Введение к работе
Диссертация посвящена анализу нового класса гиперболических моделей теории мелкой воды, учитывающих влияние дисперсии, перемешивания и топографии в течениях жидкости со свободной границей.
Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе приведены постановки задач и модели мелкой воды, учитывающие эффекты дисперсии, топографии и обрушения волн. Во второй главе различные модели второго приближения теории мелкой воды (Грина — Наг-ди, Серра и т.д.) и их гиперболические аппроксимации применены для анализа волновой структуры в окрестности локального препятствия. В третьей главе изучена структура нелинейных волн в течениях жидкости над наклонной плоскостью. В заключении приведены результаты диссертационной работы.
Актуальность исследований. Моделирование движения потока в открытом канале связано с важными практическими задачами гидравлики, такими как течения в различных естественных и искусственных водоводах, течения жидкости в окрестности порогов, выход волн на берег, перенос осадков на дне каналов и каньонов.
Для описания взаимодействия нелинейных волн используется второе приближение теории мелкой воды. Существуют разные варианты уравнений, учитывающих в длинноволновом приближении влияние дисперсионных эффектов на структуру нелинейных поверхностных и внутренних волн путем введения членов, содержащих производные высоких порядков. К данному классу уравнений относятся уравнения Грина — Нагди в теории мелкой воды [Gavrilyuk, Teshukov, 2001; Green, Naghdi, 1976], уравнения Иорданского — Когарко для пузырьковой жидкости и др. Соответствующие модели не описываются системами гиперболических уравнений, что усложняет постановку задач, исследование корректности и численное интегрирование уравнений. Для описания дисперсионных эффектов в течениях однородной жидкости со свободной поверхностью предлагается формальный метод получения моделей, описывающих эволюцию нелинейных дисперсионных волн в рамках гиперболических систем уравнений теории мелкой воды [Ляпидевский, 1998; Ляпидевский, Тешуков, 2000].
Уравнения гиперболического типа возникают при осреднении уравнений второго приближения теории мелкой воды по фиксированному временному интервалу. Исследование эффективности нелинейных дисперсионных уравнений гиперболического типа применительно к нестационарным проблемам теории мелкой воды является содержанием работы.
При математическом моделировании внутренняя структура гидравлического прыжка (перехода от сверхкритического потока к докритиче-скому, в котором генерируется турбулентность с последующей диссипацией энергии) зависит от используемой модели. Волновой бор описывается в рамках модели второго приближения теории мелкой воды в работе [Grimshaw, Smyth, 2008]. Модель турбулентного бора, основанная на законах сохранения массы, импульса и энергии предложена в [Madsen, Svendsen, 1983, 1984]. В монографии [Ляпидевский, Тешуков, 2000] предложено развитие данного метода в рамках двухслойной мелкой воды с поверхностным турбулентным слоем. Эффекты дисперсии и перемешивания оказывают влияние на структуру течения как внутри гидравлического прыжка, так и на большом расстоянии от фронта волны. Описание перехода от волнового бора к развитому турбулентному в рамках одной модели является одной из проблем гидравлики открытых русел. Указанные модели относятся к течениям над ровным дном, в то же время в литературе представлено много экспериментальных работ, посвященных изучению установившихся гидравлических прыжков в наклонных каналах, например, [Gunal, Narayanan, 1996; Bakhmeteff, Matzke, 1938]. В последней работе также изучена структура "затопленных" гидравлических прыжков, генерируемых в нижнем бьефе плотины.
Целями настоящей работы являются:
исследование модели течений мелкой воды, учитывающих эффекты дисперсии, топографии и перемешивания; обоснование эффективности гиперболической аппроксимации моделей второго приближения теории мелкой воды;
решение задачи о генерации волн движущимся препятствием; нахождение условия устойчивости равномерного течения над наклонным дном; исследование малых возмущений в длинных наклонных каналах (катящиеся волны);
асимптотический вывод гиперболической аппроксимации уравнений Грина—Нагди; построение разных типов течений над порогом; исследование структуры волновых и турбулентных боров в рамках одной модели.
Методы исследования. При получении результатов работы использовалась теория уравнений математической физики, классическая теория гиперболических систем квазилинейных дифференциальных уравнений и их приложений. Для численного решения применялись конечно-разностные методы.
Научная новизна. В диссертации исследуются течения однородной жидкости над неровным дном. Проведен анализ нового класса гиперболических моделей теории мелкой воды, учитывающих влияние дисперсии, перемешивания и топографии в течениях жидкости со свободной границей.
Все результаты работы являются новыми. Их достоверность устанавливается сравнением с построенными ранее моделями, иллюстрируется примерами точных решений, наглядным графическим материалом, сравнением с экспериментальными данными других авторов.
Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что рассмотренный класс уравнений может быть эффективно использован наряду с моделями второго приближения теории мелкой воды для описания нелинейных волновых процессов в открытых каналах. Результаты исследования вносят существенный вклад в гидравлику прибрежной зоны.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались
— на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. М. Тешукова и
д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского в Институте гидродинамики
им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
— на семинаре под руководством академика Л. В. Овсянникова и
д.ф.-м.н. А. П. Чупахина в Институте гидродинамики
им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
а также на следующих научных конференциях:
Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003, 2007), (Москва, 2005, 2009),
Международная школа-конференция "Nonlinear Processes in Marine Sciences" (Хагери, Эстония, 2003),
Международная школа-конференция "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2004, 2009),
Всероссийские конференции "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)" (Абрау-Дюрсо, 2004), "Аналитические методы в газовой динамике (САМ-ГАД)" (Санкт-Петербург, 2006) и "Актуальные проблемы прикладной математики и механики (АФСИД)" (Абрау-Дюрсо, 2008),
Международная школа-конференция "Waves in Geophysics" (Удине, Италия, 2005).
Всероссийская конференция "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва" (Новосибирск, 2007),
Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых " Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [1]—[4]. Работа [3] выполнена в соавторстве с В. Ю. Ляпидевским. Вклад авторов в совместной работе является равным.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 107 страниц состоит из введения, трех глав, заключения, 31 иллюстрации и списка литературы из 51 наименования.
