Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Вязкостно-дисперсионные свойства МГД-волн в плазме с обобщенным источником тепловыделения 26
1.1 Дисперсионные свойства акустических волн в газе с обобщенным источником тепловыделения 26
1.2 Дисперсионные свойства МГД-волн в плазме с обобщенным источником тепловыделения 31
1.2.1 Исходная система уравнений и общее дисперсионное выражение для возможных МГД-мод 31
1.2.2 Альфвеновские волны. 36
1.2.3 Быстрые и медленные магнитогазодинамические волны. 37
1.2.4 Групповая скорость акустических и магнитогазодинамических волн в среде с обобщённым источником тепловыделения 49
1.2.5 Условие усиления и инкремент магнитогазодинамических волн в плазме с обобщенным источником тепловыделения 64
1.3 Изоэнтропическая неустойчивость в условиях солнечной атмосферы и межзвездного газа 71
1.3.1 Межзвездный газ 71
1.3.2 Солнечная атмосфера 73
1.4 Дисперсионные свойства МГД-волн в плазме с обобщенным источником тепловыделения с учетом влияния конечной электрической проводимости 78
Выводы по Главе 1 82
Глава 2 Нелинейная эволюция и взаимодействие МГД-волн в среде с обобщенной функцией тепловых потерь 85
2.1 Параметрическое взаимодействие акустических и альфвеновских волн в изоэнтропически неустойчивой среде 85
2.1.1 Краткий обзор теоретических работ по параметрическому взаимодействию МГД волн 85
2.1.2 Укороченные системы дифференциальных уравнений для описания параметрического резонанса между альфвеновскими волнами и акустической волной 90
2.1.3 Нестационарное параметрическое взаимодействие
альфвеновских и магнитогазодинамических волн 98
2.1.4 Стационарное параметрическое взаимодействие
альфвеновских и магнитогазодинамических волн. Условие параметрической генерации альфвеновских волн 103
2.1.5 Усиление альфвеновских волн в солнечной атмосфере 107
2.2 Нелинейное эволюционное уравнение для быстрых и медленных магнитогазодинамических волн в изоэнтропически неустойчивой среде 111
2.2.1 Нелинейное магнитогазодинамическое эволюционное уравнение 111
2.2.2 Автомодельные решения нелинейного эволюционного МГД уравнения 122
Выводы к Главе 2 128
Глава 3 Численное моделирование эволюции слабых ударных магнитогазодинамических волн в изоэнтропически неустойчивойтепловыделяющей плазме 131
3.1 Расчетная модель плазменной среды с изоэнтропической неустойчивостью и методика численного счета 131
3.2 Результаты численного моделирования с помощью нелинейного эволюционного уравнения 139
3.3 Результаты численного моделирования эволюции магнитогазодинамических возмущений с помощью одномерной системы уравнений магнитной гидродинамики 158
Выводы к Главе 3 163
Заключение 165
Список литературы 168
- Групповая скорость акустических и магнитогазодинамических волн в среде с обобщённым источником тепловыделения
- Краткий обзор теоретических работ по параметрическому взаимодействию МГД волн
- Нелинейное магнитогазодинамическое эволюционное уравнение
- Результаты численного моделирования эволюции магнитогазодинамических возмущений с помощью одномерной системы уравнений магнитной гидродинамики
Введение к работе
Актуальность. Процессы, происходящие в плазме, находящейся в магнитном поле, вызывают активный интерес в связи с большим количеством фундаментальных и прикладных приложений. Среды такого типа естественным образом возникают в межзвездном пространстве и звездных атмосферах, а также являются рабочими средами перспективных образцов термоядерных реакторов, в которых удержание плазмы осуществляется магнитным полем. Структура и свойства газодинамических возмущений в проводящей плазме в присутствие магнитного поля, описываемые системой магнитогазодинамических (МГД) уравнений, подробно исследованы. В таких средах возможно распространение трёх типов волн: альфвеновских, быстрых и медленных МГД-волн (магнитоакустических волн).
В последние два десятилетия, в связи с развитием экспериментальной и вычислительной техники, появилось много наблюдений МГД - возмущений, распространяющихся в разных областях солнечной атмосферы (Keiling, Lee, Nakariakov 2016; DeMoortel, Nakariakov 2012, Ballai 2006). В частности, короткие цуги медленных МГД волн были обнаружены в подножиях корональных петель, в корональных дырах, включая более плотные и холодные области корональных дыр (полярные перья), и протуберанцах. Быстрые квазипериодические МГД волны также обнаружены в открытых магнитных структурах солнечной атмосферы и в корональных петлях. В солнечном ветре были обнаружены цуги солитонообразных МГД волн и отдельные гигантские уединенные волны сжатия, часто распространяющиеся длительное время без изменения скорости и формы в нижних слоях короны. Параметры этих структур, причины появления и быстрого исчезновения являются предметом активного обсуждения, но пока теория этих явлений в стадии развития.
Известно, что наличие источника тепловыделения в среде может сопровождаться тепловыми неустойчивостями разного типа, включая изоэнтропическую (акустическую) неустойчивость. Как показано в работах (Heyvaerts 1974, Nakariakov, Mendoza-Briceo, Ibez 2000, Chin, Verwichte, Rowlands, Nakariakov 2010), изоэнтропическая неустойчивость в проводящей плазме в присутствие магнитного поля приводит к усилению быстрых и медленных МГД - возмущений, но не влияет на устойчивость альфвеновских волн. Однако до сих пор в изоэнтропически неустойчивой тепловыделяющей плазме не проведены подробные теоретические исследования особенностей распространения линейных быстрых и медленных МГД волн с учетом дисперсии фазовых и групповых скоростей (возникающей в результате наличия в среде неадиабатических процессов), анизотропии коэффициентов усиления волн разного типа и их существенной зависимости от плазменного параметра (3 (отношения газодинамического давления к магнитному давлению). Тем более не были проведены исследования формируемых в результате изоэнтропической неустойчивости нелинейных МГД структур с учетом новых вязкостно-
дисперсионных свойств тепловыделяющей плазмы. Нелинейные МГД -структуры в солнечной атмосфере исследовались только с использованием моделей, справедливых в ограниченных частях спектра, либо в частном случае чисто акустических возмущений.
Фундаментальное значение рассматриваемые в диссертации задачи приобретают, также, в связи с нерешенной проблемой аномального нагрева короны Солнца и звезд, большинство из которых обладает горячими атмосферами, имеющими температуру, на 2-3 порядка превышающую температуру поверхности. Одной из актуальных моделей нагрева короны на данный момент является модель переноса энергии альфвеновскими волнами из нижних плотных слоев атмосферы солнца. В отличие от быстрых и медленных МГД волн, альфвеновские волны способны преодолевать большие расстояния, поскольку не являются сжимаемыми и не образуют резкого ударного фронта в слабом нелинейном приближении. Альфвеновские волны в солнечной короне впервые были зарегистрированы сравнительно недавно (Tomczyk et. al. 2007). Обнаруженные волны были слишком слабы, чтобы обеспечить нагрев короны до нужных температур. Лишь в 2011 году были обнаружены волны гораздо большей амплитуды (McIntoshet et al. 2011), достаточной для нагрева короны и ускорения солнечного ветра. Природа возникновения альфвеновских волн большой амплитуды в нижних слоях солнечной атмосферы пока не выяснена.
В связи с перечисленными проблемами тема и цель диссертации являются весьма актуальными.
Целью диссертации является теоретическое исследование особенностей
распространения и усиления МГД-волн, а также условий формирования
нелинейных МГД-структур, включая автоволновые, их свойств в
изоэнтропически неустойчивой тепловыделяющей плазме в постоянном магнитном поле.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации
-
На основе линеаризованной системы МГД уравнений полностью и частично проводящей плазмы в постоянном магнитном поле с обобщенной функцией тепловых потерь исследовать особенности распространения и усиления линейных магнитогазодинамических возмущений.
-
На основе имеющихся современных моделей нагрева и охлаждения солнечной атмосферы и межзвездной среды построить обобщенные функции тепловых потерь и определить температурные области, где возможна изоэнтропическая неустойчивость.
-
Получить и решить системы укороченных уравнений, описывающих процессы трехволновых взаимодействий сильной продольной МГД-волны (акустической волны) с альфвеновскими волнами в условиях изоэнтропической неустойчивости.
4. Получить и решить нестационарные нелинейные уравнения,
описывающие эволюцию плоских слабых ударных МГД-волн и малых быстрых
и медленных МГД-возмущений конечной амплитуды и произвольного спектра.
5. На основе полной одномерной системы МГД уравнений полностью проводящей плазмы в постоянном магнитном поле с обобщенной функцией тепловых потерь провести численное моделирование эволюции слабых ударных волн и сравнить результаты с решениями нелинейных уравнений.
Новизной обладают следующие результаты
1. Найденные в явном виде выражения для фазовых и групповых
скоростей быстрых и медленных МГД-волн в тепловыделяющей плазме.
Результаты анализа диаграмм Фридрихса для фазовых и групповых скоростей
МГД-волн с учетом акустической дисперсии при разных значениях параметра
бета плазмы.
2. Инкремент/декремент быстрых и медленных МГД-волн в идеальной
полностью проводящей тепловыделяющей плазме, определяющийся видом и
знаком коэффициента второй вязкости тепловыделяющей среды, но в отличие
от случая акустических волн, имеющий сильно анизотропный вид, зависящий
от частоты возмущения и величины внешнего магнитного поля. Условия
усиления и инкременты усиления МГД-волн в изоэнтропически неустойчивой
среде при учете конечной проводимости.
3. Системы укороченных уравнений, описывающие распад сильной
акустической волны на альфвеновские волны в изоэнтропически неустойчивой
частично проводящей плазме. Условия усиления и генерации альфвеновских
волн, вид инкремента нарастания, порог параметрической генерации.
-
Нелинейное МГД - уравнение, описывающее эволюцию быстрых или медленных МГД - волн в тепловыделяющей плазме с точностью до величин второго порядка малости в приближении слабой дисперсии. Низкочастотные коэффициенты нелинейности, зависящие от типа волны, угла распространения волн, величины магнитного поля и свойств источника тепловыделения. Форма и параметры быстрых и медленных автоволновых МГД - импульсов, являющихся в условиях магнитоакустической неустойчивости автомодельным решением этого уравнения.
-
Условие неустойчивости слабых ударных МГД – волн, найденное с помощью решения полученного нелинейного уравнения. Показанный с использованием численного моделирования одномерной системы МГД уравнений распад неустойчивой слабой ударной МГД-волны в изоэнтро-пически неустойчивой плазме в магнитном поле на последовательность автоволновых МГД-импульсов.
Научная и практическая ценность проведенных в диссертации
исследований заключается в том, что их результаты являются существенным
вкладом в развитие теории магнитной газодинамики тепловыделяющей плазмы
и могут быть использованы при диагностировании и прогнозировании
распространения волн в МГД-средах технического и природного
происхождения, включая термоядерные реакторы, атмосферы звезд и межзвездную среду.
Достоверность полученных научных результатов обеспечена
применением строгих постановок задач и корректных математических моделей, использованием обоснованных аналитических методов и апробированных
численных методов, общепринятых в магнитной газодинамике, отсутствием противоречий между полученными аналитическими и численными решениями, а также качественным согласием полученных в диссертации результатов с имеющимися в литературе результатами теоретических исследований других авторов и экспериментальными данными.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Аналитический вид низкочастотного и высокочастотного инкремента быстрой и медленной МГД-волн через коэффициент второй вязкости, зависимости высокочастотных и низкочастотных инкрементов от параметра бета, угла распространения и свойств обобщенной функции тепловых потерь. Области с изоэнтропической неустойчивостью, определенные с использованием современных моделей нагрева и охлаждения солнечной короны и межзвездной среды.
-
Аналитический вид низкочастотной скорости быстрой и медленной МГД-волн в тепловыделяющей плазменной среде. Диаграммы Фридрихса для фазовой и групповой скоростей, построенные с учетом дисперсии скорости звука в тепловыделяющей среде в качественно разных областях параметра Д
3. Системы укороченных уравнений, описывающих параметрическое
взаимодействие сильной акустической волны с альфвеновскими волнами в
тепловыделяющей плазменной среде с конечной проводимостью. Условие
усиления и аналитический вид инкремента нарастания альфвеновской волны в
результате параметрического взаимодействия с акустической волной в
изоэнтропически неустойчивой плазменной среде. Пороговое условие
генерации альфвеновских волн.
4. Нелинейное уравнение для быстрых или медленных МГД-волн и его
решения в виде бегущих стационарных волн, включая автоволновой МГД-
импульс и ударную волну с повышением и понижением плотности за фронтом.
Аналитические зависимости низкочастотных коэффициентов нелинейности,
амплитуды и скорости импульса от типа волны, свойств обобщенного
источника тепловыделения, параметра /?и угла распространения.
5. Условие неустойчивости слабой ударной МГД-волны в
тепловыделяющей среде. Результаты численного моделирования распада
слабой ударной волны в плазменной среде с постоянным магнитным полем на
последовательность автоволновых МГД-импульсов, включая восстановление
формы импульсов после столкновения.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Самарского национального исследовательского университета имени академика СП. Королева, Самарского филиала Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, Курдюмовских чтениях (Тверь 2010, 2011, 2014), школах-конференциях «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов 2010, 2013), школах-семинарах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010, 2012, 2016), конференциях-конкурсах молодых физиков (Москва 2010-2012, 2014), 17, 18, 20-23 International Congress on Sound and Vibration (Каир, 2010, Рио-де-Жанейро, 2011, Бангкок, 2013, Пекин, 2014, Флоренция, 2015, Афины, 2016), на
24, 25 и 27 сессиях РАО (Москва, 2011, Таганрог, 2012, Санкт-Петербург, 2014), 6, 7 Forum Acusticum (Ольборг, 2011, Краков, 2014), 9, 10 European Fluid Mechanics Conference (Рим, 2012, Копенгаген, 2014), 20, 21 International Shock Interaction Symposium (Стокгольм, 2012, Рига, 2014), 21, 22 International Congress on Acoustics (Монреаль, 2013, Буэнос-Айрес, 2016), 12 International Workshop on magnetoplasma aerodynamics (Moscow, 2013), II Международной конференции "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (Москва, 2014), конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2014) (Алушта, 2014), 4th Radio Sun Workshop and Summer School (Иркутск, 2015), II Российской конференции по магнитной гидродинамике (Пермь, 2015), III Southern African Solar Energy Conference, (Скукуза, 2015), 10, 11 конференциях "Физика плазмы в солнечной системе" (Москва, 2015, 2016), 20th International Symposium on Nonlinear Acoustics (Лион, 2015) и других конференциях.
Основные публикации. По материалам диссертации опубликовано 66 печатных работ, в том числе 13 статей в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, 53 труда Международных и Всероссийских конференций, получено 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены: стипендией Президента РФ для молодых ученых и аспирантов, осуществляющих перспективные научные исследования и разработки по приоритетным направлениям модернизации российской экономики 2013-2015 г., дипломом победителя конкурса научных работ (Премия Физического института им. П.Н. Лебедева РАН за 2012 г.), стипендией Президента Российской Федерации студентам высших учебных заведений Российской Федерации на 2011/2012 гг., дипломом лауреата премии Минобрнауки России для поддержки талантливой молодежи по итогам проекта «Образование» в 2011, 2012 гг., дипломом за победу в конкурсе фонда Дмитрия Зимина «Династия» за 2012 г. и др.
Связь с государственными программами и НИР.
Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ по грантам и программам: грант АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)», проект № 2.1.1/309; гранты ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. № НК-410П, 14.В37.21.0767, государственное задание Минобрнауки РФ № 2.560.2011, 3.608.2014/К 3.1451.2014/К, грант РФФИ 14-02-97030 р_поволжье_a, НИР СФ ФИАН ГР 114091840046, программа повышения конкурентоспособности Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета)» на 2013–2020 гг., соглашения № СИ1/10-2014, № СИ1/10-2015.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 188 страниц, включая 41 рисунок, 10 таблиц, список литературы содержит 181 наименование.
Групповая скорость акустических и магнитогазодинамических волн в среде с обобщённым источником тепловыделения
Перейдем к описанию дисперсионных свойств МГД-волн в плазме с обобщенной функцией тепловых потерь.
Исследуемая среда представляет собой квазинейтральную и полностью ионизованную плазму, в каждой точке которой на поступательные степени свободы частиц действует обобщённый источник тепловыделения, мощность которого зависит от плотности и температуры произвольным образом. Рассматриваемая среда считается однородной и находящейся под действием однородного внешнего магнитного поля. Магнитная и диэлектрическая проницаемость плазмы считаются равными 1. Кроме того, среда считается неподвижной, а влияние гравитационных эффектов не учитывается. Без учета диссипативных слагаемых, исходная система магнитогазодинамических уравнений, описывающая динамику МГД-волн в идеально проводящей одножидкостной плазме, записывается следующим образом [39]:
Система уравнений (1.18) - (1.24) записана в абсолютной системе единиц СГС. В уравнениях (1.18) - (1.24) р,T,P это, соответственно, плотность, температура и давление в плазменной среде, a V,B это, соответственно, вектора скорости и магнитного поля. Здесь также используются стандартные обозначения: kB для постоянной Больцмана и CVm - для высокочастотной теплоемкости при постоянном объеме. Величина т -эффективная масса частицы плазмы.
Уравнения магнитной газодинамики, как и обычной газодинамики, справедливы только при малом числе Кнудсена, то есть, когда средняя длина пробега частиц плазмы значительно меньше характерного размера поля течения (длины волны - для волновых процессов). Кроме того, для применимости магнитогазодинамического приближения необходимо, чтобы длина волны была много больше ларморовского радиуса вращения заряженных частиц плазмы. Только в этом случае плазму можно рассматривать как непрерывную среду, испытывающую влияние магнитного поля ([83], стр. 93). Иначе, будет необходимо учитывать дискретность частиц, их взаимодействия и движение в магнитном поле.
Для того, что бы рассмотреть вязкостно-дисперсионные свойства исследуемой модели тепловыделяющей среды получим линейное уравнение, описывающее возмущения бесконечно малой амплитуды в этой среде.
Согласно стандартной методике теории возмущений, подставим в систему уравнений (1.18) - (1.24) решение в виде \ = \l,B = B0+Bl,p = p0+p1,T = T0+T1,P0=P0+P1 (1.25)
Для этого подставим в уравнение (1.33) решение в виде гармонической волны Y1(r,t) = V1exp(-/ »f + /kr), где Vx - амплитуда возмущения вектора скорости Vj, к - волновой вектор и г - радиус вектор к положению возмущения в пространстве. В этом случае производные в уравнение (1.33) могут быть заменены следующим образом d/dt - -Ш, V - zk. С помощью преобразования векторных и скалярных произведений, уравнение (1.33) сводится к следующему операторному выражению DV1=0 (1.35) где D = (Г - i(or0Cv І-— c 2(k В0 Ml U a J -((CV0c20 -i(DT0CVmc2)+ (Cv0 -тт0СУУ2а) + (1.36) + {Cv0 - icoT0CVaD )c 2 a (k B0 )(в0к + кВ0) В уравнении (1.36), были использованы обозначения для единичных векторов по направлению вектора магнитного поля В0 = В0 /В0 и по направлению волнового вектора k = k/. Величина В0 - это абсолютное значение длины вектора индукции магнитного поля, а величина 1 представляет собой единичную матрицу. Кроме того, было использовано выражение для скорости альфвеновских волн.
Конкретизируем систему координат и направления векторов в ней. Исследование волн проводилось в декартовой системе координат х, у, z. Считалось, что волны распространяются вдоль оси z, а вектор однородного внешнего магнитного поля находится в плоскости х, z, т.е. (1.38) Bo = zcos0 + xsin0 k = z где в - это угол наклона между вектором магнитного поля и осью z, x,z -единичные вектора. Схематическое представление геометрии задачи представлено на рисунке 1. Рисунок 1. Схематическое представление геометрии задачи. Для принятого представления векторов, уравнения (1.35), (1.36) преобразуются к следующему матричному представлению: V (CV0-icoz0CvJ d и із їх 0d О d22 О Vly =0 0 d К К lz V зі (1.39) Элементы полученной матрицы имеют следующий вид СУ 6У /, 0 d = "22 СУ с2 cos2 9 ) d = "зз с2+с2)+с2 cos2 в J (1.40) c2cos6 sin 9 d =d = "ІЗ "ЗІ а Уравнение (1.39) описывает три типа магнитогазодинамических волн, бегущих вправо и влево вдоль оси z: поперечные магнитогазодинамические волны (альфвеновские волны), быстрые и медленные магнитогазодинамические волны (магнитоакустические волны). Рассмотрим особенности их распространения в тепловыделяющей среде. 1.2.2 Альфвеновские волны. Альфвеновские волны являются строго поперечными волнами, которые распространяются вдоль магнитного поля без возмущения плотности. Впервые эти волны были предсказаны и описаны Х. Альфвеном [47]. Альфвеновские волны в плазме характеризуется не равным нулю возмущением поперечной компоненты V1y Ф 0 и равными нулю компонентами скорости V1x=V1z=0. Подстановка указанных компонент в выражение (1.39) позволяет определить закон их дисперсии в следующем виде
Из дисперсионного уравнения (1.41), видно, что в идеально проводящей среде альфвеновские волны не диссипируют. Более того, альфвеновские волны линейны даже в слабо нелинейном приближении, вследствие чего они не диссипируют при образовании разрыва [86]. В результате этого они могут распространяться на большие расстояния без существенной потери энергии. С этим свойством связывают один возможных механизмов нагрева солнечной короны [47-49]. Отметим, что альфвеновские волны с достаточно большой амплитудой уже были зафиксированы [52].
Кроме того, из уравнения (1.41) видно, что в линейном приближении источник тепловыделения не оказывает влияние на альфвеновские волны. Тем не менее, тепловыделение может влиять на характеристики альфвеновских волн, если учитывать более высокие порядки малости. В частности, во второй главе данной диссертации, рассмотрен процесс перекачки энергии от неустойчивых газодинамических волн в устойчивые альфвеновские волны, в результате параметрического взаимодействия.
Краткий обзор теоретических работ по параметрическому взаимодействию МГД волн
В диссипирующих средах с большими декрементами (тем более инкрементами) на частоте волны накачки стандартное приближение заданного акустического поля С2«const оказывается неадекватным условиям трехволнового взаимодействия даже при С2»С1,С0. Поэтому ниже используется приближение заданной усиливающейся волны накачки: С2 = С20ес , С20 = const (2.20) При этом условие слабой нелинейности С2 1 все еще считается выполненным. Это приближение заданной усиливающейся (или диссипирующей) волны накачки использовалось ранее в аналогичных задачах нелинейных взаимодействий в газодинамических средах, например, в [70, 147], и является менее грубым, чем использование приближения заданного поля. Аналитические решения систем уравнений, приведенных в таблице 5, в приближении заданного усиливающегося поля удаётся получить только в чисто нестационарном приближении (без учета пространственных изменений), используемом в данном разделе, и в стационарном случае, рассматриваемом в разделе 2.1.4.
Пренебрежение пространственной зависимостью в укороченных уравнениях и учет только зависимости от времени традиционно используется при описании трехволновых МГД взаимодействий, в том числе в солнечной атмосфере, практически во всех известных работах [86, 130, 131, 136, 148] и т.д., хотя далеко не всегда использование такого приближения обоснованно. Это приближение выглядит менее грубым в длинноволновом случае, когда размеры среды распространения сравнимы с длиной волны МГД возмущения. В результате системы уравнений, описывающие параметрическое взаимодействие для общего случая (Таблица 5), могут быть преобразованы к виду, представленному в Таблице 6. Полученные аналитические решения этих уравнений при начальных условиях С1(0) = С10;С0(0)=С00. (2.21) также представлены в Таблице 6.
Системы дифференциальных уравнений, описывающие нестационарное взаимодействие волн в приближении заданного акустического поля накачки и приближении длинных волн. Аналитические решения систем уравнений. Распад Альфвеновской волны Распад Акустической волны a) c cSnd a Ь) c cSnd a дС0 + cv-C=iA-C С, 8С0 + cv-C=iA-C с: dt а и dt і 4- г і/ Г - іЛ- С С 1 +СУ-С-ІА- ас & а 1 dt с0 = (С00со8[ф(0]+/С1081п[ф(ф с0 = (C00cosh[o(0] + /CloSinh[o(0] -e- Q = (С10со8[ф(0]+/С0081п[ф(ф Q = (С10со8ц[ф(0] + /Соо8іп1і[ф(ґ)] с) CSnd = Ca d) с = с дС0 dtас—Ldt + cav-C0=-iA-C2C1 + cav-Cl=-iA-C2C0 C +cv-C- iA-c7c:dt a aCi + с v с - ІА-c7c: dt a x C0=(C00cos[o(0]-/C10sin[o(0]) C C10cos[o(0]-/C00sm[o( C0 = (C00 cosh[o(0]- /C10 smh[o(0] Q = (C10cosh[o(0]- /C00smh[o(0] Для удобства записи аналитических решений мы ввели обозначение Ф(0 = C20 (l - е-с )/сSndaSnd (2.22) Ниже проанализируем полученные решения, для рассматриваемого в диссертации случая распространение волн в изоэнтропически неустойчивой, но изохорически устойчивой среде, когда /0 ух или что то же самое с0 ст.
Согласно полученным аналитическим решениям (Таблица 6а, с), при параметрическом распаде альфвеновской волны будет наблюдаться только слабая модуляция альфвеновских волн. Данные процессы протекают в том случае, когда cSnd са или что то же самое при условии того, что параметр беты плазмы удовлетворяет условию РР 2/у0. В области значений плазменной беты Д, 2/у0, будет выполняться условие cSnd са и поэтому становится возможным перенос энергии от неустойчивых акустических волн в устойчивые альфвеновские волны с усилением последних, в результате нелинейных процессов (Ь) или (d), параметрического распада акустической волны (Таблица 6Ь или 6d, соответственно).
Отметим, что в области значений плазменной беты 2//0 РР 2//х усиления альфвеновских волн по сценарию (d) будет возможно только за счет энергии акустической волны с частотой со (1.56); усиление альфвеновских волн по сценарию (Ь) будет протекать если, частота акустиеской волны будет находиться в диапазоне частот со со .
Если же значения плазменной беты принадлежат области Д, 2/ух , то усиление альфвеновских волн станет возможным только по сценарию (Ь) за счет энергии акустических волн произвольной частоты. При выполнении условия отрицательности коэффициента второй вязкости, что соответствует изоэнтропической неустойчивости (В. 5), коэффициент aSnd 0 и среда является акустически неустойчивой. Важным отличием параметрического усиления в акустически активной среде с aSnd 0 от параметрической перекачки энергии в акустически пассивной среде с aSnd 0 является тот факт, что инкремент усиления, определяемый при условии \сSndaSnd t\»1 функцией ф(і) как e p\сSndaSnd t\, будет уже экспоненциальным, а не линейным. Параметрическое усиление альфвеновской волны, в результате этого, оказывается ехр[АС20ехр сSndaSnd\ /сSndaSnd], то есть гораздо более интенсивным, чем в акустически пассивных областях, где оно определяется при условии \сSndaSnd t\ «1 в виде exp((AC20-cav)). Такой тип параметрического усиления впервые был описан в работе [149] при рассмотрении параметрического усиления ультразвуковых волн в пьезополупроводниках. Затем его возможность была продемонстрирована при исследовании параметрического усиления тепловых и вихревых волн в газовых средах с отрицательной второй вязкостью [146]. Для взаимодействия МГД волн возможность подобного типа параметрического усиления (приводящего к быстрому и интенсивному росту амплитуды альфвеновской волны) показана впервые в настоящей диссертации и опубликовано в наших работах [124, 150, 151].
Нелинейное магнитогазодинамическое эволюционное уравнение
В случае же учета величин с точностью до порядка є , уравнение (2.82) может быть сведено к обобщенному уравнению Курамото-Сивашинского [174, 175], которое также известно в литературе под названием уравнение Кавахары [176]: др Ч 0 др2 д2р CVx д3р CV1 д4р (2.95) ч—-ч = 4 V0 дт 2 д% \д%2 CV0d3 C2V0dC) Здесь 0 = j2Po cіт0 это безразмерный коэффициент второй вязкости. Для высокочастотных возмущений др/д ахр, эволюционное уравнение вида (2.82) с точностью до величин порядка 8 может быть сведено к уравнению Бюргерса с источником и интегральной дисперсией 1о [173]; . + = м -CVкр-CV C\щ (2.96) дт 2 д{ Ихд%2 CVx н С ]Hh Недостатком низкочастотных уравнений (2.94), (2.95) и высокочастотного уравнения (2.96) уравнений является неспособность описывать нестационарную эволюцию возмущений произвольного спектрального состава. Если вторая вязкость в среде отрицательна 0 0, то
уравнение Кортевега - Де Фриза - Бюргерса (2.94) не имеет конечных стационарных решений вообще (эта проблема была решена в диссертации [70] учетом нелинейной поправки ко второй вязкости), обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского (2.95) имеет решение в форме бегущего стационарного солитонного импульса, а уравнение Бюргерса с источником (2.96) имеет решение в виде периодической пилообразной волны. Отметим, что эта периодическая волна является эволюционно неустойчивой к возмущениям с большим периодом. Кроме того, важно отметить, что спектральный состав стационарных волновых структур, описываемых этими уравнениями гораздо шире, чем их области применимости. Иными словами эволюция магнитогазодинамических волн в среде с изоэнтропической неустойчивостью должна исследоваться более общим уравнением вида (2.82), без низкочастотных или высокочастотных приближений.
Как можно видеть из уравнений (2.94) - (2.96) в зависимости от диапазона, к которому принадлежит частота возмущения, будет меняться и скорость нелинейных процессов. Так, в высокочастотной части спектра (сот0 »1), скорость нелинейных процессов будет определяться только коэффициентом Ч (2.83). Этот коэффициент по виду полностью совпадает с выражением, полученным ранее в [39]. Если исключить влияние магнитного поля, то он сводится к общепринятой форме данного коэффициента для газовых сред: %iac = 2 1 (2.97) В то время как в низкочастотном диапазоне (сот0«1), скорость нелинейных процессов, также как и их фазовая скорость МГД волн в данном пределе, будет определяться, в первую очередь неадиабатическими процессами, обусловленными влиянием обобщенного источника тепловых потерь, т.е. коэффициентом 0 (2.84). Впервые данный коэффициент был описан в работе [64]. И в случае бесконечно слабого внешнего магнитного поля он преобразуется к виду, полученному ранее для газовых сред [46]: 120 0 = [3L0 +3L0rr(r0-1) 2+23L0r(r0-1)] (2.98) 0 2r0zL0T В общем случае, низкочастотный коэффициент 0 (2.84) может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в отличие, от высокочастотного коэффицента „ (2.83), который может принимать только положительные значения. Стоит отметить важное отличие нелинейных коэффициентов в уравнении для плотности 4 х (2.83), 0 (2.84) от коэффициентов в уравнении для магнитного поля хРВш, 4ів0 (2.93). Допустим для определенности, что нелинейные коэффициенты Ч , 0 для быстрых и медленных волн являются положительными величинами. Тогда для быстрой МГД волны нелинейные коэффициенты хРВш и Ч в0 также будут положительными, в то время как для медленной МГД волны нелинейные коэффициенты Ч и WB0 поменяют знак на противоположный. Это обусловленно тем, что фазовая скорость высокочастотной быстрой МГД-волны всегда больше скорости чисто акустических высокочастотных возмущений сш/ -с„ 0, и наоборот фазовая скорость высокочастотной медленной МГД-волны всегда меньше скорости высокочастотных акустических возмущений свд-сш 0. Наглядным примером, демонстрирующий данный факт являются, представленные ранее, полярные диаграммы для фазовой скорости (Рисунки 3, 4). Указанное изменение знаков, в частности, приведет к тому, что рассмотренные далее автоволновые импульсы по плотности и по магнитному полю порожденные медленной МГД волной будут иметь противоположные фазы.
Результаты численного моделирования эволюции магнитогазодинамических возмущений с помощью одномерной системы уравнений магнитной гидродинамики
Результаты, представленные в предыдущем разделе, получены на основе нелинейного МГД уравнения (2.82), выведенного с помощью ряда упрощающих приближений. Поэтому для проверки, полученных результатов, а также подтверждения, того, что полученное в диссертации нелинейное магнитогазодинамическое уравнение способно качественно и с достаточно хорошей точностью описывать динамику волн в активной плазменной среде, необходимо провести сравнение с результатами решения исходной системы уравнений магнитной гидродинамики.
Также как и в предыдущем разделе, в первую очередь исследуем процесс образования автоволновых структур. Начнем с рассмотрения процесса распада быстрой магнитогазодинамической ударной волны, распространяющейся поперёк магнитного поля в плазменной среде со значением параметра бета /3P=2. В качестве начального возмущения мы использовали возмущение продольной компоненты скорости VZ Left =VzcT =0.05, которое соответствует возмущению плотности pjp0 к 0.03 и удовлетворяет условию образованию автоволновых решений р рcr1 =0.103.
Результаты численного моделирования процесса образования последовательности автоволновых импульсов в различные моменты, показаны на рисунке 37. Численно найденное значение амплитуды, установившегося решения в виде импульса равно р num = 0.20.
В представленном в данном разделе расчетах были использованы: шаг по пространственной сетке А/г = 0.002 и шаг по временной сетке А/ = 0.0005, искусственная вязкость rj = 0.0004 . Величина искусственной вязкости, на несколько порядков больше диссипативных коэффициентов, обуславливающих конечную электрическую проводимость, для реальных астрофизических сред и соответствует отношению сдвиговой и второй вязкости \TJ/ 0\ = 0.004.
На рисунке 38, представлены результаты численного моделирования процесса генерации последовательности автоволновых импульсов в плазме со значением параметра бета Д, = 1. В качестве начального условия при расчетах также использовалось возмущение по продольной компоненте скорости Le/(=0.05, что соответствует распространению в среде без источника ударноволнового профиля с амплитудой по плотности р « 0.025. Параметры сетки и величина искусственной вязкости совпадают теми, что были использованы при моделировании процесса распада при ДP = 2. Распад быстрой магнитогазодинамической волны в виде «ступеньки» на последовательность автоволновых импульсов при (5P = 1, в моменты времени (а) t = 0.5г0, (b) t = 1800г0, (с) t = 2700г0. Результаты, показанные на Рисунке 38, подтверждают уменьшение амплитуды автоволновых структур с уменьшением параметра бета, предсказанное ранее на основе решения нелинейного МГД уравнения. Согласно данным результатам амплитуда сформированных импульсов равна о =0.145, что также находится в хорошем соответствии с результатами, p_nm предсказанными аналитически и численно с помощью нелинейного МГД уравнения.
Далее рассмотрим эволюцию начального возмущения, соответствующего в равновесной среде, ударной волне со значением плотности за фронтом /?=0.2. На рисунке 39 показано формирование ударной волны с уменьшением плотности за фронтом волны в различные моменты времени. 160 Рисунок 39. Образование ударноволнового фронта с понижением плотности за фронтом при Д = 2, в моменты времени (а) t = 0.05г0, Амплитуда плотности за фронтом, согласно результатам численного моделирования равна р, = О 307. Величина искусственной вязкости, а пит спользованной при расчетах, считалась равной rj = 0.002.
После завершения численного счета, все полученные результаты были перемасштабированы из масштаба по пространству z/zch в масштаб z/cmfsr0 для сравнения с результатами моделирования нелинейного магнитогазодинамического уравнения. На Рисунке 40 представлено сравнение структуры ударноволнового импульса, предсказываемой аналитическим решением (2.104) (пунктирная линия) и структуры импульса, полученного на основе решения полной системы уравнений магнитной газодинамики (сплошная линия). Для сравнения был использован импульс, полученный при величине плазменной беты Д, = 2.
Как можно видеть по представленным результатам, аналитически предсказываемые значения параметров структур находят в близком соответствии со значениями, полученными как на основе численного решения исходной системы уравнений магнитной гидродинамики, так и со значениями, полученными на основе численного решения нелинейного магнитогазодинамического уравнения. Таким образом, можно утверждать, что полученное в ходе диссертационного исследования нелинейное МГД уравнение способно адекватно описывать эволюцию магнитогазодинамических волн в плазменной среде с обобщенной функцией тепловых потерь,. Аналитические решения нелинейного МГД уравнения соответствуют установившимся волновым МГД структурам в изоэнтропически неустойчивой плазменной среде, описываемым полной одномерной системой МГД уравнений.
С помощью системы МГД уравнений было также показано, что полученные магнитогазодинамические автоволновые ударные импульсы обладают свойством восстанавливать свою форму после взаимодействия с подобными структурами. На рисунке 41, показан процесс взаимодействия двух автоимпульсов в различные промежутки времени. В качестве начальных условий использовался импульс, полученный в результате моделирования генерации последовательности автоволновых импульсов при величине параметра бета равного ДP = 2.