Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Такмазьян Андрей Куркенович

Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью
<
Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Такмазьян Андрей Куркенович. Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.05 : Москва, 2003 95 c. РГБ ОД, 61:04-1/109-1

Содержание к диссертации

Введение

I Математические модели течения многослойных пленок вязкой несжимаемой жидкости 16

1 Гранично-краевые задачи пленочных течений 18

1.1 Граничная задача для уравнений Навье-Стокса . 18

1.2 Безразмерная постановка граничной задачи 20

1.3 Краевые задачи стационарных и квазистационарных пленочных течений 23

2 Сведение гранично-краевой задачи к системе эволюционных уравнений для толщины пленки 25

2.1 Приближение пограничного слоя 25

2.2 Метод Галеркина 26

II Нанесение пленки вязкой жидкости на движущуюся поверхность 31

1 Приложения и эксперимент 31

2 Постановка задачи 33

3 Приближение Са <С 1 без выделения зоны мениска 35

3.1 Метод непрерывного сопряжения со статическим ме ниском (при F ф 0, с ф 0) 39

4 Приближение ^2< 1, 8Н' ~ 1 с выделением зоны мениска . 40

III Вытеснение вязкой жидкости из капилляров 44

1 Математические модели движущегося мениска 45

2 Инерционные режимы вытеснения жидкости газом 48

3 Немонотонные профили границы раздела 52

IV Течение пленки жидкости под воздействием термокапиллярного эффекта Марангони 55

1 Мениск 55

2 Фронт 60

Заключение 64

Приложение 66

Иллюстрации 76

Введение к работе

Тонкая пленка жидкости на твердой поверхности — основной технологический элемент в ряде важных процессов и устройств современной техники. Можно упомянуть защитные пленки покрытия на металлических, стеклянных, пластмассовых нитях; пленки оптически активного вещества на плоских подложках для кино- и фототехники; остаточные пленки на стенках цилиндрических и плоских капилляров, образующиеся при вытеснении из них вязкой жидкости другой менее вязкой жидкостью или газом; пленки загрязнителей, образующиеся при самопроизвольном растекании капель жидкости под воздействием градиентов поверхностного натяжения или массовых сил.

В полной постановке гидродинамический расчет таких течений сводится к решению сложной многопараметрической краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в области с неизвестной границей. Эта граница образуется свободной поверхностью жидкости или поверхностью раздела и включает зоны пленочного течения и мениска: в разных задачах граница пленки дополняется неизвестными формами движущихся фронтов или областями менисков при извлечении поверхностей из объемов жидких растворов. В общем случае течения в этих задачах очень сложны по структуре, по обилию физических процессов, определяющих пленочные образования, и пока не имеется их прямых исследований без упрощений и облегчающих задачу дополнительных ограничений. Начиная с самых первых работ по определению толщины пленок нанесения рассматривалась не система уравнений Навье-Стокса, а разумные балансовые соотношения, и справедливость их оценивали из сравнения экспериментальных толщин пленок с результатами решения. Много десятилетий эта задача была предметом обсуждений экспериментаторами и предметом сравнений различных приближений решения с количественными значениями толщины пленок в зонах асимптотического их постоянства.

Эффективный метод исследования капиллярных пленочных течений, основанный на применении приближения пограничного слоя к полной краевой задаче, был предложен в Институте Механики МГУ классической работой (Шкадов, 1967), в которой из полной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса выведена система модельных уравнений, сохраняющая с большой точностью все свойства исходной постановки, связанные с действием сил капиллярности, вязкости, инерции, гравитации, но допускающая и то же время систематические и быстрые численные расчеты. Последнее обстоятельство особенно важно для анализа капиллярных течений с поверхностями раздела, исследование которых сводится к многопараметрическим моделям. В развитие этой работы был создан целый раздел гидродинамики волновых пленок, дано теоретическое истолкование основных экспериментальных фактов, решена знаменитая задача П. Л. Капицы (Капица, Капица, 1949) о нелинейных волнах и открыты новые свойства нелинейных волн в системах с дисперсией и диссипацией, в частности, в капиллярных движущихся пленках. И. П. Семеновой и А. Е. Якубенко в рамках метода Шкадова была рассмотрена задача отекания пленки вязкой несжимаемой жидкости по сухой вертикальной стенке с постоянной скоростью (Семенова, Якубенко, 1980). Для задачи извлечения тела из объема жидкости при конечных скоростях извлечения расчеты возмущенной поверхности жидкости, объединяющей слой увлечения и мениск, непрерывно и гладко сопрягающихся в промежуточной области, были проведены в цикле работ коллектива В. Я. Шкадов, В. П. Шкадова, А. Е. Кулаго и А. К. Такмазьян (Кула-го и др., 1993; Koulago et al, 1995; Шкадов, Шкадова, 1997; Кулаго и др., 1997; Такмазьян, Шкадов, 2002; Шкадов, Такмазьян, 2003). Плодотворность выдвинутых идей Шкадова была использована и другими коллективами в экспериментальных и теоретических исследованиях пленочных течений, результаты которых в частности отражены в монографиях (Холпанов, Шкадов, 1990; Алексеенко и др., 1992; Chang, Demekhin, 2002).

В настоящей работе приводятся результаты исследования систем модельных эволюционных уравнений применительно к пленочным течениям на поверхности вытягиваемых из жидкого объема нитей, вытеснения вязкой жидкости из цилиндрического капилляра, натекания жидкости на твердую поверхность под действием термокапиллярного эффекта Марангони. Эти три гидродинамические системы мениск-пленка рассмотрены в условиях высокоинтенсивных движений, когда требуется включения в математические модели всех главных нелинейных членов, связанных с инерционной частью уравнений и кривизной поверхности раздела в граничных условиях. Наряду с осесимметричными течениями рассматриваются также соответствующие им плоские мениски и пленки. Во всех случаях построение моделей сопровождается их численным решением и математическим моделированием путем варьирования основных свободных управляющих параметров. Результаты численного моделирования сопоставляются с имеющимися экспериментальными данными.

Нанесение пленочных покрытий вытягиванием тела из объема жидкости На поверхности твердого тела, движущегося из жидкости в газ или другую жидкость, образуется пленка. При движении тело пересекает границу раздела фаз, увлекая за собой тонкий слой жидкости — происходит покрытие поверхности тела пленкой, а сама граница раздела вблизи поверхности тела искривляется, образуя динамический мениск. Из-за небольшой толщины пленки целесообразно рассматривать движение жидкости в пленке в рамках приближения пограничного слоя, что существенно облегчает решение уравнений движения.

В первой работе (Landau, Levich, 1942), в которой было предложено решение задачи о толщине образующейся пленки на вытягиваемой верти кально вверх из объема жидкости плоской пластине, существенно предпо ложение о порядке малости толщины пленки, таком, что силы гравитации и инерции дают пренебрежимо малый вклад в динамику жидкости в пленке и динамическом мениске. Данное предположение верно лишь при предель- ф но малых скоростях извлечения пластины из жидкости, при Са —> О, где Ca — число капиллярности по скорости пластины. Подход работы Ландау и Левича основан на асимптотическом сращивании профилей статического мениска и поверхности пленки, так, чтобы давление в пленке, индуцированное кривизной ее поверхности, изменялось непрерывным образом. При этом в выражении кривизны поверхности динамического мениска не учитываются нелинейные члены.

Потребности практики не могли ограничиваться только малыми скоростями вытягивания, и поэтому поиски теоретических обоснований новых экспериментальных данных, не описываемых формулой Ландау-Левича продолжались. Путем сравнения линеаризованных около асимптотического решения (в области постоянной толщины пленки) уравнения без гравитационного члена и уравнения с учетом гравитации в работе (White, Tallmadge, 1965) из формулы Ландау-Левича было получено соотношение между числом капиллярности и относительной толщиной пленки, которое применимо в более широком диапазоне по числу капиллярности. В работе (Spiers et ai, 1974) учтено в первом приближении изменение давления вдоль поперечной к пленке координате, которым в приближении пограничного слоя пренебрегают. Такое уточнение позволяет с хорошей точностью предсказывать толщину пленки, но только для достаточно вязких жидкостей, когда эффекты инерции пренебрежимо малы. Недостаток подхода работы (Landau, Levich, 1942) — разрывный профиль мениска — сохраняется и в данных работах, в них фактически используется асимптотическое сращивание профилей менисков, предложенное в (Landau, Levich, 1942). Главным результатом этих работ является отыскание зависимости безразмерной асимптотической толщины пленки вдали от мениска от числа капиллярности по скорости пластины — фактически в задаче присутствуют два безразмерных параметра (один из них неизвестен и находится при решении). Некорректность такой постановки задачи для вытягивания при конечных скоростях показана еще в работе (Tallmadge, Soroka, 1969). Задача вытягивания содержит шесть размерных величин: плотность и вязкость жидкости, скорость дви- жения пластины, толщина образующейся пленки (неизвестная), ускорение силы тяжести, поверхностное натяжение. Как легко заключить, безразмерных параметров всего три, а не два, как считается в предыдущих работах: при учете инерции кроме искомой относительной толщины пленки и числа капиллярности в задачу должен входить дополнительный параметр, выражающий физические свойства жидкости, например, число Капицы. Такие инерциальные режимы нанесения покрытий осуществляются при числах Рейнольда по толщине пленки порядка единицы: больших скоростях извлечения пластины или когда вязкость жидкости сравнительно невелика. Для жидкости, число Капицы которой существенно больше единицы, подход работ (Landau, Levich, 1942; White, Tallmadge, 1965; Spiers et a/., 1974) оправдан лишь при малых скоростях извлечения, в пределе Са —> 0.

Другой предельный случай, Са —> со, обозначает режимы, когда скорости извлечения настолько высоки, что распределением давления в мениске из-за сил поверхностного натяжения можно пренебречь. Этот случай рассмотрен в работе (Cerro, Scriven, 1980). Полученное авторами значение безразмерной асимптотической толщины пленки несколько меньше наблюдаемого в экспериментах (Kizito et ai, 1999), но оно может служить для проверки решения полной задачи с учетом инерционных, гравитационных и капиллярных сил в пределе при Са —> со.

Непрерывный профиль динамического мениска построен в работе (Kheshgi et а/., 1992). В ней решалось уравнение для поверхности мениска работы (Kheshgi, 1989), выведенное в первом приближении разложением по малому параметру — числу капиллярности — из полной системы уравнений Навье-Стокса с учетом инерционной и гравитационной составляющих. Такой подход дает сильно заниженное значение для толщины пленки, предел при Са —> со меньше, чем результат работы (Cerro, Scriven, 1980).

Новый теоретический подход к задаче нанесения покрытий, учитывающий эффект инерции, предложен в (Кулаго и др., 1993). Он основан на сращивании решений профиля динамического и статического менисков в некоторой промежуточной точке, подбираемой в процессе решения. Такой подход дает построение гладкого с непрерывными третьими производными профиля динамического мениска и позволяет продвинуться в истолковании экспериментальных данных до умеренных значений Са, на порядки больших верхней границы применимости по Са формулы Ландау-Левича. Этот результат был получен из системы уравнений, учитывающей нелинейные конвективные члены в краевой задаче, роль которых возрастает с увеличением скорости движения твердой поверхности.

Теория, с учетом полной кривизны поверхности раздела, позволяющая получить абсолютно гладкий профиль мениска при вытягивании цилиндра из объема жидкости, построена в работах (Кулаго и др., 1993; Шкадов, Шкадова, 1997) в применении к задаче о пленке на круглом цилиндре. Расчетные значения толщины пленки показали хорошее соответствие с экспериментом (de Ryck, Quere, 1996; Quere, 1999). Экспериментальные данные демонстрировали тот факт, что при числах Са порядка 0,01 зависимость асимптотической толщины пленки от числа капиллярности существенно перестраивается, качественно отличается от зависимости Ландау-Левича. Результаты интегрирования системы уравнений, выведенных в работе (Шкадов, Шкадова, 1997) с учетом в граничных условиях производных от профиля свободной поверхности до третьего порядка, отразили с достаточной точностью это явление. Это решение было существенным продвижением в задаче извлечения нити из жидкости, так как полученные результаты пригодны до Са ~ 1.

Вытеснение вязкой жидкости из капилляров В процессе вытеснения ВЯЗКОЙ жидкости другой жидкостью или газом из круглого капилляра возникает сложное течение с поверхностью раздела, которая включает в себя область динамического мениска вблизи передней точки движущегося фронта раздела и область кольцевой остаточной пленки асимптотически постоянной толщины вдали от передней точки. Экспериментальные исследования таких течений (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961; Goldsmith, Mason, 1963; Aussillous, Quere, 2000) касаются, прежде всего, измерений толщины остаточного слоя на стенках капилляра и показывают, что не существует единой корреляционной кривой, которая объединяла бы все экспериментальные точки.

Решение задачи о толщине остаточной пленки на стенках капилляра при Са ч0 в рамках асимптотического подхода работы Ландау и Ле-вича для задачи о пленке на пластине, вытягиваемой из объема жидкости, было предложено в работе (Bretherton, 1961). Асимптотический метод (Bretherton, 1961) развит в работе (de Ryck, 2002), где сделана попытка учесть вклад инерции при малых инерционных членах в уравнении Навье-Стокса и использована поправка в уравнениях приближения смазки, введенная в (Spiers et al., 1974) для задачи о пленке на вытягиваемой пластине. При этом в (de Ryck, 2002) критерий для определения предельной толщины пленки выбирался исходя из эмпирических соображений.

Новый подход к задаче нанесения покрытий, заключающийся в построении системы уравнений, допускающей сквозной счет от асимптотических условий постоянства толщины пленки до передней точки динамического мениска (Шкадов, Шкадова, 1997) был применен и к процессу вытеснения жидкости из капилляра как при малых, так и при больших значениях Са (Кулаго и др., 1997). Было получено хорошее согласие теоретических решений с экспериментальными данными (Fairbrother, Stubbs, 1935; Bretherton, 1961; Taylor, 1961) и обнаружен немонотонный характер формы вытеснения в интервале капиллярных чисел от Са = 0, 05 до Са = 0, 5.

В настоящей работе дано развитие гидродинамической теории процесса вытеснения жидкости из капилляра, обеспечивающее возможность истолкования экспериментов при различных условиях и прежде всего для инерционных режимов вытеснения, наблюдавшихся в работе (Aussillous, Quere, 2000). Для этого система уравнений работы (Кулаго и др., 1997) обобщается посредством учета сил инерции; выводится полная система уравнений для формы поверхности раздела жидкостей при вытеснении из капилляра с учетом взаимодействия фаз. Получены численные решения данной системы для теоретического истолкования результатов эксперимента (Aussillous, Quere, 2000). Также получены решения, соответствующие немонотонным профилям границы раздела, и обсуждена их связь с экспериментальными данными работ (Fairbrother, Stubbs, 1935; Schwartz et al, 1986; Scoffoni et a/., 2001).

Течение пленки под воздействием эффекта Марангони Один из способов нанесения тонкого слоя жидкости на твердую неподвижную подложку состоит в создании градиента температуры на поверхности контакта подложки с жидкостью. Вследствие этого возникает градиент поверхностного натяжения, который служит движущей силой, вызывающей растекание жидкости по подложке (эффект Марангони). При этом движение жидкости может быть направлено против действия массовых сил. Вертикальные пленки в поле силы тяжести с движущимся вверх фронтом наблюдались в экспериментах (Ludviksson, Lightfoot, 1971; Carles, Cazabat, 1993; Fanton et a/., 1996). В этом случае пленка ограничена снизу зоной мениска и сверху движущимся фронтом.

При движении фронта пленки на линии контакта поверхности пленки с твердой подложкой невозможно выполнение условия равенства нулю скорости жидкости на твердой поверхности. Это ограничение можно снять, предположив, что пленка распространяется не по сухой подложке, а поверх тонкого слоя жидкости ("предвестника"), возникшего в результате испарения жидкости из пленки и конденсации ее на подложке. Такой предвестник наблюдался в (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Теоретические работы (Kataoka, Troian, 1997, 1998) по исследованию термокапиллярного течения на вертикальной пластине посвящены определению профиля фронта термокапиллярной пленки. Для решения такой задачи необходимо знать условия на границах исследуемой области — асимптотическую толщину пленки вда- ли от фронта и толщину предвестника. Толщина пленки определяется течением в области мениска — области перехода пленки в объем жидкости. Таким образом, задача определения параметров термокапиллярного нате-кания жидкости на твердую вертикальную пластину заключается в решении уравнений движения и определении формы границы течения в области динамического мениска и в области фронта пленки. В настоящей работе представлены первые результаты по этой новой задаче, полученные интегрированием системы уравнений, характерной для подхода работы (Шка-дов, Шкадова, 1997) и дополненной необходимыми граничными условиями для конкретного случая термокапиллярной пленки (Такмазьян, Шкадов, 2002).

Подробное экспериментальное исследование термокапиллярной пленки на вертикальной стенке было проведено в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971). Авторами этой работы было экспериментально установлено, что толщина пленки линейно зависит от приложенного градиента поверхностного натяжения. Экспериментальные измерения толщины термокапиллярной пленки были проведены также в работах (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al, 1996). В работе (Fanton et a/., 1996) было сделано обобщение формулы Ландау, из которой таким образом была получена формула для зависимости асимптотической толщины пленки от градиента поверхностного натяжения. При этом в области значений параметров, соответствующей эксперименту этой работы, данная формула требует поправки порядка 20% в градиенте поверхностного натяжения, в то время как результаты нашей работы в определении толщины пленки полностью соответствуют экспериментам (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et a/., 1996).

В настоящей работе проведен расчет профиля мениска термокапиллярной пленки для случая свободной геометрии (когда нет влияния границ объема жидкости). Полученные результаты совпадают во всем диапазоне параметров с данными экспериментов (Carles, Cazabat, 1993; Fanton et al, 1996). Построена модель и проведены расчеты фронта термокапиллярной пленки. Рассчитанные профили фронтов хорошо соответствуют измеренным экспериментально в работе (Ludviksson, Lightfoot, 1971).

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе формулируется общий подход, три последующие отражают результаты решения трех основных задач.

Граничная задача для уравнений Навье-Стокса

Рассматривается течение без смешения п слоев вязких несжимаемых жидкостей, расположенных один поверх другого, с плотностью pi и динамической вязкостью \іі (і = 1,...,п), причем первый слой течет по цилиндрической поверхности твердого тела радиуса R, а n-й слой имеет поверхность, свободную от напряжений. В задаче присутствует параметр j: если течение происходит по внешней стороне цилиндрической поверхности, то j = 1, если по внутренней — j = — 1. Используется цилиндрическая система координат (z,r,cp), где ось z совпадает с осью цилиндра, ось г направлена по радиусу, ср — угол поворота радиуса вокруг оси z. Рассматриваемые движения симметричны относительно поворота вокруг z: д/д(р = О, и имеют нулевую азимутальную составляющую скорости. Во введенной системе координат компоненты скорости стенок цилиндра вдоль осей z, г равны С/о, Vo, причем С/о = const, VQ — 0. Поверхность цилиндра задана уравнением г = so = R, граница раздела г -й и (г 4- 1)-й жидкостей — уравнением г = Si(z,t), і = l,...,n — 1, свободная поверхность n-й жидкости — уравнением г = s.n(z,t); причем jsi-i jsi (і = 1,...,п). Здесь t — время. При z — со: S{ — R + jhi, hi — const 0. Компоненты скорости жидкостей вдоль осей z, г и давление равны соответственно C/j, "Ц, Д. Разработанный в Институте Механики МГУ (Шкадов, 1967, 1968, 1973; Епихин и др., 1989а,Ь) метод исследований течений тонких пленок основывается на трех существенных моментах. Вводится малый параметр, характеризующий отношение производных искомых величин по продольной и поперечной координатам, и исходная краевая задача для уравнений Навье-Стокса сводится к задаче для уравнений типа пограничного слоя с самоиндуцированным давлением. Выбирается базисная система функций от поперечной координаты, искомые решения разлагаются по этой системе и методом Галеркина выводятся дифференциальные уравнения для коэффициентов разложений. Набор безразмерных параметров задачи приводится к простейшему виду на основе предположения, что рассматривается класс течений, в которых силы вязкости, тяжести и поверхностного натяжения имеют одинаковый порядок.

В работах (Шкадов, 1967, 1968, 1977) в первом приближении метода Галеркина была выведена система эволюционных уравнений для толщины пленки и текущего расхода с единственным параметром подобия 6. В (Шкадов и др., 1981; Демехин и др., 1987) выведены системы с N аппроксимирующими функциями, в (Chang, Demekhin, 2002) даны примеры расчетов.

Система эволюционных уравнений работы (Шкадов, 1967), известная в настоящее время как модель Шкадова (см. (Алексеенко и др., 1992; Ruyer-Quil, Manneville, 1998; Зейтунян, 1998; Chang, Demekhin, 2002; Shkadov, 2002)) явилась эффективным средством исследования нелинейных волн в стекающих пленках. Она позволила полностью истолковать как знаменитые эксперименты П. Л. Капицы, С. П. Капицы с волновыми пленками на вертикальной поверхности (Капица, Капица, 1949), так и более поздние экс перименты (Алексеенко и др., 1992).

В работах (Кулаго и др., 1993; Koulago et al, 1995; Шкадов, Шкадо-ва, 1997; Кулаго и др., 1997) метод работы (Шкадов, 1967) модифицирован должным образом и применен к выводу модельных уравнений для стационарным течений пленок, формирующихся на плоской или цилиндрической поверхности при извлечении их из жидкого объема. Модификация связана с правильным учетом сильно нелинейных членов в граничных условиях, которые малы в области пленочного течения, но велики в зоне мениска. Полученные численные решения модельных уравнений оказались пригодными для истолкования экспериментов с нанесением покрытий на плоские и осе-симметричные поверхности и с вытеснением жидкости из осесимметричных капилляров.

Метод исследований многослойных течений вязкой жидкости для плоского и осесимметричного случая, названный методом поверхностей равных расходов, разработан в (Шкадов, 1973). Приложения метода к расчету стационарных течений многослойных пленок и составных капиллярных струй даны в работах (Radev, Shkadov, 1985; Епихин и др., 1989а,Ь; Холпа-нов, Шкадов, 1990). В отчете № 4349 Института Механики МГУ (Шкадов, Шкадова, 1994) метод применен к исследованию течения газовых смесей в канале переменного сечения в поле силы тяжести. Исследования нестационарных волновых течений двухслойных струй и пленок проведены в (Radev, Shkadov, 1985; Тушканов, Шкадов, 2003).

Приближение пограничного слоя

Сохраняя основную идею метода Галеркина, основанную на разложении решения по выбранной базисной системе функций с последующей минимизацией невязки уравнения, необходимо в максимально возможной степени учесть особенности исследуемой задачи. Это достигается тем, что после введения малого параметра 5 (порядок отношения производных по продольной и поперечной координатам) в полной формулировке уравнений и граничных условий предварительно отбрасываются члены порядка 0(52): но сохраняются члены S2H 52We , 52Re , 2Fr2, отражающие вклад поверхностного натяжения, вязкости, гравитации в баланс сил. Влияние первого из указанных членов существенно в зоне мениска, остальные три определяют поле течения в целом.

В области мениска производная Н не ограничена (условие (17), к = — оо) и члены порядка /3 = 5Н не малы даже при малых 5. Заметим, что функции а не все независимы, связь между ними задается граничными условиями (21,24); п условий (21) для и, п условий (24), п уравнений (32,33) и п уравнений (34) составляют систему 2п нелинейных эволюционных уравнений и 2п нелинейных связей для п функций Н (, ) и N х п функций а (ї, ). Следуя (Шкадов, 1967), мы полагаем N = 3, замыкая таким образом систему и ограничиваясь первым шагом в применении прямого метода (Галеркина).

Параболическое приближение скорости Так же, как в (Шкадов, 1967; Кулаго и др., 1993; Koulago et ai, 1995; Шкадов, Шкадова, 1997), продольная компонента скорости каждой жидкости приближается полиномом второй степени по rj: В технологии покрытия поверхностей тонкими слоями вещества и получения пленок широко распространен способ вытягивания из объема жидкости (или протягивания через него) твердой основы, на которой образуется пленка. Например (Scriven, Suszynski, 1990): бумагу, для улучшения качества печати на ней, покрывают смесью из воды, глины, красителей, крахмала и полимерного латекса; расплавленный полиэтилентерефталат (ПЭТ) наносится на охлажденный ролик, после застывания с ролика снимается готовая пленка, которую также можно использовать как основу для покрытия; на тонкую основу из ПЭТ наносится вода, желатин и разнообразные фотореактивы для получения фотопленки; алюминиевые и ПЭТ-диски покрываются растворителем, намагничиваемым оксидом железа, окисью алюминия и полимерной основой для создания магнитных носителей информации; листовое железо покрывают расплавленным оловом для защиты от окисления; на жесть наносятся полимеры, перед формовкой из нее деталей корпуса автомобилей или бытовой техники; на листы из материалов с различающимися свойствами наносят полимерный клей или неорганический цемент и соединяют их в многослойные композиты.

Приближение Са <С 1 без выделения зоны мениска

При малых Са относительная толщина пленки є мала. Полагая є S2, пренебрегая членами порядка є и сохраняя члены порядка є/S2 получаем из (1-5,9,10) краевую задачу работы (Кулаго и др., 1993). Это система уравнений пограничного слоя, в которой распределение давления создается силой поверхностного натяжения в зависимости от кривизны поверхности. Для исследования применяется метод Галеркина с одной аппроксимирующей функцией. Численное интегрирование уравнения(18) проводится от = в сторону мениска. Асимптотическое поведение решения (18) при уменьшении для различных значений F, с показано на фиг. 1. Во всех случаях, кроме F = 0, с = 0, Я возрастает так же, как возрастает Н". Решение становится непригодным, так как противоречит третьему условию (16) в принятом приближении. Возникает необходимость склеить решение (18) с решением для статического мениска. Отметим, что рассматриваемый способ согласования решений уравнения (18) и уравнения статического мениска не обеспечивает построение решения, непрерывного с непрерывными производными. Он имеет интуитивный характер, предлагает алгоритм подбора /го, пригодный лишь при F = 0, с = 0 в уравнении (18), так как Н" — оо при F ф 0 или с ф 0.

Соотношения (30,31) открывают существенное обстоятельство, которое демонстрирует некорректность уравнения (18) при корректной процедуре склеивания его решений с решением уравнения статического мениска (22). Именно, в (30,31) существенно входит величина 52Н 2, которая считалась малой при выводе (18). При корректном выводе уравнения типа (18) для пограничного слоя с самоиндуцированным давлением мы должны сохранять члены SH , считая, что 5Н может быть порядка единицы при как угодно малом 6.

Решения краевой задачи для системы (34) представлены на рис. 6 для различных 7; указанных возле каждой кривой. Качественно наблюдается та же картина, что и в экспериментальных наблюдениях (рис. 2): при 7 3, 5 график F(Ca) представляет возрастающую функцию, асимптотически стремящуюся к константе 0,391 с ростом Са. При 7 3,5 график зависимости F(Ca) имеет максимум, больший 0,391, после которого функция убывает и стремится асимптотически к той же константе. Число F = 0,391 было впервые получено в (Cerro, Scriven, 1980), где рассматривалась пленка на вытягиваемой пластине без учета сил поверхностного натяжения.

Количественное сравнение теории с экспериментом работы (Kizito et аі. 1999) представлено на рис. 7, где символами нанесены данные измерений этой работы, цифрами указаны соответствующие кривые, полученные при решении системы (34) с теми же значениями параметра 7, что и в эксперименте. Из рис. 7 видно, что при больших 7 теория расходится с экспериментом: данные измерений превышают полученные в расчетах.

Сравнение результатов решения системы (34) при малых 7 с экспериментами работ (Spiers et аі, 1974; Groenveld, 1970; Lee, Tallmadge, 1974) представлено на рис. 8. В работах (Spiers et аі, 1974) и (Lee, Tallmadge, 1974) не сообщаются все свойства рабочих жидкостей, чтобы можно было вычислить 7 С ростом числа капиллярности Са уменьшается влияние поверхностного натяжения в формировании мениска и течение определяется балансом сил вязкости (первое слагаемое в правой части третьего уравнения системы (34)), гравитации (второе слагаемое) и инерции (третье слагаемое).

Результаты (Gutfinger, Tallmadge, 1965) меньше, чем в остальных работах, что связано, как отмечено в (Spiers et al, 1974) с недостатками метода измерения и проведения эксперимента. В (Spiers et al, 1974; Gutfinger, Tallmadge, 1965; Kizito et al, 1999) экспериментальная установка включала вертикальный тонкий ремень, натянутый на два барабана, ремень протягивался через бак, наполненный жидкостью (рис.1 а, б). В работе (Gutfinger, Tallmadge, 1965) нижний барабан находился непосредственно внутри жидкого объема (рис.16), и вращение барабана могло вызывать течение в пленке, отличное от течения при вытягивании бесконечной пластины. В работе (Groenveld, 1970) вместо плоского ремня использовался вращающийся барабан большого радиуса, погруженный в жидкость (рис.1 в), и значение F так же, как и в (Gutfinger, Tallmadge, 1965) меньше, чем в (Spiers et al, 1974; Kizito et al, 1999). Пленка, полученная в (Kizito et al, 1999) наоборот, толще, чем в остальных работах, из-за действия сил инерции, увлекающих движущуюся жидкость из пограничного слоя в объеме в пленку.

Рассмотрим вытягивание цилиндра радиуса R вертикально вверх со скоростью U в поле силы тяжести д из объема жидкости вязкости /І И плотности р. Результат для пластины получим в пределе R — со. В постановке задачи раздела 1.1 главы I соответственно нужно положить п = 1, j = 1, UQ = U. Характерной скоростью является скорость цилиндра: Uc = U, щ = 1. Поскольку пленка однослойная и течение установившееся, djdl— 0, имеет смысл ввести более простые, чем в главе I, обозначения: Н = ЯW, и = и , v = V&, р = р(1), D = Dh Г = d//df.

Далее рассматриваются течения при постоянном поверхностном натяжении на границе раздела жидкости и окружающего газа: Г = 0. Кроме того, в задачах вытягивания практический интерес представляют высокоскоростные режимы нанесения пленок, когда их толщина существенно больше радиуса действия межмолекулярных сил, вызывающих расклинивающее давление: П = 0.

Инерционные режимы вытеснения жидкости газом

С целью определения формы профиля динамического мениска решается краевая задача для системы (10),(13) с краевыми условиями (6),(7). Четырем условиям (6),(7) для системы третьего порядка можно удовлетворить лишь при определенных значениях параметра є, которые задают толщину остаточной пленки ho = eR. Подстановка в (10),(13) малого возмущения решения (12) Я=1 + #і, =Хоо + Хі, #i 1, ci 1 и линеаризация по малым величинам дает после исключения к\ следующее линейное однородное уравнение для Н.

Пусть известны значения параметров Са, А, В. Заданием пробного значения є полностью определяются коэффициенты системы (10),(13). При некотором = о формулируются начальные условия после чего система (10),(13) численно интегрируется в сторону убывания . Значение подбирается так, чтобы в некоторой точке = выполнялись оба условия (7). Если такая точка существует, то, поскольку уравнения (10),(13) при замене независимой переменной на — не меняются, она является передней точкой фронта вытеснения, форма которого в этом случае задается функцией Я( — ), а найденное значение є определяет толщину остаточной пленки ho, отнесенную к радиусу капилляра R.

Поведение решений системы (10,13), вид функции т() на этих решениях и значения функционала Ф(#) при различных g приведены на рис. 10 при Са — 0,001; 5 = 0. Зависимость Ф(д) при Са = 0,001, построенная с шагом по д, равным 0,001, приведена на рис. 11.

Более быстрая сходимость алгоритма подбора достигается при использовании метода дихотомии. Интервал параметра є разбивается пополам, и численное интегрирование проводится либо до точки : Я ( ) —у — оо, либо до 2п—й точки : Я;( ) = 0. В зависимости от того, какое условие достигается на левом конце отрезка интегрирования, отбрасывается соответствующая часть интервала параметра.

Интерес представляет случай, когда значение с достаточно велико, так что инерцию следует учитывать. Для вытеснения этанола из горизонтальной трубки радиуса R = 0, 078 см значение параметра А равно 9800; при Са == 0,1 экспериментальное (Aussillous, Quere, 2000) значение є равно 0,2, что дает с & 90. Абсолютное значение характеристического числа линейной задачи и при больших с мало, поэтому расчет с прежней точностью приходится вести на более длинном интервале по . На рис. 12, а (кривая Ї) представлена рассчитанная зависимость є(Са) в диапазоне значений Са, соответствующем условиям проведения эксперимента (Aussillous, Quere, 2000). Для сравнения перечеркнутой линией приведена кривая, получающаяся из решения уравнений без учета инерции, с = 0. Были проведены также расчеты для экспериментов (Aussillous, Quere, 2000) с вытеснением слабовязкого силиконового масла, физические свойства которого, /І = 0,0052 г/(см с), р = 0, 76 г/см3, а = 16 г/с2, сообщил Давид Керэ (David Quere) — один из авторов работы (Aussillous, Quere, 2000). В данном эксперименте использовались три горизонтально расположенных капилляра с радиусами 0,146; 0,078; 0,042 см, что соответствует следующим значениям безразмерных параметров: В = 0; А = 65700, 35100, 18900. Рассчитанная для них зависимость q(Ca) приведена на рис. 12,6" (три кривые 1: сплошная, пунктирная и штрих-пунктирная соответственно). Исходя из рис. 12,5 можно определить числа капиллярности Са (обозначение работы (Aussillous, Quere, 2000)), начиная с которых наблюдается влияние инерции, а также числа капиллярности Са , при которых влияние инерции максимально. Они соответствуют минимумам и максимумам кривых 1 и совпадают с измеренными в (Aussillous, Quere, 2000).

Сплошная линия на рис. 9 построена по результатам численного решения уравнений, выведенных в (Кулаго и др., 1997) без учета инерционных членов. Каждое из этих решений соответствует монотонному профилю поверхности раздела от передней точки фронта до зоны асимптотического слоя постоянной толщины на стенке. Зависимость д(Са) на решениях с монотонным профилем поверхности раздела достаточно хорошо согласуется с данными, полученными в (Taylor, 1961; Bretherton, 1961; Goldsmith, Mason, 1963) при Са Ю-4. В (Кулаго и др., 1997) установлено, что суще ствуют также решения с немонотонными профилями поверхности раздела, у которых имеется N ( 1) локальных максимумов толщины остаточного слоя. Такие течения со стационарным фронтом вытеснения представляют последовательность выпуклых пузырей, соединенных тонкими перешейками, причем в расчетах были получены решения, содержащие до пяти пузырей (N = 1,...,5). В данной работе на основе тщательно проведенных численных расчетов этот фундаментальный результат (Кулаго и др., 1997) обобщается, а именно, справедливо следующее утверждение о неединственности решений: при каждом фиксированном значении Са существует последовательность решений cn = 0,l,2,...,7V максимумами толщины остаточной пленки, каждое из которых соответствует динамически возможному стационарному режиму вытеснения жидкости из капилляра.

На рис. 13,а,б приведены профили фронта вытеснения 1 — еН и (в соответствии с формулой (4) для скачка давления между фазами) распределения давления в пленке, взятого с обратным знаком, c/q при значениях свободных параметров Са = 0,1; В = 0; А = 0 (а), А = 9800 (б). Показаны монотонный профиль границы раздела, профиль с одним и двумя горбами.

Отметим два свойства решений с немонотонным профилем поверхности раздела: а) асимптотическая толщина пленки ho для них больше, чем у пленок с монотонной границей и растет с увеличением количества точек минимума; б) продольный размер каждого горба составляет примерно 3R, поэтому протяженность зоны мениска больше 3R на этих решениях. Оба эти свойства согласуются с результатами экспериментальных наблюдений (Fairbrother, Stubbs, 1935; Schwartz et al, 1986) о том, что эффективная остаточная толщина пленок при вытеснении из капилляра пузырей растет с увеличением длины пузыря. В работе (Scoffoni et al, 2001) немонотонные профили границы раздела наблюдались экспериментально при вытеснении жидкости другой жидкостью.

Зависимость ?(Са) для таких решений при с = 0 показана пунктирными линями на рис. 9 для профилей с числом горбов от одного до семи. Самая нижняя из них соответствует профилям с одним горбом, далее — с двумя, самая верхняя — профилям с семью горбами. На рис. 12 представлены рассчитанные зависимости безразмерной асимптотической толщины остаточной пленки для профилей с одним (кривые 2) и двумя горбами (кривые 3) при вытеснении этанола (а) и силиконового масла (б).

Похожие диссертации на Влияние мениска на течения вязкой жидкости со свободной поверхностью