СГоо является коэффициентом второй вязкости (точнее реальной частью комплексного коэффициента второй вязкости [56]). Здесь - низкочастотный коэффициент второй вязкости. Этот коэффициент пропорционален разности квадратов высокочастотной сю = ^yJ^/M и низкочастотной с0 = фйТ0/М скоростей звука в газе; у0 = СР0/СУ0 и ув = С^/СГао - низко- с — с частотный и высокочастотный показатели адиабаты, m - 2 * - коэффициент дисперсии.
Низкочастотный коэффициент второй вязкости можно представить в виде суммы
С2 +coVC2 ' _Р0т0(СКа,тр + тг)Д _ роЧск J;01 - неравновесный коэффициент, величина и знак которого зависит от степени неравновесности и зависимости постоянной релаксации от температуры и плотности т(Г,р); 5Ю - квазиравновесный коэффициент, который всегда положителен. При выполнении условия (CVcoxp+TT)S + CK <0 происходит изменение знака второй вязкости [57]. Этот условие соответствует наличию положительной обратной связи между газодинамическим возмущением и неравновесным тепловыделением, когда в максимумах возмущения тепловыделение растет, а в минимумах наоборот падает, и реализуется известный критерий Рэлеев-ской акустической неустойчивости.
Если учесть также сдвиговую вязкость и теплопроводность с коэффициентами г|, %, то среда будет акустически неустойчивой при выполнении следующего условия а = ^М<0, (0.3)
2p0cs т.е. отрицательности полной вязкости ,() + \х < 0, где \х - вязкостно- теплопроводностный коэффициент вида ґ1 р
4л \i = —l- + %MRe
Форма акустического инкремента (0.3) является общей и для более сложных моделей релаксации, в том числе и для моделей с несколькими характерными временами релаксации. Меняются только вид частотных зависимостей скорости звука и коэффициента второй вязкости.
На рис. 2,3 приведены рассчитанные частотные зависимости акустического инкремента и скорости звука в типичной лазерной СОг-содержащей среде (C02:N2:He = ]:2:3, Р = \ атм, Qp0/M = \ кВт1см\ 5 = 0,1). Вид температурной зависимости времени колебательной релаксации і(Т) для этой смеси приведен в Приложении.
Заметим, что уже при таких относительно малых степенях неравновесности, отрицательная вторая вязкость значительно превышает по абсолютной ве- личине сдвиговую вязкость г0 = 0 /т)« -104.
Кроме того, рис. 3 соответствует отрицательной акустической дисперсии. Напротив, в равновесной среде высокочастотная скорость звука всегда больше низкочастотной, т.е. акустическая дисперсия всегда положительная.
На рис. 4 представлена типичная зависимость низкочастотной скорости звука от степени неравновесности при экспоненциальной модели релаксации [6]. Возможно существование четырёх характерных областей неравновесности.
В области I (0<5|
В стационарно неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации низкочастотный коэффициент нелинейности *0 является сложной функцией степени неравновесности среды [57, 58]: 'l + 2CV0 , 5(1 + S) _ S(l + SY
1С С С т 1С С1 "" т2 д\ где Xjj =— j. На рис. 5 представлен график этой зависимости. Характерно, т0 дТ что уже при относительно малых степенях неравновесности, низкочастотный коэффициент нелинейности становится отрицательным (см. табл. 1 Приложения).
0,01 _ а, см
Рис. 2. Частотная зависимость акустического инкремента (0.3) в неравновесной СОг-содержащей среде. Пунктирная линия соответствует случаю ц = 0 с,, м/с D), С
Рис. 3. Частотная зависимость скорости звука в неравновесной СОг-содержащей среде
сі
Рис. 4. Зависимость квадрата низкочастотной скорости звука от степени неравновесности среды
Рис. 5. Зависимость низкочастотного коэффициента нелинейности *0 от стационарной степени неравновесности среды.
Рассмотренная совокупность новых дисперсионно-вязкостных свойств неравновесных сред существенно влияет на распространение газодинамических возмущений. Обзор последствий этого влияния приведен в работе [26]. Часть их них отражена на диаграмме (рис. 6): подобные среды акустически активны, отражение на границе с неравновесным газом может происходить с коэффициентом отражения большим единицы [59,60]; возникают новые свойства параметрических взаимодействий, в частности с вихревыми и тепловыми модами [61-64]; появляется встречный акустический ветер [65, 66]; изменяется критическое число Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода в потоках неравновесного газа [67, 68] и структура пограничных слоев [69, 70], а также аэродинамические коэффициенты [71,72] и здесь следует ожидать существенного изменения структуры ударных волн.
Целью работы является исследование эволюции газодинамических возмущений в стационарно неравновесном газе с экспоненциальной моделью релаксации при условии отрицательной второй вязкости и дисперсии.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации: определить вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации; исследовать структуру ударных волн в стационарно неравновесной газовой среде с отрицательной дисперсией; найти условия существования и эволюционной устойчивости стационарных газодинамических структур; провести численное моделирование эволюции газодинамических возмущений малой амплитуды в неравновесной среде с отрицательной полной вязкостью и дисперсией.
Неравновесная среда
Новые дисперсионно-вязкостные свойства S(S,g>),c,(S>)
Аномальное отражение звука с коэффициентом отражения г>1 z:
Изменение аэродинамических
Уменьшение критического числа
Рейнольдса
Акустическая активность
Новые свойства параметрических взаимодействий
Новые стационарные структуры
Возбуждение встречного акустического ветра
Параметрическое усиление вихревых и температурных мод
Самофокусировка звука
Рис. 6. Влияние новых дисперсионно-вязкостных свойств на газодинамику неравновесных сред
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 123 печатные страницы, содержит 55 рисунков, 1 приложение, список литературы включает 114 наименований.
В первой главе получены и исследованы низкочастотная и высокочастотная предельные формы общего акустического уравнения релаксирующей среды. В низкочастотном пределе получено модифицированное уравнение Ку-рамото-Сивашинского; в высокочастотном пределе получено уравнение Бюр-герса с источником и интегральной дисперсией. Получены стационарные решения этих уравнений и условия их существования; численно исследована нестационарная эволюция возмущений, описываемая этими уравнениями. В результате показано, что в неравновесном газе даже для описания эволюции возмущений с исходным низкочастотным или высокочастотным спектром использование только предельных низкочастотных или высокочастотных форм уравнений является недостаточным. Структура ударных волн и акустических возмущений произвольного спектра должна быть исследована либо непосредственно из уравнений газодинамики (это сделано во второй главе для возмущений произвольной амплитуды, применимость аналитических методов здесь ограничена), либо с помощью полной формы общего уравнения акустики релаксирующей среды (что возможно только для возмущений малой амплитуды, глава 3), допускающей применение аналитических методов решения.
Во второй главе построена ударная адиабата в колебательно неравновесном газе с зависимостью времени колебательной релаксации от температуры в форме Ландау-Теллера. Для исследования структуры ударных волн исходная одномерная система релаксационной газодинамики (без учёта сдвиговой вязкости и теплопроводности) была сведена к одному точному автомодельному уравнению, описывающему изменение возмущения плотности за разрывом в стационарной волне. В результате в области отрицательной дисперсии получены ударноволновые структуры двух типов (релаксационного типа и детонаци- онного типа), а также автоволновой импульс, являющиеся точным стационарным решением исходной системы уравнений релаксационной газодинамики. Определены условия их существования. Для слабодиспергирующих сред эти условия получены в аналитическом виде.
В третьей главе аналитически получены стационарные решения общего уравнения акустики релаксирующеи среды в виде ударных волн указанных выше типов и автоволнового импульса с разрывным передним и экспоненциальным задним фронтом. Найдены условия существования ударноволновых и автоволновых структур с учётом наличия в среде сдвиговой вязкости и теплопроводности. При отрицательном коэффициенте газодинамической нелинейности найдены условия расщепления исходной нестационарной ударной волны на две стационарные волны: ступенькообразную автоволну и ударную волну разрежения с плавным фронтом.
В четвертой главе исследована нестационарная эволюция газодинамических возмущений в стационарно неравновесной среде с отрицательной полной вязкостью и дисперсией. Для этого разработана методика численного счета для решения общего уравнения акустики релаксирующеи среды. В частности, показан распад неустойчивой ударной волны на последовательность стационарных автоволновых импульсов (описанные аналитически в третьей главе). Рассмотрена также эволюция локализованного импульса. Показано, что подобный импульс в неравновесной среде с отрицательной дисперсией независимо от его первоначального профиля распадается на стационарные автоволновые импульсы того же вида и периодическую автоволну с экспоненциальным задним фронтом. Период и амплитуда периодической волны полностью определяются параметрами неравновесного газа и не зависят от спектра исходного возмущения.
В приложении приведены результаты расчёта дисперсии и низкочастотного коэффициента нелинейности для типичной лазерной СОг-содержащей среды. Эти параметры неравновесной среды использовались в главах 2-4.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
Найден вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.
Найдены стационарные решения одномерных нелинейных уравнений гидродинамики для стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.
Получены новые ударноволновые и автоволновые структуры в неравновесной среде, определены условия их существования.
Основные положения, выносимые на защиту:
Вид ударной адиабаты в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.
Ударноволновые структуры релаксационного и детонационного типа и условия их существования в стационарно неравновесной газовой среде при отрицательной акустической дисперсии.
Условие неустойчивости и результат задачи об эволюции неустойчивой слабой ударной волны в стационарно неравновесной газовой среде при отрицательной акустической дисперсии.
Структура и условия существования автоволнового импульса в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.
Условие существования ступенькообразной автоволны в стационарно неравновесной газовой среде с экспоненциальной моделью релаксации.
Достоверность результатов, основана на обоснованности принятых в механике газа и плазмы физических и математических моделей и подтверждается сравнением с опубликованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором.
По теме диссертации опубликовано 22 работы, в том числе 6 статей, 7 трудов Международных конференций.
Методика численного счета эволюции низкочастотных и высокочастотных акустических возмущений
Уравнение (1.7) описывает эволюцию возмущения с произвольным спектром, поэтому его можно назвать общим акустическим эволюционным уравнением релаксирующей среды. При = 0 уравнение (1.7) почти совпадает с известным уравнением нелинейной акустики [79, 80], но в последнем не учитывалось отличие г0 от тв и Ч 0 от Ч , которое сохраняется и в равновесной среде.
Заметим, что уравнение (1.7) может быть сведено к известным уравнениям, описывающим эволюцию низкочастотных или высокочастотных возмущений. В низкочастотном приближении (др/ду др/дС, др, Э«1) с точностью до величин 04 уравнение (1.7) сводится к уравнению Курамото-Сивашинского. Нулевое приближение есть р; = 0. Первое приближение имеет вид: Р, 2 Рс второе и последующие приближения: 5 2 = - 5(,) + -5(1 = --6(1 -—о(0) Ру 2 Р; v Р 2 Р? 2у Р« 5 3 = -о{2) +-д{2)=--6{2) -—50) ——5(0) Ру 2Рс +уРк 2Р 2V 2v2 PKC Таким образом, приходим к следующему уравнению для р: ?У + у Р ; + оРР; = ЦЇР« + РоР«; + кРад; 0 -9) где p.j.=r]0+ - безразмерный коэффициент полной вязкости, Ё- = -/и/2у = о/2р0т0с - безразмерный коэффициент низкочастотной второй вязкости; р0 = СГж/СК0 - коэффициент дисперсии, к = С „/С 0 -коэффициент высокочастотной вязкости. При выводе уравнения (1.9) не учитывались нелинейные добавки в коэффициенты вязкости и дисперсии порядка ц20, TJ0 . Заметим, что (1.9) записано в системе отсчета, движущейся со скоростью с„ относительно газа. В системе отсчета, движущейся относительно газа со скоростью сщ(1 + /и/2), уравнение (1.9) совпадает с модифицированным уравнением Курамото-Сивашинского Р, + Ч- оРРг; = HiP« + РоРод + кРед (1 1 )
Уравнение (1.10) использовалось ранее для описания волновых процессов в плёнках жидкости, стекающих по наклонной плоскости [81]; возмущений концентраций реагирующих веществ, при химических реакциях и горении [82, 83]; волн электростатического потенциала в тороидальных системах [84] и т.д. [85]. Здесь оно впервые получено применительно к колебательно-возбуждённому газу и исследовано при полученных выше связях между коэффициентами р.Е, Р0 и к.
Здесь нечетные пространственные производные вычисляются на среднем временном слое, а все четные - на нижнем, это позволяет получить условно устойчивую схему. Точность данной схемы имеет порядок 0(h2,Tj, поскольку не все производные имеют порядок аппроксимации 0(/i4) и начальные условия на двух нижних слоях задавались одинаковыми. Все же точность этой схемы выше, чем у аналогачнои схемы с меньшим порядком аппроксимации низших производных.
Подставив разностные соотношения (1.12) в уравнение (1.10), найдем формулу для вычисления неизвестного значения плотности на верхнем временном слое:
Сравнение численного решения уравнения (1.10) с вычисленным по формуле (1.20) производилось при следующих значениях параметров: 4 = 1,0, ц2 = к = -0,05 и р0 = -0,2. На рис. 8 сплошной линией изображено точное ре X шение (1.20), кружками отмечены расчетные профили уединенных импульсов, полученных при моделировании распада первоначального гауссова профиля. Профиль на рис. 8а получен при шагах сетки h = 0.2, т = 0.001, а на рис. 86 при h = 0.1, т = 0.0001. Максимальная абсолютная погрешность в первом случае равнялась 0.02, а во втором случае 0.004.
Для уравнения (1.10) площадь изолированного возмущения сохраняется со временем. Это свойство также можно использовать для оценки точности численного решения. Площадь контролировалась в процессе численного счета по схеме (1.13) при значениях Лих, указанных выше, и значениях времени вплоть до = 500. При этом относительное изменение площади не превышало 0.05%, что свидетельствует о высокой точности применяемой схемы. Как было отмечено во введении, эволюция малых возмущений в неравновесной среде исследовалась ранее на основе уравнений, полученных отдельно в низкочастотном или высокочастотном приближении. В низкочастотном приближении были получены и исследованы уравнения Кортевега-де-Вриза-Бюргерса с отрицательной вязкостью [48, 57, 51] где u,s 0 - отрицательная полная вязкость; и модифицированное уравнение Кортевега-де-Вриза-Бюргерса с нелинейной вязкостью [46] вида
Эти уравнения обладают рядом серьезных недостатков. Так уравнение Кортевега-де-Вриза-Бюргерса с отрицательной вязкостью описывает коллапс первоначального импульса, а решения модифицированного уравнения Кортевега-де-Вриза-Бюргерса с нелинейной вязкостью являются эволюционно неустойчивыми по отношению к высокочастотным возмущениям.
В данном параграфе эволюция низкочастотных возмущений в стационарно неравновесной среде исследована на основе уравнения Курамото-Сивашинского (1.10), которое получено в более высоком порядке теории возмущений по сравнению с уравнениями, описанными выше.
Найдем стационарные решения уравнения (1.10) для случая отрицательной полной вязкости цг 0. Для этого перейдем в уравнении (1.10) к координатам бегущей волны: z = Q-wy, получим
Эволюция низкочастотного локализованного возмущения. Форма и спектр стационарных импульсов
Уравнение ударной адиабаты следует из условий непрерывности на разрыве потоков массы, импульса и энергии [56, 98]: pI(v1-O) = p0(v0-D), (2.1) /? + p1(v1-D)2 = P0 + p0(v0-»)2, (2.2) p1(v1-D)((o1+(vI-I )2/2) = p0(v0-D)(«)0+(v0-D)2/2), (2.3) где D — скорость ударной волны, co = E + /Vp - удельная энтальпия газа, е его удельная внутренняя энергия, индексы 0 и 1 относится к состояниям газа впереди и за ударной волной соответственно. Из соотношений (2.1)-(2.3) следует уравнение, определяющее связь между термодинамическими величинами по обе стороны разрыва [56]: Eo-et+i(Fo- )(/ +/ )-0, (2.4) где V = 1/р — удельный объем. При заданных V0, Р0 уравнение (2.4) определяет связь между Vx и Р об этой зависимости говорят как об ударной адиабате или адиабате Гюгонио. Из условий непрерывности потоков массы и импульса (2.1), (2.2) следует выражение для скорости ударной волны: D = Vn ЇІЕК (2.5) В релаксационной газодинамике рассматриваются две ударные адиабаты,
Ударные адиабаты в релаксирующем газе с положительной акустической дисперсией проведенные через заданную начальную точку 1 (рис. 18), соответствующую состоянию газа перед ударной волной (P0,V0). Точки, лежащие на ударных адиабатах, соответствуют возможным состояниям газа за ударной волной. Одна адиабата предполагает полную равновесность конечных состояний газа и называется равновесной адиабатой (кривая е, рис. 18). Другая ударная адиабата называется замороженной (кривая/ рис. 18). Она получается в предположении, что релаксационные процессы не происходят вовсе. Тогда в выражении (2.4) можно пренебречь изменением энергии внутренних степеней свободы газа. Тогда для политропного газа уравнение ударной адиабаты примет вид: / =(у + 1)Г0-(у-1) о (7 + 1) -(7-1) .
В силу положительной акустической дисперсии замороженная адиабата всегда лежит выше равновесной адиабаты.
При таком виде ударных адиабат возможны следующие два вида ударных волн [56,98] (рис. 19). Первому случаю, когда хорда 12 (рис. 18) пересекает только равновесную адиабату, соответствует ударной волне с плавным нараста 45 ниєм амплитуды без образования скачка уплотнения (кривая 1, рис. 19). Причём ширина фронта подобной ударной волны пропорциональна положительному коэффициенту второй вязкости. При более высоких скоростях ударных волн, чему соответствует больший наклон хорды 1Ґ2 (рис. 18), газ в ударной волне сначала сжимается скачком до состояния 1 , а затем происходит его сжатие до
Ударные волны в релаксирующем газе с положительной акустической дисперсией конечного состояния 2 , при этом все промежуточные состояния газа лежат на отрезке 1 2 (кривая 2, рис. 19).
Ударные адиабаты в стационарно неравновесном газе Найдем уравнение равновесной ударной адиабаты в стационарно неравновесном газе с экспоненциальной моделью релаксации. Выпишем еще раз исходную систему уравнений (1.1)-(1.5) пренебрегая сдвиговой вязкостью и теплопроводностью: не зависит от координат и времени и равна мощности теплоотвода /. Тогда в системе отсчета, движущейся вдоль координаты д: со скоростью стационарной волны D система (2.7) примет вид: удельная энтальпия газа, выра P Crjr + E P С учетом того, что й = в+ р М р жение (2.18) является следствием условий непрерывности потоков энергии и массы (2.3) и (2.1). Используя соотношения (2.14) и уравнение состояния, перепишем (2.18) в виде где 5) = ?т(7,р,)/7] — степень неравновесности газа за ударной волной. Подставим теперь в полученное уравнение выражения для колебательной энергии (2.22) и времени релаксации (2.23), заменив в них T = MPV и p = l/F, получим: Сул(РЛ і)+\(Уо-Уі)(Ро+ )+
Это и есть искомое уравнение равновесной ударной адиабаты в стационарно неравновесном газе с экспоненциальной моделью релаксации. Для значений 0, соответствующих области отрицательной дисперсии, равновесная ударная адиабата (2.28) имеет вид, изображенный на рис. 20 сплошной линией, здесь же приведен вид замороженной ударной адиабаты (пунктирная линия). Равновесная адиабата имеет две асимптоты, которые можно найти из (2.28), устремив в нем Рх к бесконечности. При этом возможны три случая:
Руу - ±оо, Р х -» 0 и случай когда произведение Р стремится к конечной величине. В первом случае из (2.28) получим:
Ударные адиабаты в стационарно неравновесном газе
В предыдущем параграфе было показано, что для стационарной волны, распространяющейся в однородном стационарно неравновесном газе давление, скорость, температура и колебательная энергия являются функциями плотности газа. Были получены в явном виде эти зависимости. В данном параграфе будет найдено уравнение, определяющее профиль ударной волны и на его основе будут исследованы ударные волны при отрицательном коэффициенте дисперсии.
Профиль ударной волны определяется характером зависимости колебательной энергии от координаты, т.е. релаксационным уравнением (2.21): Сделаем в левой части этого уравнения замену — = , и получим уравне dz dp dz ниє для р: или используя замену — = , найдем уравнение для удельного объема: Здесь в выражения для Ее, Е и т помимо удельного объема V входит скорость ударной волны D в качестве параметра. Эти уравнения применимы для описания изменения амплитуды волны за разрывом и перед ним и должны быть дополнены граничными условиями на самом разрыве, которые следуют из законов сохранения. Соотношение между плотностями газа до и после разрыва имеет вид [56]: (2.37) Ро (7,-1) + 2 где ста — скорость высокочастотного звука в газе перед ударной волной, pd — значение плотности непосредственно после разрыва.
Для придания уравнениям более компактного вида, будем искать зависимость от координаты не плотности, а удельного объема. Продифференцируем уравнение (2.20) по V, получим:
Подставляя полученное выражение, а также выражения (2.20), (2.22) и (2.23) для колебательной энергии, ее равновесного значения и времени релаксации в (2.36), получизначение колебательной энергии перед ударной волной.
Значения V, когда dV/dz = 0 соответствуют стационарным состояниям, и определяются точками пересечения хорды, соответствующей заданной скорости волны D, с равновесной ударной адиабатой. Это следует из соотношения dE dEdV ..... dE dE — = : dV/dz = Q, если — -0, то есть состояние стационарно. dz dV dz dt dz
Стационарные состояния соответствуют равенству нулю выражения в фигурных скобках в (2.39). В этих точках выражения под экспонентами не имеют особых точек, поэтому вблизи них уравнение (2.39) можно записать как dV dz = A{V - Vs) (кроме некоторых вырожденных случаев). Отсюда следует, что V будет стремиться к стационарному значению Vs экспоненциально, что и следует ожидать в силу используемого закона релаксации. При малых значениях коэффициента дисперсии \т\ О,1, как будет показано в третьей главе, задний фронт ударной волны в этом случае близок к экспоненциальному.
Стационарные состояния соответствуют точкам пересечения хорды с равновесной ударной адиабатой. На рис. 25 показана ударная адиабата, соответствующая отрицательной дисперсии среды и положительному коэффициенту акустической нелинейности 4 . На рис. 26 изображены интегральные кривые уравнения (2.35) для трех различных значений скорости D. Здесь р0 — зна 62 чение плотности до ударной волны, а рр р2, р3 - возможные стационарные значения плотности за ударной волной (соответствующие точки пересечения хорды с ударной адиабатой показаны на рис. 25). Значение р - соответствует плотности, при которой обращается в нуль выражение в квадратных скобках в (2.39), что соответствует условию (dEldp) _ = 0.
Вид интегральных кривых качественно зависит от взаимного расположения особых точек pj и ps. При малых скоростях D, таких что р0 р{ рЛ, интегральные кривые имеют вид, показанный на рис. 26 а. Возможной ударной волне в этом случае должна соответствовать хорда а на рис. 25. Эта хорда пересекает замороженную ударную адиабату (пунктирная кривая) при значении плотности pd р,. Поэтому профиль ударной волны должен состоять из ветви интегральной кривой I с разрывом от pd до р0. Здесь возможны два типа профилей с асимптотиками при р3 или рр изображенные на рис. 27 а) и 27 б) соответственно. Обе эти волны являются ударными волнами разрежения и поэтому не могут существовать в реальности.
При скорости D = DP, такой что Pj = ps, интегральные кривые имеют вид, показанный на рис. 26 . В этом случае особенности при р = р, не существует, т.е. не может существовать ударной волны с расширением газа за скачком уплотнения до плотности р,. Возможной ударной волне в этом случае должна соответствовать хорда b на рис. 25. Эта хорда пересекает замороженную ударную адиабату (пунктирная кривая) при значении плотности pd р,. Поэтому профиль ударной волны должен состоять из ветви интегральной кривой 2 с разрывом от р до р0. Здесь, как и в предыдущем случае, возможны два типа профилей с асимптотиками при р3 или р0, они изображены на рис. 27 в) и г).
Влияние сдвиговой вязкости и теплопроводности на структуру слабых ударных волн в стационарно неравновесном газе
Как легко видеть, это выражение эквивалентно (2.42), что означает эквивалентность соотношений (2.41) и (2.42). Таким образом, условие возникновения неустойчивости ударной волны соответствует условию существования решения уравнения (2.36) в виде ударноволнового импульса. Скорость и амплитуда такого импульса в точности соответствуют амплитуде (точнее величине скачка уплотнения) и скорости критической ударной волны.
Как видно из предыдущих рассуждений, в стационарно неравновесной среде при малых степенях неравновесности возможно существование ударно-волновых структур только трех типов: ударных волн со сжатием (рис. 27 ж) или разрежением газа (рис. 27 е) за ударным скачком уплотнения до значения рх и импульса с разрежением газа за ударным фронтом до первоначального состояния р0 (рис. 27 г). Ударные волны с конечными состояниями газа, соответствующими точкам 2 и 3 пересечения хорды с равновесной ударной адиабатой (рис. 25) не реализуются вовсе.
Структуры первых двух типов легче всего продемонстрировать с помощью анализа вида ударных адиабат.
Как показано в [58], в неравновесной среде низкочастотный коэффициент нелинейности является знакопеременным. Случай Ч 0 будет рассмотрен в главе 3. При положительном коэффициенте Ч обе адиабаты обращены выпуклостью вниз (рис. 28 [91]). При малых сжатиях равновесная адиабата в среде с отрицательной дисперсией лежит выше замороженной. При больших сжатиях равновесная адиабата лежит ниже замороженной, как для обычной газовой среды с положительной дисперсией. Положение точки пересечения адиабат (Pcr, Vcr) для случая малой дисперсии т «1 можно найти, приравняв выражения (2.32) и (2.33) для замороженной и равновесной ударных адиабат. С точностью до величин линейных по т где введено обозначение Эта точка разделяет возможную структуру ударных волн на два класса. Наклон хорды, проведённой в точку пересечения равновесной и замороженной адиабат (рис. 28, прямая 1), определяет критическую скорость ударной волны
При D Dcr структура ударных волн имеет вид, который типичен для равновесных сред: сжатие газа сначала происходит скачком до точки пересечения соответствующей хорды с замороженной адиабатой, затем уже происходит постепенное сжатие до конечного состояния, определяемого точкой пересечения с равновесной адиабатой (рис. 29, кривая 1). Такие структуры в дальнейшем мы будем называть структурами релаксационного типа.
При D Dcr структура ударных волн будет совершенно другой, так как в этой области замороженная адиабата лежит ниже равновесной адиабаты. Опять происходит быстрое сжатие, до величины, определяемой пересечением соответствующей хорды (рис. 28, прямая 2) с замороженной адиабатой. Затем происходит постепенное расширение газа до конечного состояния, определяемого пересечением данной хорды с равновесной адиабатой. В
Рис. 29. Ударные волны в релаксирующем газе с отрицательной акустической дисперсией пересечением данной хорды с равновесной адиабатой. В результате возникает новая структура ударной волны (рис. 29, кривая 2). Такая структура ударной волны характерна для детонации, поэтому далее такие структуры будут называться структурами детонационного типа.
Выше указывалось, что ударная волна со скорость меньшей некоторого критического значения не будет эволюционно устойчивой и должна распадаться. Критерием границы неустойчивости является равенство скорости высокочастотного звука за фронтом ударной волны и скорости самой волны относительно этого газа Д (2.40).
